Лекция
Привет, Вы узнаете о том , что такое теория чисел, Разберем основные их виды и особенности использования. Еще будет много подробных примеров и описаний. Для того чтобы лучше понимать что такое теория чисел, высшая арифметика, больше числа , настоятельно рекомендую прочитать все из категории Арифметика.
теория чисел или высшая арифметика — раздел математики, первоначально изучавший свойства целых чисел. В современной теории чисел рассматриваются и другие типы чисел — например, алгебраические и трансцендентные, а также функции различного происхождения, которые связаны с арифметикой целых чисел и их обобщений.
В исследованиях по теории чисел, наряду с арифметикой и алгеброй, применяются геометрические и аналитические методы, а также методы теории вероятностей. В свою очередь, теория чисел оказала влияние на развитие математического анализа, геометрии, классической и современной алгебры, теории суммируемости рядов, теории вероятностей и др..
По своим методам теория чисел делится на четыре части: элементарную, аналитическую, алгебраическую и геометрическую. Методы теории чисел широко применяются в криптографии, вычислительной математике, информатике.
В элементарной теории чисел целые числа изучаются без использования методов других разделов математики. Среди основных тематических направлений элементарной теории чисел можно выделить следующие:
В алгебраической теории чисел понятие целого числа расширяется, в качестве алгебраических чисел рассматривают корни многочленов с рациональными коэффициентами. Была разработана общая теория алгебраических и трансцендентных чисел. При этом аналогом целых чисел выступают целые алгебраические числа, то есть корни унитарных многочленов с целыми коэффициентами. В отличие от целых чисел, в кольце целых алгебраических чисел не обязательно выполняется свойство факториальности, то есть единственности разложения на простые множители.
Теория алгебраических чисел обязана своим появлением изучению диофантовых уравнений, и в том числе попыткам доказать великую теорему Ферма. Куммеру принадлежит равенство
где ai — корни степени n из единицы. Таким образом, Куммер определил новые целые числа вида 
. Позднее Лиувилль показал, что если алгебраическое число является корнем уравнения степени n, то к нему нельзя подойти ближе чем на 
, приближаясь дробями вида P/Q, где P и Q — целые взаимно простые числа .
После определения алгебраических и трансцендентных чисел в алгебраической теории чисел выделилось направление, которое занимается доказательством трансцендентности конкретных чисел, и направление, которое занимается алгебраическими числами и изучает степень их приближения рациональными и алгебраическими .
Одним из основных приемов является вложение поля алгебраических чисел в свое пополнение по какой-то из метрик — архимедовой (например, в поле вещественных или комплексных чисел) или неархимедовой (например, в поле p-адических чисел).
Геометрическая теория чисел изучает в основном «пространственные решетки» — системы точек с целочисленными координатами (в прямоугольной или косоугольной системе координат). Эти конструкции имеют большое значение для геометрии и для кристаллографии, их исследование тесно связано с арифметической теорией квадратичных форм и с другими важными разделами теории чисел. Основателем геометрической теории чисел стал Герман Минковский.
Табличка Плимптон, 322
В Древнем Египте математические операции проводились над целыми числами и аликвотными дробями . Математические папирусы содержат задачи с решениями и вспомогательные таблицы . Еще более широкое применение таблиц характерно для Вавилона, которые вслед за шумерами использовали шестидесятеричную систему счисления. Вавилонские клинописные математические тексты включают таблицы умножения и обратных чисел, квадратов и кубов чисел натурального ряда . В Вавилоне знали множество пифагоровых троек, для поиска которых, вероятно, пользовались неизвестным общим приемом . Самой древней археологической находкой в истории арифметики является обломок глиняной таблички Плимптон, 322, датируемый 1800-ми годами до н. э. Он содержит список Пифагоровых троек, то есть натуральных чисел (a,b,c)
таких что a2+b2=c2
. В тройках встречаются пятизначные числа, да и их самих слишком много, чтобы предположить что они были получены механическим перебором вариантов .
