2.2 Переходные процессы и характеристики моделей вход-выход

Лекция



Привет, Вы узнаете о том , что такое переходные процессы, Разберем основные их виды и особенности использования. Еще будет много подробных примеров и описаний. Для того чтобы лучше понимать что такое переходные процессы, характеристики моделей вход-выход , настоятельно рекомендую прочитать все из категории Математические основы теории автоматического управления.

Будем рассматривать линейные стационарные динамические системы, описываемые на интервале времени [0 , tf ), где tf > 0, дифференциальным уравнением [M1] с начальными условиями t(0)=0, 2.2 Переходные процессы и характеристики моделей вход-выход , 2.2 Переходные процессы и характеристики моделей вход-выход ,...,2.2 Переходные процессы и характеристики моделей вход-выход и достаточно гладким входным воздействием u(t).

2.2.1. переходные процессы .

Решением дифференциального уравнения [M1] называется функция

(2.18) 2.2 Переходные процессы и характеристики моделей вход-выход ,

которая при t= 0 удовлетворяет начальным условиям, а для любых 2.2 Переходные процессы и характеристики моделей вход-выход уравнению [M1]. С этим определением тесно связаны понятие фазовых переменных системы, к которым относятся функции, 2.2 Переходные процессы и характеристики моделей вход-выход ,2.2 Переходные процессы и характеристики моделей вход-выход ,...,2.2 Переходные процессы и характеристики моделей вход-выход (t) , удовлетворяющие уравнению [M1], и понятие переходного процесса. Переходным процессом называют процесс изменения во времени различных переменных системы (фазовых и входных переменных, отклонений и т.д.), в ходе которого система изменяет свое состояние. Переходный процесс может быть получен в аналитическом или графическом виде. К графическим формам переходного процесса относятся

  • временные диаграммы переменных системы: 2.2 Переходные процессы и характеристики моделей вход-выход , 2.2 Переходные процессы и характеристики моделей вход-выход ,..., u(t ) и т.д.;
  • фазовые траектории (или интегральные кривые, см. п. 3.3) .

2.2 Переходные процессы и характеристики моделей вход-выход

Рис . 2.3 . Переходные процессы: временные диаграммы и фазовая траектория

Решение 2.2 Переходные процессы и характеристики моделей вход-выход может быть представлено в виде

(2.19) 2.2 Переходные процессы и характеристики моделей вход-выход ,

2.2 Переходные процессы и характеристики моделей вход-выход

т.е. содержит две составляющие. Вынужденная составляющая 2.2 Переходные процессы и характеристики моделей вход-выход (t) соответствует переходному процессу системы [ М1 ] при начальных условиях: 2.2 Переходные процессы и характеристики моделей вход-выход и является реакцией системы на входное воздействие u(t). Свободная составляющая 2.2 Переходные процессы и характеристики моделей вход-выход (t), или переходный процесс автономной системы, соответствует решениям однородного дифференциального уравнения [ М1 a] и зависит от начальных условий 2.2 Переходные процессы и характеристики моделей вход-выход , 2.2 Переходные процессы и характеристики моделей вход-выход ,...,2.2 Переходные процессы и характеристики моделей вход-выход

2.2.2. Процессы автономной системы.

Поведение автономной системы и свободная составляющая переходного процесса 2.2 Переходные процессы и характеристики моделей вход-выход (t ) зависит от полюсов системы, т.е. корней 2.2 Переходные процессы и характеристики моделей вход-выход характеристического уравнения 2.2 Переходные процессы и характеристики моделей вход-выход (см. также п. 3.3). Корни принимают вещественные значения

2.2 Переходные процессы и характеристики моделей вход-выход ,

или представлены комплексно-сопряженными парами:

2.2 Переходные процессы и характеристики моделей вход-выход ,

где α i=Re pi - вещественная часть корня, 2.2 Переходные процессы и характеристики моделей вход-выход - коэффициент мнимой части.

2.2 Переходные процессы и характеристики моделей вход-выход

Рис. 2.4. Полюсы системы

Для случая неравных корней свободная составляющая определяется выражением:

(2.20) 2.2 Переходные процессы и характеристики моделей вход-выход ,

где 2.2 Переходные процессы и характеристики моделей вход-выход - неопределенные коэффициенты, 2.2 Переходные процессы и характеристики моделей вход-выход - свободные колебания системы, или моды.

