См. также - СФЕРИЧЕСКИЕ ВОЛНЫ Векторное и скалярное волновое уравнение

Это окончание невероятной информации про сферические волны.

...

сфере. Воспользовавшись еще раз соотношениями ортогональности, мы
получим
J J Р izos ч)РТ, (COS Ь) COS то sin bdb do = ^^-^±^с„,. D2)
0 0
Но, согласно C9),
Г Г ^и (cos "О Рп (cos б) COS то sin 6 йб cfc =
о о
= 2^ ^^" (^°' ^^ ^°' '^'^^т=о = slTfT Р» (cos а) cos /«р, D3)
так как при ^=0 имеем 6= а, о = р. Следовательно,
Аналогично
^- = 2-(Ьг^^"(^°'^>'^"''^Р- . (^^>
Искомое разложение или формула сложения будет, следовательно,
Рп (cos fi = Рп (cos ос) Рп (cos б) -f-
п
m = 1
На основании этого результата мы можем дать иное выражение для
теоремы, сформулированной на стр. 355, а именно: если g{^,o) и ее
производные обладают необходимыми свойствами непрерывности на поверхности
.сферы, то ряд Лапласа A8) для этой функции будет иметь вид
g{%^)='lYn{M), D7)
или, в силу A9) и D6),
и = 0
2ic г:
^F, ?)=^S(^'' + ^> J /^^"' ^)Pn{zos4)sma\dad^. D8)
n=0 О О
7.6. Разложение плоской волны. Теперь можно сравнительно просто
получить разложение плоской волны, распространяющейся в произвольном
направлении, на элементарные сферические волны относительно какого-либо
заданного центра. Направление распространения и длина волны определяются
в плоской волне .волновым вектором к, прямоугольные компоненты которого
равны
^^^ =^sinacosp, kg = ^ sin а sin р, ^3 = ^ cos ее. D9

Координаты произвольной точки наблюдения будут
л: = /?sin6 cos9, y==Rsinbsin% z = Rcosb. E0)
Фаза ВОЛНЫ определяется тогда выражением
kR = ^/? [sin ос sin 6cos(cp — р)-}- cos а cos б] =Ai?cosY. E1)
Функция /^^^ (/?, б, ф) = ехр {ikR cos ^) непрерывна и имеет непрерывные
производные всюду, включая и начало координат R = 0. Она может быть,
следовательно, разложена -по формуле C6), стр. 358. Рассмотрим прежде
всего ось, направление которой совпадает с направлением распространения
волны. В силу симметрии волны относительно этой оси, мы можем написать,
что
с»
gikRcosf^ 2 anUikR) Рп {cos-i), E2)
и = 0
Коэффициенты могут быть определены обычным способом, путем
умножения обеих частей равенства на Р„ (cos -у) sin т и интегрирования по т от О
до 71. Тогда, учитывая A7), получаем
1С
anjn {kR) = ?^^ J ei^R^'^^'-i Р„ (cos -у) sin -уйГт. E3)
о
Для того чтобы избавиться в этом соотнскиении от зависимости от R^
продифференцируем обе части по р = kR и положим затем р = 0. Так как,
согласно B5),
Гrf"in(P) 1 _ Пп\)^ . ....
L а^г Jp.=o"Bn-hl)!' ^^^>
■к
о
Интеграл справа легко берется, и мы получаем, что а^ = Bп -j- 1) /», т. е.
со
^гкВ cos f == 2 i'^ Bп -f 1 );n (kR) Pn (COS 7). E6)
и = 0 ,
' i.
Если ось z координатной системы не совпадает с направлением
распространения волны, то.мы можем воспользоваться теоремой сложения D6),
для того чтобы записать E6) относительно произвольной системы
координатных осей. Мы получим тогда
то
со
gik Е COS т ^ 2 in Brt -\- \)j^ (kR) I P„ (cos Of) Pn (cos 6)
n = 0
n
+ 2 S -(^ТЙГ^"^'°'°'^^"^'°' e)cosm(9-p)}: E7)
7.7. Интегральные представления. Мы нашли, что в определенных
случаях оказывается удобным представлять волновую функцию в виде суммы
плоских волн с соответствующими весами или амплитудными множителями.
Направление распространения каждой из таких плоских компонент
определяется углами аир. Интегрирование должно быть распространено по
всем возможным направлениям в пространстве и может- в некоторых
случаях включать и мнимые значения а или р. Как и в разделе 6.7, мы

