- Цилиндрические волны, Уравнения цилиндрического поля Волновые функции кругового и

Это продолжение увлекательной статьи про цилиндрические волны.

...

определенная
рабевством C7), действительно тождественна с частным решением (9), стр. 315^
Можно убедиться, разлагая е*Р «°^ ^ в ряд в окрестности точки р = О и инте-^
грйруя этот ряд почленно.
В общем случае, когда р не является целым числом, или же для
получений Другого нез!авйсимого решения, для' того чтобы C6) обращалось в нуль
в койечных точках, перееденной о следует приписать комплексные значения..
Пусть ю i= Y-j-гтг]. Тогда
гр coi^o -|- ipo :^ р sin 7 sh 7) — pvj 4~ Ф cos 7 ch yj -]- ip-^^ C8)
Если p комплексно^ то мы положим р = а-\-1Ь^ где а—существенно поло-
>кйтельная величине Тогда подходящим выбором т и iQ «ожно сделать
действительную часть C8) бесконечно большой Отрицательной величиной^ а при
этШ ехр (/р cos а> -\- ipo) ^-» 0. Это условие выполняется, например^ если поло-

жить t}-*.-|-oo, а для f принять значения —-^/2 или -f-311/2; но эта
показательная функция обращается в нуль также и при iq -> —г оо, если только
If = -{-«/2. Для того чтобы C5) представляло решение уравнения Бесселя,
необходимо лишь, чтобы контур С соединял любые две из этих точек.
Зоммерфельд выбрал в качестве пары фундаментальных решений два
«нтеграла
/йЧр)=
•ipl
к
J
g*P COS 9+грв ^^
C9)
—+4O0
COS «p + ijB?
rf«.
D0)
-y—*CX)
Контур Cj, no которому берется интеграл C9), начинается в y] = оо, ^ = —it/2,
пересекает действительную и мнимую оси при <э = О и заканчивается при
'»)=—оо, Y=f|-«/2. Контур Сд, по
которому берется интеграл D0),
начинается в конечной точке контура Cj,
пересекает действительную ось при
•^ = 7: и заканчивается в '») = оо,
1[' = 3it/2. Оба контура показаны на
рис. 67. Точка пересечения с
действительной осью, конечно, несущественна
для определения ^унющй. Контуры
можно деформировать произвольным
обрдзом, лишь бы только они
начинались в бескойечно удаленной
центральной точке одной заштрихованной
области и заканчивались в
соответствующей точке другой
заштрихованной области.
Преимущества проведения Cj и
Сз через точки -у = О и т = 'с
действительной оси становятся очевидными
при вычислении интегралов C9) и D0)
для очень больших значений р. Если действительная часть р очень велика,
то множитель ехр (/р cos а>) становится исчезающе малым во всех точках
заштрихованных областей на рис. 67, кроме ближайшей окрестности точек
тг] = О, Y == О» — '^» ~ 27Г, ... В этих точках действительная часть /р cps <р,
согласно C8), равна нулю, как бы ни было велико р; следовательно, если
Ci и Сд проведены, как показано на рис. 67, то полная величина контурного
$1нтеграла определяется значением интеграла, взятого лишь в окрестности
начала координат и точки ^)=0, "{ = 7:. Из заштрихованной области, в
которой значения подинтегральной функции исчезающе малы, контур С^ проходит
через крутой «перевал» или «седлообразную точку», где подинтегральная
функция велика, а затем переходит на другую заштрихованную плоскость,
где функция резко убывает, и значение интеграла по этой области опять
пренебрежимо мало. Контур Cg имеет подобную же седлообразную точку
при t) = 0, -{ = т:. Чтобы свести интегрирование к возможно более корот-

кому отрезку контура, нужно приближаться к перевалу по линии с наиболее-
крутым' подъемом, а спускаться с «вершины» в «долину:» по линии с
наиболее крутым спуском. В данном случае это означает, что контуры Cj и Сд.
должны пересекать ось под углом в 45°* Дебай *) использовал поведение
интегралов C9) и D0) в окрестности седлообразных точек для вычисления,
асимптотических разложений функций щ^{р) и Н^\р). При р, очень
больших по сравнению с единицей и с порядком р, получаются соотношения
B2) и B3), стр. 317, что показывает тождественность интегралов C9) и D0)
с функциями Ганкеля, определенными в разделе 6.5. Дебай рассмотрела
также случай, когда р больше аргумента р; его результаты были
улучшены и расширены позднейшими исследованиями.
Представление /р(р) при нецелом р в виде контурного интеграла
следует непосредственно из соотношения
^1,(р)=у[4'Чр)+4'ЧрI, D1>
откуда
п
Jp (Р) = ^^ [ «*Р «^"^?+*i"p drp. D2Х
а
3
Контур Cg, показанный на рис, 67, представляет собой допустимую
деформацию контура Ci-j-Cg.
6.9. Интегралы Фурье-Бесселя. Мы показали, как выводятся из
скалярной функции ^ в цилиндрических координатах два основных типа
электромагнитного поля. Если цилиндрические координаты являются круговыми,
то 4» получается, в общем случае, суперпозицией элементарных волн типа
частных решений B8) и B9), стр. 317. Наша задача заключается теперь,
в следующем: заданы значения ^(г, 6, 2-, t) в момент /=0 в плоскости z=0'^
требуется найти if для всех других значений z и t.
Предположим, что при t = z = 0 функция 4»=/(г, 6). Будем считать.
/ (г, Ь) ограниченной и однозначной функцией переменных, кусочно
непрерывной вместе со своими первыми производными. Тогда /(г, 6) должна быть
периодической по 6 и может быть разложена в ряд Фурье, коэффициенты,
которого являются функциями только от г:
2я
/{г,Ц^^ f„{r)einb, fnir)==±ffir,b)e-inbdb. D3>
п = —-оо
Если /(г, 6) стремится к нулю при г-^ со так, что обеспечивается сходи-
со
мость интегралов Г|/п ('")! V^'"^'"» то каждый коэффициент/„ (/•) может быть.
о
представлен видоизмененным интегралом Фурье 2).
Рассмотрим функцию f{x,y) двух переменных, допускающую
интегральное представление Фурье
~оо —со
*) Debye, Math. Ann. 67, 535, 1909, см. также Watson, loc. cit., стр.

