Понятие поля, дифференциальные и интегральные характеристики скалярного и векторного поля , мат понятия - градиент, циркуляция, ротор, дивергенция

Привет, Вы узнаете о том , что такое понятие поля, Разберем основные их виды и особенности использования. Еще будет много подробных примеров и описаний. Для того чтобы лучше понимать что такое понятие поля, градиент, ротор, дивергенция, формулы векторной алгебры и анализа , настоятельно рекомендую прочитать все из категории Теория электромагнитного поля.

1. понятие поля

Все пространство пронизано полями. Мы живем в гравитационных полях Земли и. Солнца. Нас окружают и пронизывают электромагнитные поля. Свет это тоже электромагнитное поле. Кругом действуют поле атмосферного давления, поле температур и т. д. Что же такое поле? Поле это любая физическая величина, которая в разных точках пространства принимает разные значения. А что такое физическая величина? Это величина, которая количественно может быть измерена. Математически поле описывается ункцией пли, более обще, совокупностью функций координат и времени. Так, поле температур есть скалярное поле и описывается одной функцией координат и времени. Гравитационное поле есть векторное поле и соответственно описывается тремя скалярными функциями координат и времени. Электромагнитное поле, как увидим далее, описывается несколькими векторными функциями координат и времени. Структура полей и процессы, происходящие в полях, описываются дифференциальными уравнениями в частных производных, поскольку независимыми переменными являются пространственные координаты X, у, z и время t. И это описание поля есть точное его описание. Более точного описания поля чем то, что дает дифференциальное уравнение, не существует. Мы увидим, что электромагнитное поле описывается системой дифференциальных уравнений в частных производных — уравнениями Максвелла.

2. Основная характеристика скалярного поля

Основной характеристикой скалярного поля является
вектор

где
—дифференциальный оператор „набла", или оператор Гамильтона;
grad <р — вектор, направленный в сторону быстрейшего возрастания
функции по этому направлению. Вектор grad <р, поскольку он не зависит от
направления координатных осей и положения их начала, есть инвариантная
величина. Ясно, что инвариантной величиной не может
д являться ни , ни или-^-, поскольку эти производные функции
зависят от направления координатных осей. Поэтому эти производные
в отдельности не могут быть характеристиками поля.

3. Основные характеристики векторного поля

Основными характеристиками векторного поля A(.v, у , z, t) являются:
div А — расхождение или расходимость вектора С точки зрения физики дивергенция векторного поля является показателем того, в какой степени данная точка пространства является источником или стоком этого поля:
rot А — вихрь , ротор или ротация вектора;

циркуляция - Физическая интерпретация Работа поля по замкнутому контуру

Циркуляцией векторного поля по данному замкнутому контуру Γ называется криволинейный интеграл второго рода, взятый по Γ. По определению

где — векторное поле (или вектор-функция), определенное в некоторой области D, содержащей в себе контур Γ, — бесконечно малое приращение радиус-вектора вдоль контура. Окружность на символе интеграла подчеркивает тот факт, что интегрирование производится по замкнутому контуру. Приведенное выше определение справедливо для трехмерного случая, но оно, как и основные свойства, перечисленные ниже, прямо обобщается на произвольную размерность пространства.

Если F — некоторое силовое поле, тогда циркуляция этого поля по некоторому произвольному контуру Γ есть работа этого поля при перемещении точки вдоль контура Г. Отсюда непосредственно следует критерий потенциальности поля: поле является потенциальным когда циркуляция его по произвольному замкнутому контуру есть нуль. Или же, как следует из формулы Стокса, в любой точке области D ротор этого поля есть нуль.

Как известно,

Ясно, что каждое слагаемое в отдельности, а также производные вида и т. д. не могут являться инвариантными величинами,
т. е. не могут быть характеристиками поля.
По определению,

Векторное поле, у которого div А = 0 , называется полем, свободным
от источников или соленоид'альным (трубчатым) полем.
Векторное поле, у которого г о 1 А = 0 , называется безвихревым
или потенциальным.

Диверге́нция (от лат. divergere — обнаруживать расхождение) — дифференциальный оператор, отображающий векторное поле на скалярное (то есть, в результате применения к векторному полю операции дифференцирования получается скалярное поле), который определяет (для каждой точки), «насколько расходится входящее и исходящее из малой окрестности данной точки поле», точнее, насколько расходятся входящий и исходящий потоки.

