Лекция
Привет, Вы узнаете о том , что такое коэффициент отражения, Разберем основные их виды и особенности использования. Еще будет много подробных примеров и описаний. Для того чтобы лучше понимать что такое коэффициент отражения, коэффициент прохождения, поверхностные волны на границе сред , полное отражение, отражение от движущихся сред , настоятельно рекомендую прочитать все из категории Теория электромагнитного поля.
Здесь приведем энергетическое определение коэффициентов отражения и прохождения.
коэффициент отражения определяется как отношение нормальной составляющей плотности потока энергии отраженной волны от единицы поверхности раздела сред к нормальной составляющей
плотности потока энергии падающей волны на ту же единицу поверхности (рис. 1), т. е.,
(1)
где 
векторы Пойнтинга.
коэффициент прохождения определяется аналогично, то есть это отношение нормальной составляющей плотности потока энергии прошедшей волны через единицу поверхности раздела сред к нормальной составляющей плотности потока энергии падающей волны на ту же единицу поверхности (рис. 2);
при 
он равен
(2)
Подставляя в (1) формулы (8) н (11) из лекции 16, находим
причем, как нетрудно проверить, имеют место равенства
(7)
В силу равенств (7) достаточно проанализировать коэффициенты отражения. Нас будет интересовать, как меняются эти коэффициенты с изменением угла 
Прежде всего очевидно, что при нормальном падении волны на границу раздела различия между вертикальной и горизонтальной поляризациями не должно быть. В самом деле, при малых углах падения 
, как следует из закона Сиеллнуса,
и обе формулы (3) и (4) дают одинаковый результат
При 
в обоих случаях поляризации коэффициенты отраженя равны 1.
При других углах падения коэффициенты отраженя при вертикальной и горизонтальной поляризациях могут значительно отличаться друг от друга.
При горизонтальной поляризации коэффициент отражения ни при каком угле tp в нуль не обращается.
При вертикальной поляризации коэффициент отражения обращается в нуль тогда, когда
то есть когда
Поскольку при этом условии
из закона Снеллиуса
находим
(8)
Угол 
определяемый этим равенством, называют углом Брюстера или углом полной-поляризации.
Падающая под углом Брюстера вертикально поляризованная волна от границы раздела двух сред не отражается вовсе, а проходит полностью во вторую среду. Этот эффект аналогичен явлению согласования двух длинных линий с различными волновыми сопротивлениями.
При любой другой поляризации при угле Брюстера отражается лишь горизонтально поляризованная составляющая волны. Поэтому угол Брюстера называют утлом полной поляризации.
В оптике эффект полной поляризации используют для получения поляризованного света. Заметим, что при падении плоской волны на границу раздела изотропной н анизотропной сред происходит двояколучепреломление. Так, плоская волна в кристалле расщепляется на две волны. Каждая из этих расщепленных волн распространяется со своими фазовой и лучевой скоростями.
Пусть волна проходит из среды 1 в среду 2, показатель преломления которой меньше, чем показатель преломления среды 1.
Тогда согласно закону Снеллиуса 
имеет смысл угла преломления лишь при углах падения <р, удовлетворяющих условию
. (9)
Возникает вопрос: что происходит на границе раздела сред, если это неравенство не удовлетворяется? Для того чтобы ответить на этот вопрос, рассмотрим фазовый множитель плоской волны
Заменив здесь r в соответствии с рис. 3 выражением
этот фазовый множитель можно представить в виде
(10)
Рис. 3
В таком же виде можно представить (опуская 
) фазовый множитель волны и в среде 2
(11)
Как следует из закона Снеллиуса
и при углах 
не удовлетворяющих неравенству (9),
(12)
—• чисто мнимая величина.
Знак «—» взят для обеспечения ослабления волны при больших расстояниях от границы раздела. Таким образем, фазовый множитель волны в среде 2 при невыполнении (9) имеет вид (опуская 
)
(13)
Следовательно в рассматриваемом случае распространения волны в глубь среды 2 не будет. Волновой процесс будет только параллельно границе раздела, убывая по экспоненциальному закону-по мере увеличения расстояния z от границы раздела сред. Коэффициенты отражения здесь в'обоих случаях поляризации, как проще всего установить из формулы (10) лекции 16, равен единице.
Действительно, отношение 
- в обоих случаях поляризации имеет вид 
и, следовательно, 
Поэтому рассмотренное явление и называют полным внутренним отражением.
Явления отражения и преломления плоских волн на границе диэлектрика и металла также происходят в соответствии с законом Снеллиуса, но в этом случае показатель преломления второй среды проводника является комплексным.
