СФЕРИЧЕСКИЕ ВОЛНЫ Векторное и скалярное волновое уравнение в сферических координатах

Привет, Вы узнаете о том , что такое сферические волны, Разберем основные их виды и особенности использования. Еще будет много подробных примеров и описаний. Для того чтобы лучше понимать что такое сферические волны, векторное и скалярное волновое уравнение в сферических координатах , настоятельно рекомендую прочитать все из категории Теория электромагнитного поля.

Сферическая волна — волна, фронт которой представляет собой сферу.

Вектор фазовой скорости расходящейся сферической волны ориентирован в радиальном направлении от источника ("волна радиально расходится от источника"), сходящейся — к источнику. Сферическая волна является удобной моделью, в реальности фронт волны отличается от сферического из-за особенностей источника и неоднородности пространства. В дальней зоне источника квазисферическая волна оптического диапазона формируется, например, малогабаритной лампой накаливания, радиочастотного — антенной.

Для скалярной волны уравнение имеет вид

(1.2)

Для расходящейся от осциллятора волны в формуле (1.2) используется вместо ± знак −, для сходящейся — +. Такая волна удовлетворяет волновому уравнению, а суперпозиция сходящейся и расходящейся волн (в частности, и стоячей сферической волны) также является решением волнового уравнения.

Функция f, вообще говоря, может быть любой, но можно выделить случай гармонической f.

Гармоническая симметричная сферическая волна в среде без поглощения задается уравнением

(1.1)

где r — расстояние от источника до интересующей нас точки;

— убывающая амплитуда колебаний;

ω — круговая частота;

i — мнимая единица;

k — волновое число;

знак '—' соответствует расходящейся волне, а знак '+' — сходящейся.

Если величина задает возмущение в данной точке и в данный момент времени, то за определенный промежуток времени уносится энергия Но так как площадь сферы растет, то поток функции сохраняется неизменным.

сферические волны
В предыдущей главе было показано, как аналитические трудности^
связанные с рассмотрением векторного дифференциального уравнения в
криволинейных координатах, могут быть преодолены в цилиндрической системе
координат разложением поля на два частичных, каждое из которых может
быть получено из ^скалярной функции, удовлетворяющей волновому
уравнению. К счастью, этот прием применим также и в сферических координатах^
к которым мы сейчас обратимся. Особые преимущества цилиндрических и
сферических координат являются следствием простоты их геометрических
свойств. Более глубокое представление о сущности стоящей перед нам»
задачи и о трудностях, которые появляются при переходе к криволинейным
координатам в общем случае, мы получим предварительно коротко изучив
векторное волновое уравнение.!^
ВЕКТОРНОЕ ВОЛНОВОЕ УРАВНЕНИЕ
7.1. Фундаментальная система решений. В пределах замкнутой
области, из которой удалены все источники и которая заполнена однородной
изотропной средой, все векторы, характеризующие электромагнитное поле,
именно векторы поля Е, В, D и Н, векторный потенциал и вектор Герца,
удовлетворяют одному и тому же дифференциальному уравнению. Если через
С обозначить какой-либо из этих векторов, то это уравнение имеет вид:
В силу линейности этого волнового уравнения поле, произвольно меняющееся
во времени, может быть построено из гармонических решений, и мы не
уменьшим общности, если положим, что вектор С содержит время только
в виде множителя е-**"*. Под оператором А, действующим на вектор, мы
должны понимать AC = gTaddivC — rot rot С; поэтому вместо A) мы пишем
graddivC —rotrotC + A;2C = 0, B>
где, как обычно, k^ = ejxco^ -f- io]m.
Векторное уравнение B) всегда может быть заменено соответствующей
системой трех скалярных уравнений, но разрешить эту систему относительно
какой-либо из компонент С в большинстве случаев оказывается практически
невозможным [см. (85), стр. 55]. Лишь в том случае, когда мы
разлагаем С на три прямоугольные компоненты, мы получаем три независимых
уравнения
AQ + k^Cj = 0, О' = лг, У. г) CV
где оператор А может быть представлен уже как в прямоугольных, так и
в криволинейных координатах. До сих пор определению независимых век-^