Вещественному корню 2.2 Переходные процессы и характеристики моделей вход-выход соответствует апериодическая составляющая переходного процесса

(2.21) 2.2 Переходные процессы и характеристики моделей вход-выход ,

2.2 Переходные процессы и характеристики моделей вход-выход

Рис. 2.5. Апериодический процесс

Паре комплексно-сопряженных корней характеристического уравнения соответствует колебательная составляющая

(2.22) 2.2 Переходные процессы и характеристики моделей вход-выход 2.2 Переходные процессы и характеристики моделей вход-выход ,

где 2.2 Переходные процессы и характеристики моделей вход-выход - амплитуда, 2.2 Переходные процессы и характеристики моделей вход-выход - фаза колебаний, 2.2 Переходные процессы и характеристики моделей вход-выход i - угловая частота.

2.2 Переходные процессы и характеристики моделей вход-выход

Рис. 2.6. Колебательный процесс

Если среди корней характеристического уравнения имеются равные, то выражение (2.20) не справедливо. Так, паре равных вещественных корней

2.2 Переходные процессы и характеристики моделей вход-выход

соответствует апериодическая составляющая переходного процесса вида

(2.23) 2.2 Переходные процессы и характеристики моделей вход-выход .

Для нахождения частного решения y св (t ), соответствующего заданным значениям начальных условий 2.2 Переходные процессы и характеристики моделей вход-выход , 2.2 Переходные процессы и характеристики моделей вход-выход ,...,2.2 Переходные процессы и характеристики моделей вход-выход и значений Ci в формуле (2.20) используется метод неопределенных коэффициентов . В соответствии с методом из формулы (2.20) следует получить общие выражения для фазовых переменных 2.2 Переходные процессы и характеристики моделей вход-выход ,2.2 Переходные процессы и характеристики моделей вход-выход ,..., 2.2 Переходные процессы и характеристики моделей вход-выход и при t= 0 записать n алгебраических уравнений

(2.24) 2.2 Переходные процессы и характеристики моделей вход-выход

Уравнения содержат n неизвестных С i , которые находятся одним из известных методов. Об этом говорит сайт https://intellect.icu . Например, можно переписать уравнение (2.24) в векторно-матричной форме

2.2 Переходные процессы и характеристики моделей вход-выход ,

где 2.2 Переходные процессы и характеристики моделей вход-выход

и найти вектор-столбец неизвестных коэффициентов как

2.2 Переходные процессы и характеристики моделей вход-выход .

Если при некоторых значениях начальных условий имеет место тождество

2.2 Переходные процессы и характеристики моделей вход-выход =y*, 2.2 Переходные процессы и характеристики моделей вход-выход ,

где y*= const , то значение y=y* называется равновесным значением выходной переменной (или положением равновесия ) автономной системы [M1а]. В положении равновесия можно записать

(2.25) 2.2 Переходные процессы и характеристики моделей вход-выход = y*, 2.2 Переходные процессы и характеристики моделей вход-выход ,...,2.2 Переходные процессы и характеристики моделей вход-выход .

После подстановки (2.25) в уравнение [M1а] найдем

(2.26) an y*=0.

При условии , что an &nequal; 0 , получаем, что единственным положением равновесия рассматриваемой системы является начало координат

(2.27) y*= 0,

а при an = 0 находим бесчисленное множество равновесных значений.

Замечание 2 .1 . При условии, что вещественная часть 2.2 Переходные процессы и характеристики моделей вход-выход некоторого вещественного или комплексного корня pi строго отрицательна, т.е.

(2.28) 2.2 Переходные процессы и характеристики моделей вход-выход ,

соответствующая составляющая переходного процесса со временем затухает:

2.2 Переходные процессы и характеристики моделей вход-выход .

Если условие (2.28) имеет место для всех 2.2 Переходные процессы и характеристики моделей вход-выход , то затухающей является вся свободная составляющая:

(2.29) 2.2 Переходные процессы и характеристики моделей вход-выход ,

причем предельное значение выходной переменной в точности совпадает с положение равновесия автономной системы y* = 0.