Весомый вклад в становление теории чисел оказали пифагорейцы, Евклид и Диофант. Пифагорейцы рассматривали только целые положительные числа и полагали число собранием единиц. Единицы были неделимы и располагались в виде правильных геометрических тел. Пифагорейцам характерно определение «фигурных чисел» («треугольных», «квадратных» и других). Изучая свойства чисел, они разбили их на четные и нечетные, простые и составные. Вероятно, именно пифагорейцы с помощью только признака делимости на два смогли доказать, что если 1+2+...+2n=p
— простое число, то 2np
— совершенное число. Доказательство изложено в «Началах» Евклида (IX, 36). Только в XVIII веке Эйлер доказал, что других четных совершенных чисел не существует, а вопрос о бесконечности числа совершенных чисел до сих пор не решен. Также пифагорейцы нашли бесконечное множество целых решений уравнения x2+y2=z2
, так называемых пифагоровых троек, и вывели для них общую формулу .
Теория делимости появилась в 399 году до н. э. и принадлежит, по-видимому, Теэтету. Евклид посвятил ей книгу VII «Начал» и часть книги IX. В основе теории лежит алгоритм Евклида для нахождения наибольшего общего делителя двух чисел. Следствием алгоритма является возможность разложения любого числа на простые сомножители, а также единственность такого разложения. Закон однозначности разложения на простые множители является основой арифметики целых чисел.
VII, VIII и IX книги, входящие в «Начала» Евклида, посвящены простым числам и делимости. В частности, там описывается алгоритм нахождения наибольшего общего делителя двух чисел (алгоритм Евклида) и доказывается бесконечность множества простых чисел.
Диофант Александрийский, в отличие от предыдущих математиков Древней Греции, решал задачи классической алгебры, описывая их геометрически. В своем труде «Арифметика» он перечисляет задачи по нахождению целочисленных решений для систем полиномиальных уравнений (называемых сейчас диофантовыми). Работы Диофанта по решению неопределенных уравнений в рациональных числах стоят на стыке теории чисел и алгебраической геометрии. Он исследует уравнение второго порядка от двух переменных F2(x,y)=0
, которое является уравнением конического сечения. Метод, с помощью которого Диофант находит рациональные точки кривой, если известна хоть одна такая, устанавливает, что кривая второго порядка либо содержит бесконечное множество точек, координаты которых выражаются как рациональные функции одного параметра, либо не содержит их вовсе. Для исследования уравнений третьего и четвертого порядка применяются более сложные геометрические методы (построение касательной в рациональной точке, или прямой через две рациональные точки для поиска следующего пересечения)[12].
Китайская теорема об остатках входила в качестве упражнения в трактат Сунь Цзы «Сунь Цзы Суань Цзин» (кит. упр. 孙子算经, пиньинь sūnzǐ suànjīng). В его решении был опущен один из важных шагов, полное доказательство впервые получено Ариабхатой в VI веке н. э.
Индийские математики Ариабхата, Брахмагупта и Бхаскары решали диофантовы уравнения вида ax+b=cy
в целых числах. Кроме того, они решали в целых числах уравнения вида ax2+b=y2
, что было наивысшим достижением индийских математиков в области теории чисел. Впоследствии это уравнение и его частный случай при b=1
привлекли внимание Ферма, Эйлера, Лагранжа. Предложенный Лагранжем метод нахождения решения был близок к индийскому.
Дальнейшее развитие теория чисел получила в работах Ферма, связанных с решением диофантовых уравнений и делимостью целых чисел. В частности, Ферма сформулировал теорему о том, что для любого простого p
и целого a
, ap−a
делится на p, названную малой теоремой Ферма и, кроме того, сформулировал теорему о неразрешимости диофантового уравнения an+bn=cn
в целых числах, или великую теорему Ферма[14]. Обобщением малой теоремы и доказательством великой теоремы для частных случаев занимался в начале XVIII века Эйлер. Он же стал использовать для решения задач по теории чисел мощный аппарат математического анализа, сформулировав метод производящих функций, тождество Эйлера, а также задачи, связанные со сложением простых чисел.
В XIX веке над теорией чисел работали многие видные ученые. Гауссом была создана теория сравнений, с помощью которой доказан ряд теорем о простых числах, изучены свойства квадратичных вычетов и невычетов, включая квадратичный закон взаимности[15], в поисках доказательства которого Гаусс рассмотрел конечные ряды определенного вида, обобщенные впоследствии до тригонометрических сумм. Развивая работы Эйлера, Гаусс и Дирихле создали теорию квадратичных форм. Кроме того, они сформулировали ряд задач о количестве целых точек в областях на плоскости, частные решения которых позволили доказать общую теорему о бесконечности числа простых точек в прогрессиях вида nk+l, где k и l взаимно просты[15]. Дальнейшим изучением распределения простых чисел занимался Чебышев, который показал более точный, чем теорема Евклида, закон стремления к бесконечности числа простых чисел, доказал гипотезу Бертрана о существовании простого числа в интервале (x,2x),x≥2, а также поставил задачу об оценке сверху наименьшего значения разности между соседними простыми числами (расширение вопроса о простых близнецах).