хотим найти представления вта.
f (X, у, Z) = (da fd^ g (a, p) e*'''(a'9in«cosp+2/sin«einP+2cosa) ^53^
или, если x = Rsinbcos cp, у = Rsin б sin cp^ z = cos 6,
f(R. 6, ?) = jdajd^gia, P) e*v.J2cosT^ E9y
где a и p — углы, показанные на рис» 66 и 70. В случае цилиндрической
волны постоянная частота и постоянная длина волны вдоль оси z приводят
к постоянному значению а, так что направления плоских волн,
представляющих цилиндрическую функцию /(а^, и^), образуют круговой конус.
Поскольку у сферических волн подобное преимущественное направление
отсутствует, интегрирование должно производиться и по а, и по р.
Интегральное представление элементарной сферической волновой
функции может быть получено непосредственно из разложения E7). Если обе
части этого уравнения умножить на Рп (cos а) cos т^, или на Р^ (cos а) sin mp,.
то благодаря соотношениям ортогональности A9) мы получим в результате
in ikR) Рп (COS б) ^°! тер = -^ г се*^-=£со8т р^ (cos а) ''?^ /ир sin а da rfp. F0)
^111 fxTw J J dill
и 0
После умножения обеих частей на произвольные постоянные а^щ и Ь^^ и
суммирования по т результат этот может быть записан также в виде
2r r
inikR) F„(e, cp) = l^ J Je^'^BcosT Y„{oi, p)sinadocrfp. F1)
0 0
Из этих общих формул можно получить много полезных выражений для<
различных специальных случаев. Так, например, положив m = О, 8=0, мы
получим представление для сферической бесселевой функции JnO^R)
к
;•„ {kR) = ^ J e«'^^*^°s«P„ (cos а) sin а da, F2)
или
+1
-1
Легко показать, что интеграл
Jn {kR) = V J ^'''^' ^" ^'^^ '^'^- ^^^>
z„ikR) = i-nj e^J^^-^P„ifl)d'n F4)
с
действительно удовлетворяет уравнению D), стр» 352, при условии, чта-
пзп'ь интегрирования С выбран таким образом, что билинейное выражение
A —^^) (^ - №Рп) е^^-^ 1^ = О F5)
исчезает на пределах интегрирования. Вместо y] = ±: 1 мы можем
выбрать такие значения, при которых исчезает экспоненциальный
множитель. Так, если k действительно^ то в качестве верхнего предела мы

