Лекция
Привет, Вы узнаете о том , что такое электромагнитные волны, Разберем основные их виды и особенности использования. Еще будет много подробных примеров и описаний. Для того чтобы лучше понимать что такое электромагнитные волны, плоские волны , настоятельно рекомендую прочитать все из категории Теория электромагнитного поля.
Плоская волна́ — волна, поверхность постоянной фазы которой представляет собой плоскость.
Фронт плоской волны неограничен по размерам, вектор фазовой скорости перпендикулярен фронту.
Плоская волна является частным решением волнового уравнения и удобной теоретической моделью: такая волна в природе не существует, так как плоский фронт волны начинается в −∞ и заканчивается в +∞, чего, очевидно, быть не может. Такая волна переносила бы бесконечную мощность, и на создание волны потребовалась бы бесконечная энергия. Удобство модели плоской волны обусловлено тем, что волну со сложным (реальным) фронтом можно представить в виде суперпозиции (спектра) плоских волн с помощью преобразования Фурье по пространственным переменным.
Квазиплоская волна — волна, фронт которой близок к плоскому в некоторой ограниченной области. Если размеры области достаточно велики для характерного размера явления, то квазиплоскую волну можно приближенно считать плоской. Волну со сложным фронтом можно аппроксимировать суммой локальных квазиплоских волн, векторы фазовых скоростей которых нормальны реальному фронту в каждой его точке. Примерами источников квазиплоских электромагнитных волн являются лазер, зеркальная и линзовая антенны: распределение фазы электромагнитного поля в плоскости, параллельной апертуре (излучающему отверстию), близко к равномерному. По мере удаления от апертуры фронт волны принимает сложную форму.
Фронты плоской волны в трехмерном пространстве и вектор фазовой скорости
Анимация движения плоской волны
По определению, плоской электромагнитной волной является
решение системы уравнений Максвелла, в котором векторы электромагнитного
поля зависят только от одной координаты прямоугольной
системы координат. Пусть это будет координата z
Важно, что при этих условиях уравнения Максвелла допускают
строгое решение.
Здесь и в дальнейшем будем считать, что изменение величины
поля во времени происходит по гармоническому закону и, следовательно,
зависимость от времени будем представлять множителем
е-''"'. Среду будем считать однородной. При последних двух
условиях в отсутствие зарядов уравнения Максвелла I I I и IV яв-
ляются, как сразу вытекает из тождеств
c l i v r o t E ^ O , divrotHsO,
следствием первых двух уравнений.
Таким образом, формулы для плоских волн в однородной среде
мы можем получить, оперируя только первыми двумя уравнениями
Максвелла
Уравнение любой волны является решением дифференциального уравнения, называемого волновым. Волновое уравнение для функции A
записывается в виде
где Δ — оператор Лапласа;
— искомая функция;
r — радиус-вектор искомой точки;
v — скорость волны;
t — время.
На этом анимированном изображении по горизонтальной оси отложена координата x в пространстве, по вертикальной — значение колеблющейся некоторой физической величины A , образующей волну с гармонической зависимости от времени, в каждой точке пространства в текущий момент времени. Синяя линия — график пространственной зависимости A(x) физической величины в текущий момент времени t=t1,t2,... Зависимость от координаты также гармоническая. Смещаясь с течением времени вправо, график A(x) совпадает с самим собой в предыдущий момент времени, — волновой процесс. Синий кружок изображает колебание A(t) физической величины A в одной из точек по координате 
В одномерном случае волновое уравнение принимает вид:
где x — координата.
Частное решение этого уравнения для плоской гармонической волны:
где A(x,t) — величина возмущения в данной точке пространства x и в момент времени t ;
Ao — амплитуда волны;
k — волновое число;
ω — круговая частота;
φ0 — начальная фаза колебаний.
Волновое число выражается:
где λ — пространственный период изменения функции длина волны.
Круговая частота колебания выражается:
где T — период колебаний;
f — частота колебания.
При подстановке в выражение для волны этих выражений волну можно описать также выражениями:
или:
или:
где v — фазовая скорость распространения волны.
В общем случае уравнения плоской волны записывается в виде:
где 
— волновой вектор, равный 
— волновое число;
— единичный вектор нормали, проведенный к волновому фронту;
— радиус-вектор точки, 
— скалярное произведение векторов и →.