В начале XX века А. Н. Коркин, Е. И. Золотарев и А. А. Марков продолжили работу над теорией квадратичных форм. Коркин и Золотарев доказали теорему о переменных положительной кватернарной квадратичной формы, а Марков занимался изучением минимумов бинарных квадратичных форм положительного определителя. Формулы, сформулированные Дирихле для целых точек в областях на плоскости, нашли свое развитие в работах Г. Ф. Вороного, который в 1903 году определил порядок остаточного члена. В 1906 году метод был успешно перенесен на проблему Гаусса о числе целых точек в круге В. Серпиньским.
В 1909 году Д. Гильберт решил аддитивную проблему Варинга.
Э. Куммер, пытаясь доказать теорему Ферма, работал с алгебраическим числовым полем, для множества чисел которого он применил все четыре алгебраических операции и построил таким образом арифметику целых чисел алгебраического числового поля, порожденного ai
, ввел понятие идеальных множителей и дал толчок к созданию алгебраической теории чисел. В 1844 году Ж. Лиувилль ввел понятия алгебраических и трансцендентных чисел, сформулировав таким образом в математических терминах замечание Эйлера о том, что квадратные корни и логарифмы целых чисел имеют принципиальные различия. Лиувилль показал, что алгебраические числа плохо приближаются рациональными дробями. В конце XIX века над доказательством трансцендентности конкретных чисел работали такие математики как Шарль Эрмит, который в 1873 году доказал трансцендентность числа e
, Ф.Линдеман, который в 1882 году доказал трансцендентность числа π. Другим направлением было изучение степени приближения алгебраических чисел рациональными или алгебраическими. В нем работал Аксель Туэ, который в 1909 году доказал теорему, названную его именем.
Другим направлением работ явилось определение Риманом дзета-функции и доказательство того, что она аналитически продолжается на всю плоскость комплексного переменного и обладает рядом других свойств. Риман также высказал гипотезу о нулях дзета-функции. Работая над дзета-функциями, Ш. ла Валле Пуссен и Жак Адамар сформулировали в 1896 году асимптотический закон распределения простых чисел. Использованный ими метод получения асимптотических формул, или метод комплексного интегрирования, стал широко использоваться в дальнейшем.
В первой половине XX века над проблемами теории чисел работали Герман Вейль, сформулировавший соотношение для равномерного распределения дробных долей целочисленных функций, Г.Харди и Дж. Литлвуд, которые сформулировали круговой метод решения аддитивных задач, А. О. Гельфонд и Т. Гнейдер, которые решили 7-ю проблему Гильберта, К. Зигель, который доказал ряд теорем о трансцендентности значений функций, Б. Н. Делоне и Д. К. Фаддеев, которые занимались исследованием диофантова уравнения 
, А.Сельберг, который работал в теории дзета-функции Римана.
Большой вклад в развитие теории чисел внес И. М. Виноградов, доказавший неравенство о числе квадратичных вычетов и невычетов на отрезке, определивший метод тригонометрических сумм, который позволил упростить решение проблемы Варинга, а также решение ряда задач по распределению дробных долей функции, определению целых точек в области на плоскости и в пространстве, порядок роста дзета-функции в критической полосе. В задачах, связанных с тригонометрическими суммами, важным является как можно более точная оценка их модуля. Виноградов предложил два метода такой оценки. Кроме того, он вместе с учениками разработал ряд методов, которые позволяют решить задачи, выводимые из гипотезы Римана.
Многочисленные работы по теории чисел относятся ко второй половине XX века. Ю. В. Линник разработал дисперсионный метод, который позволил вывести асимптотические формулы для проблемы Харди — Литлвуда и проблемы простых делителей Титчмарша.
Вместе с тем, в теории чисел существует большое количество открытых проблем.
В связи с развитием информационных технологий оказалось, что многие задачи теории чисел, ранее имевшие чисто теоретический интерес, в XXI веке можно успешно применить для организации защищенного обмена информацией в компьютерных сетях. Так, развитие теоретико-числовых алгоритмов привело к созданию систем шифрования, основанных на задаче разложения больших чисел на простые множители, а также систем цифровой подписи, использующих свойства конечных полей и эллиптических кривых.
