Это окончание невероятной информации про .
...
это возможно, аксиому A2, некоторую каноническую форму, в которую будут входить только put и new. Например, выражение:
put (remove (remove (put (put (remove (put (put (new, x1), x2)), x3), x4))), x5)
имеет то же значение, что и каноническая форма:
put (put (new, x1), x5).
Давайте дадим этому механизму имя и приведем его определение:
Правило канонического сокращения
Всякое правильно построенное и корректное стековое выражение, не содержащее функций-запросов item и empty, имеет эквивалентную каноническую форму, которая не содержит функции remove (т.е. состоит только из функций put и new>). Эта каноническая форма получается путем применения аксиомы стека A2 всегда, пока это возможно.
Таким образом, мы завершили доказательство достаточной полноты, но только для выражений, не содержащих функции-запросы, и, следовательно, только свойства S1 (проверка корректности выражения). Для завершения доказательства нужно рассмотреть выражения, включающие функции-запросы, и обсудить задачу S2 (нахождение значений для выражений-запросов). Это означает, что нам нужно некоторое правило для определения корректности и значения всякого правильно построенного выражения вида f(s), где s - это правильно построенное выражение, а f - это либо item, либо empty.
Это правило и доказательство его корректности также используют индукцию по уровню вложенности. Пусть n - это уровень вложенности s. Если n=0, то s может быть только new, поскольку остальные функции требуют аргументов и, следовательно, содержат хоть одну пару скобок. Тогда для обеих функций-запросов ситуация ясна:
[x]. empty (new) корректно и имеет значение истина (true) (по аксиоме A3);
[x]. item (new) некорректно, так как предусловие item требует выполнения not empty (s) .
Индукционный шаг: предположим, что s имеет уровень вложенности n не менее 1. Если у какого-либо подвыражения u выражения s внешняя функция есть item или empty, то уровень вложенности u не превосходит n-1, что по предположению индукции позволяет определить корректность u и, если u корректно, получить его значение, применяя аксиомы. Выполнив замены всех таких подвыражений, получим для s эквивалентную форму, в которую входят только функции put, remove и new.
Далее используем идею введенной выше канонической формы, чтобы избавиться от всех вхождений remove, так что результирующая форма для s будет включать только функции put и new. Случай, когда s это просто new уже был рассмотрен, остался случай, когда s имеет вид put(s', x) . В этом случае для двух рассматриваемых выражений имеем:
[x]. empty (s) корректно и по аксиоме A3 значение этого выражения есть ложь (false);
[x]. item (s) корректно, так как предусловие not empty (s) для item выполнено; из аксиомы A1 следует, что значение этого выражения равно x.
Это завершает доказательство достаточной полноты, так как мы показали справедливость множества правил - правила корректного веса и правила канонического сокращения, позволяющего нам выяснять корректность заданного стекового выражения, а для корректного выражения-запроса - определять его значение в терминах значений типов BOOLEAN и G.
Ключевые концепции
[x]. Теория абстрактных типов данных (АТД) примиряет необходимость в точности и полноте спецификаций с желанием избежать лишних деталей в спецификации.
[x]. Спецификация абстрактного типа данных является формальным математическим описанием, а не текстом программы. Она аппликативна, т.е. не включает в явном виде изменений.
[x]. АТД может быть родовым, и он задается функциями, аксиомами и предусловиями. Аксиомы и предусловия выражают семантику данного типа и важны для полного и однозначного его описания.
[x]. Частичные функции образуют удобную математическую модель для описания не всюду определенных операций. У каждой частичной функции имеется предусловие, задающее условие, при котором она будет выдавать результат для заданного конкретного аргумента.
[x]. ОО-система - это совокупность классов. Каждый класс основан на некотором абстрактном типе данных и задает частичную или полную реализацию этого АТД.
[x]. Класс является эффективным, если он полностью реализован, в противном случае он называется отложенным.
[x]. Классы должны разрабатываться в наиболее общем виде, допускающем повторное использование; процесс их объединения в систему часто идет снизу-вверх.
[x]. Абстрактные типы данных являются скорее неявными, чем явными описаниями. Эта неявность, которая также означает открытость, переносится на весь ОО-метод.
[x]. Не существует формального определения интуитивно ясного понятия "полноты" спецификации абстрактного типа данных. Строго определяемое понятие достаточной полноты как правило обеспечивает удовлетворительный ответ. Хотя не существует метода, устанавливающего достаточную полноту произвольной спецификации, часто удается ее доказать для конкретных спецификаций; приведенное в этой лекции доказательство достаточной полноты для спецификации стеков может служить образцом и для других случаев.
Упражнения
У6.1 Точки. написать спецификацию, задающую абстрактный тип данных ТОЧКА (POINT), моделирующий точки на плоскости в планиметрии. Эта спецификация должна отражать следующие аспекты: декартовы и полярные координаты, повороты, параллельные переносы, расстояние от начала координат, расстояние до другой точки.