можем взять ri=-ico и получить следующие представления:
1 )
h^n\kR) = i-"^ J ^^'^ Рп {ч\) d-n.
ico
ioo
h^^ (kR) ==;/-" J ei^^-^ P„ (Yj) d-q.
—1
F6)
Если из-за проводимости среды k комплексно, то мы можем взять тот из
«орней k^^ мнимая часть которого положительна, и предел y] = /oo заменить
на 7) = со.
Из F0) и E4) мы можем получить представления и для функций
Р„ (cos 6), положив о и R равными нулю:
РГ(со8 е) = ~^j^^ j j cos^-iPn (COS a) COS m^ sin a dad^. F7)
0 0
Выполнить интегрирование по a с помощью имеющихся в нашем
распоряжении формул затруднительно; можно, однако, показать иным путем, что
выражение F7) приводится к такому:
р^ (COS б) == ^"^^^^ i"^ j (cos е-I-'i sin e cos P)'^cos m^ d^. F8)
0 ■
Заметим, наконец, что воспользовавшись для бесселевой функции
интегральным представлением C7), стр. 323, можно привести правую часть F0)
к однократному интегралу. При © = О
Jn(kR)P%(cosb)==
== '-^ J е«*^ *^°« «*^о« в j^ (^kRsin е sin а) Рп (cos а) sin а da. F9)
о
7.8. Интеграл Фурье-Бесселя. Предположим, что /(л;, у, г) —
произвольная кусочно непрерывная функция с кусочно непрерывными первыми
производными и что интеграл от абсолютной величины этой функции,
распространенный по всему пространству существует. Тогда .для этой функции
существует интеграл Фурье -
Z оа со со •
fix, у, Z) = (J^J j j jg(k,, k^ k^) ^(^^1^ + ^>y + адdk, dk^ dk^, G0)
—OO CO OQ
a функция, преобразованная по Фурье относительно /, будет
3 оо CXS со
^(^1, ^2,^з) = (-^)^ J J ^f(,x,y,z)e-^^^^^^ + ^*y + ^^'')dxdydz. ill)
-оо CO CXS
Мы Преобразуем теперь эти интегралы к сферическим координатам,
предполагая молчаливо, что тройной интеграл по бесконечному кубу может
быть заменен интегралом по сфере бесконечного радиуса. Следуя тому же
пути, что и в разделе 6.9, и замечая, что k^x-\-k^-^k^^kRcos-^i,-

ai 3 оо к 2к
ПЯ, 8, 9) = (^) 'J f J^(a. ^,k)e-i'^^'^<^-'k^sinadkdad^, G2)
(К о о
3 оо в 27С
g{a\ р, ^)=(-^) ^ J f j f(^> ^' о) e-i^^^'^^iR'^ sin bdRdb do. G3)
0 0 0
Предположим теперь, что /(/?, 6, w) =/„ (/^) К„(б, cp). Ha функцию
Уп (^)> в остальных отношениях произвольную, мы наложим условие
кусочной непрерывности вместе с ее первой производной и потребуем существо-
оо
вания интеграла j\fn{R)\dR. Тогда
о
3 оо ге an
^(ос, ^^k) = (j^y J RMRfniR)j (* F(Q,9)e-^^^<^<'«ifsin6rf6rfc?. G4)
о о
Это выражение, в силу соотношения F1) и того, что 7„(—kR) =
= (—iyjn(kR), переходит в следующее:
g
— "^
(ос, р, k) = (- 1)-F„(a, P)l/ ^ jfn (R)Jn(kR)R^dR, G5)
или g(a, p, k)={— 1)*^ J'n(°'> P)§"n(^)- Внося это значение для
преобразованной функции обратно в G2) и снова меняя порядок интегрирования, мы
находим
— °°
fn(R)yni^4>)=^y ^j gnik)Jn(kR)k4kr„(b,o), G6)
о
откуда получается еще одна симметричная пара взаимно преобразующихся
функций
/ °°
о
оо
g(k)=}/^^jf(R)U(kR) R4R. G8)
о
Индекс п здесь опущен; поскольку он не имеет более какого-либо
специального смысла. В частном случае и = 0 уравнения G7) и G8) сводятся
к обычному интегралу Фурье A8), стр. 257. Если выбранное значение
R совпадает с точкой разрыва непрерывности функции /(/?), то мы напишем
оо оо
4/ ^^йrA; J/(p);„(^p);„(^p'^dp = l[/(/? + 0)+/(/?-0)l. G9)
о о
7.9. Разложение цилиндрической волновой функции. При подсчете
излучения заданного распределения переменных токов иногда бывает
необходимо выразить цилиндрическую волновую функцию в сферических
координатах. Интегральное представление для волновой функции, конеч-