2.2.3. Вынужденное движение.

Вынужденная составляющая переходного процесса зависит от входного воздействия и может быть аналитически определена только для ряда частных случаев, соответствующих некоторым типовым входным сигналам. Наиболее распространенными сигналами являются единичный скачек, 2.2 Переходные процессы и характеристики моделей вход-выход -функция и гармоническое входное воздействие.

Рассмотрим реакцию систему на единичную ступенчатую функцию (единичный скачок)

2.2 Переходные процессы и характеристики моделей вход-выход ,

2.2 Переходные процессы и характеристики моделей вход-выход

Рис. 2.7. Единичный скачек и переходная функция

Вынужденная составляющая 2.2 Переходные процессы и характеристики моделей вход-выход решения 2.2 Переходные процессы и характеристики моделей вход-выход при воздействии на вход системы [M1] единичной ступенчатой функции 2.2 Переходные процессы и характеристики моделей вход-выход называется переходной функцией (характеристикой) системы, т.е.

(2.30) 2.2 Переходные процессы и характеристики моделей вход-выход

Рассмотрим реакцию систему на единичную импульсную функцию (дельта-функцию) 2.2 Переходные процессы и характеристики моделей вход-выход (t ). Последняя определяется как

(2.31) 2.2 Переходные процессы и характеристики моделей вход-выход

или импульс бесконечно большой амплитуды A и бесконечно малой длительности 2.2 Переходные процессы и характеристики моделей вход-выход , удовлетворяющий условию

(2.32) 2.2 Переходные процессы и характеристики моделей вход-выход .

2.2 Переходные процессы и характеристики моделей вход-выход

Рис. 2.8. Дельта-функция и весовая функция

Вынужденная составляющая 2.2 Переходные процессы и характеристики моделей вход-выход решения 2.2 Переходные процессы и характеристики моделей вход-выход при воздействии на вход системы [M1] импульсной функции 2.2 Переходные процессы и характеристики моделей вход-выход называется весовой функцией (характеристикой) системы, т.е.

(2.33) 2.2 Переходные процессы и характеристики моделей вход-выход

Отметим, что, учитывая определение (2.33) нетрудно получить

(2.34) 2.2 Переходные процессы и характеристики моделей вход-выход .

Для произвольного входного воздействия 2.2 Переходные процессы и характеристики моделей вход-выход вынужденная составляющая переходного процесса системы [M1] может быть найдена по формуле (интеграл свертки)

(2.35) 2.2 Переходные процессы и характеристики моделей вход-выход .

В частном случае, когда 2.2 Переходные процессы и характеристики моделей вход-выход (t), в силу свойства (2.34), найдем

2.2 Переходные процессы и характеристики моделей вход-выход .

Отметим, что в общем случае нахождение вынужденной составляющей переходного процесса с помощью интегральных выражений типа (2.35) (см. также (2.42) в п. 3.2.1) вызывает затруднение. Значительно более простой задачей является нахождение установившейся составляющей переходного процесса.

2.2.4. Установившееся движение.

Движение системы, рассматриваемое при достаточно больших значениях t (2.2 Переходные процессы и характеристики моделей вход-выход ), называется установившимся режимом. Соответственно, установившейся составляющей переходного процесса 2.2 Переходные процессы и характеристики моделей вход-выход называется вынужденная составляющая 2.2 Переходные процессы и характеристики моделей вход-выход при 2.2 Переходные процессы и характеристики моделей вход-выход , т.е.

(2.36) 2.2 Переходные процессы и характеристики моделей вход-выход .

Функция 2.2 Переходные процессы и характеристики моделей вход-выход является частным решение уравнения [ М1 ] , полученном при определенных (обычно, ненулевых) начальных условиях и зависящим от его правой части, т.е. входного воздействия 2.2 Переходные процессы и характеристики моделей вход-выход .

Замечание 2.2. Часто используется следующая форма представления решения системы [M1]:

(2.37) 2.2 Переходные процессы и характеристики моделей вход-выход ,

где 2.2 Переходные процессы и характеристики моделей вход-выход - переходная составляющая, или общее решение уравнения [ М1 ] , которое может быть найдено в форме аналогичной ( 2.20 ), т.е.