Поэтому фазовый множитель (11) представится в виде
Для упрощения выкладок будем считать, что волна падает на проводник нормально и тогда фазовый множитель прошедшей в проводник волны (опуская множитель 
) будет равен
Как было показано в лекции 13, в проводнике
(14)
Плотность тока, создаваемая полем прошедшей в проводник волны, будет равна
(15)
Из формулы (14) видно, что чем больше частота 
тем больше α и, следовательно, тем меньше обратная величина
Величина 
—называется глубиной проникновения, поскольку, как видно из (15), высокочастотные токи практически сосредоточены в слое толщины о. Численно 8 равно расстоянию, на протяжении
которого амплитуда поля убывает в е раз. На очень высоких радиочастотах, а тем более в оптическом диапазоне волн величина очень мала.
Явление сосредоточения поля в очень тонком слое проводника называется скин-эффектом. Для. характеристики скин-эффекта, кроме , вводят еще в рассмотрение понятие поверхностного сопротивления
Zs. Об этом говорит сайт https://intellect.icu . Для его определения вычислим ток, текущий по проводнику толщины d по полосе шириной в 1 м (рис. 4):
Рис. 4
Отсюда следует, что
По определению,
причем
Таким образом, поверхностное сопротивление Zs — это сопротивление полосы проводника в единицу площади (двойная штриховка на рис. 4).
Ход лучей вблизи границы раздела показан для волн с параллельной поляризацией на рис.4. В этом случае в плоскости падения лежат векторы 
векторы
направлены параллельно границе раздела. Потому граничные условия для этих векторов на поверхности раздела будут выглядеть следующим образом:
Преобразуем второе равенство к виду:
и затем разделим равенства (8.17) и (8.19) на 
, результате чего придем к системе уравнений:
Решая эти уравнения относительно 
, получаем формулы Френеля для волн параллельной поляризации:
Для идеальных диэлектриков при μ1 = μ2 последние выражения преобразуются к виду:
Нетрудно показать, что в случае нормального падения линейно поляризованной волны на поверхность раздела двух сред (ϕ = π/ 2 ) коэффициенты прохождения и отражения определяются следующими выражениями:
(8.26)
Отсюда следует, что коэффициенты отражения и прохождения для волн с разной поляризацией оказываются одинаковыми, что вполне естественно, поскольку в этом случае плоскость падения оказывается неопределенной.
Будем считать, что среды по обе стороны от границы раздела являются идеальными немагнитными диэлектриками, у которых μ2 = μ1, σ = 0. Покажем, что существует такой угол падения, называемый углом Брюстера
ϕ = ϕбр , при котором падающая параллельно поляризованная волна не отражается от границы раздела (коэффициент отражения R|| = 0 ). Нетрудно установить, что в случае ε2 ≠ ε1 (т.е. θ ≠ ϕ) это условие будет выполняться только в том случае, когда знаменатель выражения (8.24) стремится к бесконечности, то есть tg(ϕ + θ)→∞ , откуда следует ϕ + θ = π/ 2. Подставляя θ = π/ 2 − ϕ во 2-й закона Снеллиуса, находим искомый угол Брюстера:
(8.27)
или
(8.28)
Из (8.28) следует, что угол Брюстера существует для любых соотношений между ε1 и ε2 , т.е. и для n2 > n1, и для n2 < n1.
Рассмотрим более подробно второй случай, когда электромагнитная волна проходит из более плотной среды в среду менее плотную ( n1 > n2 , ε1 > ε2 ) и имеет место следующее соотношение между углами падения преломления:
. (8.29)
Поскольку n2 / n1 <1, то sin θ > sin ϕ и θ < ϕ. Отсюда можно найти такой угол падения ϕкр , называемый критическим углом, при котором угол преломленная волна начинает скользить по поверхности раздела (θ = π/2):
. (8.30)
При ϕ ≥ ϕкр наблюдается явление полного отражения 
для волн обеих поляризаций. Типичные графики зависимостей модуля и фазы коэффициента отражения показаны на рис.8.5 для двух характерных случаев:
n2 > n1 (рис.8.5,а,в) и n1 > n1 (рис.8.5,б,г).
При расчетах упомянутых графиков полагалось, что среды 1 и 2 имеют следующие параметры: ε1r = 4 , ε2r =1, μ1r = μ2r =1, σ1 = σ2 = 0.
Примером такого использования может служить световод (современная линия передачи оптического диапазона волн), представляющий собой гибкий диэлектрический стержень, в середине которого распространяется электромагнитная волна, удерживаемая внутри диэлектрика за счет использования именного этого эффекта, эффекта полного внутреннего отражения.
