6.3 Законы тождества, контрапозиции , де Моргана, Модус, поненс и модус толленс. Конструктивная и деструктивная дилеммы.Закон Клавия

Привет, Вы узнаете о том , что такое законы логики, Разберем основные их виды и особенности использования. Еще будет много подробных примеров и описаний. Для того чтобы лучше понимать что такое законы логики, закон тождества, закон контрапозиции, законы де моргана, модус, поненс, толленс, утверждающе-отрицающий модус, отрицающе-утверждающий модус, конструктивная дилемма, деструктивная дилемма, закон клавия, дилемма, правила де моргана, законы де моргана, закон де моргана, доказательство по случаям , настоятельно рекомендую прочитать все из категории Логика.

Законы двойного отрицания позволяют снимать и вводить такое отрицание. Их можно выразить так:если неверно, что не-А, то А; если А, то неверно, что не-А.Например: «Если неверно, что Аристотель не знал закона двойного отрицания, то Аристотель знал этот закон» и наоборот.

закон тождества

Закон тождества — принцип постоянства или принцип сохранности предметного и смыслового значений суждений (высказываний) в некотором заведомо известном или подразумеваемом контексте (в выводе, доказательстве, теории) . Является одним из законов классической логики.

Рис 1 Закон тождества

Согласно закону тождества, всякое высказывание об одном и том же предмете в одно и то же время и в одном и том же отношении должно быть тождественно самому себе, сколько бы раз не воспроизводилось. Закон тождества может быть выражен формулой p→p (рис. 1).

Самый простой из всех логических законов — это, пожалуй, закон тождества. Он говорит: если утверждение истинно, то оно истинно, «если А, то А». Например, если Земля вращается, то она вращается, и т.п. Чистое утверждение тождества кажется настолько бессодержательным, что редко кем употребляется.

Древнекитайский философ Конфуций поучал своего ученика: «То, что знаешь, считай, что знаешь, то, что не знаешь, считай, что не знаешь». Здесь не просто повторение одного и того же: знать что-либо и знать, что это знаешь, не одно и то же.

Закон тождества кажется в высшей степени простым и очевидным. Однако и его ухитрялись истолковывать неправильно. Заявлялось, например, будто этот закон утверждает, что вещи всегда остаются неизменными, тождественными самим себе. Это, конечно, недоразумение. Закон ничего не говорит об изменчивости или неизменности. Он утверждает только, что если вещь меняется, то она меняется, а если она остается одной и той же, то она остается той же.

В процессе рассуждения каждое понятие, суждение должно употребляться в одном и том же смысле. Предпосылкой этого является возможность различения и отождествления тех объектов, о которых идет речь. . Мысль о предмете должна иметь определенное, устойчивое содержание, сколько бы раз она ни повторялась. Важнейшее свойство мышления — его определенность — выражается данным логическим законом .

Впервые закон тождества сформулирован Аристотелем в трактате «Метафизика» следующим образом:

«…иметь не одно значение — значит не иметь ни одного значения; если же у слов нет значений, тогда утрачена всякая возможность рассуждать друг с другом, а в действительности — и с самим собой; ибо невозможно ничего мыслить, если не мыслить что-нибудь одно»

— Аристотель, «Метафизика»

В формальной логике закон тождества принято выражать формулой: есть , или , где под понимается любая мысль.

Символическая логика при построении исчислений высказываний оперирует формулами (читается как « влечет ») и ≡ (читается как « равнозначно »), где:

• — любое высказывание;
• «» — знак импликации;
• «≡» — знак эквивалентности.

Эти формулы соответствуют закону тождества.

В логике предикатов закон тождества выражается формулой , то есть для всякого верно, что если имеет свойство , то имеет это свойство.

Применение в повседневной жизни

Любой наш знакомый изменяется с каждым годом, но мы все же отличаем его от других знакомых и незнакомых нам людей (имеется возможность различения), потому что он сохраняет основные черты, которые выступают как те же самые на всем протяжении жизни нашего знакомого (имеется возможность отождествления). То есть, в соответствии с законом Лейбница (определяющим понятие тождество) мы утверждаем, что наш знакомый изменился. Однако в соответствии с законом тождества мы утверждаем, что это один и тот же человек, поскольку в основе определения лежит понятие личность. Закон тождества требует, чтобы для описания одного и того же понятия мы всегда использовали одно и то же выражение (имя). Таким образом, мы одновременно рассматриваем один объект (знакомого) на двух различных уровнях абстракции. Возможность различения и отождествления определяется в соответствии с законом достаточного основания. В данном случае в качестве достаточного основания используется наше чувственное восприятие (см. опознание).

Применение в формальной логике

Под тождественностью мысли самой себе в формальной логике понимается тождественность ее объема . Это означает, что вместо логической переменной в формулу « есть » могут быть подставлены мысли различного конкретного содержания, если они имеют один и тот же объем. Вместо первого в формуле « есть » мы можем подставить понятие «животное; обладающее мягкой мочкой уха», а вместо второго — понятие «животное, обладающее способностью производить орудия труда» (обе эти мысли с точки зрения формальной логики считаются равнозначными, неразличимыми, так как они имеют один и тот же объем, а именно — признаки, отраженные в этих понятиях, относятся лишь к классу людей), и при этом получается истинное суждение «Животное, обладающее мягкой мочкой уха, есть животное, обладающее способностью производить орудия труда».