Приведенные выше уравнения можно записать в так называемом комплексном виде:
или в многомерном случае:
Правильность этой формулы следует из формулы Эйлера для экспоненты с комплексным показателем.
Вообще говоря, функция может быть как вещественной, так и комплексной функцией. Но так как в нашем реальном мире не существует комплексных чисел, то расчеты, имеющие конечный физический смысл, всегда сводятся к вычислению реальной части либо модуля, либо произведения пары комплексных сопряжений этой функции.
Из комплексной записи гармонической функции также следует понятие комплексной амплитуды, равной 
Тогда 
Модуль комплексной функции дает амплитуду колебаний, а аргумент — начальную фазу φ0.
Экспоненциальная форма записи в некоторых случаях часто бывает удобнее тригонометрической.
Наиболее употребительное обозначение: 
.
Фазовая скорость вдоль направления, отклоненного от волнового вектора на угол α. Рассматривается монохроматическая плоская волна
Групповая скорость — это величина, характеризующая скорость распространения «группы волн» — то есть более или менее хорошо локализованной квазимонохроматической волны (волны с достаточно узким спектром). Обычно интерпретируется как скорость перемещения максимума амплитудной огибающей квазимонохроматического волнового пакета (или цуга волн). В случае рассмотрения распространения волн в пространстве размерностью больше единицы подразумевается, как правило, волновой пакет, близкий по форме к плоской волне.
Групповая скорость во многих важных случаях определяет скорость переноса энергии и информации квазисинусоидальной волной (хотя это утверждение в общем случае требует серьезных уточнений и оговорок).
Групповая скорость определяется динамикой физической системы, в которой распространяется волна (конкретной среды, конкретного поля и т.п.). В большинстве случаев подразумевается линейность этой системы (точно или приближенно).
Для одномерных волн групповая скорость вычисляется из закона дисперсии:
,где 
— угловая частота, — волновое число. Об этом говорит сайт https://intellect.icu .
Пусть дано, что 
Выделим в пространстве некий малый объем ΔV , настолько малый, что во всех точках этого объема скорость движения частиц 
и деформацию 
можно считать постоянными.
Тогда рассматриваемый объем обладает кинетической энергией:
и потенциальной энергией упругой деформации:
Полная энергия:
Плотность энергии, соответственно, равна:
Один из важнейших результатов, полученных Максвеллом – доказательство волновой природы ЭМП.
Волнами называют возмущения, распространяющиеся с конечной скоростью в пространстве и несущие с собой энергию без переноса вещества. Волновой процесс – это одно из проявлений общей закономерности, сформулированной в виде так называемой теории близкодействия, согласно которой
всякое взаимодействие может осуществляться только последовательно от одной точки пространства к другой, и что мгновенной передачи взаимодействия между удаленными точками не существует.
Если некий временной процесс в точке А изменяется по закону f (t) , а в
точке B, удаленной от А на расстояние r, этот процесс изменяется как f (t) ,
то говорят, что функция ( )
υ
f t − r описывает волну. Здесь υ – скорость рас-
пространения волны, а величина τ = r υ определяет время запаздывания
процесса в точке B по сравнению с точкой А. Если изменение возмущения во
времени происходит по закону гармонических колебаний, то волновой процесс в целом можно описать функцией
=
υ
( − ) = Acosω(t − r )
v
f t r Acos(ωt − kr),
где коэффициент k = ω υ называется волновым числом. Любые волны,
распространяющиеся в пространстве, создаются источниками волн. Линии,
вдоль которой распространяются волны, называются лучами. Если соединить
все точки, куда дошла волна за время Δt , прошедшее после некоторого начала отсчета t1, то получится поверхность, которая называется фронтом волны. Для гармонической волны ее фронт является еще и поверхностью равных фаз. Путь, который прошла гармоническая волна за период колебаний,
называется длиной волны λ = υ⋅T = υ f .
По форме фронта волны классифицируют как плоские, цилиндрические,
сферические. Если во всех точках фронта волна имеет одинаковую амплитуду, то она называется однородной, в противном случае – неоднородной.