торных решений уравнения B) было уделено очень мало внимания, но
недавно такая попытка была предпринята Ганзеном i) в ряде интересных
работ, посвященных исследованию излучения антенн.
Пусть скалярная волновая функция <^ является решением уравнения
^^-^Щ = 0^ D)
■ц пусть а будет каким-либо постоянным единичным вектором. Мы строим
теперь три следующих независимых векторных решения уравнения B):
L = grad4>, M = rot(a»}>), N=~rotM. E)
Если С в уравнении B) положить равным L, М или N, то уравнение B)
будет удовлетворено тождественно при условии, что ^ удовлетворяет
уравнению D). Ясно, что, поскольку а — постоянный вектор, мы можем написать
,М в виде
М = [L, а] = -|- rot N. F)
Для одной и той же производящей функции ^ вектор М перпендикулярен
к вектору L, т. е.
LM = 0. G)
Векторные функции L, М и N обладают некоторыми замечательными
свойствами, следующими непосредственно из их определения. Вектор L без-
' вихревой и
rotL==0, divL = A^ = —^2<Ь, (8)
векторы М и N соленоида льны:
divM = 0, divN = 0. (9)
Частные решения уравнения D), конечные, непрерывные и однозначные
в данной области, образуют дискретную систему. Обозначим временно какое-
либо из этих решений через «{>„. С каждой из характеристических функций
^п связано три векторных решения уравнения B) L„, М„ и N„, ни одна
пара из которых не коллинеарна. Можно предположить, что произвольная
волновая функция может быть представлена в виде комбинации
характеристических векторных функций; коэффициенты разложения могут быть определены,
поскольку L„, М„ и N„ обладают свойствами ортогональности, которые мы
в дальнейшем докажем. Если заданная функция чисто соленоидальная, то она
может быть представлена в виде комбинации только М^ и N„. Если же
дивергенция данной векторной функции нулю не равна, то в разложении
должны присутствовать и функции L„.
Векторы М и N, очевидно, пригодны для представления полей Е и Н,
так как каждый из них пропорционален ротору другого. Таким образом,
если время входит только в виде множителя е—^^* и если плотность
свободных зарядов всюду равна нулю, то для однородной изотропной среды с
проводимостью о мы имеем
Допустим теперь, что мы можем разложить векторный потенциал по
характеристическим векторным функциям в виде
А = -^2<^п^п + *Л4-^nLn), (И)
п
Е = ^ rotH, H=r^rotE. - A0)
1) Hansen. Phys. Rev. 47, 139—143, January 1935; Physics 7, 460 — 465,

где коэффициенты а„, &„ и с„ должны быть найдены из
распределения токов.
Согласно (8), A0) и соотношению p,H=rotA мы получаем для
векторов поля
Е = -^ %a„fA„ + ^«N„). Н == - А. ^ (a^N„ + ^М„). A2)
п п
Скалярный потенциал о не играет роли в вычислениях, но, очевидно, может
быть определен непосредственно из A1), так как согласно B7), стр. 36,
divA=-^k^o; и, следовательно, из (8)
? = —21^«Ф«- A3)
U)
п
Таким образом, grad <э =—-^c^Ln, и соотношение
п
E = -grad очевидно, снова приводит к формуле A2). Наконец, если мы напомним, что
при данных условиях электромагнитное поле может быть выражено через два
вектора Герца с помощью уравнений
E==rotrotn-f ia)[j,rotn*, H = £-rotn-f-rotrotn*, A4)
то отсюда становится сразу же ясным, что
П = —у5!1ад„а, П* = —v;j^^a„»}>„a, A5)
п п
где а — постоянный вектор.
Прежде чем применить эти результаты к цилиндрической и сферической
системам координат, мы рассмотрим элементарный пример волн в
прямоугольных координатах. Плоская волна, волновой вектор которой равен
к = ^п, может быть представлена в виде
^^gikR-iw^^ A6)
где R—радиус-вектор, проведенный из фиксированного начала отсчета. Так
как kR = k^ -j- куу -j- k^, то легко видеть, что
L = i^K М ==/<]>[к, а], N = l В этом частном случае LM = MN = NL = 0; все три вектора взаимно
перпендикулярны и L — чисто продольная волна. Пусть а и р — полярные
углы, определяющие направление вектора к, как это показано на рис. 66,
стр. 319; общее решение уравнения B) может быть получено
интегрированием этих функций для плоской волны по всем возможным направлениям.
Если g-(a, р) — скалярная амплитуда (весовой множитель), то в какой-либо
координатной системе мы можем написать для L при выполнении условий
сходимости
L =/е-**"* J й?а pPg (а, Р)к(а, ^^)e^^^ A8)
и аналогично для М и N
М = гб^^*"* J da J й?р g{a, Р) [к, а] е*»*», A9)
N=-|^e-«'"« Jcfa Jrfp^(a, р) [[к, а], к] e^^R. B0)

