Решето Эратосфена и модификации метода

Привет, сегодня поговорим про решето эратосфена, обещаю рассказать все что знаю. Для того чтобы лучше понимать что такое решето эратосфена , настоятельно рекомендую прочитать все из категории Алгоритмы и теория алгоритмов.

решето эратосфена — алгоритм нахождения всех простых чисел до некоторого целого числа n, который приписывают древнегреческому математику Эратосфену Киренскому . Как и во многих случаях, здесь название алгоритма говорит о принципе его работы, то есть решето подразумевает фильтрацию, в данном случае фильтрацию всех чисел за исключением простых. По мере прохождения списка нужные числа остаются, а ненужные (они называются составными) исключаются.

Вполне вероятно, что алгоритм, придуманный более 2000 лет назад греческим математиком Эратосфеном Киренским, был первым в своем роде. Его единственная задача – нахождение всех простых чисел до некоторого заданного числа N. Термин «решето» подразумевает фильтрацию, а именно фильтрацию всех чисел за исключением простых. Так, обработка алгоритмом числовой последовательности оставит лишь простые числа, все составные же отсеются.

Рассмотрим в общих чертах работу метода. Дана упорядоченная по возрастанию последовательность натуральных чисел. Следуя методу Эратосфена, возьмем некоторое число P изначально равное 2 – первому простому числу, и вычеркнем из последовательности все числа кратные P: 2P, 3P, 4P, …, iP (iP≤N). Далее, из получившегося списка в качестве P берется следующее за двойкой число – тройка, вычеркиваются все кратные ей числа (6, 9, 12, …). По такому принципу алгоритм продолжает выполняться для оставшейся части последовательности, отсеивая все составные числа в заданном диапазоне.

В приведенной таблице записаны натуральные числа от 2 до 100. Красным помечены те, которые удаляются в процессе выполнения алгоритма «Решето Эратосфена».

Программная реализация алгоритма Эратосфена потребует:

1. организовать логический массив и присвоить его элементам из диапазона от 2 до N логическую единицу;
2. в свободную переменную P записать число 2, являющееся первым простым числом;
3. исключить из массива все числа кратные P², ступая с шагом по P;
4. записать в P следующее за ним не зачеркнутое число;
5. повторять действия, описанные в двух предыдущих пунктах, пока это возможно.

Обратите внимание: на третьем шаге мы исключаем числа, начиная сразу с P², это связано с тем, что все составные числа меньшие P будут уже зачеркнуты. Поэтому процесс фильтрации следует остановить, когда P² станет превышать N. Это важное замечание позволяет улучшить алгоритм, уменьшив число выполняемых операций.

Так будет выглядеть псевдокод алгоритма:

Оптимизированная реализация (начинающаяся с квадратов) на псевдокоде

Он состоит из двух циклов: внешнего и внутреннего. Внешний цикл выполняется до тех пор, пока P² не превысит N. Само же P изменяется с шагом P+1. Внутренний цикл выполняется лишь в том случае, если на очередном шаге внешнего цикла окажется, что элемент с индексом P не зачеркнут. Именно во внутреннем цикле происходит отсеивание всех составных чисел.

Код программы на C++:

Код программы на Pascal:

Решето Эратосфена для выявления всех простых чисел в заданной последовательности ограниченной некоторым N потребует O(Nlog (log N)) операций. Поэтому уместнее использовать данный метод чем, например, наиболее тривиальный и затратный перебор делителей.

Сложность алгоритма

Сложность алгоритма составляет операций при составлении таблицы простых чисел до .

Доказательство сложности

При выбранном для каждого простого будет выполняться внутренний цикл, который совершит действий. Сложность алгоритма можно получить из оценки следующей величины:

Так как количество простых чисел, меньших либо равных , оценивается как , и, как следствие, {\displaystyle k}-е простое число примерно равно , то сумму можно преобразовать:

Здесь из суммы выделено слагаемое для первого простого числа, чтобы избежать деления на нуль. Данную сумму можно оценить интегралом

В итоге получается для изначальной суммы:

{\displaystyle \sum \limits _{p\in \mathbb {P} \colon p\leq n}{\frac {n}{p}}\approx n\ln \ln n+o(n)}

Более строгое доказательство (и дающее более точную оценку с точностью до константных множителей) можно найти в книге Hardy и Wright «An Introduction to the Theory of Numbers» .