Совершим теперь преобразование к полярном координатам как в коорди.-
натном пространстве, так и в ^-пространстре:
X r=rcos8, J/ = г sin 6, I
ki = kcos^, ^2=^sinp, J ■
так что в обозначениях предыдущих параграфов >. ^=/г sin а = ]//г*-* — h^.
Тогда kiX-\-k2y=krcos{^ — 6), и D4) как объемный интеграл в А-про*
странстве принимает вид:
2IE
f{r, б) = ^ J А dk J d^ g{k, 8) e«»-«°« (Р-в). ^ D6)
0 0
Легко раскрыть физический смысл этого ггредставлрния. Функция
ехр [ikr cos (^ — 6) — Ш] представляет србой плоскую волну с постоянной
распространения X, бегущую в направлении, перпендикулярном к оси\г и
составляющем угол р с осью х. Каждая плоская волна зпиножена на
амплитудный множитель g{k, Р); затем волны просуммированы вначале по [3
от О до 211, а затем по постоянной распространения или пространственной
частоте к.
Представление Фурье функции /{х^у) имеет вид
оо оо
^(^1. -^2) = ^ J J f{^> П) е-' ^^'■''''^ dUr,, D7)
—оо —оо
что при переходе к полярным 1^оордйнатам i == р cos jx, y) = р sin ji. дает
со 2к •
g{K Р) = -^ / Р^Р / ^Н-/(Р, V) е-''^ ^'^ ^^-i^>. D8)
о о ■
Наконец, допустим, что f{r,b)=f^{r)e^^. Тогда
оо ' 2iE
g{K Р) = ^ |рйГр/„(р) J^e-f?'=-(P-i-)+^E.^ D9)
о о
что после замены переменной о = ^' — Р—тс даст
. ff(X.P) = /"(^ + '")//„(p)J„(^prfp=?„W/"^'+-^"^ E0)
О
Подобным же образом D6) принимает вид:
оо 2л / 3 \
fir, e)=/.(r)^.. = i J ЛЛг„(Х)/^рЛ"°"'-^'+*"('+^ E1)
о о,
или, если положить ^=.р — 9:
оз.
/„ (г) e"»s = е'«9 J g^ (I) j^ Q,r) к dk, E2)

Таким образом мы получаем пару представлений Фурье-Бесселя:
оо
fn in = jgn (^) Jn (Л'^ Л dk, E3)
о
оо
gn (^) = J/« (Р) Jn (^9) Р ^Р- E4)
о
Функция
со
со _
.^^е^ш 2 e*»9j ^,Дл)У„(лг)е±*^'«*->'2л^/л E5)
Я»=—со
является решением волнового уравнения в круговых цилиндрических
координатах, которое при t = О переходит в /(г, 6) на плоскости г ~ 0. Но это,
очевидно, не самое общее решение, удовлетворяющее этим условиям, так
как в нашем распоряжении остаются еще два параметра ш и ^, на которых
наложено только одно условие А^ = {^.еш^-|-гз{хш. При действительных ш
можно суперпозицией гармонических волновых функций типа E5)
представить произвольный закон изменения 4* во времени в плоскости z = 0. Если
рассматривать как положительные, так и отрицательные волны, то можно
задать при z=0 значения как 6, так и -j-. Рассмотрение подобных задач
было дано в главе V.
6.10. Представление плоской волны. Теорема Фурье-Бесселя дает очень
простой способ представления элементарной плоской волны через
цилиндрические волновые функции. Пусть волна с постоянной распространения k
бежит в направлении, определяемом единичным вектором п, сферические
полярные углы которого относительно фиксированной системы отсчета равны
« и р, как показано на рис. 66, стр. 319. Тогда
ф ;^:; gik sin о£ (аз cos ^+у sin ^) , ^гкг cos а-гш# E6)
« наша задача сводится к представлению функции
f(x v) = ^*^ ^'" " ^* ^^^ ^"^^ ^'" Р^ = 6'^^ ^'° " ^^^ (?"•') E7^
а виде ряда
оо
f(r,b)= 2 fn(r)ein\ E8)
n=—со
Согласно D3), мы имеем
/^ (^r) = ~^j е»*»-^i" «^ 003 {?-6) -гпь а^^ E9)
о
Заменой р — 6 на о это переходит в
/п (г) = е'' (^ "" ^) 4 (kr sin а), F0)
и мы получаем полезное разложение
оо
«соз(?-9)==, 2 r4(^rsina)e*«(?-9). F1)
,гкг siti
Некоторые другие хорошо известные ряды являются прямыми следствиями
Зтого разложения. Так, если мы положим р = Аг sin а, а 6—р = <р — -к-»