7.2. применение к цилиндрическим координатам О- Скалярные харак>
теристические функции волнового уравнения в цилиндрических координатах
были приведены в уравнении F), стр. 315. Применение функций
комплексного угла ехр (гпб) связано с некоторыми неудобствами, и, оказывается, проще
пользоваться двумя действительными функциями созпб и sinn6, которые мы
будем обозначать просто как четные и нечетные. Цилиндрические волновые
функции, построенные из бесселевых функций первого рода и, следовательно,
конечные на оси, будут обозначаться через ^„\ а волновые функции,
образованные из //„(Хг) и /%^ (Хг)—соответственно через ^„^ и t|)^^. Таким
образом
^% = cos иб J„ (Хг) е^л^ - i^^t,
1.A) _.-„ J.C г ,ч_ч -rfb,— rf.„* I (^Ь
Гопх = sin иб У„ (Хг) е^^^ ~ <">«,
,1^^'^х = cos пЬ /yj? (Хг) e!^J^^ - **"«,
ii.<;„>x = sin пЬ Н^!^ (Хг) е*'»^ - **"«,
B2)
где, как обычно, Х = |/^2—/^^ = ^sina. Функции первого рода выражаются,
определенными интегралами вида
2я
;-п л
Лпх = ^ J •^*'^'' """^ ^^ - ^> cos пр fiJp е^^^ -*''"<,
о
2я
B3)
а представления для функций других родов отличаются только выбором пути
интегрирования.
Из B3) мы построим теперь интегральное представление для векторных
волновых функций. Так
A)'
A)
Ve^x = grad ^'^^
^А , . 1 д& . аЙ^)
гепХ.
B4)
Дифференцируя B3) по г, б и г и замечая, что ^ sin а cos (^ — б),
^ sin а sin (Р—б)-и ^cosa являются компонентами р'ектора к относительна
ссей, определяемых единичными векторами i^, ig, ig, так что
k=ii^sin a[cos(P—б)-j-1*2^ sin а sin (Р—6)-f ig^fecosa, B5)
мы получаем для четной функции выражение
A)^
215
Ц^^ = ~ j ке^^ cos (р-в) cos п^ d^e^T^^-i^\
о
B6)
которое икеет тот же вид, что и A8). Соответствующее выражение для
нечетной функции получается заменой под интегралом cos «р на sin пр. При?
применении этих характеристических функций для разложения по ним
произвольной векторной волны представляется удобным исключить множитель
1) Результаты этого парагргфа следует сравнить с уравнениями C6)

«хр(гйг — ioit), поэтому определим векторные аналоги скалярной
функции f(r, 6) (глава VI) соотношениями
L—— 1 pihz—ivii АЛ — «и oihz—iiot Л
— П piJiz-iiat I ^ '
Из B6) имеем
■ »ii=='^/b*'^^'-'^"MP-«)^'.>M?. B8)
2lE
Таким же способом мы получим интегральные представления и для
других независимых решений. Если в качестве постоянного вектора а мы
.возьмем единичный вектор ig, направленный вдоль оси г, то найдем:
• МЦ' = [grad С !з1 = ~^-^h ~^-$- к, B9)
откуда нетрудно получить, что
. 2гс
о О
И так как го1М„ = Ш„, то мы имеем
2lE
"?ы =|г J(^^*3-/^k).*^-cos(p-e,iCos^p^p^ ^31)
о о
Исходя из этих интегралов, можно легко получить и прямоугольные
компоненты волновых функций. Фигурирующая , в подинтегральном выражении
векторная функция угла разлагается на свои прямоугольные компоненты,
которые могут быть затем объединены с cos «р или с sin п^. Получающиеся
в результате скалярные интегралы могут быть вычислены путем сравнения
их с B3).
- Для того чтобы произвольную функцию от г и 6 можно было
разложить по функциям le^^y ^впх ** "е„х' ^^'^ ДОЛЖНЫ показать, что эти функции
0 0 о
ортогональны. Пусть i^, Iq и ig будут единичными базисными векторами
круговой цилиндрической системы координат (рис. 7, стр. 56), а Z^Q^r) —
цилиндрическая бесселева функция любого рода. Тогда, согласно E), мы
получаем
Кх = Тг^п (И '°п '^б »1 =^ Т ^« (^'■> со" '^^ ^2 + ^^^n i:^r) "^^ пЬ is, C2)
т
sin „ , д „ ,\ ^ cos
«пХ
Т Zn i}^r) 2^ nQ i, - §-^Z„ ilr) l^ nb k, • C3)
ih д ^ /^ ^ cos o. ihn „ ,. » sin q. i ^^ t /i ч cos £>. /ол\
"««X ==-kd-r^^ (^'■> sin '^^ »i =^ -^ ^- (^'■> COS '^^ »2 + -^ ^n i^r) ^^ nb I3. C4)
0
Из этих выражений сразу же видно, что интеграл по б от О до 2тг от
скалярного произведения любых двух из этих функций равен нулю, если
только индексы п у этих функций различны. Далее:
J Wonx db= j le„^le„,v ^6 = 0, если пфп'. C5)