Рисунок 8.5.
Нетрудно показать, что при падении плоской волны на границу раздела под углом ϕ > ϕкр , когда наблюдается явление полного внутреннего отражения, модули коэффициентов отражения для волн обеих поляризаций равны единице 
. Это означает, что падающая волна полностью отражается от границы раздела, а переносимая с ней мощность полностью отражается назад в 1-ю среду и совсем не проходит во 2-ю среду. Вместе с тем, из формул (8.23) и (8.25) следует, что при ϕ > ϕкр коэффициенты прохождения T⊥ и T|| не равны нулю (T⊥ ≠ 0 и T|| ≠ 0 ), т.е. поле в среде 2 все же существует. Поэтому имеет смысл рассмотреть структуру этого поля более подробно, полагая, что оно описывается выражением (8.3), которое с учетом обозначений, принятых на рис.8.3 
, записывается
в виде:
. (8.31)
Из закона синусов следует, что при наличии полного внутреннего отражения, т.е. когда ϕ > ϕкр , sin θ должен быть больше единицы:
. (8.32)
что не в принципе невозможно, если под θ понимать реальный пространственный угол преломления. Однако, если предположить, что величина θ = θ является комплексной, то значение sin θ может превышать 1. Поэтому примем это предположение и представим θ в виде:
, (8.33)
где θ′ вещественная часть θ , соответствующая реальному пространственному углу θ, а θ′′ – мнимая часть θ , физический смысл которой еще предстоит выяснить. Учитывая, что при углах падения ϕ > ϕкр преломленная волна скользит вдоль поверхности раздела и реальный угол преломления равен θ = π/ 2 , найдем значения sin θ и cosθ :
С учетом (8.34)-(8.35) формула (8.31) приобретает следующий вид:
(8.36)
где
(8.37)
Выражение (8.36) описывает плоскую электромагнитную волну, которая распространяется вдоль оси z в положительном направлении. Фазовый коэффициент этой волны равен β2z = k2 ch θ′′ > k2 . Множитель e−α2x x в (8.36) свидетельствует об экспоненциальном убывании амплитуда волны при удалении точки наблюдения от поверхности раздела. Таким образом, выражение (8.36) дает основание утверждать, что во 2-й среде существует плоская неоднородная электромагнитная волна, которая распространяется вдоль поверхности раздела x = 0. Поскольку основная часть энергии, переносимой этой волной, сосредоточена также вблизи поверхности, то такую волну принято называть поверхностной. Возникновение этой волны можно рассматривать как проявление некой “инерционности” электромагнитного поля при полном отражении волны от поверхности раздела.
Рассмотрим подробнее фазовый коэффициент β2z и постоянную ослабления α2x поверхностной волны. Используя закон синусов (8.7), равенства (8.37) нетрудно преобразовать к следующему виду:
а также получить формулу для определения скорости распространения поверхностной волны:
. (8.40)
Из полученных выражений видно, что параметры α2x , β2z и υ2z зависят от угла падения ϕ. Чем сильнее неравенство ϕ > ϕкр , тем больше величины фазового коэффициента β2z и постоянной затухания α2x , и тем меньше скорость волны υz . Последняя, кстати, имеет вполне определенные границы изменения: υ2 > υ2z > υ1 – от υz =υ2 при ϕ = ϕкр до υz =υ1 при ϕ = 90o .
Здесь, как и ранее, υ1 и υ2 – скорости распространения электромагнитной волны в 1-й и 2-й средах соответственно (υ1 < υ2, поскольку здесь n1 > n2 ) .
Теперь найдем поле в 1-й среде для случая полного внутреннего отражения, которое образуется наложением двух волн – падающей и отраженной.
Учитывая, что в этом случае коэффициента отражения можно представить, как 
, искомое поле запишем в следующем виде:
Поле в среде 1, представленное выражением (8.41), есть электромагнитная волна, бегущую вдоль оси z. Амплитуда этой волны E&Σ зависит от поперечной координаты x и сама представляет собой стоячую волну вдоль оси x.
Фазовые постоянные β1z бегущей вдоль оси z волны и β1x стоячей вдоль оси x волны являются проекциями волнового числа k1 на соответствующие оси координат:
Длина стоячей волны вдоль оси x, определяемая из соотношения
(8.42)
и скорость распространения бегущей волны
z (8.43)
являются зависимыми от угла падения ϕ, а их величины оказываются большими по сравнению с аналогичными в свободном пространстве с такими же параметрами, как и первая среда.
