Лекция
Привет, Вы узнаете о том , что такое уравнение пуассона, Разберем основные их виды и особенности использования. Еще будет много подробных примеров и описаний. Для того чтобы лучше понимать что такое уравнение пуассона, уравнение лапласа, статическое поле, стационарное поле, электростатика , настоятельно рекомендую прочитать все из категории Теория электромагнитного поля.
Статические поля — это поля, которые не зависят от времени. Они описываются уравнениями Максвелла, в которых все производные по времени равны нулю, т. е. 
В этом случае уравнения Максвелла разбиваются на две независимые пары уравнений:
В первой паре уравнений фигурируют величины, характеризующие лишь электрическое поле. Во второй паре — величины, характеризующие лишь магнитное поле. Это означает, что при 
электричество и магнетизм — явления разные. Первая пара уравнений составляет основу электростатики; вторая пара уравнений является исходной системой уравнений магнитостатики. К этим парам уравнений для их решения должны быть добавлены еще и соответствующие материальные уравнения. В данной лекции мы начнем изучать электростатику, которая, следовательно, определяется уравнениями
и в простеишем случае изотропных сред материальным уравнением
Уравнение 1 утверждает, что электро
статическое поле безвихревое.
Поскольку
то можно положить ,
(1)
Скалярная функция называется электростатическим потенциалом или просто потенциалом.
Представление электростатического поля формулой (1) означает, что это поле потенциально. Знак «—» — результат соглашения. Он поставлен для того, чтобы <р имела смысл потенциальной
энергии. Точнее, чтобы работа, которую совершают внешние силы (против сил поля) при перемещении единичного положительного заряда из одной точки поля в другую, например из точки М{ в точку Мг, равна была увеличению потенциальной энергии этого заряда. Согласно (1) эта работа равна
(2)
Из формулы (2) следует, что указанная работа не зависит от пути, по которому происходит перемещение, а зависит только от начального и конечного положения заряда. Следовательно, при перемещении заряда по замкнутой кривой работа будет равна нулю.
Формулой (1) функция ср определяется не полностью, а с точностью до произвольной постоянной. Однако в большинстве случаев интересуются разностью потенциалов, и произвольная постоянная
выпадает. Произвольная постоянная оказывается равной нулю в том случае, если рассматриваемое электростатическое поле создается зарядами, находящимися в ограниченной области про
слранства. Тогда потенциал в бесконечности равен нулю, а в точке A4,-находящейся на конечном расстоянии,
(3)
где М м — т о ч к а в бесконечности.
Для наглядного представления электростатического поля, а также для расчетов вводят в рассмотрение понятия эквипотенциальных поверхностей и векторных линий поля. Эквипотенциальные поверхности определяются уравнением
откуда получаем, что на эквипотенциальной поверхности
где d\ — элемент длины линии на этой же поверхности.
Следовательно, векторные линии Е перпендикулярны эквипотенциальным поверхностям. Найдем уравнения векторных линий Е. Пусть dl' — элемент длины линии (рис. 1).
Поскольку векторы Е и dV коллинеарны, то
есть 
то 
откуда получаем
Если известны Ex, Ey, Ez как функции координат-x, y, z, то решив эту систему дифференциальных уравнений, можно определить искомые векторные линии Е.
При классификации ЭМ явлений отмечалось, что электрическое поле, создаваемое неподвижными электрическими зарядами, принято называть электростатическими. В таком поле отсутствуют любые изменения зарядов и полей во времени, поэтому производные по времени от всех величин равны нулю ∂ ∂t = 0 , в том числе и j = −∂ρ ∂t = 0. Система уравнений Максвелла для этого случая разбивается на две независимые пары уравнений, одна из которых описывает электростатическое поле (2.21), а вторая магнитостатическое поле (2.22).
Третье уравнения Максвелла в интегральной форме может быть использовано для нахождения электростатического поля, создаваемого симметричными равномерно заряженными телами. Однако возможности такого метода ограничены небольшим кругом простых задач, поэтому в большинстве случаев для отыскания электростатических полей используют уравнения Максвелла в дифференциальной форме.