Применение в математике

В математической логике законом тождества называется тождественно истинная импликация логической переменной с самой собой .

В алгебре понятие арифметического равенства чисел рассматривается как особый случай общего понятия логического тождества. Однако имеются математики, которые, в противоположность данной точке зрения, не отождествляют символа «», встречающегося в арифметике, с символом логического тождества; они не считают, что равные числа непременно тождественны, и поэтому рассматривают понятие числового равенства как специфически арифметическое понятие. То есть полагают, что сам факт наличия или отсутствия особого случая логического тождества, должен определяться в рамках логики.^[10].

Нарушения закона тождества

Когда закон тождества нарушается непроизвольно, по незнанию, тогда возникают логические ошибки, которые называются паралогизмами; но когда этот закон нарушается преднамеренно, с целью запутать собеседника и доказать ему какую-нибудь ложную мысль, тогда появляются ошибки, называемые софизмами .

При нарушении закона тождества возможны следующие ошибки:

1. Амфиболия (от греч. ἀμφιβολία — двусмысленность, неясность) — логическая ошибка, в основе которой лежит двусмысленность языковых выражений. Например: «Правильно говорят, что язык до Киева доведет. Я купил вчера копченый язык. Теперь смело могу идти в Киев». Другое название этой ошибки — «подмена тезиса».
2. Эквивокация (от лат. aequivocatio — равноголосие, двусмысленность) — логическая ошибка при рассуждении, в основе которой лежит использование одного и того же слова в разных значениях. Эквивокация иногда используется как риторический художественный прием. В логике этот прием называют «подмена понятия».
3. Логомахия (от греч. λόγος — слово и μάχη — бой, сражение) — спор о словах, когда в процессе дискуссии участники не могут прийти к единой точке зрения в силу того, что не уточнили исходные понятия.

закон контрапозиции

«Закон контрапозиции» — это общее название для ряда логических законов, позволяющих с помощью отрицания менять местами основание и следствие условного высказывания.

Закон контрапозиции — закон классической логики, утверждающий, что в том случае, если некая посылка A влечет некое следствие B, то отрицание этого следствия (то есть «не B») влечет отрицание этой посылки (то есть «не A»).

Как и всякое общезначимое импликативное утверждение, может служить также и правилом вывода.

В виде формулы алгебры высказываний закон контрапозиции имеет вид . Также являются тавтологиями следующие похожие формулы: , . При подстановке вместо произвольных формул также получаются тавтологии.

Закон контрапозиции доказуем в исчислении высказываний, но при этом формула невыводима в интуиционистском исчислении высказываний, где p, q - пропозициональные переменные.

Один из этих законов, называемый иногда законом простой контрапозиции, звучит так: если первое влечет второе, то отрицание второго влечет отрицание первого.

Например: «Если верно, что число, делящееся на шесть, делится на три, то верно, что число, не делящееся на три, не делится на шесть».

Другой закон контрапозиции говорит: если верно, что если не-первое, то не-второе, то верно, что если второе, то первое.

Например: «Если верно, что рукопись, не получившая положительного отзыва, не публикуется, то верно, что публикуемая рукопись имеет положительный отзыв». Или другой пример: «Если нет дыма, когда нет огня, то если есть огонь, есть и дым».

Еще два закона контрапозиции:

• если дело обстоит так, что если Л, то не-В, то если В, то не-А, например: «Если квадрат не является треугольником, то треугольник не квадрат»;

• если верно, что если не-А, то В, то если не-В, то А; например: «Если не являющееся очевидным сомнительно, то не являющееся сомнительным очевидно».

законы де моргана

Законы де Моргана ( правила де моргана ) — логические правила, связывающие пары логических операций при помощи логического отрицания. Названы в честь шотландского математика Огастеса де Моргана. В краткой форме звучат так:

Другой закон: неверно, что Ли В если и только если неверно Л и неверно В. 11апример: «Неверно, что ученик знает арифметику или знает геометрию, если и только если он не знает ни арифметики, ни геометрии».

На основе этих законов, используя отрицание, связку «и» можно определить через «или», и наоборот:

«А и В» означает «неверно, что не-А или не-В»,

«А и В» означает «неверно, что не-А и не-В».

Например: «Идет дождь и идет снег» означает «Неверно, что нет дождя или нет снега»; «Сегодня холодно или сыро» означает «Неверно, что сегодня не холодно и не сыро».

Огастес де Морган первоначально заметил, что в классической пропозициональной логике справедливы следующие соотношения:

не (a и b) = (не a) или (не b)

не (a или b) = (не a) и (не b)

В математике это выглядит так:

или по-другому:

В теории множеств:

или по-другому:

Эти правила также действительны для множества элементов (семейств):

и .