соотношение F1) примет вид
со
gipsinrf^ 2 J„(p)e*'*^ F2>
п*=—со
что после разделения на действительную й мнимую части дает
аз
COS (р Sin 9)= 2 Лг(Р)С08П9,
п = —со
со I
• sin(psinc))= 2 i«(p)sin«cp' j
«= —со J
ТЕОРЕМА СЛОЖЕНИЯ ДЛЯ КРУГОВЫХ ЦИЛИНДРИЧЕСКИХ ВОЛН
' 6.11. Из формул предыдущего раздела можно вывести ряд важных
соотношений, относящихся к переносу оси распространения параллельно самой
себе. На рис. 68 О и О^ означают
начала координат двух прямоугольных систем
- отсчета. Плоскость чертежа совпадает
'^/ '' \~ ^ с плоскостью ху обеих систем, а оси Xi^
-^~ —^ ^^^ ^^^ проходящие через Oj, параллельны
'Ъ) ' ' ' соответственным осям х, у^ г. Функции
Л»(^1)е*"^Ь умноженная на exp(rt:f/i2'i—ш^)^^
О ' "^' представляет элементарную цилиндрическую-
Рис. 68. Перенос системы отсчета, волну, отнесенную к оси z^. Мы хотим
выразить эту цилиндрическую волну в виде
суммы цилиндрических волновых функций, отнесенных к параллельной ос»
2г, проходящей через О.
Напишем сначала
1 г г>''1 cos с + т (и + в, )
—к
Из чертежа ясно, что 6^ = 6 -р 'т' ^
Tj cos *Ь = Ti cos Fj — 6) = г — Гд cos F — бд),
rj sin 6 =
riC0sFi — 6) = г—rocosF — вд), I
Tj sin Fi — 6) = Го sin F — Oo). J
B>
Кроме того, в силу периодичности подйнтегрального выражения, A)
эквивалентно
Из B) следует, что
г^ cos (9 — '!') = '■ cos © — Гд cos (9 -4- 0 ■>_ 9q), D)»
откуда
I f Arcosffi—гХгоС08{ф+в—8в)-!-г«1ср+в—-)
Согласно F1), стр. 327,
' ^^.'^'^ • CO
гтк

В силу равномерной сходимости можно изменить порядок суммированияк
и интегрирования:
— ТС
оо
т =—со
Щвв оо
При замене 6j на б-J-'l' это выражение принимает вид
се
т = —00
Аналогичное разложение для волновой функции Н1Р (\г^) е^^^ можно получить-
из интеграла
//f (Хг,) .*"* = i J Л^ "'^^ ^'^-*^+'^* (^- ?) ^9,
(9)
где Ci — контур, изображенный на рис. 67, стр. 324, со сдвигом на величину <^'
вдоль действительной оси, обеспечивающим обращение показательной
функции в нуль в конечных точках. Заменяя экспонент по B), находим, что
При I г 1 > \г^ COS F — 6q) I можно, действуя совершенно аналогично^,
притти к выражению
При Го==0 оба центра совпадают; Jm(P) = 0 для всех значений /и, кроме-
нуля, а Уо @) = 1 • ^^ол «J* равен нулю, и правая и левая части равенства A1),,
очевидно, тождественны. В справедливости разложения можно убедиться
также при очень больших г и г^, так как в этом случае функции Ганкеля
можно заменить их асимптотическим представлением B2), стр. 317. Угол 6-
равен приблизительно нулю, и г^с^г — TqCos (8 — бд). Амплитудный
множитель "|/^2/т:г1 можно без заметной ошибки заменить на У 2/т:г, но член,-
ГоС08F — бд) в фазе следует оставить. Тогда A1) принимает вид
т = —оо
а правая часть A2) в свою очередь является, согласно F1), стр. 327,
точным разложением плоской волны, стоящей в левой части. В самом деле,
при неограниченно возрастающем г^ расходящаяся цилиндрическая волновая:^
функция, определяемая (И), должна асимптотически переходить в плоскую^
волну.
При |г|<|ГоС08F — 6о)| разложение (И) не сходится и заменяется,
разложением
ЯП^О^*"^- 2 H'SQ^o)Jn+mi^r)^^^'\ A3>.

