Цилиндрические волны, Уравнения цилиндрического поля Волновые функции кругового и эллиптического цилиндра

Привет, Вы узнаете о том , что такое цилиндрические волны, Разберем основные их виды и особенности использования. Еще будет много подробных примеров и описаний. Для того чтобы лучше понимать что такое цилиндрические волны, уравнения цилиндрического поля, волновые функции кругового и эллиптического цилиндра , настоятельно рекомендую прочитать все из категории Теория электромагнитного поля.

Цилиндрическая волна — модель волнового процесса, волна, радиально расходящаяся от некоторой прямой в пространстве или сходящаяся к ней. Частным случаем цилиндрической волны на плоскости является круговая волна, расходящаяся от точки (сходящаяся к ней).

Вообще говоря, электромагнитное поле не может быть получено из одной
скалярной функции, зависящей от точки и времени; вследствие этого анализ
электромагнитных полей по самому их существу сложнее, чем изучение
тепловых потоков или передачи ввуковых колебаний, В трехмерном
скалярном волновом уравнении переменные разделяются в 11 различных системах
координат ^), но полные решения векторного волнового уравнения в форме,
непосредственно применимой к решению краевых задач, известны в
настоящее время лишь для определенных разделяющихся систем цилиндрических
координат и для сферических координат. Как будет показано, в таких
системах электромагнитное поле может быть разложено на две составляющие поля,
каждое из которых получается из
одной скалярной функции,
удовлетворяющей волновому уравнению.

Фронт цилиндрической волны — цилиндрическая поверхность, на оси которой расположен источник, например, имеющий форму нити, то есть бесконечно тонкий и прямолинейный. Распространение фронта такой волны в пространстве можно сравнить с цилиндрической поверхностью, непрерывно увеличивающей свой радиус. Примером цилиндрической волны может служить волновой процесс на поверхности воды от колеблющегося поплавка, а также электромагнитная волна, создаваемая в ближней зоне линейной синфазной антенной.

Простейшая монохроматическая симметричная цилиндрическая волна с источником в центре удовлетворяет двумерному волновому уравнению и описывается с помощью функции Ганкеля нулевого порядка:

(1.1)

где — функция Ганкеля нулевого порядка;

— мнимая единица;

ω — круговая частота;

k — волновое число;

r — расстояние от оси.

На больших расстояниях от оси — то есть при волновое поле приобретает вид

(1.2)

• По мере удаления от осциллятора амплитуда убывает гиперболически;
• Так как площадь боковой поверхности цилиндра ∼r, то поток функции остается постоянным;
• В форме записи (1.2) можно выделить амплитуду волны Ar, фазу где — фазовая скорость плоской волны.

УРАВНЕНИЯ ЦИЛИНДРИЧЕСКОГО ПОЛЯ

6.1. Представление посредством векторов Герца.

Предположим, что одна система координатных
поверхностей образована семейством
цилиндров, образующие которых
параллельны оси г. Пока это
специально не оговорено, эти
цилиндрические поверхности не
предполагаются обязательно круговыми или
даже замкнутыми. По отношению к
каждой поверхности семейства
единичные векторы ij, \с£, ц
расположены, как показано на рис. 64.
Таким образом, вектор ij нормален к цилиндру, ig касается его и направлен
вдоль его образующих, а ig касается его поверхности и перпендикулярен
к ij и ig. Положение по отношению к осям координат, определяемым этими
тремя единичными векторами, характеризуется координатами и^ а^, г-, а
бесконечно малый элемент длины равен
О У
Рис. 64. Взаимное расположение единичных
векторов на цилиндрической поверхности..
Образующие параллельны оси г.
ds = i^h^du^ + ig V"" + h^2-
A)
Определим теперь компоненты электромагнитного поля, связянного с
вектором Герца П, направленным по оси z, так что П1 = П2 = 0,

