Hyper-E нотация больших чисел

Привет, Вы узнаете о том , что такое hyper-e , Разберем основные их виды и особенности использования. Еще будет много подробных примеров и описаний. Для того чтобы лучше понимать что такое hyper-e , настоятельно рекомендую прочитать все из категории Арифметика.

Обозначение гипер-E ( сокращенно E# ) — это обозначение больших чисел, разработанное Сбиисом Сайбианом . Впервые оно было представлено в его веб-книге « От одного до бесконечности: конечное путешествие» 19 ноября 2011 года и было обобщено до расширенного обозначения гипер-E ( сокращенно xE# ). Обозначение гипер-E — это усовершенствованная версия обозначения , разработанного Сбиисом Сайбианом в детстве.Не следует путать с ε-функцией или E-функцией нигилустеабсолютистов .

Функция E# не является примитивно рекурсивной, и, в частности, функция E( n ) = En ## n в конечном итоге доминирует над всеми примитивно рекурсивными функциями Фактически, в быстрорастущей иерархии ,доминируетдля всехи сама находится под доминирующим влиянием.

E# и xE# являются частью более обширной системы обозначений, Extensible-E System , которая также включает в себя Cascading-E Notation .

Натан Хо и Войову доказали завершение действия правил гипер-E-нотации.

Исходное определение

Исходная гипер-E-нотация представляет собой последовательность a _n из одного или нескольких положительных целых аргументов, разделенных гиперионами (или гиперметками) #. Мы обозначаем это как E[ b ] a ₁ # a ₂ #...# a _n . b называется основанием — если оно опущено, как это часто бывает, по умолчанию оно равно 10. "E[ b ] d " также равно " b ^ d ".

Три правила следующие:

• Правило 1. Если гиперионов нет:

  .

• Правило 2. Если последняя запись равна 1:

  .

• Правило 3. В противном случае (последняя итерация):

Проще говоря:

1. Если аргумент x только один , то значение выражения равно b ^x..
2. Если последняя запись равна 1, ее можно удалить.
3. В противном случае...
   1. Оцените исходное выражение, но с последним элементом, уменьшенным на 1. Назовите это значение z .
   2. Удалите последние две записи выражения.
   3. Добавьте z в конец выражения.

Приоритет правил указан на исходной веб-странице ниже определения: «Используются 3 правила. Если вам дано выражение E#, сначала проверяется, применяется ли правило 1. Если нет, проверяется правило 2. Если и оно не применяется, переходите к правилу 3». Это отключаетЭто соответствует 1-му пункту 3-го правила и позволяет избежать дублирования классификации случаев.

Расширенное определение

Расширенная гипер-E-нотация позволяет размещать несколько гиперионов между каждой записью. Количество гиперионов после записи n обозначается h ( _n ) . Для простоты этого определения ^#n— это сокращение для n последовательных гиперионных меток. Например, полное выражение будет записано как E( b ) a ₁ # ^{h (1)}а ₂ # ^{ч (2)}...# ^{h ( n - 1)}ан _# ^{h ( n )}​В Saibian для обозначения остальной части выражения используется символ @, тогда как в Bowers для обозначения остальной части массива используется символ #.

Разница между исходной и расширенной записью заключается в том, что расширенная запись с гипер-E допускает более одной последовательности цифр.

• Правило 1. Если гиперионов нет:

  .

• Правило 2. Если последняя запись равна 1:

  .

• Правило 3. Если h(n-1)>1:

  .

• Правило 4. В противном случае:

  

(примечание=).

Это похоже на правила записи линейных массивов . Об этом говорит сайт https://intellect.icu . Мы также можем переписать это простым языком:

1. Если аргумент x только один , то значение выражения равно b ^x..
2. Если последняя запись равна 1, ее можно удалить.
3. Пусть h — длина последнего набора гиперионных меток. Если h > 1:
   1. Удалите последнюю запись выражения и назовите ее r .
   2. Снова удалите последнюю запись выражения; на этот раз назовите ее z .
   3. Повторите " z " r раз, добавив h - 1 гиперионных меток между каждым повторением. Добавьте это в конец выражения. (Восстановите удаленную последовательность гиперионных меток, чтобы скрепить два выражения.)
4. Если последний набор гиперионных меток имеет длину один:
   1. Оцените исходное выражение, но с последним элементом, уменьшенным на 1. Назовите это значение z .
   2. Удалите последние две записи выражения.
   3. Добавьте z в конец выражения. (Снова восстановите удаленную последовательность гипертонических меток, чтобы скрепить два выражения.)

Примеры

• E6 = E6#1 = 10 ⁶= миллион
• E100 = E100#1 = 10 ¹⁰⁰= гугол

  Это пример правила 1 с выражением, состоящим из одного элемента. Поскольку основание по умолчанию равно 10, мы можем сократить E(10)100 до E100.

• E100#2 = E(E100#1) = E10 ¹⁰⁰= 10 ^{10 100}= гуголплекс
• E100#3 = E(E100#2) = E10 ^{10 100} = 10 ^{10 10 100}= гуголдуплекс

  Это пример правила 3 ​​(правила 4 в разложении) с выражением из двух элементов. Во втором выражении скобки можно опустить: E(E100#1) = EE100#1.

• E303#1 = E303 = ецетон = сантиллион = 10 ³⁰³
• E303#2 = ecetonplex = EE303 = 10 ^{10 303}
• E303#3 = EEE303 = 10 ^{10 10 303} = ecetonduplex
• E1#3 = EEE1 = 10 ^{10 10} = трилогия
• E1#4 = EEEE1 = 10 ^{10 10 10} = тетралог
• E1#10 = EEEEEEEEEE1 = 10^^10 = Декер
• E303#6 = EEEEEE303 = 10 ^{10 10 10 10 10 303} = ecetonquintiplex
• E1#100 = EEE...EEE1 (100 E) = giggol

  Повторное применение правила 3: E1#100 = EE1#99 = EEE1#98 = ...