Преобразуем эти уравнения к удобному для решения виду. Рассмотрим некоторую область пространства V, состоящую из двух подобластей V1 и V2 , ограниченных поверхностями S1 и S2 (рис.6.1). Будем полагать, что все источники поля – в данном случае электрические заряды с объемной плотностью ρ(x, y, z) – сосредоточены в области V1, а область V2 свободна от
зарядов. Поля во всей рассматриваемой области V описываются следующими уравнениями Максвелла:
(6.1)
. (6.2)
Проанализируем эти уравнения. Равенство (6.2) говорит о том, что искомое электрическое поле не имеет вихревых компонент. Поэтому в силу (Б.22) можно полагать, что вектор напряженности поля Er
является градиентом некой вспомогательной скалярной функции ϕ :
(6.3)
которая носит название электрического скалярного потенциала.
Подставляя (6.3) в (6.1) получаем уравнение относительно функции ϕ:
, (6.4)
которое в предположении однородности среды в обеих рассматриваемых областях преобразуется к следующему виду:
, (6.5)
. (6.6)
При написании уравнений (6.5) и (6.6) использован символический оператор Лапласа (лапласиан) (Б.17). Первое из этих уравнений, называемое уравнением Пуассона, позволяет находить скалярный электрический потенциал в области, содержащей заряды, а второе –
уравнение лапласа – предназначено для отыскания электростатического поля в области, свободной от зарядов.
Рисунок 6.2
Можно показать, что решение
уравнение пуассона для неограниченной области пространства (рис.6.2) имеет вид
где rr и rr′ – радиусы-векторы точки наблюдения M и точки истока M′ соответственно; V – область, где сосредоточены заряды.
Рассмотрим теперь, какой физический смысл имеет электрический скалярный потенциал. Для этого найдем приращение потенциала вдоль кривой L (рис.6.2) при перемещении точки на расстояние dl :
Теперь проинтегрируем левую и правую части полученного равенства вдоль L от точки 1 до точки 2:
.
Поскольку dϕ есть полный дифференциал функции ϕ , то интеграл в левой части равенства не зависит от пути интегрирования и определяется значением функции в конечных точках.
, (6.3)
следовательно, разность потенциалов в точках 1 и 2 определяется выражением:
. (6.4)
Рисунок 6.3
Сравнивая полученное равенство с выражением (1.28), приходим к выводу, что разность потенциалов между точками 1 и 2 есть ничто иное, как электрическое напряжение между этими точками. Исходя ихфизического смысла напряжения, можно заключить, что разность потенциалов между точками 1 и 2 – это работа электрических сил по перемещению единичного заряда из точки 2 в точку 1. Поле, обладающее свойством (6.3), принято называть потенциальным. Следовательно, электростатическое поле является потенциальным полем. Потенциал бесконечно удаленной точки принято считать равным нулю,
поэтому, удаляя точку 2 на ∞ , из (6.4) можно найти потенциал поля в точке 1:
, (6.5)
откуда следует, что потенциал электрического поля в заданной точке есть работа электрических сил по перемещению в нее из ∞ единичного заряда q0 .
Отдельно остановимся на свойствах проводников в электростатическом поле. Проводники отличаются тем, что в них имеются свободные электрические заряды, которые под воздействием электрического поля приходят в движение, то есть в них появляется ток проводимости с объемной плотностью j E
r r
σ = . Об этом говорит сайт https://intellect.icu . Поскольку в электростатике принято считать 0 ≡ j
r
, то при σ ≠ ∞ необходимо положить E ≡ 0 , т.е. в проводниках электростатическое поле отсутствует.
Все свободные заряды проводящего тела скапливаются на его поверхности, где занимают такое равновесное положение, при котором создаваемые ими поля внутри тела взаимно компенсируются. Поскольку все электрические заряды расположены на поверхности проводника, то в данном случае для характеристики заряженного металлического тела можно пользоваться поверхностной плотностью заряда σs .