в этой главе мы будем считать среду не только изотропной и однородной,
но и безграничной. Тогда по F3) и F4), стр. 40, электрические и
. магнитные векторы поля определяются выражениями
E(i) = rotrotn, H(i)=('s-^4-°)rotn; B)
так как П^ и Ilg равны нулю, то по (81) и (85), стр. 54—55, легко найти
компоненты Е^^) и Н^^):
T^^) — J ^Ш^ рB)_ 1 дт, ]
^^ ~" hi дгди^ ' '^ ~ h^ dzdu^ ' I
^^ ~ hih^ldu^\hi du\)~^ ди^\кг дф)\' J
Таким образом мы получили из скалярной функции П^ = ^
электромагнитное поле, характеризующееся отсутствием осевой или продольной
компоненты магнитного вектора. Ввиду того, 4jro П является Электрическим
поляризационным потенциалом, это поле • можно назвать полем электрического
типа (стр. 39), но в настоящее время представляется более подходящим
термин поперечно магнитное поле^ недавно предложенный Щелкуновым ^).
Так как П^ является прямоугольной компонентой, то она должна
удовлетворять скалярному волновому уравнению
или по (82), стр. 54:
Элементарные гармонические решения этого уравнения имеют вид
^^/(и\ tt^)e*•^'^"-^^"^ G)
где /(«Ч и^) является решением|уравнения
Тф^ 'Ш \Jh Ш) "^ Th/h-diT^ [ji^ ЫГу ~Ь (^^ — h^)f= 0. (8)
Точно таким же образом можно вывести частный вид поля из второго
вектора Герца П*
.ЕB) = —>;^rotn*, HB) = rotrotn*; (9)
если П* направлен по оси z, тЬ составляющие эхих векторов равны
р^^) ' ^ р'^} ' '^^^ py^i п f^n\
1 d'^n! ,,, 1 d^n!
(И)
"^ ~ hih^ld^Khi du>^"^~^ da^^h^ дФ^У .
Скалярная функция П^ является решением уравнения E), а полученное из

«ее поле магнитного типа или «поперечное электрическое поле:»
характеризуется отсутствием продольной составляющей Е.
Электромагнитное поле, получаемое наложением частных видов полей,
получаемых из П^ и П^, является настолько общим, что оно может
удовлетворить заданным граничным условиям на любой цилиндрической поверхности
с образующими, параллельными оси г, т. е. на любой координатной
поверхности «1 = const, или w^ = const, или на плоскости z = const. Однако выбор
этих семейств ортогональных поверхностей практически ограничен теми
координатными системами, в которых переменные в уравнении (8) разделяются.
6.2. Скалярный и векторный потенциалы. Поперечные электрическое
и магнитное поля, определенные в предыдущем параграфе, обладают
интересными свойствами, которые выявляются при рассмотрении скалярного
и векторного потенциалов. Рассмотрим сначала поперечное магнитное
поле, в котором //^*^ = 0;
£(!)= —grad© — ^, B(^) = rotA,
<Р = —divH, A = }i.(e-^+o)lI.
В данном случае 6 = П^, откуда
О:
dz *
дФ
A = l^^-TT-r\^°'^y Ai = A2 = 0.
A2)
A3)
A4)
Компоненты E^') имеют поэтому вид
£?>==
1 аср
^?
дЧ дЧ
Е^
A)
3 ' "
р,о
dt '
1
d я компоненты В^^)
^"'=i
дА
да
,2 »
в?^.
г дА
hi ди^
М*'=о,
A5)
A6)
где вместо А^ написано А без индекса.
Заметим, что в плоскости 2" = const, вектор Е^^) безвихревой;
следовательно, в этой поперецной плоскости линейный интеграл от E^^J между
любыми двумя точками а и ^ не зависит от соеди- ^
няющего их пути. Действительно, элемент длины
в плоскости Z = const, имеет вид
ds =^ iih^du} -j~ i^^du^
м, следовательно.
J
Е«)Л =
= -/(^''"' + t''"'') = ^^"^-?(*^- ('^)
/.'
Рис. 65. Кривая аЬ
изображает сечение
цилиндрической поверхнасти
плоскостью ху, в которой
лежат также векторы п и ВЧ
Разность потенциалов или напряжение
между любыми двумя точками поперечной
плоскости имеет определенное значение в каждый момент^ независимо от
частоты или вида цилиндрических координат.
Далее, можно заметить, что скалярная функция А играет роль функции
тока для вектора В^*). Пусть кривая, соединяющая точки а и b на. рис. 65,
представляет соббй след цилиндрической поверхности, пересекающей пло-

