Категорическая логика кратко

Привет, Вы узнаете о том , что такое категорическая логика, Разберем основные их виды и особенности использования. Еще будет много подробных примеров и описаний. Для того чтобы лучше понимать что такое категорическая логика , настоятельно рекомендую прочитать все из категории Логика.

категорическая логика — это раздел математики , в котором инструменты и концепции теории категорий применяются к изучению математической логики . Она также примечательна своими связями с теоретической информатикой . В широком смысле категорическая логика представляет как синтаксис, так и семантику посредством категории , а интерпретацию — посредством функтора . Категорическая структура обеспечивает богатую концептуальную основу для логических и теоретико-типовых построений. В этих терминах предмет узнаваем примерно с 1970 года.

В категориальном подходе к логике есть три важных темы:

Категориальная семантика

Категорическая логика вводит понятие структуры, оцениваемой в категории C, при этом классическое теоретико-модельное понятие структуры появляется в частном случае, когда C — категория множеств и функций . Это понятие оказалось полезным, когда теоретико -множественное понятие модели недостаточно общо и/или неудобно. Моделирование различных непредикативных теорий, таких как Система F , выполненное Р. А. Г. Сили , служит примером полезности категориальной семантики.

Было обнаружено, что связки докатегорической логики более четко понимаются с использованием концепции сопряженного функтора , и что квантификаторы также лучше всего понимаются с использованием сопряженных функторов.

Внутренние языки

Это можно рассматривать как формализацию и обобщение доказательства с помощью поиска диаграмм . Определяется подходящий внутренний язык, именующий соответствующие составляющие категории, а затем применяется категориальная семантика для преобразования утверждений в логике над внутренним языком в соответствующие категориальные высказывания. Это было наиболее успешным в теории топосов , где внутренний язык топоса вместе с семантикой интуиционистской логики высшего порядка в топосе позволяет рассуждать об объектах и ​​морфизмах топоса, как если бы они были множествами и функциями. Это было успешно при работе с топосами, которые имеют «множества» со свойствами, несовместимыми с классической логикой . Об этом говорит сайт https://intellect.icu . Ярким примером является модель нетипизированного лямбда-исчисления Даны Скотт в терминах объектов, которые сворачиваются в свое собственное функциональное пространство . Другой является модель Моджи -Хайланда системы F с помощью внутренней полной подкатегории эффективного топоса Мартина Хайланда .

Конструкции терминологических моделей

Во многих случаях категориальная семантика логики служит основой для установления соответствия между теориями в логике и примерами соответствующего типа категории. Классическим примером служит соответствие между теориями βη - эквациональной логики над просто типизированным лямбда-исчислением и декартовыми замкнутыми категориями . Категории, возникающие из теорий посредством конструкций терм-моделей, обычно могут быть охарактеризованы с точностью до эквивалентности подходящим универсальным свойством . Это позволило доказать метатеоретические свойства некоторых логик с помощью подходящей категориальной алгебры . Например, Фрейд таким образом доказал свойства дизъюнкции и существования интуиционистской логики .

Эти три темы взаимосвязаны. Категориальная семантика логики заключается в описании категории структурированных категорий, которая связана с категорией теорий в этой логике посредством присоединения, где два функтора в присоединении задают, с одной стороны, внутренний язык структурированной категории, а с другой — терминологическую модель теории.

Категорическая логика берет свое начало в работах Уильяма Ловера « Функториальная семантика алгебраических теорий» (1963) и «Элементарная теория категории множеств»(1964) . Ловер распознал топос Гротендика , введенный в алгебраическую топологию как обобщенное пространство, как обобщение категории множеств ( Квантификаторы и пучки (1970)) . Затем Ловер совместно с Майлзом Тирни разработал понятие элементарного топоса, тем самым стабилизировав плодотворную область теории топосов , которая обеспечивает единую категориальную трактовку синтаксиса и семантики логики предикатов высшего порядка.Полученная логика формально интуиционистская. Андре Джоялу приписывают, в терминах семантики Крипке-Джояла, наблюдение, что модели связок для предикатной логики, предоставляемые теорией топосов, обобщают семантику Крипке . Джоял и другие применяли эти модели для изучения понятий высшего порядка, таких как действительные числа, в интуиционистских формах.