В исчислении предикатов:

Следствия:

Используя законы де Моргана, можно выразить конъюнкцию через дизъюнкцию и три отрицания. Об этом говорит сайт https://intellect.icu . Аналогично можно выразить дизъюнкцию:

В виде теоремы:

Если существует суждение, выраженное операцией логического умножения двух или более элементов, т. е. операцией «и»: , то для того, чтобы найти обратное от всего суждения, необходимо найти обратное от каждого элемента и объединить их операцией логического сложения, т. е. операцией «или»: . Закон работает аналогично в обратном направлении: .

Применение закона Де Моргана

Законы де Моргана применяются в таких важных областях, как дискретная математика, электротехника, физика и информатика; например, используются для оптимизации цифровых схем посредством замены одних логических элементов другими.

Диаграммы Венна, описывающие законы де Моргана

Представление правил де Моргана через логические элементы

модус поненс и модус толленс

«Модусом» в логике называется разновидность некоторой общей формы рассуждения. Далее будут перечислены четыре близких друг другу модуса, известных еще средневековым логикам.

Modus ponens («правило вывода»): если и — выводимые формулы, то также выводима.

Форма записи: , где — любые формулы.

Правило вывода модус поненс, обычно называемое правилом отделения или гипотетическим силлогизмом, позволяет от утверждения условного высказывания и утверждения его основания (антецедента) перейти к утверждению следствия (консеквента). Например, металлы — проводники тока, цинк — металл, значит цинк проводит ток. Обратное утверждение не всегда верно: никель и морская вода проводят ток, но никель — металл, а морская вода не металл. Итого, если из следует , и — истинно, то может быть как истинно, так и ложно.

Modus ponens — правило вывода в исчислении высказываний. Является частным случаем правила резолюций.

Модус поненс, называемый иногда гипотетическим силлогизмом, позволяет от утверждения условного высказывания и утверждения его основания перейти к утверждению следствия этого высказывания:

Здесь высказывания «если А, то В» и «А» — посылки, высказывание «В» заключение.

Горизонтальная черта стоит вместо слова «следовательно».

Другая запись: Если А, то В. А. Следовательно, В.

Благодаря этому модусу от посылки «если А, то В», используя посылку «А», мы как бы отделяем заключение «В». На этом основании данный модус иногда называется «правилом отделения».

Например: Если у человека диабет, он болен. У человека диабет. Человек болен.

Рассуждение по правилу отделения идет от утверждения основания истинного условного высказывания к утверждению его следствия. Это логически корректное движение мысли иногда путается со сходным, но логически неправильным ее движением от утверждения следствия истинного условного высказывания к утверждению его основания.

Например, правильным является умозаключение:

Но внешне сходное с ним умозаключение:

Если бы электролит был металлом, он проводил бы электрический ток. Электролит проводит электрический ток.

Электролит — металл логически некорректно. Рассуждая по последней схеме, можно прийти от истинных посылок к ложному заключению. Против смешения правила отделения с этой неправильной схемой рассуждения предостерегает совет: от подтверждения основания к подтверждению следствия рассуждать допустимо, от подтверждения следствия к подтверждению основания — нет.

Modus tollens — рассуждение от противного (латинское «modus tollendo tollens» означает «путь исключения исключением»).

Форма записи: .

Например, — «золотая монета», — «несминаема зубами» , тогда modus tollens позволяет из свойства: «золотые монеты несминаемы зубами» сделать вывод, что если монета сминаема зубами, то она не золотая.

Модусом толленсом называется следующая схема рассуждения:

Здесь высказывания «если A, то В» и «неверно В» являются посылками, а высказывание «неверно A» — заключением. Другая запись:

Если А, то В. Не-В. Следовательно, не-А.

Посредством этой схемы от утверждения условного высказывания и отрицания его следствия осуществляется переход к отрицанию основания. Например: «Если гелий — металл, он электропроводен. Гелий неэлектропроводен. Следовательно, гелий — не металл».

По схеме модус толленс идет процесс фальсификации, установления ложности теории или гипотезы в результате ее эмпирической проверки. Из проверяемой теории T выводится некоторое эмпирическое утверждение A, т.е. устанавливается условное высказывание «если T, то A». Посредством эмпирических методов познания (наблюдения, измерения или эксперимента) предложение A сопоставляется с реальным положением дел.

Выясняется, что A ложно и истинно предложение не-А.Из посылок «если T то A» и «не-А» следует «не-T», т.е. ложность теории T".

С модусом толленсом нередко смешивается внешне сходное с ним умозаключение:

В последнем умозаключении от утверждения условного высказывания и отрицания его основания осуществляется переход к отрицанию его следствия, что является логически некорректным шагом. Рассуждение по такой схеме может привести от истинных посылок к ложному заключению.

Например:

• Если бы глина была металлом, она была бы пластична.
• Но глина не металл.
• Неверно, что глина пластична.

Все металлы пластичны, и если бы глина была металлом, она также являлась бы пластичной. Однако глина не является металлом. Но из этого очевидным образом не вытекает, что глина не пластична. Кроме металлов, есть и другие пластичные вещества, и глина в их числе.

Против смешения модуса толленса с данной некорректной схемой рассуждения предостерегает совет: от отрицания следствия условного высказывания заключать к отрицанию основания этого высказывания можно, а от отрицания основания к отрицанию следствия — нет.