скость г = const. Вычислим поток вектора В^*> через лентообразный элементг
поверхности, ограниченный кривой аЬ и имеющий ширину, равную единице
в направлении оси г. Если п — единичный вектор нормали к этой
поверхности, а ig — единичный вектор, направленный по оси гг, то
(В^п) da = ВA> Из, ds] = ц [rfs, B(i>I, A8>
где ds означает элемент длины вдоль кривой. Раскрывая A8), получаем
В^^'п da=hBfdu}- — hsB^du^ = — dA, A9>
откуда
ъ
j В^^^'п da = A {a) —A {b). B0)
a
Магнитный поток через любую единичную по ширине полоску
цилиндрической поверхности^ проходящую через две точки в плоскости г: = const.,,
не зависит от формы полоски.
Если выразить составляющие Е^^) и В^^^ через скалярную функцию ^у
то легко показать, что . .
е?В?Л-Е'М'==0, B1)
и, следовательно, проекция вектора Е^^) на плоскость г: == const, всюду
перпендикулярна вектору В^^>. В' поперечной плоскости семейства кривых
9 = const, (эквипотенциальные. линии) и А = const, (линии «toKa»
вектора В^^)) совпадают. Из A4) и G)'ясно, что при гармоническом изменении
во времени эквипотенциальными являются линии
/(aS «2) = const., B2)
где /(tt^ и^) удовлетворяет уравнению (8).
Поперечное электрическое поле "обладает подобными же свойствами, н(>
роли электрических и магнитных векторов меняются. Согласно C5), стр. 37:
D^2)=--rotA*, HB)=»—grad
cp*=_divn*, А*==Н'е^« B4>
Полагая ^|; = 11г, IIi==n2 = 0,* получ^1М
dii .* д<1> .* .* _.
?*==—•|j, Az^V-e^, Л = Л2 = 0; B5)
Компоненты векторов поля будут поэтому:
1 ал* ^B) 1 дА*
B7 >
Проекция Н^-) на поперечную плоскость является безвихревой, и
следовательно, криволинейный интеграл, представляющий магнитодвижущую силу
между двумя точками в этой плоскости, не зависит от пути интегрирования:
Г Ht^)rfs = 9* («) — ?* Ф). B8>

Подобным же образом поток вектора D^^^ через полоску единичной ширины,,
изображенную на рис. 65, зависит только от конечных точек
ъ ъ
ГD(^)nc?a = JйrЛ* = Л*(&) —Л*(а). B9>
а а
Проекция Н^^) на плоскость г: = const, всюду перпендикулярна к вектору Df^^.
Отсюда следует, что семейства кривых о* = const, и А* = const, совпадают.
Поле D^^), Н^^^ является в этом смысле сопряженным полю Е^^), В^^).
6.3. Импедансы гармонических цилиндрических полей. Предположим,,
что время входит лишь в гармонический мнои^итель е-^*»*. Тогда потенциалы,
и компоненты напряженностей поперечного магнитного поля имеют вид
ср = -р ih^, А = — / (}1.есо -j- /|хо) ^^ C0)
/4*)=__i^ i|i^ 4*-^=.i^i|i ///^=0, 'C2)
где /г^ = }i.eш-|-/}JLoш. Верхний знак относится к волнам, распространяющимся1
в положительном направлении по оси z, нижний — к волнам,
распространяющимся в отрицательном направлении.
Совокупность импедансов, относящихся к напряженностям поля, может
быть определена теперь на основе раздела 5.6. Величина импеданса зависит,,
очевидно, от направления, в котором он измеряется. По определению
Согласно стр. 252, внутренний импеданс однородной изотропной среды;
для плоских волн есть
^0 = /'
—Ь-=^^ C4).
так что C3) можно представить в виде
4'^ = ±4^0- C5>
Аналогично, импедансы в направлениях поперечных осей можно
определить соотношениями
4'^ = -ZM\ E?,==Z^M''. C6)
Знак компонент электрического и магнитного векторов определяется,
очевидно, положительным направлением вектора Пойнтинга. Так как И^^^
равно нулю, то компонента тока, представляемая членами E^^tf^^ и l^^t^^
отсутствует, и соответствующие импедансы бесконечны. Подставляя
соответствующие выражения для компонент поля в C6), получаем
Определение соответствующих импедансов для гармонических компонент
поперечного электрического поля не нуждается в дальнейших разъяснениях.