Нетрудно показать, что на поверхности проводника отсутствует тангенциальная компонента вектора Er . Действительно, если бы она была не равна нулю 0 ≠ τ Er , то существовал бы поверхностный ток, чего не допускается в электростатике. Отсюда следует, что все силовые линии поля Er на поверхности проводника перпендикулярны к ней. Поскольку 0 = τ E r , то все точки поверхности имеют одинаковый потенциал, т.е. поверхности проводника в электростатике эквипотенциальны.
Очевидно, что для придания разным проводникам одного и того же потенциала ϕ потребуется внести на них разную величину заряда Q. С этой
точки зрения для характеристики каждого проводящего тела ввели понятие электрической емкости, определяемое как
(6.6)
По определению электрическая емкость – это количество заряда, которое требуется передать проводнику, чтобы зарядить его на одну единицу потенциала.
В системе СИ емкость измеряется в Фарадах : C[Фарада] = Кл В.
Систему из двух проводников называют конденсатором, а емкость конденсатора определяют, как
, (6.7)
где Q и U12 должны иметь один знак.
Нетрудно показать, что энергия конденсатора равна:
. (6.8)
Источником стационарного ЭМП является неизменный во времени ток проводимости , 0 ≠ j
r
при этом считается, что все источники и векторы поля не зависят от времени (∂ ∂t = 0 , кроме ∂ρ ∂t = C = const ). Уравнение Максвелла для этого случая имеют вид:
В этом случае электрические и магнитные поля уже не являются независимыми, как в случае статических полей. Связь между ними осуществляется законом Ома 
Уравнения для стационарного электрического поля совпадают с аналогичными уравнениями для случая электростатики, поэтому мы и здесь можем
использовать понятие электрического потенциала:
Однако здесь 
, поэтому мы не можем считать напряженность электрического поля внутри проводников, равной нулю, а поля на поверхности проводников – эквипотенциальными. Чтобы выяснить структуру электрического поля внутри проводящей среды, рассмотрим уравнение непрерывности, которое для данного случая имеет вид:
или
(6.9)
Подставив сюда плотность тока из закона Ома 
, получим:
(6.10)
а для однородной среды, где σ = Const :
(6.11)
Мы опять пришли к скалярному уравнению Пуассона, относительно скалярного потенциала электрического поля в проводнике.
Если истоков тока в рассматриваемой области нет ( 
), то данное уравнение переходит в уравнение Лапласа:
Δϕ = 0 , (6.12)
аналогичное случаю статистических полей.
Т.о. в средах с конечной проводимостью можно использовать полученное уравнение для расчета напряженности электрического поля и плотности тока в проводнике.
Рассмотрим теперь магнитное поле, возбуждаемое токами проводимости.
Из первого уравнения Максвелла можно найти напряженность магнитного поля H
r
. Для этого применим операцию rot к обеим его частям:
(6.13)
Преобразуем левую часть полученного равенства с помощью тождества (6.23):
t (6.14)
что позволяет получить уравнение Пуассона относительно напряженности поля Hr в векторной форме:
(6.15)
Можно показать, что решение данного уравнения для безграничного пространства имеет вид:
(6.16)
Чтобы получить представленное решение уравнения векторного уравнения Пуассона, необходимо представить вектор Hr в виде разложения по координатным проекциям и разбить тем самым векторное уравнение на три ординатным проекциям и разбить тем самым векторное уравнение на три скалярных. Применив затем для решения полученных скалярных уравнений известные соотношения и объединив их, можно получить искомую формулу (6.16). Наличие дифференциальной операции j r
rot под знаком интеграла в формуле (6.16) затрудняет ее применение для решения уравнения (6.15). Поэтому, как и в случае электростатики, для облегчения решения задачи вводят вспомогательную векторную функцию Ar , которая называется векторным магнитным потенциалом:
(6.17)
Подставляя отсюда H Br rμ= 1 в 1-е уравнение Максвелла, имеем:
. (6.18)
Если предположить, что среда в рассматриваемой области пространства однородна, то есть μ = Const , то последнее уравнение преобразовывается к виду:
Преобразуем левую часть полученного равенства с помощью векторного тождества (Б.23), в результате чего получим:
. (6.19)
Введенный выражением векторный потенциал Ar определяется с точностью до градиента произвольной скалярной функции координат Ψ. Действительно, если к введенному потенциалу Ar
прибавить gradΨ, то новый потенциал A′ = A + gradΨr r также будет удовлетворять равенству (6.17), поскольку rot gradΨ = 0 . Для устранения этой неоднозначности предположим, что
0 div = Ar , тогда равенство (6.19) примет вид:
. (6.20)
Таким образом, и в этом случае мы получили векторное уравнение Пуассона, только теперь относительно векторного магнитного потенциала. Это уравнение выгодно отличается от (6.15) тем, что в правой его части нет дифференциальной операции rot. Решение (6.20) можно записать в виде:
. (6.21)
В области, где 0 = jr
, уравнение Пуассона превращается в уравнение Лапласа:
. (6.22).
