Лекция
Привет, Вы узнаете о том , что такое решение уравнений максвелла, Разберем основные их виды и особенности использования. Еще будет много подробных примеров и описаний. Для того чтобы лучше понимать что такое решение уравнений максвелла, метод запаздывающих потенциалов , настоятельно рекомендую прочитать все из категории Теория электромагнитного поля.
До сих пор мы изучали поле электромагнитных волн, не интересуясь источниками электромагнитного поля. Теперь же мы должны рассмотреть вопрос о том, как связано электромагнитное поле с его источниками, т. е. как .излучаются электромагнитные волны.
В этом случае должна решаться полная система уравнений Максвелла без каких-либо пренебрежений, причем источники, т. е.токи и з а р я ды должны считаться известными.
Итак, требуется решить систему уравнений
при заданных плотностях тока j и заряда р.
Уравнение I V сразу удовлетворяется введением в шторного.потенциала
. (1)
Подставляя это выражение для В в уравнение (1), получаем
или
Отсюда следует, что
, (2)
т. е.
,
где 
скалярный потенциал.
Будем считать, что среда—однородный диэлектрик, т. е
Учитывая соотношения 
, подставляем (1) и (2) в уравнение Максвелла I I и получаем
Далее используем векторное тождество
где 
— оператор Лапласа, применяемый к прямоугольным составляющим вектора А и находим
Полагаем, что
, (3)
и получаем волновое уравнение для,векторного потенциала А:
. (4)
Соотношение (3) называется условием Лорентца. На условии Лорентца мы еще остановимся несколько позже.
Найдем также уравнение для <р. Д л я этого подставим (2) в уравнение Максвелла III и получим
Воспользовавшись условием Лорентца, подставляем в это уравнение
и находим волновое уравнение для скалярного потенциала:
(5)
Теперь об условии Лорентца. Об этом говорит сайт https://intellect.icu . Наиболее убедительным доказательством того, что условие Лорентца не навязано, является то, что
, полученные из уравнении (4) и (5), действительно ему удовлетворяют.
Но это имеет место только в том случае, если заданные плотности тока J и заряда р удовлетворяют уравнению непрерывности
т. е. удовлетворяют закону сохранения зарядов.
Таким образом, условие Лорентца как бы контролирует правильность задания J и р.
Решим сначала волновое уравнение (5) для скалярного потенциала 
Предположим, что заряд (источник поля) точечный. Тогда всюду (за исключением одной точки) удовлетворяется уравнение
причем в силу центральной симметрии
и последнее уравнение представляется в-виде или, при обозначении 
Решения этого одномерного волнового уравнения нам хорошо известны.
Решениями f могут быть функции аргументов
где 
скорость распространения волны.
Функция 
— решение, имеющее смысл сходящихся к источнику волн,— физически неприемлемо.
Функция 
—расходящиеся от источника волны — соответствует смыслу источника.
Поэтому искомое решение
Найдем функцию 
Для этого проинтегрируем обе части уравнения (5) по объему сферы радиуса г и с центром в точке расположения источника, т. е. заряда q(t) :
Устремим 
, тогда получим
т. е.
Следовательно,
и 
Величина 
— время запаздывания. Смысл поледнего ясен.
Потенциал в точке, находящейся на расстоянии г от заряда q, определяется значением заряда не в момент а его значением в более ранний момент 
, т. е. значением 
.
.Поэтому потенциал 
и называется запаздывающим.
Если имеется п точечных зарядов (рис. 1), то потенциал этой системы зарядов в точке наблюдения будет равен
Отсюда, перейдя к непрерывному распределению зарядов в объеме V (рис. 2), получим
(6)
где
Рис. 1 Рис. 2
Получим теперь .решение уравнения (4) для векторного потенциала А. Это уравнение можно представить в виде трех скалярных волновых уравнений
Пользуясь аналогией этих уравнений с уравнением для скалярного запаздывающего потенциала, можем написать
Умножая левые и правые части этих равенств на единичные координатные векторы 
и складывая, получаем
. (7)
Определяемые формулами (6) и (7) функции 
и А называются соответственно скалярным и векторным запаздывающими потенциалами.
Если источники меняются во времени по гармоническому закону, то зависимость величии от времени должна представляться фазовым множителем, учитывающим запаздывание 
Тогда, например, запаздывающий потенциал (7) примет вид
где J будет являться функцией только координат.
Учитывая, что 
волновое число, можно выражение для векторного потенциала представить так
. (8)
где теперь под J следует подразумевать функцию
(9)
В дальнейшем будем пользоваться представлением векторного потенциала А формулой (8) и под плотностью тока J понимать функцию (9)
Исследование, описанное в статье про решение уравнений максвелла, подчеркивает ее значимость в современном мире. Надеюсь, что теперь ты понял что такое решение уравнений максвелла, метод запаздывающих потенциалов и для чего все это нужно, а если не понял, или есть замечания, то не стесняйся, пиши или спрашивай в комментариях, с удовольствием отвечу. Для того чтобы глубже понять настоятельно рекомендую изучить всю информацию из категории Теория электромагнитного поля
Из статьи мы узнали кратко, но содержательно про решение уравнений максвелла
Комментарии