2.2 Переходные процессы и характеристики моделей вход-выход

Привет, Вы узнаете о том , что такое переходные процессы, Разберем основные их виды и особенности использования. Еще будет много подробных примеров и описаний. Для того чтобы лучше понимать что такое переходные процессы, характеристики моделей вход-выход , настоятельно рекомендую прочитать все из категории Математические основы теории автоматического управления.

Будем рассматривать линейные стационарные динамические системы, описываемые на интервале времени [0 , t_f ), где t_f > 0, дифференциальным уравнением [M1] с начальными условиями t(0)=0, , ,..., и достаточно гладким входным воздействием u(t).

2.2.1. переходные процессы .

Решением дифференциального уравнения [M1] называется функция

(2.18) ,

которая при t= 0 удовлетворяет начальным условиям, а для любых уравнению [M1]. С этим определением тесно связаны понятие фазовых переменных системы, к которым относятся функции, , ,..., (t) , удовлетворяющие уравнению [M1], и понятие переходного процесса. Переходным процессом называют процесс изменения во времени различных переменных системы (фазовых и входных переменных, отклонений и т.д.), в ходе которого система изменяет свое состояние. Переходный процесс может быть получен в аналитическом или графическом виде. К графическим формам переходного процесса относятся

• временные диаграммы переменных системы: , ,..., u(t ) и т.д.;
• фазовые траектории (или интегральные кривые, см. п. 3.3) .

Рис . 2.3 . Переходные процессы: временные диаграммы и фазовая траектория

Решение может быть представлено в виде

(2.19) ,

т.е. содержит две составляющие. Вынужденная составляющая (t) соответствует переходному процессу системы [ М1 ] при начальных условиях: и является реакцией системы на входное воздействие u(t). Свободная составляющая (t), или переходный процесс автономной системы, соответствует решениям однородного дифференциального уравнения [ М1 a] и зависит от начальных условий , ,...,

2.2.2. Процессы автономной системы.

Поведение автономной системы и свободная составляющая переходного процесса (t ) зависит от полюсов системы, т.е. корней характеристического уравнения (см. также п. 3.3). Корни принимают вещественные значения

,

или представлены комплексно-сопряженными парами:

,

где α _i=Re p_i - вещественная часть корня, - коэффициент мнимой части.

Рис. 2.4. Полюсы системы

Для случая неравных корней свободная составляющая определяется выражением:

(2.20) ,

где - неопределенные коэффициенты, - свободные колебания системы, или моды.

Вещественному корню соответствует апериодическая составляющая переходного процесса

(2.21) ,

Рис. 2.5. Апериодический процесс

Паре комплексно-сопряженных корней характеристического уравнения соответствует колебательная составляющая

(2.22) ,

где - амплитуда, - фаза колебаний, _i - угловая частота.

Рис. 2.6. Колебательный процесс

Если среди корней характеристического уравнения имеются равные, то выражение (2.20) не справедливо. Так, паре равных вещественных корней

соответствует апериодическая составляющая переходного процесса вида

(2.23) .

Для нахождения частного решения y _св (t ), соответствующего заданным значениям начальных условий , ,..., и значений C_i в формуле (2.20) используется метод неопределенных коэффициентов . В соответствии с методом из формулы (2.20) следует получить общие выражения для фазовых переменных , ,..., и при t= 0 записать n алгебраических уравнений

(2.24)

Уравнения содержат n неизвестных С _i , которые находятся одним из известных методов. Об этом говорит сайт https://intellect.icu . Например, можно переписать уравнение (2.24) в векторно-матричной форме

,

где

и найти вектор-столбец неизвестных коэффициентов как

.

Если при некоторых значениях начальных условий имеет место тождество

=y*, ,

где y*= const , то значение y=y* называется равновесным значением выходной переменной (или положением равновесия ) автономной системы [M1а]. В положении равновесия можно записать

(2.25) = y*, ,..., .

После подстановки (2.25) в уравнение [M1а] найдем

(2.26) a_n y*=0.

При условии , что a_n &nequal; 0 , получаем, что единственным положением равновесия рассматриваемой системы является начало координат

(2.27) y*= 0,

а при a_n = 0 находим бесчисленное множество равновесных значений.

Замечание 2 .1 . При условии, что вещественная часть некоторого вещественного или комплексного корня p_i строго отрицательна, т.е.

(2.28) ,

соответствующая составляющая переходного процесса со временем затухает:

.

Если условие (2.28) имеет место для всех , то затухающей является вся свободная составляющая:

(2.29) ,

причем предельное значение выходной переменной в точности совпадает с положение равновесия автономной системы y* = 0.

2.2.3. Вынужденное движение.

Вынужденная составляющая переходного процесса зависит от входного воздействия и может быть аналитически определена только для ряда частных случаев, соответствующих некоторым типовым входным сигналам. Наиболее распространенными сигналами являются единичный скачек, -функция и гармоническое входное воздействие.

Рассмотрим реакцию систему на единичную ступенчатую функцию (единичный скачок)

,

Рис. 2.7. Единичный скачек и переходная функция

Вынужденная составляющая решения при воздействии на вход системы [M1] единичной ступенчатой функции называется переходной функцией (характеристикой) системы, т.е.

(2.30)

Рассмотрим реакцию систему на единичную импульсную функцию (дельта-функцию) (t ). Последняя определяется как

(2.31)

или импульс бесконечно большой амплитуды A и бесконечно малой длительности , удовлетворяющий условию

(2.32) .