Потенциалы и векторы поля в этом случае имеют вид
ср* = zp Щ, Л* = — /[i-eco'i^, C8)
^^^' = '>"^^. ^'—^^Ш' ^^^' = «. C9)
^' = ±^й- "^' = ±f i- Hf^(k^-k^y^. D0)
Из этих соотношений вычислены импедансы:
yC2) ik дФ у у2) ik ди^ у D3)
Отсюда получается любопытный ряд соотношений
4^L^) _ 4^2) _ ^^1)^2) _ ^2,; • D4)
ВОЛНОВЫЕ ФУНКЦИИ КРУГОВОГО ЦИЛИНДРА
6.4. Элементарные волны. Простейшим случаем разделяющихся пере-
;менных является тот, когда семейство и^ == const, представляет собой
совокупность коаксиальных круговых цилиндров. Тогда, согласно 1, стр. 56,
к1 = г, «2 = 6, /fi=l, /г2 = г, A)
и уравнение (8) раздела 6..1 принимает "вид
где переменные легко разделяются, если п{)едставить /(г, б) как
произведение
^=/lW/2F), C)
В котором Д (г) И/2 (б) — произсольные решения обыкновенных дифферен-
щмгяьных уравнений
#+/'%= 0. E)
Параметр /?, так же как и Л, является постоянной разделения; его выбор
диктуется физическим требованием однозначности поля в фиксированной
точке пространства. Если неоднородности и разрывы непрерывности среды
исключены, как это и предположено в настоящей главэ, то поле должно ,
быть периодическим по б и значения р ограничены целыми числами п = О,
ztl, i±:2, ... С другой стороны, если поле представляется частными
решениями уравнений ^4) и E) в секторе пространства, ограниченном
плоскостями 6 = 6^ и 6=6g, то параметр /; должен принимать, вообще говоря,

Уравнение D), которому удовлетворяет радиальная функция /^ (г), есть
уравнение Бесселя. Его решения можно было бы назвать бесселевыми
функциями, но так как это название применяется обычно лишь к тому
частному решению Ур (|/^Л^ — h^r), которое конечно на оси г = 0, то мы
будем называть произвольное частное решение уравнения D) круговой
цилиндрической функцией и будем обозначать ее через /^ = Zp {]/^k^—h^r).
Аргументом функции является l/^k'^—Л^г, а р называется ее порядком. Таким образом
частные решения волнового уравнения E), стр. 310, периодические по/ и в,
могут быть построены из элементарных волн вида
Постоянная распространения h, вообще говоря, комплексна: следовательно,
поле не обязательно периодично вдоль оси г. Явное выражение для h
в функции частоты о и констант среды можно получить, лишь задавая
поведение ^ на цилиндрической поверхности г = const, или в плоскости 2" = const.
6.6. Свойства функций Zp(p). Предполагая знакомство читателя с
теорией уравнения Бесселя, полезно все же дать для справок обзор важнейших
свойств решений этого уравнения.
Если в уравнении D) заменить независимую переменную на р = Y^^—^^'■»
то мы получим, что Zp{p) удовлетворяет уравнению
которое характеризуется регулярной особенностью при р = 0 и
существенной особенностью при p=co. Бесселевой функцией ^ (р) или
цилиндрической функцией первого рода называется частное решение G), конечное при
р = 0. Оно может быть, таким образом, разложено в ряд по возрастающим
степеням р, а так как в плоскости комплексного переменного р нет других
особенностей, кроме точек р = 0 и р = оо, то этот ряд сходится, очевидно,
для всех конечных значений аргумента. Для любого р, действительного или
комплексного, и для действительн1,1х или комплексных р имеет место
разложение
со
Если заменить в G) р на —/?, то уравнение остается неизменным;
следовательно, при нецелых р второе фундаментальное решение можно получить
из (8), заменяя р на —р. Но если р==п является целым числом, то Jp(p)
становится однозначной функцией точки. Гамма-функция Т{п-^т~\-1)
заменяется факториалом (n-f-wt)!, так что
'^(Р)==Е„,\„;^)|Ш (« = 0,1.2....). (9)
Функция У-п(р) У^^ ^^^ является независимой от (9), а связана с ней
соотношением
i-«(p) = (-l)"^(p). A0)
так что для нахождения второго решения следует прибегнуть к какому-либо
зшому методу.
Функция Бесселя второго рода определяется соотношением