Неформально (обычно в развлекательной математике и научно-популярной литературе) большими числами называют числа, значительно превосходящие числа, используемые в повседневной жизни. С XV века большими считались числа больше тысячи, например миллион.
Изучение больших чисел и их номенклатуры иногда называются термином гугология (англ. googology) Термин был образован как комбинация слов «гугол» (классическое большое число) и «логос» (учение). Термин введен любителем математики Джонатаном Бауэрсом.
Несмотря на то что гугология — современный термин, история изучения человеком больших чисел уходит в глубокую древность.
III век до н. э. — Архимед в своем труде Псаммит представил нотацию, позволяющую записывать числа до 108⋅1016
. В связи с этим его иногда называют первым «гугологистом» .
I век н. э. — В буддистском священном тексте Аватамсака-сутра было упомянуто число ≈101032
1928 год — Вильгельм Аккерман опубликовал свою функцию.
1940 год — Эдвард Казнер описал числа гугол (
) и гуголплекс (
).
1947 год — Р. Гудштейн дал наименование операциям тетрации (a↑↑b ), пентации (a↑↑↑b ) и гексации (
).
1970 год — С. Вайнер дал определение быстрорастущей иерархи.
1976 год — Дональд Кнут изобрел стрелочную нотацию (предел ω
в терминологии быстрорастущей иерархии).
1977 год — Мартин Гарднер в журнале Scientific American описал число Грэма 
, где 
. Функция g(n) имеет скорость роста порядка ω+1).
1983 год — была изобретена нотация Штейнгауза — Мозера(предел ω).
1995 год — Джон Конвей изобрел цепную стрелочную нотацию(предел 
).
2002 год — Д. Бауэрс (J. Bowers) опубликовал свои нотацию массива (предел 
) и расширенную нотацию массива (предел 
).
2002 год — Х. Фридман дал определение функции TREE(n), имеющей скорость роста 
.
2006 год — Х. Фридман дал определение быстрорастущим функциям SCG(n) (Subcubic Graph Number) (Функция Крускала) и SSCG(n) (Simple Subcibuc Graph Number) (Простая Функция Крускала).
2007 год — Д. Бауэрс определил еще более мощную нотацию BEAF (данная нотация хорошо определена до ε0
, числа, превосходящие этот уровень, вызывают противоречивость оценок).
2011 год — С. Сайбиан создал нотацию Гипер-Е (англ. Hyper-E) с лимитом в быстрорастущей иерархии:
Математические объекты, имеющие отношения к гугологии (в том числе большие числа), называются гугологизмами. В настоящее время наименования даны для нескольких тысяч чисел, превосходящих гугол. Ниже приведен список некоторых гугологизмов и их выражения в наиболее известных нотациях. Перед выражением в той нотации, в которой число было записано автором, стоит знак равенства, выражения для того же числа в других нотациях представляют собой аппроксимации.
| Имя числа | Степень
десяти |
Нотация Кнута | Нотация Конвея | Нотация Бауэрса
(нотация массива) |
Нотация Сайбиана
(гипер-E нотация) |
Быстрорастущая иерархия |
|---|---|---|---|---|---|---|
| Гугол |  |
 |
 |
{10,100} | E100 |  |
| Гуголплекс |  |
 |
 |
{10,{10,100}} | E100#2 |  |
| Гиггол (Giggol) |  |
 |
 |
={10,100,2} | E1#100 |  |
| Гаггол (Gaggol) |  |
 |
10→100→3 |
={10,100,3} |
E1#1#100 |
f4(100) |
| Бугол (Boogol) |  |
10→10→100 | ={10,10,100} | E100##100 |  |
|
| Число Грэма |  |
3→3→64→2 | {3,65,1,2} |
E(3)3##4#64 |
 |
|
| Траддом (Traddom) | 10→10→11→4 | {10,10,3,2} | E10##10##4 |  |
||
| Биггол (Biggol) | 10→10→10→100 | ={10,10,100,2} | E100##100##100 |  |
||
| Трултом (Trultom) | 10→10→10→10→11 | {10,10,10,3} | E10###4 |  |
||
| Тругол (Troogol) |  |
={10,10,10,100} | E100###100 |  |
Числа, приведенные ниже, находятся уже за пределами применения нотаций Кнута и Конвея.