Рис. 2.8. Дельта-функция и весовая функция

Вынужденная составляющая решения при воздействии на вход системы [M1] импульсной функции называется весовой функцией (характеристикой) системы, т.е.

(2.33)

Отметим, что, учитывая определение (2.33) нетрудно получить

(2.34) .

Для произвольного входного воздействия вынужденная составляющая переходного процесса системы [M1] может быть найдена по формуле (интеграл свертки)

(2.35) .

В частном случае, когда (t), в силу свойства (2.34), найдем

.

Отметим, что в общем случае нахождение вынужденной составляющей переходного процесса с помощью интегральных выражений типа (2.35) (см. также (2.42) в п. 3.2.1) вызывает затруднение. Значительно более простой задачей является нахождение установившейся составляющей переходного процесса.

2.2.4. Установившееся движение.

Движение системы, рассматриваемое при достаточно больших значениях t ( ), называется установившимся режимом. Соответственно, установившейся составляющей переходного процесса называется вынужденная составляющая при , т.е.

(2.36) .

Функция является частным решение уравнения [ М1 ] , полученном при определенных (обычно, ненулевых) начальных условиях и зависящим от его правой части, т.е. входного воздействия .

Замечание 2.2. Часто используется следующая форма представления решения системы [M1]:

(2.37) ,

где - переходная составляющая, или общее решение уравнения [ М1 ] , которое может быть найдено в форме аналогичной ( 2.20 ), т.е.

(2.38) ,

где C_i' - постоянные коэффициенты.

Рис. 2.9. Переходные процессы и установившаяся составляющая

При условии, что для всех значений p_i выполняется (см. замечание 2.2), свободная составляющая x _св (а также ) затухает, т.е. имеет место выражение (2.29). Тогда

(2.39) ,

т.е. установившаяся составляющая соответствует переходному процессу системы в установившемся режиме. С другой стороны, если одна из мод системы y_i(t ), а следовательно и свободная составляющая в целом неограниченно возрастают, то предела (2.39) не существует, и понятие установившегося режима теряет смысл.

Типовые частные решения линейного уравнения [M1], соответствующие установившимся составляющим переходного процесса при воздействии на систему типовых входных сигналов u(t ), находятся по известным правилам:

u(t)	y у (t)
U0	Y0
U0+U1t	Y0+Y 1t
U0 sin 0t	Ysin ( 0t+ )

где U₀, U₁ ,Y₀,Y₁ , ; ₀ , - постоянные.

2.2.5. Статический режим.

Наиболее важный частный случай решения системы [М1] соответствует постоянному входному воздействию и установившейся составляющей

(2.40) .

Пусть свободная составляющая системы затухает, т.е. имеет место свойство (2.39) и, следовательно,

.

Последняя формула показывает, что при достаточно больших t ( ) в системе отсутствует движение, т.е. имеет место статический режим работы.

Решение уравнения (2.39) в статическом режиме ищется в виде

(2.41) ,

где - неопределенный коэффициент. С учетом того, что при , запишем

(2.42) ,

а из уравнения (2.41) найдем, что

(2.43) , .

После подстановки (2.41)-(2.43) в [М1] получим простое алгебраическое выражение

(2.44) .

Пусть . Тогда неопределенный коэффициент K находится как

(2.45) .

При получим , где (см. п. 2.1) , т.е. в этом случае ( 2.44 ) не является частным решением уравнения [M1].

Зависимость установившейся составляющей (выходной переменной после окончания переходного процесса) от величины входного сигнала =const называется статической характеристикой динамической системы. Для линейных систем вида [M1] статическая характеристика представлена уравнением прямой (2.41), где постоянная , рассчитываемая по формуле (2.45), называется коэффициентом передачи или статическим коэффициентом системы.

Система [M1], для которой и следовательно существует статическая характеристика называется статической системой.

Астатической называется система, для которой и следовательно, не существует статической характеристики, а установившийся режим невозможен.

Определение статической характеристики сводится к элементарной операции нахождению статического коэффициента K

по формуле (2.45), где a_n и b_m - соответствующие коэффициенты дифференциального уравнения [М1]. Однако статическая характеристика может быть получена и из операторной формы [М2] или [M3]. Сопоставляя (2.45) и [ М3 ] , найдем

(2.46) .

Следовательно, в статическом режиме система описывается уравнением

(2.47) .

Замечание 2.3. По аналогии с определением положения равновесия автономной системы, можно ввести понятие равновесия возмущенной системы (2.40) при постоянном входном воздействии , т.е. положения, в котором выполняется тождество

= y*,

и, следовательно,

(2.48) = y*, ,..., .

Нетрудно показать, что равновесное значение выходной переменной y* в точности совпадает с установившимся значением, т.е.

(2.49) .

В частном случае при u=0 получаем автономную систему [M1а] и равновесное положение .

Прочтение данной статьи про переходные процессы позволяет сделать вывод о значимости данной информации для обеспечения качества и оптимальности процессов. Надеюсь, что теперь ты понял что такое переходные процессы, характеристики моделей вход-выход и для чего все это нужно, а если не понял, или есть замечания, то не стесняйся, пиши или спрашивай в комментариях, с удовольствием отвечу. Для того чтобы глубже понять настоятельно рекомендую изучить всю информацию из категории Математические основы теории автоматического управления