Подводя итог данному параграфу, следует отметить, что плоская граница раздела двух сред при наличии явления полного отражения преобразует плоскую однородную электромагнитную волну, падающую на нее из произвольного направления (ϕкр < ϕ < 90o ) в неоднородные электромагнитные волны и направляет их движения вдоль поверхности раздела. Таким образом, можно считать, что граница раздела в данном случае служит некой направляющей системой для распространения электромагнитных волн в обеих средах. При этом скорость распространения волны в 1-й среде υ1z в точности совпадает со скоростью движения поверхностной волны во 2-й среде υ2z , что отчетливо видно при сравнении формул (8.40) и (8.43).
На рис.8.6 показаны типичные распределения амплитуд волн, существующих в обеих средах при наличии явления полного внутреннего отражения. Координата x здесь нормирована к длине волны в 1-й среде. При построении графиков считалось, что 1-я среда (оптически более плотная) занимает полупространство x < 0, а 2-я среда – полупространство x > 0 . Сами среды имеют те ж параметры, что и в случае рис.8.5. На приведенных графиках хорошо видно, что в 1-й среде распределение амплитуды имеет вид стоячей волны, длина которой растет с увеличением угла падения ϕ. Амплитуды поверхностной
волны во 2-й среде апериодически убывает с удалением от поверхности раздела ( x = 0 ) по экспоненциальному закону, причем скорость этого убывания растет с увеличением угла ϕ.
рис.8.6
Выше подробно был изучен характер явлений, сопровождающих падени плоской электромагнитной волны на плоскую поверхность раздела двух идеальных диэлектриков. Теперь мы проследим, как влияет проводимость 2-й среды на характеристики отраженной и преломленной волн. Будем считать, что 1-я среда, в которой распространяется падающая волна, есть идеальный
диэлектрик с параметрами ε1 и μ1, а вторая среда – проводящая с параметрами ε2 , μ2 и σ2 . Волновое число 1-й среды будет вещественным k1 = β1, а волновое число 2-й среды – комплексным k 2 = β2 − jα2 . В таком случае из закона синусов следует, что 
, также как и θ, тоже является комплексной величиной. Обозначая 
и учитывая, что
, запишем поле преломленной волны во 2-й среде:
. (8.44)
Таким образом, поле в поглощающей среде представляет собой бегущую волну. Фронт (поверхность равных фаз) волны 
представляет собой плоскость, которая наклонена к оси z под углом
, (8.45)
который одновременно является и углом преломления волны, поскольку направление ее движения совпадает с нормалью к ее фронту. Поверхность равной амплитуды x = const представляет собой плоскость, которая параллельна поверхности раздела. Следовательно, данную волну можно классифицировать, как плоскую и неоднородную, т.к. поверхности равных фаз и амплитуд не совпадают.
Амплитуда преломленной волны с углублением последней в проводящую среду убывает по экспоненциальному закону 
и на глубине
она падает в e ≈ 2,71 раз. При этом волна теряет значительную часть мощности (около 86,5%). Чем выше частота колебаний ω и чем больше проводимость среды, тем меньше глубина проникновения Δ. Таким образом, высокочастотное электромагнитное поле в проводнике сосредотачивается главным образом у его поверхности. Данное явление получило название поверхностного эффекта. Глубину проникновения Δ в литературе часто еще называют толщиной скин-слоя (от английского слова skin – кожа). Чтобы оценить реальные величины глубины проникновения, приведем один пример. Глубина проникновения волны в медь, удельная проводимость которой равна σ = 5,7 ⋅107 Сим/м, на частоте f = 10 ГГц составляет Δ ≈ 0,6 мкм.
Теперь положим, что 1-я среда, как и ранее, есть идеальный диэлектрик, а 2-я является хорошим проводником (например, металлом), для которого 
, и при этом выполняются условия 
и 
. Воспользовавшись 2-м законом Снеллиуса, нетрудно показать, что 
, и, следовательно cosθ ≈1. Кроме того, очевидно,
что в этом случае 
, откуда следует γ <<1.
Это говорит о том, что направление движения преломленной волны в металле мало отличается от нормали к поверхности раздела. Поскольку это так, то векторы 
, расположенные в плоскости, перпендикулярной направлению распространения, сами и являются тангенциальными компонентами по отношению к границе раздела, следовательно, для них можно записать следующее соотношение:
(8.46)
которое называется приближенным граничным условием Леонтовича-Щукина Z c2 = (1+ j) /(Δσ) . Из него следует, что на поверхности реального металла тангенциальная компонента электрического поля весьма мала, поскольку характеристическое сопротивление Z c2 хорошего проводника является очень малой величиной. Однако в ряде случаев этой компонентой поля пренебрегать нельзя, особенно когда речь идет о расчете мощности тепловых потерь электромагнитного поля. Дело в том, что именно тангенциальные компоненты полей определяют величину плотности потока мощности, проникающей через поверхность внутрь проводника и рассеиваемой в нем. Действительно, комплексный вектор Пойнтинга, направленный внутрь проводника, в данном случае имеет вид:
.