Это решение уравнения G) является независимым от Jp(p) для всех
значений р, но правая часть принимает неопределенный вид О/О при целых /?..
Однако значение ее можно подсчитать обычным способом, дифференцируя;
числитель и знаменатель по /7 и переходя затем к пределу при /?->«.
Получающееся разложение довольно сложно ^); мы приведем лишь первый член,,
годный в окрестности начала отсчета:
Л^о(Р)=^-^1п|, N„(p)c^ ~^'^' A)" («=1.2.---), A2>
где 7=1,78107 и | р | <С^ t. Характерным свойством функций второго рода,
является наличие особенности в начале координат. Ввиду того что они
обращаются в бесконечность при р = О, они не могут быть применены длж
представления полей, которые по своему физическому смыслу конечны
в окрестности р = 0.
Дальнейшие сведения о характере функций Jp (р) и Л^^ (р) дает изучение;
их поведения при очень больших значениях^. Разложения в окрестности
начала координат сходятся для всех конечных значений р; Ур(р) и Л^(р)'
являются всюду аналитическими функциями /? и р, кроме точек р = О и.
р=схэ. Однако для очень больших р ряды сходятся на'столько медленно,
что становятся бесполезными для практических вычислений, и здесь
пользуются поэтому представлениями этих же функций в виде рядов по
обратным степеням р. Действительно, можно показать, что уравнение Бессел»
формально удовлетвсгряется разложениями
Jpi9)= -]f Тр [^„(P)C0S9—Q^p)sin9], A3)
A^^P)=V^~[^i6(p)sin? + Q^(p)cos9], A4>
p Го->-1 Dp'-l)Dp^-9)' ,
^p^9)—^ ■ 2! (8p)s ' г
О rn^-i£izil Dp^-l)Dp^-9)DjP^-25) , ' '
Qp^} 8^ ■ зущз—: +•••' (i6>
где фазовый угол о дается выражением
f=9-{p\+{)l. an
Оказывается, однако, что эти ряды расходятся для всех значений р и»,
следовательно, не имеют в точности аналитических свойств тех функций^
которые они должны были бы представлять. С другой стороны, при
больших р первые члены быстро уменьшаются по величине, и в этом смысле
ряды являются «полусходящимися». Можно показать, что если прервать
разложения вблизи члена, где последующие члены начинают расти, или,
перед этим членом, то разложения дают приближенное значение функции,
причем можно оценить получающуюся ошибку. Чем больше р, тем ближе
значение суммы нескольких первых членов к истинному значению функции.
Поэтому такие представления называются асимптотическими.

Отметим, что при достаточно больших р
; V(P)^l/"f cos(p-i£±lr) A8)
__ jpl>>i, Ip1»'IpI.
iV^(p)c^|/"lsin(p-^£±i^). A9)
"Ha очень больших расстояниях от начала координат цилиндрические функции
первого и второго рода относятся друг к другу как косинус и синус,
«о затухают с ростом р благодаря множителю l/l/ip". Эти функции удобны
для представления стоячах цилиндрических волн.
По аналогии с показательными функциями можно построить линейную
комбинацию решений Jp(p) и Nj^(p), дающую функции, связанные с бегу'
щами волнами. Бесселевы функции третьего рода, или, как их чаще
называют, функции Ганкеля определяются соотношениями
H^i\9) = Jp(9)-\-iN^i9\ B0)
f^49)=M9) — i^p(9)- B1)
Из предыдущих формул легко найти, что для рчень больших р
H?(9)^}/'Je'^'~^^'\ B2)
7'2).
1р1»1, \9\:>\р1
2p + Ti
/ / * "Р -Г^ \
H;'if)^/le-'('—^'>. :B3)
К разложениям самих функций в ряд мы добавим для справок
некоторые наиболее важные рекуррентные формулы:
^р-1 ~Т~ ^р+1 ^^ "У ^р' ^24)
-^ = -^Z,_,-lz,,, B5)
-^1Р^^ЛрI = Р^^р-1' B?)
-^IpPZ^p)l=-p-^Zp^i- B7)
6.6. Поле круговых цилиндрических волновых функций. Об этом говорит сайт https://intellect.icu . Внутри
однородной изотропной области любое электромагнитное поле может быть пред-
<:тавлено линейной комбинацией элементарных волновых функций
^пш == е^Чп (/^2ir^'V)e ± ^'^^-*-*, B8)
^^^^ = ein^li^ {yWZTi^r) е± ibz-ш^ B9)
Для конечных областей, включающих ось г = 0, применимы лишь функции
{28); на больших расстояниях от источника должны применяться функции
<29), так как они асимптотически переходят, согласно B2), в радиально
расходящуюся волну. Каждая элементарная волна определяется тройкой
параметров п, й, Л. При ^ = 0 поле симметрично вокруг оси; при h=s.Q
распространение происходит лишь в радиальном направлении, и поле является
строго двумерным. Можно сказать, что функции вида B8) и B9)
представляют неоднородные плоские волны. Плоскости постоянной фазы
распространяются вдоль оси Z со скоростью, V = ш/а, где а — действительная