ной на ОСИ, будет
COS - - '■-*"
sin
■°^ ms>J^ Ckr) е^^' = V^ Г е^^ ««^ №-?) +*^^^ ^°^ wS й?8. (80)
in ' "^^ ^ 271 J sin ^^ ' vv^"/
о
Далее
kR = Arcos(p — 9)Ч"'^'2' = ^^{ sin а sin 6 cos (© — ^)-|-cqsa cos 6 }, (81>
a на стр. 360, формула E7), мы имеем разложение функции ехр (fkR) по
соответствующим сферическим волновым функциям. Интегрируя по р, мы
получаем
"^^^m^J^ Ckr) е^^^ =
sin ' т\ /
со
= V i.-B« + l)|^^^°;m'^P^(cosa)Pr(cos6);,(A;/?). (82)
и = 0
Так как при т^п полиномы Р^ равны нулю, то первые /и членов в (82) —
нули, и можно написать разложение в виде
J^ (Ar) e'^^ =
= 2 ^'Мг» Н- 2^ + 1) („ j^m)l ^"+" ^^"' "> ^^+ ^ ^'°' ^^-^''^^^'^ ^^-^>- ^^^>
л!
г« ( z« ч-ZW-+- 1);—г
Если ОС = тг/2, то Л = О, X = yfe, и
■
О, если я нечетное,
'^n+wiO)— S : 1—^—-—,—'- ^—, если п четное. К°^г
2n+m-i(^^y,(±^,n-iy.
В результате мы получаем разложение цилиндрической бесселевой функции*
в ряд по сферическим бесселевым функциям
со
-^2^1-^rn-i 2/+2m /!(/+m-l)! Р-21+ш (cos b)j^.,^(kr). (85)-
г;=о
7.10. Теорема сложения для функции Zo(kR). Пусть P(Ro, ^, ®) будет
точкой наблюдения, а QiRu^u?i) — источником сферической волны.
Координаты Rq, 6, <р и /?j, 6j, ©1 берутся относительно фиксированной системы
координат, начало которой находится в точке О. Расстояние от Q до Р-
равно
R = V^Rli-Rl — 2RoR,cos^^
где cos "Y = cos 6 cos 6j -j- sin 6 sin 6^ cos (

чтобы выразить сферическую волну, распространяющуюся из точки Q, в виде
суммы сферических волн, источник которых расположен в точке О. Решение
этой задачи в общем виде требует длительных вычислений, а ее
практическое значение не настолько велико, чтобы оправдать затрату времени и
места. Однако в теории излучения мы будем иметь пример применения*
одного специального случая этой теоремы, а именно случай преобразованиям

ВОЛНЫ, сферически симметричной относительно источника Q. Для этого
случая без особого труда можно получить следующие разложения:
со
Jo (f^R^ = '-^ = ^Bп + 1)Р„ (COS т);п ikRo)u ikR.X (86)
n = 0
С об
о ^'^^^ ikR
,A),
2 Bл -Ь 1) ^п (COS 4)jn ikRo) Ий' {kR,) (/?о< /?i),
":' (87)
2 Bи +1) Р„ (cos т);„ (A;/?i) Л^^^ (А;/^о) (^?о > ^?i)-
l и = о
Их доказательство предоставляется читателю.
ВЕКТОРНОЕ ВОЛНОВОЕ УРАВНЕНИЕ В СФЕРИЧЕСКИХ КООРДИНАТАХ
7.11. Сферические векторные волновые функции. Как и в случае
цилиндрических координат, можно получить решения векторного
волнового уравнения в сферических координатах непосредственно из
характеристических функций соответствующего скалярного уравнения. Следуя
обозначениям предыдущего раздела, мы положим «{'е =/е -е—**"*, где 4 —
характеристическое решение
Согласно разделу 7.1, одйо из решений векторного волнового уравнения
grad div С — rot rot С -j- ^^С = О B)
может быть получено, если просто взять градиент от A). Мы
определяем L как grad 4* и отщепляем временной множитель, полагая L = Ie~*'"*.
Тогда,. согласно (95), стр. 57,
\тп =4п^п т)Рп {COS 6) 1'^ mcpii + ^г, (kR) -^ Р^ (COS 6)'^^ moi,zt
~ТШГЬ ^» (^^> ^" (^«^ ^> с1" '"^^з, C)
где i^, 12 и ig—единичные векторы, изображенные для сферической системы
координат на рис. 8, стр. 56.
Для того чтобы получить независимые решения М и N, мы должны
в соответствии с разделом 7.1 ввести постоянный вектор а. Подобная
операция в данном случае, конечно, допустима, но полученные таким образом
функции М и N не будут на всей поверхности сферы ни нормальны, ни
чисто тангенциальны. Вместо а мы воспользуемся радиальным вектором i^;
тогда векторная функция [L, ij будет тангенциальна на всей поверхности сферы.
Нэ i^ — не постоянный вектор, и мы не можем, следовательно, утверждать
а priori, что получим таким образом независимое решение. Мы покажем, однако,
что тангенциальное решение М действительно может быть построено с
помощью радиального вектора i^. К сожалению, этот путь неприменим для более
общих координатных систем.
Попробуем построить решение уравнения B) в виде вектора
M = rot(ii«(/?L.)==[L,iJ«(/?),