которое конечно при 7- = О, В этой точке Jn+mi^^) равна нулю, кроме
т = — п. Кроме того; 4- = - + ^о — ^ «» так как И%(р) = е'^'Н^^(р),. то,
очевидно, правая и левая части равенства A3) тождественны. В другом
предельном случае очень больших Гд мы полагаем г^==г^ — г cos F—9q)
м с помощью асимптотических представлений функций Ганкеля находим, что
A3) стремится к
т — —со
Т. е. К плоской волне, распространяющейся от О^ к О вдоль линии,
соединяющей эти два центра.
ВОЛНОВЫЕ ФУНКЦИИ ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО ЦИЛИНДРА
6.12. Элементарные волны. Круговые цилиндрические функции являются,
по существу, вырожденной формой эллиптических волновых функций,
получаемой при приравнивании эксцентриситета.цилиндров нулю. В
эллиптических координатах исследование поля и свойств функций должно неизб(ежно
оказаться сложнее, чем в круговых координатах, но зато и результаты
значительно более интересны.
Согласно 3, стр. 57, полагаем
ttl=e, tt2 = t],- $>1, —1 '^i = ^0/"IEt . ^2 = ^о1Лгз|- B)
Внося это в (8), стр. 310, находим, что f{l, у\) должно удовлетворять
уравнению
-\-cl(k^-h^)(^—t)f^O. C)
Это уравнение в свою очередь легко разделяется, если положить/=/1 Qi)f2{y^*
что дает:
^l-'^'>^+'^^ + ^^-^o(*^-'^^)'l'JA = 0, E)
где b — произвольная постоянная разделения. Таким образом, Д ($) и/gC^j)
удовлетворяют одному и тому же дифференциальному уравнению.
Уравнения D) и E) являются частными случаями соответствующего уравнения
Матье 1)
■ {\—z^)'w" — '2{a-\-\)zw'-\-{b~c''Z^)w=^Q, F)
которые получаются, если положить параметр а = ^. Эти уравнения
характеризуются нерегулярной особенностью в бесконечности и регулярными
особенностями при z=-±i\. При ^"^1 D) переходит в уравнение Бесселя.
Существенного упрощения D) и E) можно достичь заменой
независимых переменных. Пусть
^ = chtt, 'Г) = со81', G)
^) Е. Т. У и т т е к е р и Г. Н. В а т с о н, 1ос. cit., главы X. и XIX; I п

так что преобразование к прямоугольным координатам выражается
уравнениями'
д/ = Cq chtt cos V, У =^0 s^" sin v. (8)
Тогда вместо D) и E) получаем
^^(cll^ch^u-b)A = 0, (9)
^ + (.b-clk^cos^v)U^ = Q, A0)
где, как и в предыдущих разделах 'h=yk^ — h^. Расстояние между
фокусами на оси л: (рис. 9) равно 2Cq, а эксцентриситет конфокальных эллипсов
e = ljchu. Переход к случаю круговых координат получается в пределе при
€q->0. и tt->oo. Тогда Ср ch «-> Cq sh-tt-> г, а v является, очевидно, углом
между радиусом г и осью х. По этой причине мы будем называть /^ (и)
радиальной, функцией, а f^(p)—угловой функцией. При « = О
эксцентриситет равен единице, и эллипс вырождается в отрезок прямой длины 2Cq,
соединяющей фокусы на оси л:.
Уравнения Матье (9) и A0) изучались многими авторами. Рассмотрим
сначала угловую, функцию /2('о). Решения уравнения (Ю) имеются, конечно,
при любом значении постоянной разделения Ь. Но электромагнитное поле
является однозначной функцией точки и поэтому, если свойства среды
однородны по отношению к переменной v, то f^iv) необходимо должна быть
периодической функцией угла v. Но уравнение A0) допускает периодические
решения только лля определенных, характеристических значений параметра Ь.
Эти характеристические значения образуют счетную последовательность
Ь^, 1?2, , Ьт, • • . Их определение довольно сложно, так что мы ограничимся
ссылкой на таблицы *) и перейдем непосредственно к определению функций,
удовлетворяющих (9) и A0), когда b совпадает с характеристическим зна-
-чением ^^.
Уравнение A0) допускает для собственных значений b как четные, так
и нечетные периодические решения. Обозначим счетную последовательность
характеристических значений, дающих четные решения, через Ь^^;
соответствующие характеристические функции можно представить в виде рядов по
косинусам:
Setn(co\ cosv)=^^ D^cosnv (w = 1, 2, 3...), (И)
n
где суммирование со штрихом производится по четным я, если т четно,
и по нечетным я, если т нечетно. Рекуррентную формулу, связывающую
коэффициенты D^.(c^\)^ можно найти, подставляя A1) в A0). Таким образом
все коэффициенты ряда выражаются через один начальный коэффициент,
^) Очень ясное изложение теории функций Матье дано у Уиттекера и Ватсона,
1ос. Ш., гл. XIX; дальнейшие детали с подробными ссылками на литературу
опубликованы Стреттом в монографии «Функции Ляме, Матье и родствевные им в физике,
и технике», Харьков — Киев, ГНТЙ Украины, 1935. Таблицы функций Матье н
характеристических значений опубликованы Гольдштейном, Trans. Cambridge Phil. Soc. 23,
303—336, 1927. Функции Se^n и So^, определенные в тексте, отличаются от функций
сет и scjn этих авторов лишь коэффициентом пропорциональности. В то время как
' Гольдштеин выбирает свои коэффициенты так, чтобы нормирующий множитель был
равен >Гт1, мы сочли более удобным нормировать функции так, чзгобы четная
функция и производная от нечетной функции обращались в единицу в полюсе v= 0.
См. Stratton, Proc. Nat. Acad. Sci. U. S. 21, 51—56, 316—321, 1935 и Morse,
ibid., стр. 56—62. ПодробшЛе таблицы коэффициентов разложения D^
характеристических значений Ь^ ц нормирующих множителей рассчитаны Морзе и вскоре
Л^йдут в свет.