часть й, но амплитуды в этих плоскостях являются функциями г и Ь. Таки&
волны могут создаваться лишь источниками, находящимися на конечных
расстояниях от начала координат или же в средах с разрывами непрерывности.
Плоские волны, изученные в предыдущей главе, однородны в строгом смысле
слова, так как плоскости постоянной фазы являются также плоскостями
постоянной амплитуды. Они могут существовать лишь в бесконечных
однородных средах при бесконечно удаленных источниках возбуждения.
Из формул, выведенных в разделе 6.3, можно выразить импедансы и
компоненты векторов поля через волновую функцию ^:
7^1) _
Ы
U У/г2
/fe2
h^}r
yd) _ _H m^h
Z^z ' ' to •
/fe2
C0)
Er — — ^''^ ^ '
ap
c-d) _4_ ih дФ
;A)
Er = {k^
tB^ = 0.
/Z2L-, C1>
C2)
Подобным же образом, для поперечного электрического поля
dZni?)
а)[х
Vh^-k^^ Z,,(P)
Hr^ = ±iih
k^ — h^ г '
4^) = ±^;:. C3>
Ef' = 0, ■ C4>
Я?^ = (A;2 —/z2N. C5)
Если заданы начальные условия на некот1эрой плоскости или
цилиндрической поверхности, то решение образуется суперпозицией элементарных
волновых функций. Для фиксированных значений ш (или k) и /г для
результирующего поля получаются в цилиндрических координатах следующие
выражения:
Е^ = ih
1
а.
д<Ь.
О0
\
п
П ^г
~ ^ пЬп'^п^
п-
-оо
do
П = —00
оо
п
п = —со
^й = —7" 24 "^«'К —':-^"> 2л ^'^'Т?
п= ~<х>
оо
АЗ 1
\т
п = —со
C6>
« = — со JJ. = — 00
оо со
дг
Н,=
П — —оо
п= —оо
оо
H,={k^~h^) 2 К'^п,
п = —00
C7>
где «„ и Ьп—коэффициенты, определяемые из начальных условий.
Направление распространения положительно или отрицательно в зависимости от знака h^

ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ВОЛНОВЫХ ФУНКЦИИ
6.7. Построение из плоских волн. Если С измеряет расстояние вдоль
произвольной оси, направление которой по отношению к фиксированной
системе отсчета (л;, у, z) определяется единичным вектором п, то, согласно
разделам 5.1—5.6, простейший тип плоской волны можно представить
функцией
В которой постоянные Л и ш могут быть и
действительны и комплексны. Пусть
R—радиус-вектор, проведенный из начала координат в точку
наблюдения, прямоугольные координаты
которой лг, у^ Z. Тогда фаза волновой функции
в данный момент времени измеряется величиной
Е: = пН=я^-}-й^,_У-}-я^. B)
, Направляющие косинусы п^, Пу, п^ вектора п
удобнее выразить через полярные углы аир,
показанные на рис. 66:
Пд, = sin а cos р, Пу = sin а sin р, п^ = cos а, C)
Рис 66. Фаза элементарной;
плоской волны измеряется
вдоль оси С, направление
которой определяется
единичным вектором п. Точка
наблюдения имеет радиус-
вектор R.
откуда
ф = е^^ С^з ^'° " ^^^ Р+2/ sin а sin р+г cos a)-iiot^ /4")
Меняя параметры аир, можно придать оси
распространения любое направление. Каждому
направлению распространения сопоставляется амплитуда
^(а, Р), зависящая только от углов а и р. Так как уравнения поля в
рассматриваемом случае линейны, решение можно построить путем
суперпозиции плоских волн одной и той же частоты, но с различными направлениями
распространения и с соответствующими амплитудами ^):
6 {х,у, Z, t) = e-i^^t { da { d^gia, p) e*^' i^^^^ «'^'^^ ?+2/ ^m asinp+'. cos «j_ E^
Если углы действительны, то а изменяется в пределах от О до тг, а р от
О до 2т:. Такое решение с математической точки зрения отнюдь не является
самым общим, так как E) удовлетворяет волновому уравнению как при
действительных, так и при комплексных значениях параметров а и р, и
мы скоро обнаружим, что комплексные углы действительно должны быть
включены в рассмотрение, если мы хотим представить таким интегралом
любое поле.
При действительном ш волновая функция, определяемая равенством E),
является гармонической во времени. Для представления поля, которое на
определенной координатной поверхности изменяется со временем более
сложным образом, необходимо просуммировать или проинтегрировать E) по
параметру ш. Определим векторную постоянную распространения как
к = ^п, прямоугольные компоненты которой равны ,
k^ = k sin а cos р, k2 = k sin а sin р, k.^ = k cos a.
F).