где u{R) — неизвестная скалярная функция R. Тогда, если AJ^y М^ и Ж^
представляют собой /?-, 6-, <р- компоненты вектора М, то
Дивергенция М равна нулю, и уравнение rot rot М — к^Ш = 0 мы разложим
теперь на /?-, 6- и ^-компоненты по формулам (85), стр. 55. /^-компонента,
тождественно равна нулю при любом выборе и (R). Условия. для 6- ш
<р-компонент будут выполнены, если и (R) будет удовлетворять уравнению
al-c»'!') + ^4гг -ш ['•"«-к («*) ] +
+^inl^W+*M=o- E>
(Особое преимущество сферической системы координат по сравнению с более
общими системами состоит в том, что это условие одинаково для обеих
тангенциальных компонент.) Следовательно, если мы возьмем и (R) = /?, то
соотношение E) сведется к требуемому уравнению
^^-]~кЦ = 0. F>
ч
Таким образом, в сферических координатах уравнение B) удовлетворяется-
функцией
М = rot (R 4-) = [L, R] = ;^ гЫ N, G)
компоненты которой равны
Компоненты третьего решения легко могут быть найдены из соотношения
A5N = rotM:
^^^— дй^ -Ь'гА^ф, ^^—kR dRdQ ' ^Q — kRsiriQdRd^' ^^^
Так как 4* должно удовлетворять уравнению D), стр. 352, то радиальная.'
компонента приводится к более простому виду ^) . .
м,=.ищ^^: - СО)
Для того чтобы получить развернутые выражения дли векторных волновых
функций М и N, нам необходимо только произвести
дифференцирование A) в соответствии с формулами (8) и (9). Временной множитель мы
1) Первое полное исследование электромагнитной задачи о сфеое было
проведено Ми ГМ i е), Ann. Physik 25, 377, 1908, и Дебаем(ВеЬуе), Ann. Physik, 30,.
57, 1909. Оба автора пользовались парой потенциальных функций, которые приводят
непосредственно к нашим векторам М и N. Связь между этими решениями и
радиальным вектором Герца была указана Зоммерфельдом в книге Франк-Мизес^
Интегральные и дифференциальные уравнения математической физики, ОНТИ,