С целью исследования волнового характера ЭМП сведем уравнение Максвелла к волновым уравнениям. Для этого рассмотрим однородную безграничную среду с параметрами ε , μ , где отсутствуют источники электромагнитного поля и для которой система уравнений Максвела имеет вид:
rot , H E & r
& r
rot = − jωμ , (7.1)
0 div = D& r
, 0 div = B& r
. (7.2)
Применим операции rot к левым и правым частям первых двух уравнений
Максвелла:
E H & r
& r
rot j rot rot ε ω = , H E & r
& r
rot rot = − jωμrot .
Преобразуем полученные выражения, воспользовавшись тождеством
(Б.23) A A A
r r r
rot rot = graddiv − Δ и учтя равенства (7.2), в результате чего придем к равенствам:
E H & r
& r
rot jωε = Δ − , H E & r
& r
− Δ = − jωμrot .
Подставляя теперь сюда E& r
rot и H& r
rot из (7.1), получаем два идентичных
уравнения относительно векторов E& r
и H& r
:
0 2 = + Δ H k H & r
& r
, 0 2 = + Δ E k E & r
& r
, (7.3)
где k = ω εμ – комплексное волновое число, которое можно представить в
виде: k = β − jα, здесь β – фазовая постоянная, α – постоянная затухания.
Полученные дифференциальные уравнения в частных производных 2-го
порядка называются уравнениями Гельмгольца или чаще волновыми уравнениями.
Свойства волновых уравнений:
1. Для безграничной среды без источников волновые уравнения эквивалентны системе уравнений Максвелла.
2. Уравнения (7.3) для E& r
и H& r
идентичны по форме, поэтому решения этих
уравнений по своей форме также будут идентичными.
3. Волновые уравнения записаны в комплексном виде и имеют силу для монохроматических полей, поэтому их решения будут функциями только
координат.
4. Использование волновых уравнений вместо системы из 4-х уравнений
Максвелла позволяет значительно упростить и сократить решения задачи
о нахождении E& r
и H& r
– в этом случае решается система из трех вместо 12-
ти скалярных уравнений.
Поскольку оба уравнения (7.3) имеют одинаковые по форме решения,
рассмотрим одно из них, а именно 0 2 = + Δ E k E & r
& r
. Общее решение этого урав-
нения в декартовой системе координат представляется суммой двух частных
решений:
k r
m
k r
E Eme E e
r r r r
& r
& r
& r
= + − j + − j , (7.4)
где = β − αr r r
k j – волновой вектор, модуль которого есть волновое число, а направление совпадает с направлением распространения волны; rr – радиус
вектор точки наблюдения.
Каждое их двух частных решений (7.4) описывает волну. Докажем это,
записав мгновенное значение вектора E& r
для первого решения
= { }=
= + − ω + −αr − βr ωt
m
kr t
E t Em e e E e e e j j
0
j j
( ) Re 0 Re
r r rr r r r r r
p Em(r ) cos( t r )
r r r r = ⋅ + ω + ϕ − β , (7.5)
где p r – единичный вектор, указывающий начальное направление вектора E
r
;
+
0 m E – амплитуда вектора E
r
в точке r = 0 , принятой за начало отсчета;
r
Em r Em e
r rα
+ = + − 0 ) ( – амплитуда вектора E
r
в текущей точке наблюдения;
e r
r rα
− – множитель, определяющий экспоненциальное уменьшение амплитуды (затухание) колебаний с ростом r; отсюда α – коэффициент затухания;
ϕ и t rr rβ
Φ = ω + ϕ − – начальная и текущая фазы гармонического колебания
соответственно.
Рассмотрим распределение поля электромагнитной волны вдоль направления ее движения, полагая, что α = 0 , ϕ = 0 и векторы rr и β
r
параллельны.
В этом случае
E(t, r) = Em+0 cos(ωt − βr) (7.6)
и распределение E(r) для фиксированного момента времени t является многоэкстремальной функцией, имеющая вид косинусоиды с максимумами в
точках rn , в которых Φ = ωt − βrn = 2πn , n – целое число. Положения этих
максимумов определяется выражением:
rn = ωt /β + λn = υt + λn, (7.7)
где υ = ω β.
Из (6) следует, что rn с ростом t увеличивается, то есть с течением времени максимумы распределения E(r) (гребни волны), а с ними и вся волна,
будут перемещаться вдоль оси r в положительном направлении со скоростью
υ. Волна, обладающая таким свойством, называется бегущей волной, а экспоненциальный множитель e r
r vβ
− j называется множителем бегущей волны.