Утверждающе-отрицающий и отрицающе-утверждающий модус ы

Утверждающе-отрицающим модусом именуются следующие схемы рассуждения:

Либо А. либо В: А

Неверно В

и

Либо А. либо В: В

Неверно А

Другая запись:

Либо А, либо В. А.Следовательно, не-В.

Либо А, либо В. В. Следовательно, не-А.

Посредством этих схем от утверждения двух взаимоисключающих альтернатив и установления того, какая из них имеет место, осуществляется переход к отрицанию второй альтернативы: либо первое, либо второе, но не оба вместе; есть первое; значит, нет второго. Например:

Лермонтов родился в Москве либо в Петербурге. Он родился в Москве.

Неверно, что Лермонтов родился в Петербурге.

Связка «либо, либо», входящая в утверждающе-отрицающий модус , является исключающей, она означает: истинно первое или истинно второе, но не оба вместе. Такое же рассуждение, но с неисключающим «или» (имеет место первое или второе, но возможно, что и первое и второе) логически неправильно. От истинных посылок оно может вести к ложному заключению. Например:

На Южном полюсе был Амундсен или был Скотт. Па Южном полюсе был Амундсен.

Неверно, что там был Скотт.

Обе посылки истинны: и Амундсен, и Скотт достигли Южного полюса, заключение же ложно. Правильным является умозаключение:

На Южном полюсе первым был Амундсен или Скотт. На этом полюсе первым был Амундсен.

Неверно, что там первым был Скотт.

В отрицающе‑утверждающем модусе (modus tollendo ponens) меньшая посылка отрицает один дизъюнкт, заключение утверждает другой. Напр.: Облигации могут быть предъявительскими (р) или именными (q). Данная облигация не является предъявительской (⌉р). Данная облигация именная (q).

Схема отрицающе-утверждающего модуса:

Утвердительный вывод получен посредством отрицания: отрицая один дизъюнкт, мы утверждаем другой.

Заключение по этому модусу всегда достоверно, если соблюдается правило: в большей посылке должны быть перечислены все возможные суждения — дизъюнкты, иначе говоря, большая посылка должна быть полным (закрытым) дизъюнктивным высказыванием.

Отрицающе-утверждающим модусом называется разделительно-категорическое умозаключение: первое или второе; не-первое; значит, второе. Первая посылка — высказывание с «или»; вторая — категорическое высказывание, отрицающее один из членов первого сложного высказывания; заключением является второй член этого высказывания.

А или В: неверно А

В

или

А или В; неверно В

А

Другая форма записи:

А или В. Не-А. Следовательно, В.

А или В. Не-В. Следовательно, А.

Например:

Множество является конечным или оно бесконечно. Множество не является конечным.

Множество бесконечно.

Средневековые логики называли утверждающе-отрицающий модус модусом понендо толленс, а отрицающе-утверждающий модус — модусом толлендо поненс.

Конструктивная и деструктивная дилеммы

дилемма ми называются рассуждения, посылками которых являются, по меньшей мере, два условных высказывания (высказывания с «если, то») и одно разделительное высказывание (высказывание с «или»).

Дилемма - это условно-категорическое УМЗ, где одна посылка состоит из 2-х или более условных суждений, а другая является разделительным суждением и если разделительное суждение содержит 2 члена.

Простая конструктивная дилемма - состоит из 2-х посылок. В 1-й утверждается, что из 2-х разных оснований вытекает одно следствие. Во 2-й утверждаются, что оба этих основания истинны. В заключении утверждается следствие. “Если я пойду по мосту - меня заметят. Если я пойду вброд - меня заметят. Я могу идти по мосту или вброд. Меня заметят. “.

Сложная конструктивная дилемма. Два основания в 1-й посылке, во 2-й посылке утверждается истинность одного или другого основания, в заключении утверждается истинность одного или другого следствия. “Если я ебну бомбу в городе, то завалю много народа. Если я ебну бомбу в лесу, то завалю себя одного. Я могу ебнуть бомбу в городе и в лесу. Я могу завалить много народа или я могу убить только себя.”. Простая деструктивная дилемма - 1-я условная посылка указывает на то, что из одного и того же основания вытекают 2 различных следствия, 2-я посылка это отрицания обоих этих следствий, а в заключении отрицается основание. “Если у человека столбняк, то через 1 день он сдохнет. Через один день человек не сдох. У этого человека нет столбняка”.

Сложная деструктивная дилемма - 1 посылка состоит из 2-х условных суждений с разными основаниями и разными следствиями, 2-я посылка - это отрицание обоих следствий. “Если Петров честен, он сделает задание сегодня, а если Петров добросовестен, то он сделает задание завтра. Но Петров не сделал задание сегодня и не сделал его завтра. Петров не честен и не добросовестен.

Выделяются следующие разновидности дилеммы.

Простая конструктивная (утверждающая) дилемма:

Если А, то С.

Если В, то С.

А или В.

С

Рассуждение этого типа в математике принято называть доказательством по случаям. Однако число случаев, перебираемых последовательно в математическом доказательстве, обычно превышает два, так что дилемма приобретает вид:

Если бы было справедливо первое допущение, теорема была бы верна; при справедливости второго допущения теорема также была бы верна; при верном третьем допущении теорема верна; если верно четвертое допущение, теорема верна; справедливо или первое, или второе, или третье, или четвертое допущение.