Модификации метода

Неограниченный, постепенный вариант

В этом варианте простые числа вычисляются последовательно, без ограничения сверху, как числа находящиеся в промежутках между составными числами, которые вычисляются для каждого простого числа p, начиная с его квадрата, с шагом в p (или для нечетных простых чисел 2p) . Может быть представлен символически в парадигме потоков данных как

используя нотацию абстракции списков, где \ обозначает разницу между арифметическими прогрессиями.

Первое простое число 2 (среди возрастающих положительных целых чисел) заранее известно, поэтому в этом самореферентном определении нет порочного круга.

Псевдокод поэтапного отсеивания, в неэффективной, для простоты, реализации (ср. с нижеследующими вариантами):

Перебор делителей

Решето Эратосфена часто путают с алгоритмами, которые поэтапно отфильтровывают^[en] составные числа, тестируя каждое из чисел-кандидатов на делимость используя по одному простому числу на каждом этапе.

Широко известный функциональный код Дэвида Тернера 1975 г.^[10] часто принимают за решето Эратосфена, но на самом деле это неоптимальный вариант с перебором делителей (в оптимальном варианте не используются делители, большие квадратного корня тестируемого числа). Об этом говорит сайт https://intellect.icu . В псевдокоде,

Сегментированное решето

Как замечает Соренсон, главной проблемой реализации решета Эратосфена на вычислительных машинах является не количество выполняемых операций, а требования по объему занимаемой памяти (впрочем, его замечание относится к неактуальному сейчас компьютеру DEC VAXstation 3200, выпущенному в 1989 году). При больших значениях n, диапазон простых чисел может превысить доступную память; хуже того, даже при сравнительно небольших n использование кэша памяти далеко от оптимального, так как алгоритм, проходя по всему массиву, нарушает принцип локализованности ссылок^[en].

Для решения представленной проблемы используется сегментированное решето, в котором за итерацию просеивается только часть диапазона простых чисел.^[11] Данный метод известен с 1970-х годов и работает следующим образом: ^[12]

1. Разделяем диапазон от 2 до n на отрезки (сегменты) некоторой длины Δ ≤ √n.
2. Находим все простые числа в первом отрезке, используя обычное решето.
3. Каждый из последующих отрезков оканчивается на некотором числе m. Находим все простые числа в отрезке следующим образом:
   1. Создаем булевый массив размера Δ
   2. Для каждого простого числа p ≤ √m из уже найденных, отмечаем в массиве как «непростые» все числа кратные p, перебирая числа с шагом в p, начиная с наименьшего кратного p числа в данном отрезке.

Если число Δ выбрано равным √n, то сложность алгоритма по памяти оценивается как O(√n), а операционная сложность остается такой же, что и у обычного решета Эратосфена.^[12]

Для случаев, когда n настолько велико, что все просеиваемые простые числа меньшие √n не могут уместиться в памяти, как того требует алгоритм сегментированного сита, используют более медленные, но с гораздо меньшими требованиями по памяти алгоритмы, например решето Соренсона.^[13]

Решето Эйлера[

Доказательство тождества Эйлера для дзета-функции Римана содержит механизм отсеивания составных чисел подобный решету Эратосфена, но так, что каждое составное число удаляется из списка только один раз. Схожее решето описано в Gries & Misra 1978 г. как решето с линейным временем работы (см. ниже).

Составляется исходный список начиная с числа 2. На каждом этапе алгоритма первый номер в списке берется как следующее простое число, результаты произведения которого на каждое число в списке помечаются для последующего удаления. После этого из списка убирают первое число и все помеченные числа, и процесс повторяется вновь:

Здесь показан пример начиная с нечетных чисел, после первого этапа алгоритма. Таким образом, после k-го этапа рабочий список содержит только числа взаимно простые с первыми k простыми числами (то есть числа не кратные ни одному из первых k простых чисел), и начинается с (k+1)-го простого числа. Все числа в списке, меньшие квадрата его первого числа, являются простыми.

В псевдокоде,

Решето только по нечетным числам[

Поскольку все четные числа, кроме 2, — составные, то можно вообще не обрабатывать никак четные числа, а оперировать только нечетными числами. Во-первых, это позволит вдвое сократить объем требуемой памяти. Во-вторых, это уменьшит количество выполняемых алгоритмом операций (примерно вдвое).

Это можно обобщить на числа взаимно простые не только с 2 (то есть нечетные числа), но и с 3, 5, и т. д.

Уменьшение объема потребляемой памяти

Алгоритм Эратосфена фактически оперирует с битами памяти. Следовательно, можно существенно сэкономить потребление памяти, храня {\displaystyle n} переменных булевского типа не ка байт, а как бит, то есть байт памяти.