Зная плотность вектор Пойнтинга, нетрудно найти мощность потерь в проводнике:
Теперь покажем, что характеристическое сопротивление проводника Zc2 , является одновременно и его поверхностным импедансом S Z . следовательно. Для этого необходимо предположить, что проводник является идеальным и внутри него отсутствуют электрические и магнитные поля, а по его поверхности течет ток проводимости, поверхностная плотность которого равна 
. Этот ток проводимости вызван наличием тангенциальной компонентой электрического поля 
и связан с ней законом Ома, который в данном случае можно записать в виде 
Подставляя сюда 
из (42) и, учитывая граничные условия для тангенциальной компоненты магнитного поля
, имеем:
, (8.47)
Откуда следует равенство:
говорящее о том, что поверхностное сопротивление проводника совпадает с его характеристическим сопротивлением.
Оценим теперь коэффициенты отражения от металла волн с различной поляризацией, считая, что угол их падения ϕ заметно отличается от 90°:
Чем лучше проводник, тем меньше отношение Z c2 Zc1 и тем ближе коэффициенты отражения к 1. Нетрудно показать, что в предельном случае, 2-я среда станет идеальным проводником, у которого σ2 →∞ и Zc2 = 0, коэффициенты отражения и прохождения не будут зависеть от углов падения ϕ и будут равны:
Рассмотрим падение плоской ЭМВ на границу раздела двух сред, лежащую в плоскости x = x0 . Будем полагать, что среда 1 является идеальным диэлектриком, а падающая волна движется по нормали к поверхности раздела, т.е. угол падения ϕ = 0. Тогда поля падающей и отраженной волн могут быть описано следующими выражениями:
. (8.50)
Найдем комплексную амплитуду отраженной волны 
, полагая, что амплитуда падающей волны 
и коэффициент ее отражения R от поверхности раздела x = x0 нам известны:
Подставляя сюда значения напряженности полей падающей и отраженной волн, имеем:
Откуда находим:
(8.51)
Теперь, зная − m E& , выражение (8.50) можно записать в виде:
. (8.52)
Зависимость напряженности электрического поля отраженной волны от времени будет выглядеть следующим образом:
, (8.52)
где 
Теперь предположим, что плоскость x = x0 , разделяющая две разные среды, движется вдоль х со скоростью V0 , значительно меньшей скорости движения волны в 1-й среде υ1 =1/ ε1μ1 . Тогда положение плоскости раздела будет изменяться во времени по линейному закону x0 =V0t , а зависимость напряженности поля от времени приобретет следующий вид:
Если граница раздела движется вдоль оси x в положительном направлении, т.е. удаляется от источника ЭМВ 
, то Ω > 0 и ω1 = ω−Ω < ω.
В случае, когда граница раздела движется по направлению к источнику волн, т.е. приближается к нему, то 
откуда Ω<0 и ω1=ω0 – Ω>ω0.
Явление изменения частоты электромагнитной волны при отражении ее от границы раздела двух сред, движущейся вдоль направления распространения волны, называется эффектом Доплера, а величина Ω, на которую частота отраженной волны отличается от частоты падающей, называется – частотой Доплера.
Плоская граница раздела двух сред в рассмотренной задаче играла роль некого отражателя, от которого отражалась первичная падающая волна. Такую же роль, в принципе, может играть любое движущееся тело или поверхность, способное отражать электромагнитные волны, например самолет, автомобиль, корабль или человек. Поэтому эффект Доплера широко используется в технике, в частности радиолокации, для обнаружения и селекции движущихся объектов.
Исследование, описанное в статье про коэффициент отражения, подчеркивает ее значимость в современном мире. Надеюсь, что теперь ты понял что такое коэффициент отражения, коэффициент прохождения, поверхностные волны на границе сред , полное отражение, отражение от движущихся сред и для чего все это нужно, а если не понял, или есть замечания, то не стесняйся, пиши или спрашивай в комментариях, с удовольствием отвечу. Для того чтобы глубже понять настоятельно рекомендую изучить всю информацию из категории Теория электромагнитного поля
Комментарии
Оставить комментарий
Теория электромагнитного поля
Термины: Теория электромагнитного поля