Значит, теорема верна.

Сложная конструктивная дилемма :

Если А, то В. Если С, то D.

A или С.

В или D.

Например: «Если будет дождь, мы пойдем в кино; если будет холодно, пойдем в театр; будет дождь или будет холодно; следовательно, мы пойдем в кино или пойдем в театр».

Простая деструктивная (отрицающая) дилемма:

Если А, то В. Если А, то С.

Неверно В или неверно С. Неверно А.

Например: «Если число делится на 6, то оно делится на 3; если число делится на б, то оно делится на 2; рассматриваемое число не делится на 2 или не делится па 3; следовательно, число не делится на 6».

Сложная деструктивная дилемма :

Если А, то В. Если С, то D. Не-В или не-Р. Не-А или не-С.

Например: «Если поеду на север, то попаду в Тверь; если поеду на юг, то попаду в Тулу; но не буду в Твери или не буду в Туле; следовательно, не поеду на север или не поеду на юг».

закон клавия

Этот закон можно передать так: если из отрицания некоторого высказывания вытекает само это высказывание, то оно является истинным. Или, короче: высказывание, вытекающее из своего собственного отрицания, истинно.

Если неверно, что А.то А.

А.

Например: если условием того, чтобы машина не работала, является ее работа, то машина работает.

Закон назван именем Клавия — ученого-иезуита, жившего в XVI в., одного из создателей григорианского календаря. Клавий обратил внимание на этот закон в своем комментарии к «Началам» Евклида. Одну из своих теорем Евклид доказал из допущения, что она является ложной.

Закон Клавия лежит в основе рекомендации, касающейся доказательства: если хочешь доказать А,выводи А из допущения, что верным является не-А. Например, нужно доказать утверждение «Трапеция имеет четыре стороны». Отрицание этого утверждения: «Неверно, что трапеция имеет четыре стороны». Если из этого отрицания удается вывести утверждение, то последнее будет истинно.

В романе И. С. Тургенева «Рудин» есть такой диалог:

— Стало быть, по-вашему, убеждений пет?

— Нет — и не существует.

— Это ваше убеждение? -Да.

- Как же вы говорите, что их нет? Вот вам уже одно на первый случай.

Ошибочному мнению, что никаких убеждений нет, противопоставляется его отрицание: есть, по меньшей мере, одно убеждение, а именно убеждение, что убеждений нет. Отсюда следует, что убеждения существуют.

К закону Клавия близок по своей логической структуре другой закон, отвечающий этой же общей схеме: если из утверждения вытекает его отрицание, то последнее истинно. Например, сети условием того, что поезд придет вовремя, будет его опоздание, то поезд опоздает.

Схема этого рассуждения :

Если А. то не-А.

Не-А.

Эту схему однажды использовал древнегреческий философ Демокрит в споре с софистом Протагором. Последний утверждал:

«Истинно все то, что кому-либо приходит в голову».

На это Демокрит ответил, что из положения

«Каждое высказывание истинно» вытекает истинность и его отрицания: «Не все высказывания истинны».

И значит, это отрицание, а не положение Протагора на самом деле истинно.

Тесты по теме закона тождества:

1. Опираясь на закон тождества, установите, в каком случае сохраняется тождество суждений, если выделенное понятие заменить другим: Преступник, скрываясь от преследования, свернул в безлюдный переулок.

• 1. глухой;
• 2. темный;
• 3. пустынный;
• 4. узкий.

2. Закон противоречия нарушен в следующем высказывании:

• 1. Я знаю только то, что я ничего не знаю. (Сократ)
• 2. В детстве у меня не было детства. (А.П. Чехов)
• 3. История учит только тому, что она ничему не учит. (Г.Ф.Гегель)
• 4. Ни в одном из этих высказываний.

Закон противоречия гласит: два высказывания, находящиеся в отношении отрицания, не могут быть одновременно истинными, по крайней мере одно из них ложно. Для того чтобы закон противоречия действовал, надо рассуждать об одном и том же предмете, в одно и то же время в одном и том же отношении. Закон противоречия может быть выражен формулой ┐(pר┐p) (рис. 2)

рис 2 Закон противоречия

3. В этом шуточном четверостишии

Мы ходили по Неглинной,

Заходили на бульвар,

Нам купили синий-синий,

Презеленый, красный шар.

(С.В. Михалков)

преднамеренно нарушен закон

• 1. тождества;
• 2. непротиворечия;
• 3. исключенного третьего;
• 4. достаточного основания.

4. Два противоположных суждения о двух разных предметах

• 1. должны быть одновременно истинными;
• 2. должны быть одновременно ложными;
• 3. должны быть одно – истинным, другое – ложным;
• 4. могут быть какими угодно по истинности.

5. Два противоречащих суждения об одном предмете предметах должны быть

• 1. одновременно истинными;
• 2. одновременно ложными;
• 3. одно – истинным, другое – ложным;
• 4. одновременно ложными.

6. Опираясь на закон непротиворечия и исключенного третьего, установите, какие из пар суждений могут быть одновременно ложными.