Если учесть, что потоку можно приписать алгебраический знак, то нет необходимости учитывать входящий и исходящий потоки по отдельности, все будет автоматически учтено при суммировании с учетом знака. Поэтому можно дать более короткое определение дивергенции:

дивергенция — это линейный дифференциальный оператор на векторном поле, характеризующий поток данного поля через поверхность достаточно малой (в условиях конкретной задачи) окрестности каждой внутренней точки области определения поля.

Оператор дивергенции, примененный к полю F , обозначают как

или

∇⋅F .

С точки зрения физики (и в строгом смысле, и в смысле интуитивного физического образа математической операции) дивергенция векторного поля является показателем того, в какой степени данная точка пространства (точнее достаточно малая окрестность точки) является источником или стоком этого поля:

divF>0 — точка поля является источником;

divF<0 — точка поля является стоком;

divF=0 — стоков и источников нет, либо они компенсируют друг друга.

Наверное, наиболее наглядной и простой общей геометрической интерпретацией дивергенции (помимо самого определения, которое тоже достаточно геометрично) является интерпретация с использованием для изображения векторного поля его интегральных линий (называемых также силовыми линиями в случае полей силовой природы или линиями тока в случае поля скорости течения жидкости или газа). Об этом говорит сайт https://intellect.icu . Точки, где появляются новые линии (с направлением от этой точки) являются точками, где дивeргенция поля положительна; где линии кончаются (с направлением линии к точке), там дивергенция отрицательна. Где количество линий постоянно вдоль их хода, то есть где начинается столько же линий, сколько заканчивается, там дивергенция поля нулевая.

• Эта интерпретация основана на соглашении, в соответствии с которым на рассматриваемые линии наложено условие, что густота линий вблизи данной точки пропорциональна величине векторного поля в этой области (при этом умозрительно можно — для того, чтобы описание поля этими линиями было вполне детальным, — считать густоту линий сколь угодно большой, и даже бесконечной, важна только пропорциональность густоты где-то величине вектора поля там же). В противном случае, конечно, по крайней мере в случае непрерывного распределения источников (зарядов), любую интегральную линию поля можно было бы продолжать и представление об их начале или конце где-то было бы мало осмысленным, кроме разве что мест дискретных, а не непрерывно распределенных, источников.

Если в качестве векторного поля (на двумерном пространстве) взять совокупность направлений наискорейшего спуска на земной поверхности, то дивергенция покажет местоположение вершин и впадин, причем на вершинах дивергенция будет положительна (направления спуска расходятся от вершин), а на впадинах отрицательная (ко впадинам направления спуска сходятся). Впрочем, это никак не определяет знака или равенства нулю дивергенции такого поля на склонах.

Дивергенция — одна из наиболее широко употребимых в физике операций. Представляет собой одно из достаточно немногих базовых понятий теоретической физики и является одним из базовых элементов физического языка.

В стандартной формулировке классической теории поля дивергенция занимает центральное место (в альтернативных формулировках может не находиться в самом центре изложения, но все равно остается важным техническим инструментом и важной идеей).

В электродинамике дивергенция входит в качестве главной конструкции в два из четырех уравнений Максвелла. Основное уравнение теории ньютоновской гравитации в полевом виде также содержит в качестве основной конструкции дивергенцию (напряженности гравитационного поля). В тензорных теориях гравитации (включая ОТО, и имея в виду в первую очередь ее) основное полевое уравнение (в ОТО, но как правило — так или иначе — и в альтернативных современных теориях тоже) также включает в себя дивергенцию в некотором обобщении. То же можно сказать о классической (то есть не квантовой) теории практически любого из фундаментальных полей, как экспериментально известных, так и гипотетических.

Помимо этого, как видно из приведенных выше примеров, дивергенция применима и в чисто геометрическом плане, а также — особенно часто — к различным материальным потокам (дивергенция скорости течения жидкости или газа, дивергенция плотности электрического тока и т.п.).

Ротор, ротация

Ро́тор, рота́ция или вихрь — векторный дифференциальный оператор над векторным полем.

Обозначается разными способами:

• rot (наиболее распространено в русскоязычной литературе),
• curl (в англоязычной литературе, предложено Максвеллом),
• ∇× — как дифференциальный оператор набла, векторно умножаемый на векторное поле, то есть для векторного поля F результат действия оператора ротора, записанного в таком виде, будет векторным произведением оператора набла и этого поля: ∇×F.