С помощью векторного потенциала достаточно просто выразить еще один важный параметр магнитного поля – магнитный поток:
. (6.23)
Отсюда следует, что магнитный поток через поверхность S численно равен циркуляции вектора Ar по контуру L, на который опирается эта поверхность. При выводе последнего соотношения для преобразования поверхностного интеграла в контурный была использована теорема Стокса. Для проводников с линейным током величина отношения создаваемого им магнитного потока к силе тока I называется индуктивностью:
которая не зависит от I и является характеристикой самого проводника.
Полагая e = const и подставляя 
в уравнение I I I , получаем
или
( 4 )
где
—оператор Лапласа.
Соотношение (4) — это уравнение Пуассона; в тех областях пространства где нет зарядов, т. е. р = 0, уравение Пуассона превращается в уравнение Лапласа
(5)
Таким образом, система уравнений Максвелла для электростатического поля свелась к одному скалярному уравнению Пуассона или Лапласа для потенциала <р Найдя потенциал, нетрудно по формуле (1) вычислить напряженность поля Е. Найдем решение уравнений (4) и (5). Начнем с простейшего случая — точечного заряда величины g
Такой заряд создает поле, векторные линии Е которого направлены по радиусам. Благодаря этой сферической симметрии поле Е определяется весьма просто. Для этого используется третье уравнение
Максвелла в интегральной форме
Проводится сфера радиуса г с центром в точке, где расположен заряд. Поскольку векторные линии Е нормальны к этой сфере из последнего соотношения, получаем
откуда
Это поле найдено из третьего уравнения Максвелла, а поэтому оно ему удовлетворяет.
Потенциал ср находим по формуле (3):
Из этой последней формулы следует, что поскольку Е =—gradcp.
то найденный вектор Е удовлетворяет и первому уравнению Максвелла. Рассмотрим теперь систему точечных зарядов qu q2, ^з, q„ (рис. 3).
Так как уравнения Максвелла линейны, то, пользуясь принципом суперпозиции для суммарного потенциала этой системы зарядов
в точке с координатами — х, у, z (точка наблюдения), можем написать
где
Этот результат можно обобщить на случай непрерывного распределения заряда и написать (рис. 4)
(6)
где
Формула (6), очевидно, представляет собой решение уравнения Лапласа (5), поскольку она является обобщением формулы для дискретной системы точечных зарядов, когда потенциал определялся
не в этих точках.
Однако мы сейчас покажем, что формула (6) является также решением и уравнения Пуассона. В самом деле, пусть точка наблюдения с координатами х, у, z расположена в области, где 
(рис. 5). Тогда, выделив эту точку, окружая ее сферой малого радиуса 
о и объемом Ѵо, можно для потенциала, созданного зарядами
в остальной части объема Ѵи написать
Исследуем выражение
Очевидно, что
Таким образом доказано, что и для уравнения Пуассона решением
является выражение
Уравнение Пуассона (или неоднородное уравнение Лапласа) в общем случае может быть записано в следующем виде:
. (6.24)
В случае f (r ) = 0 r это уравнение становится однородным и называется уравнением Лапласа:
, (6.25)
где f (r ) r – заданная функция координат, u(r ) r – неизвестная функция координат, ( rr – радиус-вектор точки в пространстве) r ∈V r , V – заданная область
пространства, где необходимо найти u(x, y, z) .