• 1. Все дети непослушны. Некоторые дети все-таки послушны.
• 2. Льюис Кэрролл является автором книги «Алиса в стране чудес». Льюис Кэрролл не является автором книги «Алиса в стране чудес».
• 3. Любое знание – полезно. Некоторые знания все же бесполезны.
• 4. Всякая ложь заслуживает порицания. Ни одна ложь не заслуживает порицания.

Закон исключенного третьего: два противоречащих друг другу высказывания не могут быть ни одновременно истинными, ни одновременно ложными, одно из них истинно, другое – ложно, третьего не дано. Закон исключенного третьего в виде формулы записывается следующим образом: pڀ┐p (рис. 3).

Рис 3 Закон исключенного третьего

7. Укажите, какой из формальных законов логики нарушен в следующем рассуждении: «Этот человек не болен, ведь у него не повышена температура».

• 1. закон тождества;
• 2. закон непротиворечия;
• 3. закон исключенного третьего;
• 4. закон достаточного основания.

Упражнения

1. Определите, являются ли высказываниями следующие предложения:

• 1) Вышедшее из-за туч солнце.
• 2) Рукописи не горят.
• 3) Кто автор сочинения «Война и мир»?
• 4) Сколько волка не корми, он все в лес просится.
• 5) Стемнело.
• 6) Цена товара Х меньше его стоимости.
• 7) Верно ли, что Минск был основан в 1067 году?
• 8) Кому приятны неприятности? (М. Горький)
• 9) Водители, не нарушайте правила дорожного движения!
• 10) Атлантида существует.

2. Определите вид простого высказывания по характеру предиката.

• 1) Нет студента, который не испытывал бы трудностей при изучении логики.
• 2) Каждый может освоить этот курс самостоятельно.
• 3) Страшнее кошки зверя нет.
• 4) Некоторые справедливые действия выгодны.

3. Запишите высказывания в правильной логической форме, выделите субъект и предикат.

• 1) Среди студентов есть отличники.
• 2) Не все граждане Республики Беларусь живут в Минске.
• 3) Чаще всего вулканы имеют конусообразную форму.
• 4) Некоторые водители за рулем не курят.
• 5) Есть книги, которые стали широко известными.
• 6) Зимой грибы не собирают.
• 7) Не все золото, что блестит.
• 8) Все гениальное просто.
• 9) У Ивана много друзей.
• 10) Всякая вещь хороша на своем месте.

4. Определите вид атрибутивного высказывания по качеству и количеству, установите субъект, предикат, связку и кванторное слово.

• 1) Все вечера он проводил дома.
• 2) Ленивых студентов не бывает.
• 3) Многие первокурсники не могут перевести этот текст без словаря.
• 4) Марс вращается вокруг Солнца по планетной орбите.
• 5) Не все студенты нашей группы были допущены к сессии.
• 6) Из нашей группы никого не отчислили.
• 7) Кое-какие книги о путешествии Колумба были в библиотеке.
• 8) Этот вопрос рассматривается в большинстве учебников.
• 9) Есть дети, которые любят сладости.
• 10) Некоторые соглашения не являются выгодными для одной из сторон.

5. Определите вид атрибутивного высказывания по объединенной классификации, установите субъект и предикат, изобразите отношения
между терминами при помощи круговых схем, установите распределенность терминов в высказывании.

• 1) Некоторые умеющие читать люди нигде не учились.
• 2) Моря в наше время превратились в сточную яму.
• 3) Уважительное отношение к другим способствует успешности в жизни.
• 4) Студенты иногда опаздывают на занятия.
• 5) Любви все возрасты покорны.
• 6) Среди студентов БНТУ есть будущие ученые.
• 7) Людям, занимающимся умственным трудом, полезны продукты, богатые фосфором (грецкие орехи, арахис, рыба, горох).
• 8) Хороший кузнец и лягушку подкует.
• 9) Многие студенты не живут в общежитии.
• 10) Птицы каждый год меняют свое оперение.

6. Подберите собственные примеры общеутвердительных, частноутвердительных, общеотрицательных и частноотрицательных высказываний.
7. Составьте высказывания с предложенными субъектом и предикатом в соответствии со следующими условиями распределенности терминов:
а) S- P+; б) S+ P+; в) S- P-; г) S+ P- и скажите, какие из полученных высказываний истинные, а какие – ложные:

• 1) S – хищник, Р – крокодил.
• 2) S – книги, Р – лучший подарок.
• 3) S – ромб, Р – равносторонний прямоугольник.
• 4) S – верующий, Р – буддист.

8. В значении каких логических союзов употреблены следующие грамматические союзы:

• 1) Кто ясно мыслит, тот ясно излагает.
• 2) Неверно, что Иванов не учился ни в техникуме, ни в вузе.
• 3) Вне очереди принимаются инвалиды и ветераны Великой Отечественной войны.
• 4) «Войну и мир» написал Л. Толстой или Ф. Достоевский.
• 5) Я никогда не решился бы на это, не будь его рядом.
• 6) Как юристы, так и журналисты изучают логику.
• 7) Только один из них троих знал об этом.
• 8) Он много читал или слышал об инопланетянах.
• 9) Он не поступит в вуз, разве что будет очень усердно готовиться.
• 10) Один из двоих знает другого.