так что элементарная плоская волновая функция может быть записана в виде
^_,gikR-»:to#^ G)
Внося G) в волновое уравнение
мы находим, что компоненты к должны удовлетворять единственному
соотношению
kl-\- k-j-}- ks=^ {ASOD^ -j- /{JLOO) = k^, (9)
a в остальном совершенно произвольны. Таким образом, из параметров k^,
^2> ^3» '^ можно выбрать произвольно любые три параметра, после чего
'Четвертый определится равенством (9). ^^
Предположим, что на плоскости z = 0 функция ^ задана:
^^^ix.y, 0,t)=f(^x,y;t).
Искомое решение будет
6 (х, у, 2, t) =
оо оо оо
—оо —оо —оо
S
где ki, k^ и (О—действительные переменные, ^а k^ — комплексная величина,
определяемая соотношением
к^=^-иа\г-[-1^ш—k{—k^i. A1)
Амплитудная функция g{k^^ ^2> ^) такова, что
со оо оо *
fipc,y,t) = {£fi J J ]g{k,,k^,,^)eHKv^^i'*y-^t)dk,dk^d^. A2)
— оо —оо -S-oo
Если /(л:, у, t) и ее первые производные кусочно непрерывны и абсолютно
интегрируемы, то g{k^^ k^, ш) является представлением Фурье функции
J{x,y^ t) и равна
оо оо оо
3
§(A;i, А;2, ш) = A)т J J j f(x, у, t)e-i И'^^+^'^у^*) dx dy dt A3)
—oo —oo —oo
При 3 = 0 каждая гармоническая компонента распространяется вдоль оси z
х:о скоростью "О = (»/;feg, но так как к^^=у ш'''{Ае — k\ — k^ не является
линейной комбинацией ш, ki и ftg, то начальное возмущение /(л:, у^ О» очевидно,
не будет распространяться без искажения формы даже в отсутствие дисси-
пативного члена. Точнее говоря, общего решения уравнения (8) вида
../ЫуУ,^ ) не существует.1

Равным образом можно было бы задать функцик) ^ (х, у, z, t) во
всем пространстве в начальный момент времени tt=0. Пусть, например,
*^(х,у, Z, 0) = f(x, у, z). Поле представляется в виде тройного интеграла
оо оо со
—ся —с» —оо
% котором k^y k^ k^—действительные переменные, а ш — комплексна^'
величина, определяемая из (9):
m=:^b-±LiYo^{iA-{-^i-\-k^—b^, A5)
где а==1/|Л{Ае, b =^о\Чг (см. стр. 264). Амплитудная или весовая функция
^(^1, ^2. ^з) такова, что
оо оо оо-
/ (X, у, Z) = (~р j j j g{k„ Й2, k^) ei (*i»+A^+A-,.) dk, dk^ dk^. A6)
-c» —oo —00
Если /(jc, _y, z) обладает необходимыми аналитическими свойствами,
^о представление Фурье существует и имеет вид
_ оо оо оо
3
^(^1,А;2,А;з)==(~)з-J J ^f{x,y,z)e-^0^-^-^J<^y^i^^-)dxdydz. A7)
-оо —с» —-оо
Мы рассматривали в предыдущих разделах только положительные или
расходящиеся волны, а начальные условия налагались только на самую
функцию ^. Если определенные условия налагаются как на функцию <|<, так
« на ее проиаводную^ по одному из четырех аргументов, необходимо
включить в рассмотрение и положительные и отрицательные волны в
<:оответствии с методами, описанными для одномерного случая в разделах
,5.8, 5.9 и 5.10.
6.8. Интегральные представления функций Z„(p). В произвольной
системе цилиндрических координат а^ и^, z волновому уравнению F),
»стр. 310, удовлетворяет ■ функция
^iL = /(ai, u'^)]eihz-^t^ A8)
где h и о»—действительные или комплексные постоянные. В обозначениях
предыдущего параграфа А =-^3 = Л cos а, а так как ^ == |Л{Аеш*-}-'Р-^о»» то
угол а, образованный направлением составляющих плоских волн с осью z,
также постоянен. Другими словами, элементарная цилиндрическая волна A8)
может быть разложена на однородные плоские волны, направления
которых образуют круговой конус вокруг оси z, но угол раствора конуса
в общем случае комплексный:
fiu\ и^) = ( g(^) е^^ *>'" « («""^ ^+У **" ^) где хну следует выразить через цилиндрические координаты и^ и м^.
В системе координат кругового цилиндра мы имеем x=,rcqsb,
y = rsmb, откуда .,. ,
iccos р-h 3^ sin purees F ^^р).