Такой подход — «битовое сжатие» — усложняет оперирование этими битами. Любое чтение или запись бита будут представлять собой несколько арифметических операций. Но с другой стороны существенно улучшается компактность в памяти. Бо́льшие интервалы умещаются в кэш-память которая работает гораздо быстрее обычной так что при работе по-сегментно общая скорость увеличивается.

Решето Эратосфена с линейным временем работы

Этот алгоритм обнаруживает для каждого числа i в отрезке [2...n] его минимальный простой делитель lp[i] (lp от англ. least prime).

Также поддерживается список всех простых чисел — массив pr[], поначалу пустой. В ходе работы алгоритма этот массив будет постепенно заполняться.

Изначально все величины lp[i] заполним нулями.

Дальше следует перебрать текущее число i от 2 до n. Здесь может быть два случая:

• lp[i] = 0: это означает, что число i — простое, так как для него так и не обнаружилось других делителей.

Следовательно, надо присвоить lp[i] = i и добавить i в конец списка pr[].

• lp[i] ≠ 0: это означает, что текущее число i — составное, и его минимальным простым делителем является lp[i].

В обоих случаях дальше начинается процесс расстановки значений в массиве lp[i]: следует брать числа, кратные i, и обновлять у них значение lp[]. Однако основная цель — научиться делать это таким образом, чтобы в итоге у каждого числа значение lp[] было бы установлено не более одного раза.

Утверждается, что для этого можно поступить таким образом. Рассматриваются числа вида x = p ⋅ i, где p последовательно равно всем простым числам не превосходящим lp[i] (как раз для этого понадобилось хранить список всех простых чисел).

У всех чисел такого вида проставим новое значение lp[x] — оно должно быть равно p^[14].

Псевдокод

Сложность алгоритма на практике

Решето Эратосфена является популярным способом оценки производительности компьютера.^[15] Как видно из вышеизложенного доказательства сложности алгоритма, избавившись от константы и слагаемого очень близкого к нулю (ln (ln n - ln ln n) - ln ln 2 ≈ ln ln n), временная сложность вычисления всех простых чисел меньше n аппроксимируется следующим соотношением O(n ln ln n). Однако алгоритм имеет экспоненциальную временную сложность в отношении размера входных данных, что делает его псевдополиномиальным алгоритмом. Памяти же для базового алгоритма требуется O(n).^[16]

Сегментированная версия имеет ту же операционную сложность O(n ln ln n), . что и несегментированная версия, но уменьшает потребность в используемой памяти до размера сегмента (размер сегмента значительно меньше размера всего массива простых чисел), который равен O(√n/ln n).^[17] Также существует очень редко встречающееся на практике оптимизированное сегментированное решето Эратосфена. Оно строится за O(n) операций и занимает O(√n ln ln n/ln n) бит в памяти.^[16][18][17]

На практике оказывается, что оценка ln ln n не очень точна даже для максимальных практических диапазонов таких как 10¹⁶.^[18] Ознакомившись с вышеописанным доказательством сложности, нетрудно понять откуда взялась неточность оценки. Расхождение с оценкой можно объяснить следующим образом: в пределах данного практического диапазона просеивания существенное влияние оказывают постоянные смещения. Таким образом очень медленно растущий член ln ln n не становится достаточно большим, чтобы константами можно было справедливо пренебречь, до тех пор пока n не приблизится к бесконечности, что естественно выходит за границы любого прикладного диапазона просеивания. Данный факт показывает, что для актуальных на сегодняшний день входных данных производительность решета Эратосфена намного лучше, чем следовало ожидать, используя только асимптотические оценки временной сложности.^[18]

Следует также отметить, что решето Эратосфена работает быстрее, чем часто сравниваемое с ним решето Аткина только для значений n меньших 10 ¹⁰ .^[19] Сказанное справедливо при условии, что операции занимают примерно одно и то же время в циклах центрального процессора, а это является разумным предположением для одного алгоритма, работающего с огромным битовым массивом.^[20] С учетом этого предположения получается, что сито Аткина быстрее чем максимально факторизованное решето Эратосфена для n свыше 10 ¹³ , но при таких диапазонах просеивания потребуется занять огромное пространство в оперативной памяти, даже если была использована «битовая упаковка».^[21] Однако раздел о сегментированной версии решета Эратосфена показывает, что предположение о сохранении равенства во времени, затрачиваемом на одну операцию, между двумя алгоритмами не выполняется при сегментации.^[12][19] В свою очередь это приводит к тому, что решето Аткина (несегментированное) работает медленнее, чем сегментированное решето Эратосфена с увеличением диапазона просеивания, за счет уменьшения времени на операцию для второго.