Результат действия оператора ротора на конкретное векторное поле F называется ротором поля F или просто ротором F и представляет собой новое векторное поле:

rot⁡F≡∇×F

Поле rot⁡ F (длина и направление вектора rot⁡F в каждой точке пространства) характеризует в некотором смысле (см. далее) вращательную составляющую поля F в соответствующих точках.

Ротор векторного поля a — есть вектор, проекция которого на каждое направление n есть предел отношения циркуляции векторного поля по контуру L , являющемуся краем плоской площадки ΔS , перпендикулярной этому направлению, к величине этой площадки (площади), когда размеры площадки стремятся к нулю, а сама площадка стягивается в точку:

.

Направление обхода контура выбирается так, чтобы, если смотреть в направлении n , контур L обходился по часовой стрелке.

Операция, определенная таким образом, существует строго говоря только для векторных полей над трехмерным пространством. Об обобщениях на другие размерности — см. ниже.

Альтернативным определением может быть непосредственное вычислительное определение дифференциального оператора, сводящееся к , что может быть записано в конкретных координатах как это показано ниже.

Иногда можно встретиться с таким альтернативным определением

,

где O — точка, в которой определяется ротор поля a ,

S — какая-то замкнутая поверхность, содержащая точку O внутри и в пределе стягивающаяся к ней,

dS — вектор элемента этой поверхности, длина которого равна площади элемента поверхности, ортогональный поверхности в данной точке, знаком обозначено векторное произведение,

V — объем внутри поверхности S.

Это последнее определение таково, что дает сразу вектор ротора, не нуждаясь в определении проекций на три оси отдельно.

Если v(x,y,z) — поле скорости движения газа (или течения жидкости), то — вектор, пропорциональный вектору угловой скорости очень маленькой и легкой пылинки (или шарика), находящегося в потоке (и увлекаемого движением газа или жидкости; хотя центр шарика можно при желании закрепить, лишь бы он мог вокруг него свободно вращаться).

Конкретно , где ω — эта угловая скорость.

• Простую иллюстрацию этого факта — см. ниже.

Эта аналогия может быть проведена вполне строго (см. ниже). Основное определение через циркуляцию, данное выше, можно считать эквивалентным полученному таким образом.

• Для векторного поля v скоростей движения точек вращающегося твердого (абсолютно твердого) тела одинаков всюду по объему этого тела и равен (вектору) удвоенной угловой скорости вращения (подробнее — см. выше). В частном случае чисто поступательного движения или покоя, этот ротор может быть равен нулю, как и угловая скорость, тоже для всех точек тела.
• Если бы скорости автомобилей на трассе описывались векторным полем, и разные полосы имели разные ограничения по скорости движения, ротор на границе между полосами был бы ненулевым.
• Закон электромагнитной индукции Фарадея, одно из уравнений Максвелла, просто записывается (в дифференциальной форме) через ротор: ротор электрического поля равен скорости изменения магнитного поля (со временем), взятой с обратным знаком.
• Четвертое уравнение Максвелла — закон Ампера — Максвелла — также записывается в дифференциальной форме с использованием ротора: ротор напряженности магнитного поля равен сумме плотностей тока обычного и тока смещения .

Нужно иметь в виду, направление ротора может не соответствовать направлению вращения поля (пусть это поле скоростей жидкости), которое представляется очевидным, соответствующим направлению течения. Он может иметь противоположное течению направление, и, в частности, ротор может оказаться равным нулю, хотя линии тока загибаются или даже представляют собой точные окружности). Другими словами, направление искривления векторных линий векторного поля никак не связано с направлением вектора ротора этого поля.

Рассмотрим такой пример. Пусть поле скорости течения жидкости v определено формулой:

,

.

Если , течение сносит частицу справа налево (то есть для наблюдателя сверху по оси z — против часовой стрелки), однако если и f(y) — убывающая функция, тогда ротор всюду направлен вниз, что означает, что каждая частица жидкости закручивается ПО часовой стрелке (при этом одновременно еще и деформируясь).

Сказанное означает, что среда как целое может вращаться вокруг наблюдателя в одну сторону, а каждый ее маленький объем — в противоположную сторону, или не вращаться вообще.