отщепляем; написав М = m е-*"»*, N = пе-*"*', и получаем
%„ = "Т-' ^» (*«>""" ("^ *> sin «^'i +
-*«3;лщ1'?^»(*«м^(-=°^
7.12. Интегральные представления. Волновые функции 1, m и п
могут быть представлены в виде интегралов от плоских векторных волн,,
подобных интегралам A8)—B0), стр. 347. Согласно соотношению F0),.
стр. 361, для функций первого рода, которые конечны в начале координат,
мы имеем
/0) =^^\\ е'"'^'''' 'P^icos a)?Vpsinarfarfp. A3>
о 0 0
Прежде всего дифференцированием под знаком интеграла мы найдем выра-
df I df 1 df ,,
жения для компонент градиента, а именно -ш i -р "Ш ^ р • в ~г • *^з
рис. 70, стр. 358, видно, что если вектор к (а,Р) направлен вдоль линии 0Q,.
а RF,cp) — вдоль линии ОР, то
kii z=kcos'{ = k [sin а sin 6 cos (cp — P)-j-cosacos 6],
kig = k [sin a cos 6 cos (o—P) — cos a sin 6],
kig = — k sin a sin (cp — p),
A4)
где единичные координатные векторы сферической системы координат
берутся, конечно, в точке наблюдения Р. Тогда без дальнейших вычислений^
ясно, что
'"L = l?// k(a,P)/"'->P:(cosa) ^°^ m?slnadad?. ^'^
О О О
Соответствующие представления для т^** и пО) мы получим, заметив, что
iR, к] = /ji?{ sinasin(cp — p)i2-|-[sina cos 6 cos (ф —Р)—cos а sin 6] ig},
[[к, RI, к] = k^R {sin^Yii — cos -y [sin a cos 6 cos (cp — p)—cos a sine] ig-f ; A6>
+ cos Y sin a sin (9—P) is},,
и дифференцируя согласно (8) и (9), в виде:
< =1?// [k.Rl^''^'"^^^(cosa)^^°^^mPsinarfadp, A7>
о*"" о о
2я к
1-п
°г„=1^ / /1 !№• «1Ч+2*1 ^'"^ "■' X
о О
COS
XP^icosayT^m^slnadad^. A8>

Лля того чтобы получить интегральные представления функций третьего
и четвертого рода, надо заменить интегрирование по а от О до тг
интегрированием по соответствующему контуру в комплексной области, как это было
описано на стр. 361—362.
С помощью этих интегральных представлений без труда можно
вычислить прямоугольные компоненты векторов I, m и п, хотя получающиеся
в результате выражения довольно длинны и громоздки. Подинтегральные
векторные выражения разлагаются на прямоугольные компоненты, после чего
мы получаем их в виде выражений, содержащих явно а, р, 6, о. Так,
например, ^а,= Л sin а cos р. Затем с помощью рекуррентных соотношений для
сферических гармоник эти множители исключаются, и интегралы приводятся
к виду, в котором они могут j6biTb вычислены с помощью A3).
7.13. Ортогональность. Очевидно, скалярное произведение любого
нечетного вектора на любой четный вектор или на любой вектор с иным
индексом т будет ортогонально; необходимо рассмотреть, следовательно,
только такие произведения, которые не исчезают при интегрировании по со
от О до 27Г. Так
о о'"'* о
ДрШ pip'"* 9 \ 1
+{-ж ^г+ ^PnP^yk^n('"^:>''"(kR)], A9)
тде 8 = 0 при те>о и 8 = 1 при т ==0. Для того чтобы преобразовать
A9), мы Ьоспользуемся формулой
о
[ о, при п Ф п',
= { 2 (пНгтI ,. , 14 , B0)
I о—гт- т-^—(; п(п-\~\) при п=^п'.
\ 2п-\-\ {п—т)\ ^ ' ^ ^
*
Следовательно, при интегрировании A9) по 6 при пфп' мы получаем нуль,
а при п = п'
2к к
f ( L L sinbdbdo= ^
о х> о о ^
ч
Это выражение можно преобразовать к окончательному виду, воспользо-
•вавшись реккурентными соотношениями C3) и C4), стр. 357; тогда нор-
зйирующий множитель мы получим в виде
Я le™. h^ Slum d?=(i +8) (-5sw гаг "" f«'^»-' <*^)''+
+(п + 1)[г„^.1 (№))«). B2)