Рассмотрим этот множитель более подробно, для чего выразим векторы β
r
и
rr через их проекции в прямоугольной системе координат:
β = exβx + eyβ y + ezβz = ex cosϕx + ey cosϕy + ez cosϕz r r r r r r r
,
r ex x ey y ez z
r r r r = + + ,
откуда
e j r e j( x x y y z z) e j (x cos x y cos y z cos z ) − β⋅ = − β +β +β = − β ϕ + ϕ + ϕ
r r
, (7.8)
где x ϕ cos , x ϕ cos и x ϕ cos – направляющие косинусы вектора β
r
.
Полученное выражение (7.8) удобно использовать для описания электромагнитных волн, распространяющихся в произвольном направлении β
r
, задан-
ном в декартовой системе координат его направляющими косинусами.
Второе частное решение отличается от первого тем, что знак перед rr vβ
в
показателе множителя бегущей волны e r
r vβ
+ j положительный. Нетрудно по-
казать, что второе слагаемое в (7.7) также представляет собой бегущую электромагнитную, движущуюся со скоростью v , но в направлении, обратном
предыдущей, то есть в сторону отрицательных r. В безграничном пространстве обычно существует только прямая волна, бегущая от источника в сторону увеличения координаты r. Появление волны, бегущей в обратном направ-
лении, т.е. обратной волны, связано обычно либо с наличием другого источника, либо с отражение прямой волны волна от какого-либо препятствия. В
последнем случае прямую и обратную волны часто называют падающей и
отраженной.
Рассмотрим случай одновременного существования падающей и отра-
женной волны, причем Em+ = Em− = Em и тогда, и тогда, полагая α = 0 , имеем
E t {E e e e } { E r e } Em r t
t
m
r r t
= m + = β = β ω r( ) Re r ( − jβ jβ ) jω Re 2 r cos jω 2 r cos cos
.
Полученное выражение не содержит множителя бегущей волны e r
v r
m jβ , рас-
пределение поля вдоль r не зависит от времени и как бы стоит на месте, поэтому данная волна получила название стоячей волны. Она не переносит
энергию в пространстве и ее фаза не зависит от r.
Первое и второе уравнения Максвелла представляются следующими
скалярными уравнениями
I I .
дЕу . u
àEx о
дИх . с
Из этих уравнении сразу видно, что поскольку # 2 = 0 и Ez=0,
плоская волна является поперечной.
Выписанные скалярные уравнения запишем
в виде более компактных векторных
уравнений. Д л я этого воспользуемся
векторными соотношениями между единичными
векторами координатных осей
(рис. 1).
x u = y ü x z u ;
y ° = z ° x x ° . Рис. 1
Умножая в I обе части первого уравнения на у° и обе части
второго уравнения на х° и складывая левые и правые части обоих
уравнений, п о л у ч а е_м
х° Чг +У° Чі =-i^a[y°^}Hy+j^a{z\xa}Hx
или
dz = - M i e [ H , z 0 ] . 0 )
Аналогичным образом можно представить и вторую пару уравнений
дН
dz =/ЧЛЕ, 2 ц ] . (2)
Соотношения (1) и (2), таким образом, являются уравнениями
Максвелла для плоских волн.
Ищем решение этих уравнений в виде
Е-Ея.еЛ-'-1 " ) ; '
Н=НтеЛш ' - * 2 ) ; (3)
Подставляя эти выражения для Е и H в уравнения (1), (2),
находим
Е = ^ [ Н ) 2 о ] ; (4)
Н — ^ [ Е д о ] . (5)
Из этих векторных соотношении следует, что векторы Е, H, z°
взаимно перпендикулярны и они соответственно ориентированы как
единичные координатные векторы х°, у0 , z° (рис. 2). Для того чтобы
найти величину к, подставим выражение для
f. вектора H из (5) в (4) и получим
1— кі >
Рис. 2 то есть
(6)
Величина к называется волновым числом или постоянной распространения.
Смысл к проще всего выяснить, рассматривая уравнение плоскости
равных фаз:
const.
Дифференцируя это уравнение по времени, получаем выражение
для фазовой скорости волны
dz
dt ^ к
с
п 1
где с= лГ—= —скорость распространения в свооодном пространстве, п=Ѵѵ& — показатель преломления. Следовательно,
ш _ 2я
где X—длина волны.