который остается произвольным. Удобно так выбрать этот начальный
коэффициент, чтобы сама функция имела единичное значение при г» = 0, что
соответствует 7)= cos г» =1. Для этого мы наложим на £^ условие
Нечетные периодические решения уравнения A0) соответствуют второй
последовательности характеристических значений, которую мы обозначим ^^>.
Эти функции можно представить в виде рядов по синусам
So^ <^о^' cos г>) = 2' fl^ sin nv, A3^
я
на коэффициенты которых (F^VqX) мы наложим условие 2 "^ == 1- Следова-
тельно единичное значение при v==0 будет иметь производная от So^ (CqA., cos v)x
[■^^^*»^^оЛ, cost>)j _ =1. (И>
Характеристические функции S^^ и So^ образуют полную систему
ортогональных функций. Пусть bfi и Me)—два характеристических значения,
а Se^ и Se^-—соответствующие им функции. Они удовлетворяют уравнениям
^^(bf~cll4os^v)Se, = 0, A5>
^^-i-(bf—cl\^cos'^v)Sej=^0. A6)
Умножим A5) на Se^-, A6) на Se,- и вычтем одно из другого:
^(s^J-|rS<^'-S''*irS'^ + (*r'-*f)S<^*S..= 0. A7>
Интегрируя A7) от О до 2т: и з'^читывая периодичность функций,
получаем, что
J( о, fzb 1.
Ъе^{с^к, cosv)Se^{cQ\, zosv)dv=\ . ' A8>
о 1М , г=;.
Нормирующие множители Л/^ можно подсчитать по разложениям функций,
в ряды.
Диалогично можно вывести, что
Г SOi(CoA, cosi;)S^ (с^А, zosv)dv = \ ' ^ A9>
и
. . I Se{ (Cq\, COS v) Soj (сqX, cosv)dv = 0^ B0)-
0
причем последнее соотношение верно как при i = j, так и при iфJ.
1^[аждому ха|)актеристическому значению Ь^ соответствует одно и только^
одно периодическое решение S ствовать другое независимое решение уравнения A0). Так как второе
решение является непериодическим, оно несущественно для физических задач^
по крайней мере пока среда однородна' по отношению к углу v.

однако, свойства среды испытывают разрывы непрерывности на поверхностях
гг = const., то граничные условия могут потребовать^ применения функций
второго рода.
Обратимся теперь к радиальным функциям. Можно без особого труда
«оказать, что уравнение (9) удовлетворяется рядом функций Бесселя,
коэффициенты которого отличаются лишь множителем от коэффициентов рядов
A1) и A3). Таким образом, если параметр b принимает одно из
характеристических значений ^»«\ то соответствующая радиальная функция будет
ReL (СоК О = |/"-J S ^•'"~"/)«Л (Coll), B1)
где S = ch и, /»*-»» = ехр i (т — п) w-1- Так как все решения уравнения
Бесселя удовлетворяют рекуррентным соотношениям B4) и B5), стр. 317, то
•четные радиальные функции второго рода определяются через функции
Бесселя второго рода соотношением
Я^(соК S) = lAjS'''"*"'*^«А/«(^о^^)- B2)
Сходимость подобных рядов функций доказать нелегко, но в данном случае
она, повидимому, удовлетворительна. Большим преимуществом этих
представлений является то, что они сразу приводят нас к асимптотическим
выражениям для очень больших значений CqXS. Согласно A8) и A9), стр. 317,
Яе1 (соК 1)- у== cos (^0^^-- ^^ ^), B3)
CqKI -> со.
Яе1 (ГоХ, S) ~ -^ sin (соП — ^^---^ Л B4)
По аналогии с функциями Ганкеля, образуем линейные комбинации
Re^ (V. ^) -= ReL 4- ^R4» -= -l/^^ Y ^~ ""D^f^^^ {соЩ, B5)
Rei» {CoK I) = Rei, — iRel = j/"-^S' ^"^""/^n^f (соЩ, B6)
n
асимптотическое представление которых имеет вид
2т + 1
Ч4.(ЧК 5)=-^,/("'^-^'1 B7)
У Сок
_,(,«_2«±i.)
Cq'/Л —*■ оо.
ReUicoKD^-r-re-'^""'' * ^ . B8)
Функция Re^ удовлетворяет тому же уравнению, что и угловая
функция Se^; обе они нигде не имеют особенностей, кроме бесконечно удаленной
точки. Следовательно, они должны быть пропорциональны друг другу:
Se,„ (соК S) = УЪ &Яе1 (соК 1), B9)
— V in-m..JL (при четных т),
I 2 VI' о!?
I >, nl*^-•'^—. (при нечетных т).