• E100#100 = EEE...EEE100 (100 E) = грангол

  Это то же самое, что и E1#100, но с другой первой записью.

• E100#101 = EEE...EEE100 (101 E) = гранголплекс

  E100#101 = EE100#100 = 10 ^{гранголей} Отсюда и название.

• E100#100#2 = E100#(E100#100) = EEE...EEE100 (грангол E) = гранголдекс

  Теперь перейдем к выражениям с тремя элементами.

• E100#100#3 = E100#(E100#100#2) = E100#(E100#(E100#100)) = EEE...EEE100 (гранголдекс E's) = грангольдудекс

  Увеличение значения третьего элемента приводит к все большей и большей вложенности.

• E100#100#100#100 = E100#100#(E100#100#100#99) = E100#100#(E100#100#(E100#100#100#98)) = ... gigangol

  Четырехэлементные выражения похожи — они создают все более глубокую вложенность на уровне массива ниже. Это также можно записать как E100##4; начало следующего уровня обозначения.

• E100##100 = E100#100#100#...#100#100#100 со 100 повторениями по 100 = gugold

  Теперь мы подошли к расширенной гипергиперионной нотации. Два последовательных гипериона ( дейтерогипериона ) указывают на повторение на нижнем уровне.

• E100##100#100 = Graatagold граатаголд

  Это выражение разлагается на выражения E a ## b путем многократного применения правила 4.

• E100##100##100 = E100##100#100#...#100#100 со 100 повторениями по 100 = gugolthra

  Мы игнорируем первый символ ## до тех пор, пока не будет развернут второй символ и не будут решены все сотни.

• E100###100 = E100##100##...##100##100 со 100 повторениями по 100 = трогол

  Три гиперионных знака ( трито-гиперионы ) представляют собой повторение двух гиперионных знаков. Помните, что двойные знаки решаются справа налево.

• E100####100 = E100###100###...###100###100 со 100 повторениями по 100 = терогол

  Четверные гиперионы распадаются на тройные.

• Годгалах = E100#####...#####100 со 100 гиперионными марками или E100# ¹⁰⁰ 100

  Наборы из 100 гиперионных меток разлагаются на 99, 99 — на 98 и т. д. Также обратите внимание, что верхний индекс 100 означает наличие 100 чисел и не следует путать его с E100#( ¹⁰⁰ 100 ).

Связь с другими обозначениями

Первые сегменты обозначения hyper-e основаны на возведении в степень , т.е. En равно 10 ⁿ . Вложенность в одноэлементное обозначение Hyper-E приводит к итеративному возведению в степень, например, EEEn=10 ^{10 10 n} . Затем вступают в игру гиперионные метки. Поскольку гиперионные метки имеют решающее значение для рекурсии в этом обозначении, определенные комбинации гиперионов могут указывать на сходство с другими обозначениями, определяемыми рекурсией.

Гипер-Е можно связать со стрелочной нотацией с помощью следующего правила:

для положительных целых чисел a, b, c. Например,

• a↑b = E(a)b
• a↑↑b = E(a)1#b
• a↑↑↑b = E(a)1#1#b
• a↑↑↑↑b = E(a)1#1#1#b

Сбиис Саибян показал, чтоявляется первой функцией быстрорастущей иерархии , которая в конечном итоге доминирует над всеми функциями в иерархии E#.

Псевдокод

Для фиксированного числа переменных исходная нотация Hyper-E является примитивно-рекурсивной, хотя значения, которые она выдает, значительно превосходят возможности любого компьютера. Расширенная нотация Hyper-E является непримитивно-рекурсивной для двух и более переменных.

function Eb( a1,a2 , ..., an-1,an ): //Значение b по умолчанию равно 10

    if n = 1:
        return   b a1

    if an = 1:
         return  Eb(a1,a2 , ..., an-1 )

    z := E b (a1,a2,..., an-1,an-1)

    return Eb (a1,a2,..., an-2, z )
 
function xEb(a1 ,a2, ..., an-1, an ;
              h1, h2, ..., hn-2,hn-1): //Значение b по умолчанию равно 10

    if  n = 1:
         return b a 1

    if  an = 1:
         return xEb ( a1 , a2 , ..., an-1 ;
                    h1 , h2 , ..., hn-2 )

    if  hn-1 > 1:
         r := a n
         z := a n-1 
        zseq := z , z , ..., z , z (r times)
         h := a h - 1 
        hseq := h , h , ..., h , h (r-1 times)
         return xE b ( a1 , a2 , ..., an-2 , zseq ;
                    h1 , h2 , ..., hn-2 , hseq )

    z := xE b ( a1 , a2 , ..., an-1;
              h1 , h2 , ..., hn-2 , hn-1 )
     return xEb ( a1 , a2 , ..., an-2 , z ;
                h1 , h2 , ..., hn-2 )

Вау!! 😲 Ты еще не читал? Это зря!

• Категория: Показатели гипер-Е
• Возведение в степень
• Обозначение каскадной буквы Е

Исследование, описанное в статье про hyper-e , подчеркивает ее значимость в современном мире. Надеюсь, что теперь ты понял что такое hyper-e и для чего все это нужно, а если не понял, или есть замечания, то не стесняйся, пиши или спрашивай в комментариях, с удовольствием отвечу. Для того чтобы глубже понять настоятельно рекомендую изучить всю информацию из категории Арифметика