Аналогичным развитием стала связь между просто типизированным лямбда-исчислением и замкнутыми декартовыми категориями (Ловер, Ламбек, Скотт), что создало среду для развития теории областей . Менее выразительные теории, с точки зрения математической логики, имеют свои собственные аналоги в теории категорий . Например, концепция алгебраической теории приводит к двойственности Габриэля-Ульмера . Взгляд на категории как на обобщение, объединяющее синтаксис и семантику, оказался продуктивным в изучении логики и теорий для приложений в информатике .

Основателями элементарной теории топосов были Ловер и Тирни. В своих трудах Ловер, иногда изложенных в философском жаргоне, он выделял некоторые базовые понятия как сопряженные функторы (которые он , не без оснований, объяснял как «объективные» в гегелевском смысле). Наличие классифицирующего подобъекта является сильным свойством, требуемым от категории, поскольку при декартовом замыкании и конечных границах он дает топос ( нарушение аксиомы показывает, насколько сильно это предположение). Дальнейшие работы Ловера в 1960-х годах привели к созданию теории атрибутов, которая в некотором смысле является теорией подобъектов, более соответствующей теории типов. В дальнейшем основное влияние оказали теория типов Мартина-Лефа в отношении логики, полиморфизм типов и исчисление конструкций в области функционального программирования, линейная логика в области теории доказательств, семантика игр и синтетическая теория проектируемых областей. Абстрактная идея категорного расслоения получила широкое применение.

Оглядываясь назад, можно сказать, что величайшая ирония заключается в том, что, говоря в общем, интуиционистская логика вновь появилась в математике, заняв центральное место в программе Бурбаки-Гротендика, спустя поколение после окончания запутанной полемики Брауэра-Гильберта, в которой Гильберт оказался очевидным победителем. Бурбаки, или, точнее, Жан Дьедонне, притязая на наследие Гильберта и Геттингенской школы, включая Эмми Нетер, возродил доверие к интуиционистской логике (хотя сам Дьедонне считал интуиционистскую логику нелепой) как к логике произвольного топоса, в котором классическая логика была «топосом» множеств. Это следствие, безусловно, было неожиданным с относительной точки зрения Гротендика; и не ускользнуло от внимания Пьера Картье, одного из самых влиятельных представителей французского ядра математиков, окружавших Бурбаки и IHES. Именно Картье дал изложение семинара Бурбаки по интуиционистской логике.

С еще более широкой точки зрения, теорию категорий можно считать математикой второй половины XX века тем же, чем теория меры была для первой. Именно Колмогоров применил теорию меры к теории вероятностей, предложив первый убедительный (если не единственный) аксиоматический подход. Колмогоров также был одним из пионеров в начале 1920-х годов, сформулировав интуиционистскую логику в стиле, полностью поддержанном более поздним категорно-логическим подходом (опять же, одной из формулировок, а не единственной; концепция реализуемости Стивена Клини также является серьезным кандидатом). Другой путь к категорной логике, таким образом, пролегал через Колмогорова, и это один из способов объяснить изоморфизм переменных Карри-Ховарда.

• История теории топоса
• Связный топос
• многосортная логика ,
• математическая логика , теоретическая логика , символическая логика , теория рекурсий ,

Исследование, описанное в статье про категорическая логика, подчеркивает ее значимость в современном мире. Надеюсь, что теперь ты понял что такое категорическая логика и для чего все это нужно, а если не понял, или есть замечания, то не стесняйся, пиши или спрашивай в комментариях, с удовольствием отвечу. Для того чтобы глубже понять настоятельно рекомендую изучить всю информацию из категории Логика