Слейа cos?) заменен на ^. Следовательно, при и i= О, -Е^=^1 мы имЬем
ReL (^0^. 1) = -7L -1:, l—Rel (гоА, ch и)] = 0. .. C0)
V> ^: Ida J„^o
■' Соответствующие соо1ношенйя Моййо получите и для нечетных
радиальных функций. Определим ' . •
Roi, (гоХ, 1) = Vl^ i/"! 2''"-"«^:ГЛ(^оаО, C1>
п
RoL (^о>^, ^) - ^^1~^ }/'^ S'^""пРТгЫп(roXt), C2)
п
RoL (^оА, S) -= Roi, 4- i Ro.«. Roi» (^o>^, S) = RoL — i RoL- C3)
Асимптотические выражения для нечетных функций тождественны с
асимптотическими выражениями для соответствующих четных функций. Наконец,.
^So^ {с^\ I) == |/^ Й> Roi, (соА, \), C4)
tin I
4 ул' с
—5-5 7, Я——f'*-"* (при Четных /Я),
^;«»
V —ц'""."* (при нечетных w).
при tt = о, Е == 1 имеем
Roi,(coA, 1) = 0, \^Яо1г(соК chu)] =-l^'i-. C5>
Теперь, имея в своем распоряжении эти функции, мы в состоянии
написать элементарную волновую функцию для эллиптического цилиндра^ Четная
и нечетная волновые функции, коне«/ные всюду и, в частности, вдоль оси^
соединяющей фокусы, образуются из радиальных функций первого рода
.'^ет= Sem(f^oX, cost;) ReJre(CoA, 5N" А-«-)»г-4о>#^ ^^g)
•^L = So^ (CoK cos V) Roln (coK ^) e""' ^'^^^'-''^*, C7)
Если известно, что на больших расстойниях от оси цилиндров поле
распространяется радиально вовне, то элементарные волновые функции образуются
из радиальных функций третьего рода
?еш = Se„j (CqA, cos v) Re^ (cqI, ?) e , C8)
7o»» = So,„ (СоЛ, COS г;) Ro,M (соЛ, ч)е . . C9)
Компоненты электрического и магнитного векторов находятся по
правилам, изложенным в разделе 6.3.
6.13. Интегральные представления. Согласно A9), стр. 321, в любой
системе цилиндрических координат
/ (и1, м^) = f g{p) е^^ ^''1« (* "^^^ ^+2^ ^*" Р) rfp. D0)
Если заменить прямоугольные координаты эллиптическими с помощью пре- ■
образования л'= Ср ch м cos-г/, y==CQshus\nv, то D0) можно переписать
в виде
/(u,v)= jg{^)e^^Pd^, . D1>

где, как й pjanee, \ = \/1^-—h^ = k sin й-, и где
p(u,v,P) = xcos^-^ysih^ = CQ{chucosvcos^-\-sh usin'o^in^'SJ D2)
Функция f(u, v) должна удовлетворять уравнению
li-^-iF+^?^^(ch^и-cos2t;)/=0, D3)
но, так как f=fi{u)f2{p), то она должна, очевидно, удовлетворять также
и уравнению
да + (^5^^^сЬ2и-^)/=0. D4)
которое получается умножением (9), cip. 331, на/2('п). Дифференцируя D1)
по щ получаем
следовательно, для того чтобы D1) удовлетворяло D4), необходимо, чтобы
Величина р является функцией § и и, причем легко убедиться, что
д2р д'^р
D8)
au2 а.б2 •
Следовательно, D6) эквивалентно уравнению
J^(P) [^ + (^ —^?^'cos^р) е^р\ d? == 0. D9)
Наконец, согласно C0), стр. 322,
Следовательно, D1) является решением D4), если g{P) удовлетворяет
уравнению
^-\-(b~cll^cos^P)g==0, E1)
а путь интегрирования выбран так, что
•о'-^- ^''^ж! =0. E2)
Заметим, что уравнение для амплитуды gi^) тождественно с уравнением
для угловой функции f^iv) и лишь несущественным образом отличается от
уравнения для Д (и), из которого мы исходили. Это свойство является
общим для представлений Фурье всех решений уравнений, относящихся
к группе, определенной равенством F), стр. 330.
Полученные результаты верны при любых значениях постоянной
разделения h„^. Но если ограничиться четной и нечетной последовательностями
характеристических значений Ьт и Ь^у то удобно в качестве g(ff) взять,
периодические решения уравнения E1), обозначенные через Se^ (CqX, cos р),
SojniCok, cosp). Так как р{и, v, р) также периодично по р с периодом 2тт, то,^
очевидно, E2) будет удовлетворено, если за путь интегрирования взять любойи