9. Переведите сложные высказывания на язык логики.

• 1) Кризис неизбежен, разве что будут приняты экстраординарные политические или экономические меры.
• 2) Не приходом люди богатеют, а расходом.
• 3) Этот человек рыцарь, если только он не лжет.
• 4) Успешная сдача экзамена зависит от качества самостоятельной подготовки, работы на лекции и настроения преподавателя.
• 5) Неверно, что ветер дует, если и только если нет дождя.
• 6) Пойдешь налево – коня потеряешь, а не пойдешь – сам погибнешь.

10. Формализуйте следующие рассуждения.

• 1) Если другие тебе и повредили, во время встречи приветствуй их с улыбкой. Они со стыда потеряют решимость или же попросят извинения.
• (Э.Х. Галшиев. Зерцало мудрости)
• 2) Побеждающий людей – обладает силой. Побеждающий себя – становится сильным. (Лао Цзы. Дао-дэ-дзин.)
• 3) Кто хочет что-нибудь сделать, находит средства. Кто не хочет ничего делать, тот находит оправдание.
• 4) Если возгордишься мало-мальски научившись считать, станешь предметом насмешек мудрецов. (Э.Х. Галшиев. Зерцало мудрости.)
• 5) Разумно вести себя таким образом, как будто нас безусловно ожидает иная жизнь и при вступлении в нее будет учтено моральное
• состояние, в соответствии с которым мы закончили нынешнюю. (И.Кант)
• 6) В детстве мы живем нормами не просто усвоенными, но присвоенными, поскольку, хотя выработаны они не нами, мы их считаем
• своими. (Н. Крышук)
• 7) …Обдумывай слова тех, кто тебя огорчил; лелей слова тех, кто дал тебе надежду. (Х. ван Зайчик)
• 8) С бессознательной грубостью, собственным нахальством не действуй никогда. Если будешь поступать как обезумевший слон, ты
• повредишь либо себе, либо другим. (Э.Х. Галшиев. Зерцало мудрости.)

11. Постройте таблицы истинности для следующих формул и определите тип формулы (тождественно-истинная, тождественно-ложная, нейтральная):

• 1) (pרq)↔(┐pڀ┐q);
• 2) ((p→q)ר)p→r))→((┐qڀ┐r)→┐p);
• 3) (p→q)ڀ)q→p);
• 4) (┐p→q)↔(┐q→(pרr));
• 5) (((p→q)→p)→p);
• 6) (┐pڀq)ר)pڀr).

12. Преобразуйте следующие простые высказывания с внешним отрицанием в высказывания без внешнего отрицания.

• 1) Неверно, что ни в одной отрасли нет нерентабельных предприятий.
• 2) Неверно, что не встречаются нелюбознательные дети.
• 3) Не все дети любознательны.
• 4) Неверно, что ни в одной библиотеке нет книг, к которым обращаются очень редко.
• 5) Не каждое государство обходится без армии.
• 6) Не всякому студенту приходится пересдавать экзамены.

13. Даны высказывания. Опираясь на логический квадрат, выведите высказывания, подчиняющее, подпротивное и противоречащее исходному.
Установите истинность выведенных высказываний, если по условию исходное высказывание – истинно.

• 1) Не все современники динозавров вымерли.
• 2) Некоторые студенты сдали сессию досрочно.
• 3) Многие вулканы имеют конусообразную форму.
• 4) Некоторые врачи не являются хирургами.

14. Дана пара высказываний.

• 1) Среди категорических суждений есть утвердительные. Ни одно категорическое суждение не является утвердительным.
• 2) Все взрослые когда-то были детьми. Некоторые взрослые когда-то были детьми.
• 3) Книги Б. Ахмадуллиной широко известны. Все книги Б. Ахмадуллиной не широко известны.
• 4) Есть люди, которые имеют право на свою точку зрения. Каждый человек имеет право на свою точку зрения.

Ответьте на следующие вопросы:

• - Каково логическое отношение между ними?
• - Что можно сказать о логическом значении первого высказывания,если второе высказывание – ложно?
• - Что можно сказать о логическом значении второго высказывания,если первое по условию истинно?
• - Что можно сказать о логическом значении второго высказывания,если первое будет ложно?

15. Проверьте правильность рассуждений, построенных на основе «логического квадрата», укажите, в каких примерах допущены ошибки и в
чем они заключаются.

• 1) Истинно то, что некоторые студенты успешно сдали сессию, значит, истинно то, что все студенты успешно сдали сессию.
• 2) Ложно то, что все люди бессмертны, значит, истинно то, что некоторые люди бессмертны.
• 3) Истинно то, что некоторые грибы съедобны, значит, истинно то, что все грибы съедобны.
• 4) Ложно то, что ни один выдающийся математик не принял неэвклидовой геометрии, значит, истинно то, что многие выдающиеся
• математики не приняли неэвклидовой геометрии.

16. Являются ли равнозначными следующие пары высказываний (если нет, установите вид отношений между их логическими формами)?

• 1) Если боишься – не делай. Если делаешь – не бойся.
• 2) Кто не с нами, тот против нас. Либо кто-то с нами. Либо кто-то против нас.