| имя числа | нотация Бауэрса
(BEAF) |
нотация Сайбиана | быстрорастущая иерархия |
|---|---|---|---|
| Квадругол (Quadroogol) | ={10,10,10,10,100} | E100####100 |
 |
| Квадрексом (Quadrexom) | {10,10,10,10,10,10} | E10#####10 |
 |
| Квинтугол (Quintoogol) | ={10,10,10,10,10,100} | E100#####100 |
 |
| Губол (Goobol) | ={10,100(1)2}=
|
E100#99100 |
 |
| Бубол (Boobol) | ={10,10,100(1)2} | E100#^#100##100 |  |
| Трубол (Troobol) | ={10,10,10,100(1)2} | E100#^#100###101 |  |
| Квадрубол (Quadroobol) | ={10,10,10,10,100(1)2} | E100#^#100####101 |  |
| Гутрол (Gootrol) | ={10,100(1)3} | E100#^#100#^#100 |  |
| Госсол (Gossol) | ={10,10(1)100} | E100#^#*#100 |  |
| Моссол (Mossol) | ={10,10(1)10,100} | E100#^#*##100 |  |
| Боссол (Bossol) | ={10,10(1)10,10,100} | E100#^#*###100 |  |
| Троссол (Trossol) | ={10,10(1)10,10,10,100} | E100#^#*####100 |  |
| Дубол (Dubol) | ={10,100(1)(1)2} | E100#^#*#^#100 |  |
| Дутрол (Dutrol) | ={10,100(1)(1)3} | E100#^#*#^#100#^#*#^#100 |  |
| Колоссол (Colossol) | ={10,10(3)2} | E10#^###10 |  |
| Тероссол (Terossol) | ={10,10(4)2} | E10#^####10 |  |
| Петоссол (Petossol) | ={10,10(5)2} | E10#^#####10 |  |
| Гонгулус (Gongulus) | ={10,10(100)2} | E10#^#^#100 |  |
| Годтосол (Godtothol) | {100,100((1)1)2} | =E100#^#^#^#100 |  |
| Годтопол (Godtopol) | {100,100(((1)1)1)2} | =E100#^#^#^#^#^#100 |  |
| Годоктол (Godoctol) | {100,100((((0,1)1)1)1)2} | =E100#^#^#^#^#^#^#^#^#100 |  |
| Декотетром (Dekotetrom) |  |
E10#^^#10 |  |
| Гоппатос (Goppatoth) |  |
E10#^^#101 |  |
| Тесракросс (Tethracross) |  |
=E100#^^##100 |  |
| Тесракубор (Tethracubor) | 0 |
=E100#^^###100 |  |
| Тесратерон (Tethrateron) |  |
=E100#^^####100 |  |
| Пентаксулум (Pentacthulhum) | {X,X,1,2}&100 | =E100#^^^#100 |  |
| Гексаксулум (Hexacthulhum) | {X,X,1,3}&100 | =E100#^^^^#100 |  |
| Годсгодгулус (Godsgodgulus) | {X,X,1,99}&100 | =E100#{100}#100 |  |
| TREE(3) |  |
||
| SCG(13) |  |
Функция занятого бобра Σ — пример функции, которая растет быстрее любой вычислимой функции. Об этом говорит сайт https://intellect.icu . Ее значение даже для относительно небольших входных данных огромно. Значения Σ( n ) для n = 1, 2, 3, 4, 5 равны 1, 4, 6, 13, 4098 (последовательность A028444 в OEIS ). Значение Σ(6) неизвестно, но составляет не менее 10↑↑15.
Хотя все числа, обсуждаемые выше, очень велики, они все же конечны . В некоторых областях математики определяются бесконечные и трансфинитные числа . Например, алеф-ноль — это мощность бесконечного множества натуральных чисел , а алеф-один — следующее по величине кардинальное число.с
Это мощность вещественных чисел . Предложение о том, что 
известна как гипотеза континуума .
Космология
(по разным оценкам от 4⋅1079 до 1081).
м
Статистическая механика
(что соответствует времени ожидания 101013
с.)
лет .
лет Теория графов
Исследование, описанное в статье про теория чисел, подчеркивает ее значимость в современном мире. Надеюсь, что теперь ты понял что такое теория чисел, высшая арифметика, больше числа и для чего все это нужно, а если не понял, или есть замечания, то не стесняйся, пиши или спрашивай в комментариях, с удовольствием отвечу. Для того чтобы глубже понять настоятельно рекомендую изучить всю информацию из категории Арифметика
Комментарии
Оставить комментарий
Арифметика
Термины: Арифметика