«отрезок действительной оси длиной 2т:. Тогда интегральное представление
J{Uy 1»), верное для ft, принадлежащих последовательности ft^', имеет вид
/Й'(«, -г;) - J Se^C^o)., cosp)e^^'^«' ^' ^U^. E3)
о
Отсюда можно сразу же найти интегральное представление для fiiu),
•полагая v = 0.
/2(«) = JSe^(CoA, cosP)/««^«»^«-^Prfp. E4)
о
Остается найти связь частного решения, определяемого E4), с ранее
известными функциями. Вводя разложение Se^ в ряд по косинусам и полагая
для сокращения CQXchu = p, получаем
2ic
/12 («) = S'd:? Г /^ ^■''^ P'cos «р jp = 27:2 '^•;?/„ (о). E5)
"о '^
Заметим далее, что «»=«(—1)"/-», и вспомним, что суммирование
производится по четным п при четных т и только по нечетным — при нечетном т.
Поэтому (—!)» = ( —1)»», и, в силу определения B1), стр. 333,
Rei» (с^К S) = ^ / Se^ (Cf,K cos р) e^*^'^ •^"^^ rf^, ( 56)
о
где s==ich«. Кроме того, Se^ (CqX, cos р) пропорциональна Rei»(rQX, cos Р),
<где i заменено через cosp, так что по B9), стр. 333, функция Reit(CoX, $)
удовлетворяет интегральному уравнению
Rei,(CoXJ) = i-'»-f-J Rel{c^KcosP)e''<>'^''''^d^. E7)
о
Можно получить и другое представление Re«j, разлагая в ряд подинте-
..гральное выражение в E7). Имеем
Яе1 (с^К S) - /е^ ]/"-^ 2' /-"ОГ / Jn (^0^ cos Р) ^'^ ''' ^rfp. E8)
« о
.Но ' •
к
У„ (CqI cos Р) == ~ fcos П9 е'''"' '°^ ^ '*" "d^, E9)
о
^ откуда
2я 2я
J /„(CoXcosP)e''^'*'°^^rfp = i-'^J cos«c?yot^o^(<-[-cos о о
Вспоминая еще раз, что (—!)» = (—1)"»^ получаем
_ 2я
ReJ„(CoA, с) = /ЙЧ-1Г>/"|- f^l^o4^ + cos(p)]Se^(CoX, cos9)rf

Интегральные представления радиальных функций третьего и четвертого
рода можно получить, выбрав другие контуры интегрирования. Для
упрощения положим ch м = S, •г' = О, cos ^ = t. Тогда различные радиальные
функции представляются интегралами вида
/S (S) = J Se^ (с^К t) е**^^" A - ^)'" "^ dt, F2)
с
где контур С таков, что обеспечено обращение в нуль так называемого
«билинейного конкомитанта» E2), который здесь имеет вид
(l-^')'[V^Se„(.„M)-Ase„(.oM)>-t=«- («3)
Когда t становится очень большим, асимптотическое представление Se^ будет
Se^(с^К t) -&] |/^ cos(^c^lt— ^^il ^) ; F4)
следовательно, обращение F3) в нуль в бесконечности обеспечивается
множителем explcQX(^—1)/. Поэтому, если действительная часть CqK(^—1)
больше нуля, то начало или конец контура могут быть взяты при / = ioo,
а за другой предел можно взять-j-1 или—1. В результате получим
Яе1 (с^К S) = /-*" |/"-| J Se^ (гоХ, t) е''^^* A — ^^) "^ dt, F5)
ioo
ReJ,(CoX, S) = t-'"|/| ^Se^{c^Kt)e''^^*{\--t^)~'^dU F6)
—1
при условии, что действительная часть [cQ^iJi—1)]>0. Возвращаясь к
комплексной ^-плоскости, находим, что F5) эквивалентно равенству
--ioo
Re?. (гоХ, S) = /-'" |/~| J Se^ (CoX, cos .8) e**^'^ °°^ ^ rf^; F7)
0
соответствующий интеграл имеет место и для Ret» (CqX, ^).
С помощью F7) можно вывести ряд других интегралов типа F1).,Так,
вместо E8) можно написать
— '—i со
ReL(coX,S) = UY2^2;^-~"^« f Л.(Го^со8р)е'^'^'^*^°'Р^Р =
--ioo
= Й^|/~|2'(—lf^« f ^?cos«

если действительная часть р > Oj следовательно,
Яе1 (с^К S) = &^ (- 1Г }/~|- J ^?* К^ (^ + cos о
если действительная часть IcqK(^—1)]>0. Комбинация F1) и G0) дает
2ic
Я^1г(соК е) = ЙЧ—1Г}/"| /л^оМ(^ + со8 о
Для нахождения интегральных представлений нечетных функций
исходным является соотношение
2п 2ic
J ^ic„X£ cos P g. jj ^p ^^5 p ^P _ _^ J ^«CoX? CCS P ^^^ ^^ ^^^ ^^2)
0 0
которое получается интегрированием по частям. Доказательство соотношений
, 2ic
Rol (СоК ^) = :^ ^'~"* У^^^ / So^ (^0^» cos Р) е*'^^ ^"« ^ sin ^ ^^ =
= -f^ /5-""* V^^^=^ / Roi (го^, COS P) e''<^ "« P sin p rfp =
0
2«
= CoVS^ (-1)"* |A| yF=T J л [^0^ (^+COS 9I X
0
XSo^(^o^,cos(p)-pp^rf?, G3)
■ 2«
Ro^« (гоХ, S) = ГоХ/2Ч~1Г|/^/Р-^ //^f^ [^0^ (S+ COS ?)] X
0
X^o^ic^K cosy)^_^'"J^^t/y G4)
предоставляется читателю.
6.14. Разложение плоских и круговых волн. Периодические функции
Se„t (г^А, cos v) и ЗОда (CqX, cos г)) образуют полную ортогональную систему
функций. , Следовательно, если /(«, <&)—периодическая по v функция
с периодом 2тг, кусочно непрерывная по аргументу v вместе со своей первой
производной dfj-dvt то она может быть разложена в ряд
со 00
/(«, ^) = S fm^ (и) Se^ (СоХ, cos ^) + S /2^ (и) So^ (с,Х, cos t»), G5)
коэффициенты которого определяются равенствами
■^^("^^Т^/-^^"' ^)Se^(CoX, cos^)rfv,
'"о I
G6)
Это разложение можно применить для представления плоской водны
с константой распространения ^, бегущей в направлении, определяемом-