(2.38) 2.2 Переходные процессы и характеристики моделей вход-выход ,

где Ci' - постоянные коэффициенты.

2.2 Переходные процессы и характеристики моделей вход-выход

Рис. 2.9. Переходные процессы и установившаяся составляющая

При условии, что для всех значений pi выполняется 2.2 Переходные процессы и характеристики моделей вход-выход (см. замечание 2.2), свободная составляющая x св (а также 2.2 Переходные процессы и характеристики моделей вход-выход ) затухает, т.е. имеет место выражение (2.29). Тогда

(2.39) 2.2 Переходные процессы и характеристики моделей вход-выход ,

т.е. установившаяся составляющая соответствует переходному процессу системы в установившемся режиме. С другой стороны, если одна из мод системы yi(t ), а следовательно и свободная составляющая в целом неограниченно возрастают, то предела (2.39) не существует, и понятие установившегося режима теряет смысл.

Типовые частные решения линейного уравнения [M1], соответствующие установившимся составляющим переходного процесса при воздействии на систему типовых входных сигналов u(t ), находятся по известным правилам:

u(t) y у (t)
U0 Y0
U0+U1t Y0+Y 1t
U0 sin 2.2 Переходные процессы и характеристики моделей вход-выход 0t Ysin ( 2.2 Переходные процессы и характеристики моделей вход-выход 0t+ 2.2 Переходные процессы и характеристики моделей вход-выход )

где U0, U1 ,Y0,Y1 , 2.2 Переходные процессы и характеристики моделей вход-выход ; 0 , 2.2 Переходные процессы и характеристики моделей вход-выход - постоянные.

2.2.5. Статический режим.

Наиболее важный частный случай решения системы [М1] соответствует постоянному входному воздействию 2.2 Переходные процессы и характеристики моделей вход-выход и установившейся составляющей

(2.40) 2.2 Переходные процессы и характеристики моделей вход-выход .

Пусть свободная составляющая системы затухает, т.е. имеет место свойство (2.39) и, следовательно,

2.2 Переходные процессы и характеристики моделей вход-выход .

Последняя формула показывает, что при достаточно больших t (2.2 Переходные процессы и характеристики моделей вход-выход ) в системе отсутствует движение, т.е. имеет место статический режим работы.

2.2 Переходные процессы и характеристики моделей вход-выход

Решение уравнения (2.39) в статическом режиме ищется в виде

(2.41) 2.2 Переходные процессы и характеристики моделей вход-выход ,

где 2.2 Переходные процессы и характеристики моделей вход-выход - неопределенный коэффициент. С учетом того, что при 2.2 Переходные процессы и характеристики моделей вход-выход 2.2 Переходные процессы и характеристики моделей вход-выход , запишем

(2.42) 2.2 Переходные процессы и характеристики моделей вход-выход 2.2 Переходные процессы и характеристики моделей вход-выход ,

а из уравнения (2.41) найдем, что

(2.43) 2.2 Переходные процессы и характеристики моделей вход-выход , 2.2 Переходные процессы и характеристики моделей вход-выход .

После подстановки (2.41)-(2.43) в [М1] получим простое алгебраическое выражение

(2.44) 2.2 Переходные процессы и характеристики моделей вход-выход .

Пусть 2.2 Переходные процессы и характеристики моделей вход-выход . Тогда неопределенный коэффициент K находится как

(2.45) 2.2 Переходные процессы и характеристики моделей вход-выход .

При 2.2 Переходные процессы и характеристики моделей вход-выход получим 2.2 Переходные процессы и характеристики моделей вход-выход , где (см. п. 2.1) 2.2 Переходные процессы и характеристики моделей вход-выход , т.е. в этом случае ( 2.44 ) не является частным решением уравнения [M1].

2.2 Переходные процессы и характеристики моделей вход-выход

Зависимость установившейся составляющей (выходной переменной после окончания переходного процесса) 2.2 Переходные процессы и характеристики моделей вход-выход от величины входного сигнала 2.2 Переходные процессы и характеристики моделей вход-выход =const называется статической характеристикой динамической системы. Для линейных систем вида [M1] статическая характеристика представлена уравнением прямой (2.41), где постоянная 2.2 Переходные процессы и характеристики моделей вход-выход , рассчитываемая по формуле (2.45), называется коэффициентом передачи или статическим коэффициентом системы.