Подставляя выражение (6) для к в формулы (4) и (5), находим
£ = Z e [ H ) Z ° J ;
H - у - [z°,E],
(7)
где
имеет размерность сопротивления п называется волновым сопротивлением
среды.
Для свободного пространства
Z « = j / ^ = 1 2 0 l î = Z ° - ' ( 8 )
Поскольку Za вещественно, то, как видно из (7), векторы Е и H
колеблются синфазно (рис. 3).
Рис. 3
Плотность потока энергии волны равна
S = I E , H ] = £ t f z ° .
Средняя плотность потока энергии рассчитывается по формуле
S c p = - 2 - R e { E , H * } = ^ | .
Плотность энергии равна сумме плотностей энергии электрического
и магнитного полей шв и w..\
- F3
та»=- 2
То есть энергии, запасенные в электрическом и магнитном полях
равны по величине.
Далее получаем
s Е* _L_=-d.
W
то есть
S=wvz°. (9)
Следовательно, в случае плоской волны в диэлектрике вектор
плотности потока энергии равен плотности электромагнитной энергии,
умноженной на скорость распространения волны.
Рассмотрим структуру электромагнитного поля плоской однородной гармонической волны, фронт которой параллелен координатной плоскости xOy.
Условие однородности предполагает независимость поля волны на поверхности ее фронта, т.е.:
= 0
∂
∂
=
∂
∂
y
E
x
E
r r
, = 0
∂
∂
=
∂
∂
y
H
x
H
r r
. (7.9)
Разобьем векторное волновое уравнение (7.3) для напряженности электрического поля на три скалярных, которые с учетом (7.9) будут иметь вид:
2 0
2
2
+ =
∂
∂
x
x k E
z
E &
&
, (7.10а)
∂
y
y k E
z
E &
&
, (7.10б)
2 0
2
2
+ =
∂
∂
z
z k E
z
E &
&
. (7.10в)
Нетрудно убедиться, что одно из решений данной системы будет иметь
следующий вид:
kz
E Eme j − = & r
& r
или E(t) E e z cos( t z)
= m ω − β r r −α
. (7.11)
Принимая во внимание, что
z
E
y
E
x
E Ex y z
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
=
& & & & r
div и учитывая условие
(7.9), находим, что = 0
∂
∂
z
E& z
, т.е. E& z = const . Последнее утверждение согласуется с выражением (11) только в том случае, если положить E& z = 0 .
Для упрощения дальнейших выкладок положим, что также и E& y = 0 . То-
гда решение волнового уравнения будет иметь вид:
kz
E exExme j − = & r & r
. (7.12)
Для определения напряженности магнитного поля H& r
воспользуемся вто-
рым уравнением Максвелла E H & r
& r
j 1 rot
μω
= . Вначале найдем E& r
rot :
y x y
kz
y mx
kz
y mx
x
x y z
x y z
E e e kE e e kE e
z
e
z
E
E E E
x y z
e e e
E r & r & r & r
r r r
& r
rot ( j ) = −j j = − j
∂
∂
=
∂
∂
=
∂
∂
∂
∂
∂
∂
= − − .
Отсюда
x y Exey H yey H kE e k r r & r & & r
=
ωμ
− =
ωμ
= j 1 ( j) ,
где
c
x
y x Z
H k E E
&
& & =
ωμ
= , Z e c
H k
E
Z c
y
x
c
= ψ
ε
μ
=
ω εμ
ωμ
=
ωμ
= = j
&
&
,
Z c – характеристическое сопротивление среды. Для вакуума
Zc0 = 120π ≈ 377 [Ом].
Таким образом, в данном случае поле электромагнитной волны имеет
только две составляющие H& y и E& x , которые связаны между собой с помощью характеристического сопротивления среды Z c . В общем случае, если
диэлектрическая или магнитная проницаемости среды являются комплексными величинами, то поля H& r
и E& r
отличаются по фазе на угол ψc . Если среда не имеет потерь, то ее характеристическое сопротивление вещественное и
поля H& r
и E& r
синфазные. Следует обратить внимание на то, что векторы E& r
и
H& r
в пространстве ориентированы перпендикулярно друг другу и направлению распространения волны ez r . Нетрудно убедиться, что направление движения энергии, определяемое вектором Пойнтинга, также совпадает с направлением распространения волны:
E H ExH y ex ey ExH yez Ex Zcez H y Zcez r & r & r & & r r & & & r
& r
& r
* * * 2 * 2
2
1
2
1
2
[ , ] 1
2
[ , ] 1
2
Π = 1 = = = = .