У6.2 Боксеры. Члены Ассоциации Боевых Петухов - боксерской лиги - регулярно встречаются в поединках, чтобы установить их относительную силу. В поединке встречаются два боксера, и его результатом является победа одного и поражение другого боксера или ничья. Если выявлен победитель, то результат поединка используется для изменения рангов боксеров лиги: объявляется, что победитель превосходит побежденного и каждого боксера b, которого до поединка превосходил проигравший. Остальные соотношения остаются без изменений.
Опишите эту проблему как набор абстрактных типов данных: АТД_ЛИГА, БОКСЕР, ПОЕДИНОК. (Указание: не вводите явно понятие "ранг", а промоделируйте его с помощью функции "превосходит", выражающей отношение превосходства на множестве боксеров лиги.)
У6.3 Банковские счета.Написать спецификацию АТД "счет в банке" с такими операциями как "положить на счет", "снять со счета", "текущий баланс", "владелец", "смена владельца".
Каким образом добавить функции, представляющие операции открытия и закрытия счета? (Указание: эти функции являются функциями другого АТД).
У6.4 Сообщения.Рассмотрите знакомую вам систему электронной почты. Определите в духе этой лекции абстрактный тип данных ПОЧТОВОЕ_СООБЩЕНИЕ. Включите в него не только функции-запросы, но и команды и конструкторы.
У6.5 Имена. Разработайте абстрактный тип данных ИМЯ, в котором учитывались бы различные компоненты полного имени человека.
У6.6 Текст.Рассмотрите понятие текста, обрабатываемого текстовым редактором. Задайте это понятие в виде АТД. (Это задание оставляет достаточно много свободы спецификатору, не забудьте включить содержательное описание тех свойств текста, которые вы избрали для моделирования в АТД).
У6.7 Покупка дома.Напишите спецификацию абстрактного типа данных для задачи покупки дома, описанной в предыдущей лекции. Уделите особое внимание определению логических ограничений, выраженных в виде предусловий и аксиом спецификации АТД.
У6.8 Дополнительные операции для стеков.Модифицируйте спецификацию АТД для стеков, включив в нее операции count (возвращает число элементов стека), change_top (заменяет верхний элемент стека заданным элементом) и wipe_out (удаляет все элементы). Не забудьте включить необходимые аксиомы и предусловия.
У6.9 Ограниченные стеки.Измените приведенную в этой лекции спецификацию стеков так, чтобы она описывала стеки ограниченной емкости. (Указание: введите емкость как явную функцию-запрос и сделайте функцию put частичной).
У6.10 Очереди.Описать в виде АТД очереди (первым пришел - первым ушел) в том же стиле, что и стеки. Обратите внимание на общие и отличительные черты этих АТД. (Указание: аксиомы для item и remove должны отличаться, при описании put (s,x) рассмотрите случаи, когда очередь s пуста и непустая).
У6.11 Распределители.(Это упражнение предполагает, что вы выполнили предыдущее).
Определите общий АТД РАСПРЕДЕЛИТЕЛЬ, покрывающий и стеки и очереди.
Рассмотрите механизм для задания более специальных спецификаций АТД (таких как стеки и очереди) с помощью ссылок на общие спецификации такие, как спецификация распределителей. (Указание: посмотрите на механизм наследования, изучаемый в следующих лекциях).
У6.12 Булевский -- BOOLEAN.Определите абстрактный тип данных BOOLEAN так, чтобы его можно было использовать в определениях других АТД из этой лекции. Можно считать, что операции равенства и неравенства (= и ) автоматически определены для каждого АТД.
У6.13 Достаточная полнота.(Это упражнение предполагает, что вы выполнили одно или несколько предыдущих упражнений).
Изучите спецификацию АТД, написанную вами в качестве решения одного из предыдущих упражнений, и попытайтесь доказать, что она является достаточно полной. Если она не достаточно полная, то объясните, почему и покажите, как ее можно исправить или расширить, чтобы сделать достаточно полной.
У6.14 Непротиворечивость.Докажите, что приведенная в этой лекции спецификация стеков является непротиворечивой.
Исследование, описанное в статье про 6. Абстрактные типы данных (АТД), подчеркивает ее значимость в современном мире. Надеюсь, что теперь ты понял что такое 6. Абстрактные типы данных (АТД)
и для чего все это нужно, а если не понял, или есть замечания,
то не стесняйся, пиши или спрашивай в комментариях, с удовольствием отвечу. Для того чтобы глубже понять настоятельно рекомендую изучить всю информацию из категории
Структуры данных
Продолжение:
Часть 1 6. Абстрактные типы данных (АТД)
Часть 2 Перечисление функций - 6. Абстрактные типы данных (АТД)
Часть 3 Назад к тому, с чего начали? - 6. Абстрактные типы
Часть 4 Правило канонического сокращения - 6. Абстрактные типы данных (АТД)
Комментарии
Оставить комментарий
Структуры данных
Термины: Структуры данных