Использование нотации O большого также не является правильным способом сравнения практических характеристик даже для вариаций решета Эратосфена, поскольку данная нотация игнорирует константы и смещения, которые могут быть очень значительными для прикладных диапазонов. Например, одна из вариаций решета Эратосфена известная как решето Притчарда^[16] имеет производительность O(n),^[18] но ее базовая реализация требует либо алгоритма «одного большого массива»^[17] (то есть использования обычного массива, в котором хранятся все числа до n), который ограничивает его диапазон использования до объема доступной памяти, либо он должен быть сегментирован для уменьшения использования памяти. Работа Притчарда уменьшила требования к памяти до предела, но платой за данное улучшение по памяти является усложнение вычислений, что приводит увеличению операционной сложности алгоритмов.^[18]

Популярным способом ускорения алгоритмов, работающих с большими массивами чисел, является разного рода факторизация.^[22] Применение методов факторизации дает значительное уменьшение операционной сложности за счет оптимизации входного массива данных.^[23][24] Для индексных алгоритмов часто используют кольцевую факторизацию.^[23][25] Рассматриваемые в данной статье алгоритмы нахождения всех простых чисел до заданного n подобные решету Эратосфена относятся к индексным, что позволяет применять к ним метод кольцевой факторизации.^[26]

Несмотря на теоретическое ускорение, получаемое с помощью кольцевой факторизации, на практике существуют факторы, которые не учитываются при расчетах, но способны оказать существенное влияние на поведение алгоритма, что в результате может не дать ожидаемого прироста в быстродействии.^[27] Рассмотрим наиболее существенные из них:

• Умножение и деление. При аналитических расчетах предполагается, что скорость выполнения арифметических операций равноценна. Но на самом деле это не так, и умножение, и деление выполняются гораздо медленнее, чем сложение и вычитание. Таким образом данный фактор никак не влияет на решето Эратосфена, поскольку оно использует только сложение и вычитание, но является весьма существенным для решета Питчарда (один из результатов усложнения вычислений упомянутого выше).^[28]
• Оптимизация компилятора. Компилятор оптимизирует на стадии компиляции все программы для более корректного исполнения машиной. Но часто бывает очень сложно сказать, какой вклад дает данная оптимизация, и будет ли этот вклад одинаковым для двух различных алгоритмов.^[29]
• Кэш. Процессор использует кэш, чтобы ускорить извлечение инструкций и данных из памяти. Наличие кэша приводит к тому, что программы, использующие локализованные ссылки, будут работать быстрее. Но алгоритмы просеивания простых чисел, которые используют факторизацию высокой степени, часто генерируют случайные ссылки в память, что снижает их производительность.^[29]

Для наглядности представления вклада факторизации в производительность алгоритмов просеивания ниже приведены две таблицы. В таблицах приведены результаты измерения реального времени исполнения решета Эратосфена и решета Питчарда в секундах для разных диапазонов n и разных степеней кольцевой факторизации. E_i и P_i обозначения для решета Эратосфена и Питчарда соответственно, где индекс i означает степень кольцевой факторизации. Стоит отметить, что E₀ и P₀ означают отсутствие факторизации.^[29]

Из таблицы видно, что лучшую производительность имеет решето Эратосфена со средней степенью факторизации E₂. Данный факт можно объяснить влиянием кэш-фактора, рассмотренного выше, на алгоритмы с высокой степенью факторизации.

В заключение стоит отметить, что с увеличением n соотношение времен становится все больше в пользу решета Эратосфена, а на диапазоне n = 5000000 оно стабильно быстрее при любых факторизациях. Данный факт еще раз подтверждает проигрыш в быстродействии решета Питчарда из-за сложных вычислений.

См также

• простое число , простые числа ,
• решето сундарама ,
• решето аткина ,
• Корекурсия

На этом все! Теперь вы знаете все про решето эратосфена, Помните, что это теперь будет проще использовать на практике. Надеюсь, что теперь ты понял что такое решето эратосфена и для чего все это нужно, а если не понял, или есть замечания, то не стесняйся, пиши или спрашивай в комментариях, с удовольствием отвечу. Для того чтобы глубже понять настоятельно рекомендую изучить всю информацию из категории Алгоритмы и теория алгоритмов