В математической физике доказано, что задача имеет решение, если на границе S, ограничивающей рассматриваемую область V, заданы граничные (или краевые) условия. Различают граничные условия трех типов:
1) граничные условия Дирихле, когда на границе области известно значение искомой функции:
(6.26)
2) граничные условия Неймана, когда на границе области задается значение нормальной производной искомой функции:
(6.27)
3) смешанные граничные условия (обобщенные граничные условия Неймана), когда на поверхности S имеют силу и условия Неймана и условия Дирихле одновременно:
, (6.28)
где q(r) r и p(r ) r – известные функции. В случае q(r ) = 0 r эти условия переходят в условия Неймана, а в случае q(r )→∞ r они превращаются в условия Дирихле.
В зависимости от типа используемых граничных условий задачу отыскания u(r ) r из уравнения Пуассона (6.24) называют соответственно краевой задачей Дирихле, краевой задачей Неймана или смешанной краевой задачей.
Для решения краевой задачи используют аналитические или численные методы.
Аналитические методы позволяют получать точное решение краевой задачи. Наиболее употребительными из них являются:
1) метод разделения переменных (метод Фурье);
2) метод конформных преобразований;
3) метод функций Грина.
Общий недостаток аналитических методов – весьма ограниченный круг задач, к которым эти методы применимы. Главным образом, это задачи определения полей в таких областях пространства, границы которых совпадают с координатными плоскостями в одной из известных систем координат.
Численные методы относятся к приближенным методам решения уравнений. Наиболее часто используются:
1. Конечно-разностный метод (метод сеток)
2. Метод конечных элементов.
Главное достоинство численных методов состоит в том, что они практически не имеют ограничений на геометрию задачи, а основной их недостаток – они не дают возможности получить точное решение.
Рассмотрим два наиболее употребляемых метода решения уравнения Пуассона, один из которых относится к группе аналитических методов, а второй – численных.
Согласно изложенному выше можем написать
Положение точки наблюдения будем характеризовать радиусом-вектором г, а положение зарядов будем характеризовать вектором
/,: (рис. 6), причем будем считать, что
Тогда можно полагать
и, следовательно,
так как
Из этого выражения (7) можно сделать два важных вывода:
1) на больших расстояниях от системы потенциал такой же, как и потенциал одиночного точечного заряда величины
2) если система нейтральна, т. е.
то потенциал обратно пропорционален квадрату расстояния и равен
Вектор 
/ называется электрическим моментом системы зарядов. Свойство этого вектора — величина его не зависит от начала отсчета. В самом деле, пусть начало отсчета смещено на
а
і! находится в точке О' (рис. 7). Тогда
т. е. момент такой же, как если бы смещения начала не было
Получим решение уравнения Пуассона в общем виде, используя метод функций Грина. Для этого рассмотрим некоторую область пространства V (рис.6.4), в которой выделим две подобласти V1 и V2 (V = V1 ∪V2 ). Пусть в одной из подобластей (V1) сосредоточены источники поля с заданными распределениями плотностей зарядов (r ') r ρ или плотностей токов j(r ') r r
, rr′∈V1, а
вторая подобласть (V2 ) свободна от источников поля (зарядов и токов).
Пусть на поверхности S2 , ограничивающей объем V, заданы граничные условия (Дирихле, Неймана или смешанные).
Рисунок 6.4
Поле во всей рассматриваемой области создается источниками, сосредоточенными в подобласти V1, поэтому любую точку M′(r ′) r
здесь принято называть точкой истока, а радиус-вектор, указывающей ее местоположение в выбранной системе координат обычно называют радиус-вектором точки истока. Точка M(r ) r , где наблюдается электромагнитное поле, называется точкой наблюдения, а r ∈V r – радиус-вектор точки наблюдения.