Будем подразумевать под 1 функци19 1, у которой знак при ih изменен
на обратный ^). Тогда нормирующий множитель может быть найден и»
интеграла
j4xX„x.^e = (l-f8)^r^Z„(^r)^Z„(Vr)-f
. о
о о
4- - Z„ (Хг) Z„ (XV) + hh'Z^ (Хг) 2„ (XV)] , C6)
где 8=: О при пфЬ, и 8=1 при «==0. Первые два члена правой части
можно объединить с помощью рекуррентных соотношений B4) и B5),
стр. 317, что дает
/кх\х/^б = A4-8Oг { ^'[Z«_i(Xr)Z„_i(Xr) +
+ Z„+i(Xr)Z„+i(XV)]+M'Z„(Xr)Z„(XV) { , C7)
Те же рекуррентные соотношения приводят также к следующим интегралам:
О о о <>
2>с
гае^«"епх/ ^6 = A+ 8) ^ ^ [Z„.i (Хг) Z„_i (XV) +
+ 2„+i(Xr)Z„^.i(XV)l, C9)
2>с 2>с
О О о в
2я
J Ve«x' ^6 = A + 8)^{ ^ [Z„_i (Хг) Z„_, (XV) +
о о о ^
+ -^«4.i(H^„+ia>)l + a^T^«(Xr)Z„(XV)}. D1)
Кроме того,
2я 2я 2я
J 'епХ»"е^. ^9 = / те„,Пе„,, db = J Je^x "о^, ^6 = 0. D2)
qOo qOO q о e
и, воспользовавшись еще раз тем же рекуррентным соотношением, мы
получаем
2>с 2л
J *е«Х»"««Х/ ^б = / »"епхП««Х/ ^^ = «. D3)
О О е О о е
Осталась только одна комбинация, которая, к сожалению, приводит к
некоторой трудности:
2>с
J Кх^е^х' ^6 =' A + 8)-I I ^X'2Z„ (Хг) Z„ (XV)-
-^[2„-i(Xr)Z„.,(XV) + Z^+i(Xr)Z„^.i(XV)] |, D4)

Т. е. получается величина, неравная нулю тождественно. Таким образом;,
ввиду D4), система векторов 1е^^, Ше^ и Пе^^ не является полностью орто-
« о о о
тональной по отношению к б. Во многих случаях это не существенно, ибо,
если дивергенция векторной функции равна нулю, как это и имеет место
для векторов электромагнитного поля в отсутствие свободных зарядов, тО'
она может быть разложена только по т^^ и Пе„^. Но полное разложение
о о
векторного потенциала требует включения и функций Ц^^ ^).
о
Для случая функций первого рода Ганзен применил теорему Фурье-Бес--
селя с тем, чтобы получить полную ортогональность и упростить
выражения для нормирующих множителей. После очевидной замены переменных-
мы получаем из E3) и E4), стр. 327,
оо оо
f (X) ==\^rdr J V dX'f (X') J„ (XV) J„ (Xr). D5)/
0 0
Заменяем в C7), C9), D1) и D4) Z„(Xr) на Jni^) и применяем
соотношение D5). Вместо /(X') мы будем иметь X', h' ==Ук^ — Х'^, й'Х' и т. д.
Необходимо заметить при этом, что справедливость теоремы Фурье-Весселя^"
оо
была доказана только для того случая, когда интеграл Г |/(Х)||ЛХ cfX.
о
существует; в данном случае это условие не выполняется. Ухищрения,,,
которыми пользуются для того, чтобы обеспечить сходимость, связаны*
с математическими трудностями, которые выходят за пределы этой книги^
С некоторыми оговорками мы можем ввести экспоненциальный множитель^
обеспечивающий сходимость, как мы делали это в теории преобразования
Лапласа на стр. Об этом говорит сайт https://intellect.icu . 276. Будем, следовательно, под 1^^) подразумевать предел^
о
к которому стремится 1W g—is|x ^рц $-*-0. Тогда
о
оо оо
lim Г г rfr f X' а' { Х'е-1« "^' } У„ (XV) J„ (Хг) = К D6>*
В соответствии с этим выражения для нормирующих множителей примут вид
со оо 2я
о о о о о
оо оо Зп
J J J mW Jm<4, ^' d^'r dr db = {\+ b) ^\^ D8>
0 0 0 о о
* со оо 2ic
/ J /
0 0 0 о о
^) Полнота системы векторных функций не была нами доказана, но ее можно,
предполагать, исходя из полноты системы функций '^е^-^.
о

Часть 1 СФЕРИЧЕСКИЕ ВОЛНЫ Векторное и скалярное волновое уравнение в сферических координатах
Часть 2 Вау!! 😲 Ты еще не читал? Это зря! - СФЕРИЧЕСКИЕ ВОЛНЫ Векторное и скалярное волновое уравнение

См.также

• Плоская волна
• Цилиндрическая волна