Рисунок 7.1
На рис.7.1 показано продольное распределение электромагнитного поля плоской волны, распространяющейся в среде без потерь, в фиксированный
момент времени t = t0 . В этом случае волна при распространении не затухает
(α = 0 ), а напряженности электрического и магнитного полей синфазны. При
наличии в среде потерь (σ ≠ 0, α ≠ 0) амплитуда волны будет затухать по
экспоненциальному закону exp(−αz) , а между компонентами поля E& и H&
появится сдвиг фаз (рис.7.2).
Определим в явном виде параметры волны α и β, полагая, что потери в
среде обусловлены только ее конечной проводимостью. В этом случае
ε = ε′ − jε′′ = ε(1− jtg δ) , μ = μ0 , а k = ω εμ = ω με(1− jtg δ) . Подставляя сюда k = β − jα , получаем уравнение относительно неизвестных α и β:
Рисунок 7.2.
. (7.13)
Разобьем комплексное уравнение (7.13) на два вещественных. Чтобы получить первое из них, возведем левую и правую части равенства в квадрат:
β2 − j2αβ − α2 = ω2εμ − jω2εμtgδ
и приравняем вещественные части полученных выражений:
β2 − α2 = ω2εμ. (7.14)
Второе уравнение получим из равенства квадратов модулей левой и правой частей (7.13):
β2 + α2 = ω2εμ 1+ tg2 δ . (7.15)
Решая систему уравнений (7.14)-(7.15), находим искомые величины:
( 1 tg 1)
2
+ 2 δ +
εμ
β = ω ; (7.16)
( 1 tg 1)
2
+ 2 δ −
εμ
α = ω . (7.17)
Многие из встречающихся на практике сред можно с уверенностью отнести либо к хорошим диэлектрикам, у которых tg δ << 1, либо к проводникам,
которые имеют tg δ >> 1. Разберем эти два случая отдельно.
1) Диэлектрики
Воспользуемся неравенством tg δ <<1 и найдем приближенное значение
корня + 2 δ ≈ + tg2 δ
2
1 tg 1 1 , которое подставим в выражения (7.16) и (7.17),
что в результате дает
β ≅ ω εμ = 2π/ λ ; (7.18)
εμ δ = β δ
ω
α ≅ tg
2
tg 1
2
. (7.19)
Таким образом, в диэлектрике с малыми потерями коэффициент затухания волны прямо пропорционален tg δ , а фазовый коэффициент β практически не зависит от него.
Найдем характеристическое сопротивление диэлектрика:
j 2
j
1
(cos jsin )
cos
(1 jtg )
δ
− δ ε
μ
=
ε
μ
≈
δ − δ
δ
ε
μ
=
ε − δ
μ
=
ε
μ
= = e
H e
Z E c &
&
, (7.20)
откуда следует, что комплексные амплитуды напряженности электрического
и магнитного полей электромагнитной волны, распространяющейся в диэлектрике с малыми потерями почти синфазные, поскольку фазовый сдвиг
между составляет очень малый угол, равный ψ = δ / 2 ≈ 0,5tg δ << 1.
Своеобразным эталоном для любого диэлектрика является вакуум, по-
этому принято сравнивать все параметры любой волны, распространяющейся
в реальном диэлектрике с параметрами такой же волны, распространяющейся
в вакууме. Для вакуума ε = ε0 , μ = μ0 и σ = 0, откуда следует:
k0 = β0 = ω ε0μ0 , α0 = 0, 8
υ0 = 1/ ε0μ0 = 3⋅10 [м/сек],
λ0 = 2πυ0 ω = υ0 f , Zc0 = μ0 ε0 = 120π ≈ 377 [Ом],
где индекс 0 – означает принадлежность величины к волне, распространяющейся в вакууме.