в обозначениях предыдущего параграфа мы получаем далее
krsina = rYk^~fi^=p, B1)
так что
/(г, 6) = j gi^)e^P «=«« (fi-P) dp. B2)
Заменим теперь в B2) переменную интегрирования |3 на 9 = ? — ^ ^
заметим, что так как переменные в уравнении для /(г, 6) разделяются, то
^(cp-f-6) можно представить как произведение двух функций, каждая из
которых зависит лишь от одной переменно^:
^(Р)=^(? 4-6) = ^! (9)^2F); B3)
следовательно,
/(Л 6) =/1 (ОЛ @) = g2F) г ^1 (?) ^'^ -^"^ "^ ^?. B4)
Угловая функция g2{b) должна быть, очевидно, некоторой линейной
комбинацией показательных функций е*Р^ и e-fi'^, а амплитудный или весовой
множитель ^j (ср), должен быть выбран так, чтобы радиальная функция/^ (г)
удовлетворяла уравнению D), стр. 314, которое при аргументе р имеет вид
Подставим в B5) интеграл
* /i(p) = /^i(?)^^P"^'Pcf?. B6)
Дифференцируя под знаком ин/еграла, получим
^ = Г / cos w ^1 (и) е*Р"' "Р й?9. f^^ = — f c°s^ '■? ^1 (?) ^^'^ ''''^ "^ ^?J B^)
следовательно, согласно B5),
Г (р2 sin^ 6 -4- /р cos 9—/2) ^^ (<р) е*> «^«'^ -f йГсг = 0. B8)
Это уравнение мы преобразуем далее интегрированием по частям.
Уравнение B8), очевидно, эквивалентно такому:
[gi (?) "-^2 h Я^^1 (?) ^'^ ^""^ J d? == 0. B9)
Е^ли Р и Q — две функции от ср, то
что ь применении.к B9) дает
Первый из этих двух интегралов может быть обращен в нуль, если
выбрать контур интегрирования Так, чтобы выражение под знаком
производной имело одно и то )ке значение в начальной и конечной точках; второй
интеграл обращается в нуль, если подинтегральное выражение равно нулю.

СлеАобательно, B6) является решением урабнения Бессиля, если gi^o) удо-
йле-ГеЬря'ет ура Биению
'^'f + P^^l-O, ' ' : C2)
а путь интегрирования таков, что
Уравнению C2), очевидно, удовлетворяет функция e^Pf, Однако, как мы
увидим, для того, чтобы /j (р) была тождественна с цилиндрической
функцией Zja(p>, определенной в ^разделе 6.5, следует добавить постоянный мно-
_ . л
1 —гр —
житель — е 2. Таким образом, полагая
. 1 ipU—^)
C4)
мы получим интегральное представление цилиндрических функций по Зоммер-
фе^ьду 1):
' Zp (Р) = -^-^^— J е^ ^Р '"'^ * +-^*^ йГс?, C5)
с
где контур С таков, что
(р sin о ~\~ р) е* (Р *^os I = О* C6)
Различие между р^^зными. частными решениями Jj,(p), Л^(р), ^j,(p)
сведено теперь к различию в контурах интегрирования в плоскости комплекс^
ного переменного о* Рассмотрим сначала самый элементарный случай, когда
/7 = п является целым числом. Тогда очевидно, что если интегрирование
производится по действительной оси с? от —ir до -|-7г или по любому
другому отрезку длины 2-^, то условие C6) выполняется, и определенный
интеграл
Jfi (Р) = -^ J ^^^ """^ '^"^*"* ^'-Р ^37>
являете^ решением уравнения Бесселя. В том, что функция,

продолжение следует...

Продолжение:

Часть 1 Цилиндрические волны, Уравнения цилиндрического поля Волновые функции кругового и эллиптического цилиндра
Часть 2 - Цилиндрические волны, Уравнения цилиндрического поля Волновые функции кругового и
Часть 3 - Цилиндрические волны, Уравнения цилиндрического поля Волновые функции кругового и