17. Найдите среди перечисленных сложных высказываний противоречащие и эквивалентные.

• 1) Иванов знает Петрова, но Петров не знает Иванова.
• 2) Иванов и Петров не знают друг друга.
• 3) Неверно, что Иванов и Петров знают друг друга.
• 4) Тогда как Петров знает Иванова, Иванов не знает Петрова.
• 5) Если Иванов знает Петрова, то Петров знает Иванова.
• 6) Неверно, что Петров знает Иванова только тогда, когда Иванов знает Петрова.
• 7) Неверно, что Иванов знает Петрова или Петров знает Иванова.
• 8) Иванов не знает Петрова или Петров не знает Иванова.
• 9) Если Иванов знает Петрова, то Петров не знает Иванова.
• 10) Неверно, что Иванов и Петров не знают друг друга.
• 11) Иванов и Петров знают друг друга.
• 12) Иванов знает Петрова только при условии, что Петров знает Иванова.
• 13) Только один из двоих знает другого.

18. С помощью таблиц истинности установите, соответствуют ли логическим законам следующие рассуждения:

• 1) Если по проводнику течет электрический ток, то вокруг проводника образуется магнитное поле, но вокруг проводника не образуется магнитное поле. Следовательно, по проводнику не течет электрический ток.
• 2) Если по проводнику течет электрический ток, то вокруг проводника образуется магнитное поле, но вокруг проводника образуется магнитное поле. Следовательно, по проводнику течет электрический ток.
• 3) Если по проводнику течет электрический ток, то вокруг проводника образуется магнитное поле, но по проводнику не течет электрический ток. Следовательно, вокруг проводника не образуется магнитное поле.

19. Какой из основных законов мышления нарушен?

• 1) Однажды перед битвой древние римляне слышали каркающую ворону с левой стороны и выиграли битву: в другой раз они слышали, что ворона каркала с правой стороны, и проиграли битву. Дело ясное, решили римляне: карканье вороны с правой стороны приносит гибель войску, а карканье вороны с левой стороны дает ему силу.
• 2) Наружность Сильвии была примечательной, даже, можно сказать красивой, если забыть про уродливые парализованные ноги в шинах, мощные плечи и крупные мужские руки, переразвитые от постоянного пользования костылями.
• 3) В 1907 году кадетская фракция в Думе по вопросу об отношениях к правительству постановила не выражать ему ни доверия, ни недоверия. Причем если будет резолюция доверия правительству, то голосовать против нее. А если будет резолюция недоверия правительству, то голосовать против нее.
• 4) Саша с радостью сообщает вернувшейся с работы маме, что сделал все заданные на сегодня уроки. Но вдруг его сестренка Иринка говорит: «Саша все наврал, он мне сам говорил, что на сегодня им ничего не задавали». Мог ли Саша сказать правду сестре и маме?
• 5) В одной из статей молодых ученых, посвященных восточной медицине, промелькнула мысль о том, что западная медицина себя изжила.
• 6) Как-то поздно вечером в один двор постучались и спросили: -Вам нужны дрова? - Нет. ...Наутро хозяева не нашли своих дров во дворе.

20. Анекдоты основаны на нарушении основных логических законов.
Например:
Студенты решают, что им делать накануне экзамена. Решают бросить монету.

• - Если выпадет орел, то пойдем на дискотеку.
• - Если выпадет решка, будем играть в компьютерные игры.
• - Если станет на ребро, напишем «шпоры».
• - Если зависнет в воздухе – будем учить.

Требования какого закона нарушаются в этом анекдоте? Если можете, приведите свои примеры

Вау!! 😲 Ты еще не читал? Это зря!

• законы логики , закон противоречия , противоречия , закон тождества ,
• закон исключенного третьего ,
• основные законы логики , спекулятивная логика ,

• Закон противоречия
• Закон исключенного третьего
• Закон достаточного основания
• Отношение несовместимости
• Отношение совместимости
• логический квадрат
• Сложное высказывание
• Высказывания отрицания
• атрибутивное высказывание
• Высказывание

• Дедуктивное умозаключение
• Исчисление высказываний

• Чисто условное умозаключение

• Формула включений-исключений
• Диаграмма Венна

• Латинские логические выражения
• силлогизм
• Индукция
• Дедукция
• Закон непротиворечивости
• теория аргументации

В общем, мой друг ты одолел чтение этой статьи об законы логики. Работы впереди у тебя будет много. Смело пиши комментарии, развивайся и счастье окажется в твоих руках. Надеюсь, что теперь ты понял что такое законы логики, закон тождества, закон контрапозиции, законы де моргана, модус, поненс, толленс, утверждающе-отрицающий модус, отрицающе-утверждающий модус, конструктивная дилемма, деструктивная дилемма, закон клавия, дилемма, правила де моргана, законы де моргана, закон де моргана, доказательство по случаям и для чего все это нужно, а если не понял, или есть замечания, то не стесняйся, пиши или спрашивай в комментариях, с удовольствием отвечу. Для того чтобы глубже понять настоятельно рекомендую изучить всю информацию из категории Логика

Ответы на вопросы для самопроверки пишите в комментариях, мы проверим, или же задавайте свой вопрос по данной теме.