Тогда параметры волны, распространяющейся хорошем диэлектрике, могут быть записаны в следующем виде:
εrμr
υ
=
β
ω
υ = 0 ,
f f r r εrμr
λ
=
ε μ
υ
=
υ
λ = 0 0 , r r εrμr
λ
π
β ≅ β ε μ =
0
0
2 .
2) Проводники
Полагая tg δ >> 1, формулы (7.18)-(7.19) легко преобразовать к следующему виду:
Δ
=
μσω
δ =
εμ
α ≈ β ≈ ω 1
2
tg
2
, (7.21)
кроме того, найти скорость и длину волны в проводнике:
=ωΔ
ωμσ
=ω
δ
ω εμ
ω
=
β
ω
υ= 2
tg
2
2
, = πΔ
ωμσ
= π
μσ
ω
ω
π
=
ω
υ
λ = 2π 2 2 2 2 2 ,
а также его характеристическое сопротивление:
σΔ
+
+ =
ωμσ
σ
=
σ
μω
=
− σ
μω
=
ε
μ
=
π
(1 j) 1 j
2
1
j
4
j
Z c e ,
где
ωμσ
=
α
Δ = 1 2 . (7.22)
Полученные формулы свидетельствуют о том, что в проводниках с
tg δ >> 1 волна имеет примерно равные коэффициенты затухания α и фазы β ,
причем их величины оказываются заметно больше, чем в случае диэлектрика.
Напротив, скорость и длина волны в проводнике, как и модуль его характеристического сопротивления, имеют намного меньшие значения, чем в случае диэлектрика.
В заключение рассмотрим, какой физический смысл имеет величина Δ,
определенная выражением (7.22). Нетрудно убедиться, что она имеет размерность расстояния. Поскольку амплитуда волны с расстоянием уменьшается по закону e−αz , то очевидно, что Δ – это такое расстояние, при прохождении которого амплитуда волны e ≈ 2,71 раз, поскольку Δ ⋅α = 1. При этом
волна теряет значительную часть мощности (около 86,5%).
Глубина проникновения волны в медь, у которой удельная проводимость
σ = 5,7 ⋅107 Сим/м, на частоте f = 10 ГГц составляет всего Δ ≈ 0,6 мкм.
Как известно, при наличии проводимости в уравнениях Максвелла
диэлектрическую проницаемость следует заменить комплекснон диэлектрической проницаемостью. Соответственно этому во
ьсех формулах, выведенных в предыдущем пункте, &а следует заменить
на г ' = е й _ / ' — . Тогда будем иметь
где
постоянная распространения или коэффициент фазы;
— коэффициент ослабления;
Согласно этим формулам
E=Eme-azcos(u>t—ßz);
Н= y < ^ ^ - « c o s ( oe / — р \ г - ф ),
где
Таким образом, в среде с проводимостью плоская волна по мере распространения ослабляется.
Рис. 4
Между колебаниями векторов Е и H имеется сдвиг по фазе —
вектор H опережает по фазе вектор Е (рис. 4).
Скорость распространения волны п длина волны равны
ѵ = і г = г , Н . >•= - у =4°»);
то есть являются функциями частоты. Следовательно, среда с проводимостью является, диспергирующей. Для двух крайних случаев выражения для ß и а приведены в следующей таблице:
— «1 — »1
S | / J _
а 2 у Еа
/ о)(іаа
V 2
а Величина — имеет смысл отношения плотности тока проводимости к плотности тока смещения. Поэтому — <£1 соответсчвует среде, близкой к диэлектрику, a ^>1 соответствует среде, близкой к проводнику.
В первом случае волна распространяется с такой же скоростью, как если бы проводимость среды равнялось нулю. Однако эта волна ослабляется с коэффициентом ослабления, не зависящим ст частоты.
В среде, близкой к проводнику, коэффициенты фазы и ослабления равны по величине и очень велики, т. е. длина
Исследование, описанное в статье про электромагнитные волны, подчеркивает ее значимость в современном мире. Надеюсь, что теперь ты понял что такое электромагнитные волны, плоские волны и для чего все это нужно, а если не понял, или есть замечания, то не стесняйся, пиши или спрашивай в комментариях, с удовольствием отвечу. Для того чтобы глубже понять настоятельно рекомендую изучить всю информацию из категории Теория электромагнитного поля
Комментарии
Оставить комментарий
Теория электромагнитного поля
Термины: Теория электромагнитного поля