4. О дифференциальных и интегральных характеристиках поля и наглядном его представлении

Определенные выше характеристики поля характеризуют поле в точке, в каждой точке в отдельности. Поэтому они являются дифференциальными характеристиками. Наиболее простым примером дифференциальной характеристики является плотность вещества Ясно, 'что как-то наглядно изобразить то, что непосредственно относится к точке, невозможно. Однако дифференциальные характеристики
имеют физический смысл. Следовательно, физический смысл и наглядность это не тождественные понятия. Физический смысл это более широкое понятие, чем наглядность, так как существуют величины, имеющие физический смысл, но их наглядно представить невозможно.

Наглядно изобразить можно характеристики поля, относящиеся к области пространства конечных размеров. Так, наглядное представление о скалярном поле температур Т(х, у , z) дает семейство кривых

Т (х, у , z) = const

в некоторой плоскости; эти кривые называются изотермами (рис. 1) На этом же рисунке изображены изобары — семейство кривых равного давления р(х, у , z) = const.
Примером наглядного представления скалярного поля в теории электромагнитного поля являются эквипотенциальные поверхности

Очевидно, что чем больше по абсолютной величине , тем гуще проходят изотермы и изобары. Точно также, чем больше эквипотенциальные поверхности.
• Векторные поля изображаются при помощи векторных линий. Векторная линия это линия, в каждой точке которой касательная совпадает с направлением' вектора в этой точке. Густота векторных линий дает представление о величине вектора. Пример наглядного изображения векторного поля приведен на рис. 2. Абсолютная величина вектора А, т . е . |АІ, в левой части рисунка больше, чем в правой части.

5. Интегральные характеристики поля

Интегральная характеристика векторного поля А, соответствующая дифференциальной характеристике div .4, есть поток Ф вектора
А через замкнутую поверхность (рис. 3), т. е.

dS=ndS; n - нормаль к поверхности S. Интегральная характеристика векторного поля А, соответствующая дифференциальной характеристике roi А, есть циркуляция
Ц, равная криволинейному интегралу по замкнутому контуру от проекции вектора А па касательную в каждой точке контура
(•рис. 4), т. е.

—единичный вектор по касательной к контуру.
Связь между интегральными и дифференциальными характеристиками поля устанавливается теоремой Остроградского—Гаусса и формулой Стокса.
Теорема Остроградского—Гаусса формулируется соотношением

где V — объем, ограниченный замкнутой поверхностью 5. Отсюда получаем

Из данного определения понятия div А сразу следует инвариантность этой характеристики поля. Формула Стокса имеет вид

где 5 — произвольная поверхность, опирающаяся на контур /, с направлением обхода, указанным на рис. 5. Раз и навсегда условимся, как это обычно делается в математике, направление обхода считать положительным, если нормаль п к поверхности 5 при обходе все время остается слева.
Из последней формулы, получаем

При предельном переходе поверхность 5 берем в виде площадки, ограниченной контуром / и при этом площадку поворачиваем до тех пор, пока |rot„A| «е примет максимального значения, равного (rot А[. Из данного определения понятия rot А сразу следует инвариантность этой характеристики поля.

формулы векторной алгебры и анализа ,

1. Разложение двойного векторного произведения:

2. Теорема Гаусса — Остроградского

где dS — элемент замкнутой поверхности S, ограничивающей объем V. Вектор dS направлен по внешней нормали к поверхности.
3. Теорема Стокса

где d\ — элемент замкнутого контура L, ограничивающего поверхность S. Направление обхода контура L составляет с направлением
элемента поверхности интегрирования dS правовинт.овую систему.
4.
где dS — элемент поверхности S, ограничивающий объем V, направленный по внешней нормали к поверхности.

5

6.
7.
8.
9. Обозначение:

10.
11.

12.
13.
14.
15.

Исследование, описанное в статье про понятие поля, подчеркивает ее значимость в современном мире. Надеюсь, что теперь ты понял что такое понятие поля, градиент, ротор, дивергенция, формулы векторной алгебры и анализа и для чего все это нужно, а если не понял, или есть замечания, то не стесняйся, пиши или спрашивай в комментариях, с удовольствием отвечу. Для того чтобы глубже понять настоятельно рекомендую изучить всю информацию из категории Теория электромагнитного поля