Введем вспомогательную функцию G(r, r ') r r , которая называется функцией Грина и является решением уравнения Пуассона для рассматриваемой области V, правой частью которого служит δ-функцией Дирака:
. (6.29)
Используемая в (6.29)) δ-функция относится к классу обобщенных функций и обладает следующими свойствами:
1) δ-функция равна нулю во всей области, за исключением точки r = r ′ r r :
2) в точке r = r ′ r r δ-функция стремится к бесконечности:
3) свертка функции (r r ') r r δ − и любой другой функции f (rr′) , определенной в V, равна значению последней в точке rr :
(6.30)
Выражение (6.30) обычно принимают в качестве определения δ-функции Дирака. В частности, если f (r ′) = 1 r , оно преобразуется к виду:
(6.31)
Для трехмерного безграничного пространства δ -функция может быть представлена в виде
. (6.32)
Найдем решение уравнения Пуассона (6.24), для чего воспользуемся второй формулой Грина (Б.28):
Полагая здесь, что u(r ) r ϕ = – искомая функция, а Ψ = G(r − r ′) r r – функция
Грина, имеем:
.
Подставляя в левую часть последнего равенства Δu(rr) из (6.24) и ΔG(r − r ′) r r из (6.29), нетрудно придти к равенству:
Используя основное свойство δ-функции (6.28) окончательно находим:
(6.33)
Мы получили решение уравнения Пуассона в явном виде, где искомая
функция u(r ) r выражена через известную функцию возбуждения f (r ) r и граничные условия Дирихле и Неймана, которые заданы по условию задачи. В случае, когда f (r ) = 0 r , первый интеграл в правой части исчезает и тогда (6.33) представляет собой решение уравнения Лапласа. В этом случае искомая функция определяется только граничными условиями, заданными на поверхности S.
Относительно полученного решения необходимо сделать два существенных замечания:
1) чтобы найти u(r ) r из выражения (6.33) необходимо, чтобы на границе S были заданы и значения функции, и ее производной одновременно;
однако можно доказать, что два последних интеграла в правой части (6.33) взаимосвязаны и поэтому, для однозначного решения уравнений
Лапласа и Пуассона достаточно знать одно из граничных условий Дирихле или Неймана∗;
∗ Решение внутренней задачи Неймана определяется с точностью до аддитивной постоянной.
2) чтобы воспользоваться выражением (6.33) необходимо знать функцию Грина для рассматриваемой области, которая бы удовлетворяла уравнению (6.29) и заданным граничным условиям.
Найдем решение уравнения Пуассона для неограниченного пространства. В этом случае поверхность S необходимо удалить в бесконечность. Полагая,
что поля на бесконечности убывают не медленнее, чем 1/ r , нетрудно установить, что оба поверхностных интеграла в правой части (10) обращаются в нуль, а само это выражение приобретает вид:
(6.34)
Сравнивая между собой равенства (6.29) и (6.32) нетрудно придти к выводу, что функция Грина уравнения Пуассона для свободного пространства
может быть представлена, как:
Подставляя найденную функцию Грина в (6.34), находим решение уравнения Пуассона для свободного пространства:
. (6.35)
Теперь, используя выражения (6.24) и (6.35), нетрудно найти решение векторного уравнения Пуассона
, (6.36)
путем разделения его на три скалярных, что в случае безграничного пространства дает:
(6.37)
В частности, используя выражения (6.35) и (6.36), для определения скалярного (r ) r ϕ и векторного A(r ) r r потенциалов электрических и магнитных полей, создаваемых соответственно электрическими зарядами и токами, можно получить следующие формулы:
, (6.38)
. (6.39)
Опираясь на выражения(6.33) и (6.35)-(6.37), можно сказать, что метод функций Грина позволяет получить интегральное представление точного решения скалярного и векторного уравнений Пуассона и Лапласа, однако требует определения функции Грина для данной области пространства, что не всегда просто сделать аналитическими методами.
Исследование, описанное в статье про уравнение пуассона, подчеркивает ее значимость в современном мире. Надеюсь, что теперь ты понял что такое уравнение пуассона, уравнение лапласа, статическое поле, стационарное поле, электростатика и для чего все это нужно, а если не понял, или есть замечания, то не стесняйся, пиши или спрашивай в комментариях, с удовольствием отвечу. Для того чтобы глубже понять настоятельно рекомендую изучить всю информацию из категории Теория электромагнитного поля
Комментарии
Оставить комментарий
Теория электромагнитного поля
Термины: Теория электромагнитного поля