единичным вектором п, образующим с фиксированной системой отсчета
полярные углы а и р, как показано на рис. 66, стр. 319. Имеем
ф -_, gift sin о£ (а? cos P+f/ sin Р) . ^Тсг ccs «—iwf ^ G7V
Выражая X VI у через и и г' и полагая А = ^ sin а, получим
/(м, «у, р)==е*>р, ps=Co(chwccst;cosp4"Sh«sint»sinp). G8)
Так как выражение G8) совершенно симметрично относительно ф и р,
разложение G5) можно записать в виде
со
е*>р = 2 ««г («) Se^ {cqK cos р) Se^ (соА, cos г;) -f
«1 = 0
оо
+ S *m (и) So^ ccqX, cos P) So^(coA, cos v\ G9)
ra = 0
где коэффициенты a^{u) и b^(u) зависят юлько от и. В силу G6) имеем
2ic
«m («) A^S^Se^ (соА, соs р) = J S е^ (cqA, cos г;) e«p rft;. (80)
0
Так как коэффициенты a^(u) не зависят от значения р, то можно положить
P = 0,Se^(coA, 1)= 1, p = coch Mcost;. Тогда, согласно E6),
^т (и) = '""^^ ReJ, М» ch и). (81)
Аналогично найдем
*«г («) A/£^So^ (соА, COS Р) = J So^ (соХ, cos г;) е^>р dv. (82)
о
Продифференцируем теперь это последнее равенство по р, а затем положим
Р = 0. Тогда, в силу A4), коэффициент ^>^ (и) окажется равным
К («) = -rfer ^°« (^оХ, Ch а). ( 83)
Таким образом, полное разложение для плоской волны произвольного
направления имеет вид
оо
е^Р ^ /8^2 Н-;^Яе1{соК ch и) Se^ (соА, cos г;) Se^ (соХ, cos p)-f
+ j^ Яощ (соА, ch и) So^ (соК cos г;) So^ (cqA, cos P)l. (84)
Последний результат позволяет нам сразу написать интегральное
представление для тех элементарных эллиптических волновых функций, которые
остаются конечными вдоль оси. Для этого нужно только умножить (84) на
Se„, (i^oA, cos р) и проинтегрировать по периоду. Тогда из ортогональности
функций следует, что
211
1—4»
Rei» {соК ch и) Se^ (соК cos г;)= '-^ J Se^ (cqA, cos ^N^p d^; (85)
0
и аналогично для нечетных функций
Roi» (соА, ch и) So^ {соК cos г;) = -^ f So„ {СоК cos р) е*>^Р dp.

с помощью F7) можно также показать, что элементарные функции
эллиптических волн, бегущих от оси наружу, представляются контурным интегралом
Re^ (со^, ch и) S8,„(coX, cos г;) == i-^Y \ j^^mi^oK cos Р) е±^^р dp. (^^^
о
Верхний знак в показательной функции берется при—тт/2 < г; < •зг/2,
отрицательный знак — при тг/2<'г'<Зтг/2. Подобное же равенство можно вывести
для нечетных функций.
Из раздела 6.8 легко усмотреть, что четная круговая волновая функция
cos «9 У„(А.г), остающаяся конечной на оси, может быть представлена интегралом
2тг/'^ cos nbJ„ (Аг) = f cos пре^^Р d§, (88 )
где р = A:cosp4->'sin p = rcos(P — 8). Умножая на £);Г и суммируя по четным
«ли нечетным п, получаем равенство
Rein (с А, ch и) Se^(c л^ cos v) = у-^^' ir^-^Dn cos nbJ^ {\r\
(89)
n
которое выражает эллиптическую функцию в виде разложения по круговым
волновым функциям. Подобное же выражение можно найти для нечетных
функций.
Теорема сложения для круговых и эллиптических волн, отнесенных
к двум параллельным осям, выведена Морзе ^).

Исследование, описанное в статье про цилиндрические волны, подчеркивает ее значимость в современном мире. Надеюсь, что теперь ты понял что такое цилиндрические волны, уравнения цилиндрического поля, волновые функции кругового и эллиптического цилиндра и для чего все это нужно, а если не понял, или есть замечания, то не стесняйся, пиши или спрашивай в комментариях, с удовольствием отвечу. Для того чтобы глубже понять настоятельно рекомендую изучить всю информацию из категории

продолжение следует...

Продолжение:

Часть 1 Цилиндрические волны, Уравнения цилиндрического поля Волновые функции кругового и эллиптического цилиндра
Часть 2 - Цилиндрические волны, Уравнения цилиндрического поля Волновые функции кругового и
Часть 3 - Цилиндрические волны, Уравнения цилиндрического поля Волновые функции кругового и