Те же формулы непосредственно приводят к интегралам:
2ic к
/Я»»-w^'" *'«''2;гЬ |^»(«+1I^»(*«Ж B3)
о ji о о
2ic 1С
ЯПе Пе Sin bdbd(?=
О О о О
+ «K+i(A;i?)l2), B4)
в то время как все остальные произведения, в которых индексы п различны,
дают нуль.
Рассматривая произведения векторов различного типа, мы получаем,
во-первых,
2к
О
откуда
к 2ic
/ J »е«„П1,^п. Sin 6^6^9 = 0 B6)
0 0^
независимо от значений п и п'. Аналогично *
к 2п
Г/п1е«„зПо.„, Sin 6^6^ = 0. B7)
о о <> в
Как и в цилиндрической системе координат, ортогональность получается
неполной из-за произведения Ig^^ ^тп' ' интеграл от которого по всей сфере
при п =
1С 2ic
J J *«*""
0 0
п' не
"бтп
0
равен
нулю;
sin bdb do =
о
в
о
этом
случае
= ^^ +^> Bп+1)^ |n-m)i! ^("+ 1)fe{[^n-iX^^)P- [^n+i (fe/^)]^}- B8)
Для того чтобы получить полную ортогональность, мы можем, как и в
разделе 7.2, считать k' переменным параметром и интегрировать по k' и по R;
однако в большинстве случаев подобная операция оказывается излишней.
7.14* Разложение плоской векторной волны. При рассмотрении
дифракции плоской волны с заданной поляризацией на сферическом
препятствии мы должны сначала разложить падающую плоскую векторную волну
по сферическим волновым функциям 1^^^, ш^^^, Og^^
о о о '
Рассмотрим векторную функцию
f B') = ае*^ = ае**^<'°^'', B9)
г^ а — амплитудный вектор, ориентированный произвольно по отношению
к прямоугольной системе отсчета. Разложим вектор а по трем единичным

векторам, направленным соответственно вдоль осей л:, д> и г. Тогда
За; = sin 6 cos ср i^ 4~ cos 6 cos ср ig—sincpig; 1
aj^ = sie6sincpii-}-cos6sincpi2-}-cos C0),
a^ = cos 6 i^—sin 6 ig, )
где ii, ig, is — попрежнему единичные векторы, показанные для сферической
системы координат на рис. 8, стр. 56. Дивергенция векторных функций
йде ехр (ikz) и Ej, ехр (Ikz) равна нулю и, следовательно, они могут быть
разложены только по характеристическим функциям шип. При Rz=ssO поле
конечно, и нам нужны будут поэтому функции первого рода. Очевидно,
далее, что зависимость от <р вида C0) ограничивает нас значением т=\\
если мы рассмотрим после этого свойства четности и нечетности у A1) и A2),
то установим, что разложение должно иметь вид
00
^jUR^b _ ^ (^^^w j^ ^^^w ^^ ^31)
n = 0
Для определения коэффициентов разложения мы применяем соотношения
ортогональности предыдущего раздела
1С 2R
J J a«m??„ е^^^ '"'^ ^ sin 6 db dcp=27t/» п{п +1) l/„ (kR)]^, C2)
о о
откуда, согласно B3),
<= ■^uirr)-"- <^^>
Аналогично
/ J a^niiL е*^^'''' sin bdbd^== . -
о о
=:~27:/»+ii^g±f |(«+l)L/„_i(^/?)l2 4-«[/„+i(A/?)l2}, C4)
что дает, в силу B4),
Следовательно,
со
а^еш _ 2 in ^2^Д1-^ 1т^}п]-т%]. C6)
п = о '
Тем же путем для плоской волны, поляризованной в направлении оси^,
мы получаем '
со
Так как дивергенция от продольной волновой функции а^ ехр (ikz) не равна
нулю, то ее разложение должно содержать и функции 1. Фактически
оказывается необходимой система только этих функций, и можно без труда

• Длина волны
• Принцип Гюйгенса — Френеля

Исследование, описанное в статье про сферические волны, подчеркивает ее значимость в современном мире. Надеюсь, что теперь ты понял что такое сферические волны, векторное и скалярное волновое уравнение в сферических координатах и для чего все это нужно, а если не понял, или есть замечания, то не стесняйся, пиши или спрашивай в комментариях, с удовольствием отвечу. Для того чтобы глубже понять настоятельно рекомендую изучить всю информацию из категории Теория электромагнитного поля

Продолжение:

Часть 1 СФЕРИЧЕСКИЕ ВОЛНЫ Векторное и скалярное волновое уравнение в сферических координатах
Часть 2 Вау!! 😲 Ты еще не читал? Это зря! - СФЕРИЧЕСКИЕ ВОЛНЫ Векторное и скалярное волновое уравнение