Система [M1], для которой 2.2 Переходные процессы и характеристики моделей вход-выход и следовательно существует статическая характеристика называется статической системой.

Астатической называется система, для которой 2.2 Переходные процессы и характеристики моделей вход-выход и следовательно, не существует статической характеристики, а установившийся режим невозможен.

Определение статической характеристики сводится к элементарной операции нахождению статического коэффициента K

2.2 Переходные процессы и характеристики моделей вход-выход

по формуле (2.45), где an и bm - соответствующие коэффициенты дифференциального уравнения [М1]. Однако статическая характеристика может быть получена и из операторной формы [М2] или [M3]. Сопоставляя (2.45) и [ М3 ] , найдем

(2.46) 2.2 Переходные процессы и характеристики моделей вход-выход .

Следовательно, в статическом режиме система описывается уравнением

(2.47) 2.2 Переходные процессы и характеристики моделей вход-выход .

Замечание 2.3. По аналогии с определением положения равновесия автономной системы, можно ввести понятие равновесия возмущенной системы (2.40) при постоянном входном воздействии 2.2 Переходные процессы и характеристики моделей вход-выход , т.е. положения, в котором выполняется тождество

2.2 Переходные процессы и характеристики моделей вход-выход = y*, 2.2 Переходные процессы и характеристики моделей вход-выход

и, следовательно,

(2.48) 2.2 Переходные процессы и характеристики моделей вход-выход = y*, 2.2 Переходные процессы и характеристики моделей вход-выход ,..., 2.2 Переходные процессы и характеристики моделей вход-выход .

Нетрудно показать, что равновесное значение выходной переменной y* в точности совпадает с установившимся значением, т.е.

(2.49) 2.2 Переходные процессы и характеристики моделей вход-выход .

В частном случае при u=0 получаем автономную систему [M1а] и равновесное положение 2.2 Переходные процессы и характеристики моделей вход-выход .

Прочтение данной статьи про переходные процессы позволяет сделать вывод о значимости данной информации для обеспечения качества и оптимальности процессов. Надеюсь, что теперь ты понял что такое переходные процессы, характеристики моделей вход-выход и для чего все это нужно, а если не понял, или есть замечания, то не стесняйся, пиши или спрашивай в комментариях, с удовольствием отвечу. Для того чтобы глубже понять настоятельно рекомендую изучить всю информацию из категории Математические основы теории автоматического управления

создано: 2016-12-17
обновлено: 2022-02-04
153



Рейтиг 9 of 10. count vote: 2
Вы довольны ?:


Поделиться:

Найди готовое или заработай

С нашими удобными сервисами без комиссии*

Как это работает? | Узнать цену?

Найти исполнителя
$0 / весь год.
  • У вас есть задание, но нет времени его делать
  • Вы хотите найти профессионала для выплнения задания
  • Возможно примерение функции гаранта на сделку
  • Приорететная поддержка
  • идеально подходит для студентов, у которых нет времени для решения заданий
Готовое решение
$0 / весь год.
  • Вы можите продать(исполнителем) или купить(заказчиком) готовое решение
  • Вам предоставят готовое решение
  • Будет предоставлено в минимальные сроки т.к. задание уже готовое
  • Вы получите базовую гарантию 8 дней
  • Вы можете заработать на материалах
  • подходит как для студентов так и для преподавателей
Я исполнитель
$0 / весь год.
  • Вы профессионал своего дела
  • У вас есть опыт и желание зарабатывать
  • Вы хотите помочь в решении задач или написании работ
  • Возможно примерение функции гаранта на сделку
  • подходит для опытных студентов так и для преподавателей

Комментарии


Оставить комментарий
Если у вас есть какое-либо предложение, идея, благодарность или комментарий, не стесняйтесь писать. Мы очень ценим отзывы и рады услышать ваше мнение.
To reply

Математические основы теории автоматического управления

Термины: Математические основы теории автоматического управления