Лекция
Привет, Вы узнаете о том , что такое символьные вычисления, Разберем основные их виды и особенности использования. Еще будет много подробных примеров и описаний. Для того чтобы лучше понимать что такое символьные вычисления, компьютерная алгебра, система компьютерной алгебры, вычислительная математика , настоятельно рекомендую прочитать все из категории Моделирование и Моделирование систем.
Символьные вычисления — это преобразования и работа с математическими равенствами и формулами как с последовательностью символов. Они отличаются от численных расчетов, которые оперируют приближенными численными значениями, стоящими за математическими выражениями. Системы символьных вычислений (их так же называют системами компьютерной алгебры) могут быть использованы для символьного интегрирования и дифференцирования, подстановки одних выражений в другие, упрощения формул и т. д.
компьютерная алгебра (в отличие от численных методов) занимается разработкой и реализацией аналитических методов решения математических задач на компьютере и предполагает, что исходные данные, как и результаты решения, сформулированы в аналитическом (символьном) виде .
При анализе математической модели результатом могут быть общие и частные аналитические решения сформулированной математической задачи и их интерпретации .
Аналитические решения чаще удается получить для наиболее грубых (простых) моделей, реже — для более точных, сложных (нужно использовать численные методы, позволяющие получить частные численные решения многих задач) .
Вычислительная математика — раздел математики, включающий круг вопросов, связанных с производством разнообразных вычислений. В более узком понимании вычислительная математика — теория численных методов решения типовых математических задач. Современная вычислительная математика включает в круг своих проблем изучение особенностей вычисления с применением компьютеров.
Вычислительная математика обладает широким кругом прикладных применений для проведения научных и инженерных расчетов. На ее основе в последнее десятилетие образовались такие новые области естественных наук, как вычислительная физика, вычислительная химия, вычислительная биология и так далее.
Вычислительная математика возникла довольно давно. Еще в Древней Месопотамии были разработаны методы получения квадратного корня. В эпоху научной революции вычислительная математика развивалась быстрыми темпами из практических применений параллельно с математическим анализом. Помимо этого, подобные вычисления широко применялись в небесной механике для предсказания траектории движения небесных тел. Это привело к появлению таких важнейших составляющих физики, как теория о гелиоцентрической системе устройства мира, законы Кеплера и законы Ньютона. XVII и XVIII век стали временем разработки значительного количества численных методов и алгоритмов.
Применение большого количества инженерных вычислений в XIX и XX веках потребовало создания соответствующих приборов. Одним из таких приборов стала логарифмическая линейка, также появились таблицы значений функций с точностью до 16 знаков после запятой, помогавшие проводить вычисления. Также существовали механические устройства для выполнения математических операций, называвшиеся арифмометрами. В первой половине XX века для решения дифференциальных уравнений стали активно использоваться аналоговые ЭВМ.
Изобретение компьютера в середине XX века означало создание универсального инструмента для математических вычислений. Совместно с мейнфреймами в распоряжении инженеров и ученых для выполнения ручных операций были только калькуляторы, которые активно использовались вплоть до начала массового производства персональных компьютеров.
В вычислительной математике выделяют следующие направления: анализ математических моделей, разработка методов и алгоритмов решения стандартных математических задач, автоматизация программирования .
Анализ выбранных математических моделей для поставленной задачи начинается с анализа и обработки входной информации, что очень важно для более точных входных данных. Для такой обработки зачастую применяются методы математической статистики. Следующим шагом является численное решение математических задач и анализ результатов вычислений. Степень достоверности результатов анализа должна соответствовать точности входных данных. Появление более точных входных данных может потребовать усовершенствования построенной модели или даже ее замены .
Методы и алгоритмы решения типовых математических задач с применением вычислительной техники носят название численных методов. К типовым задачам относят :
Проводится изучение и сравнительный анализ методов решения типовых задач. Важным элементом анализа является поиск экономичных моделей, позволяющих получить результат, используя наименьшее число операций, оптимизация методов решения. Для задач больших размеров особенно важным является исследование устойчивости методов и алгоритмов, в том числе к ошибкам округления. Примерами неустойчивых задач является обратные задачи (в частности, поиск обратной матрицы), а также автоматизация обработки результатов экспериментов .
Постоянно увеличивающийся круг типовых задач и рост числа пользователей определили повышение требований к автоматизации. Об этом говорит сайт https://intellect.icu . В условиях, когда знание конкретных численных методов является несущественным для пользователя, возрастают требования к стандартным программам решения. С их использованием не требуется программирование методов решения, а достаточно задать исходную информацию .
Вычислительные (численные) методы — это методы решения математических задач в численном виде
Представление как исходных данных в задаче, так и ее решения — в виде числа или набора чисел. В системе подготовки инженеров технических специальностей является важной составляющей.
Основами для вычислительных методов являются:
Система компьютерной алгебры (СКА, англ. computer algebra system, CAS) — это прикладная программа для символьных вычислений, то есть выполнения преобразований и работы с математическими выражениями в аналитической (символьной) форме.
Система компьютерной алгебры (СКА) - это программное обеспечение, разработанное для символьных вычислений и работы с математическими объектами, такими как уравнения, алгебраические выражения, функции, графики и другие математические объекты. СКА позволяет выполнять операции аналитического и символьного характера, включая алгебраические вычисления, дифференцирование, интегрирование, решение уравнений и систем уравнений, работы с матрицами, численные методы и т. д.
Системы компьютерной алгебры предоставляют пользователю возможность вводить математические выражения и операции в символьной форме, а затем выполнять вычисления с высокой степенью точности и точности. Вместо численных результатов, СКА выводит выражения в аналитической форме или предоставляет численные значения с заданной точностью.
Некоторые популярные системы компьютерной алгебры включают в себя:
Mathematica: Разработана компанией Wolfram Research, Mathematica предлагает широкий спектр функций и возможностей для символьных и численных вычислений, визуализации данных, моделирования и разработки алгоритмов.
Maple: Разработана компанией Maplesoft, Maple также предоставляет мощные инструменты для символьных вычислений, анализа данных, графики и программирования.
MATLAB: Хотя MATLAB является преимущественно системой численных вычислений, она также содержит набор функций символьной алгебры, которые позволяют выполнять операции с символами и выражениями.
SageMath: Это бесплатная и открытая система компьютерной алгебры, которая объединяет множество открытых математических пакетов и инструментов для выполнения символьных и численных вычислений.
Системы компьютерной алгебры различаются по возможностям, но обычно поддерживают следующие символьные действия:
Многие из СКА также включают:
Некоторые также включают:
Некоторые СКА направлены на специфическую область использования; обычно такие программы разрабатываются академическим сообществом и распространяются бесплатно. Они могут быть не столь эффективны в численных расчетах, как системы для численных методов.
СКА появились в начале 1960-х и поэтапно развивались, в основном, в двух направлениях: теоретическая физика и создание искусственного интеллекта. Одной из ранних программ является, используемая и поныне FORM , из голландского института субатомной физики.
Первым успешным примером была новаторская работа Мартинуса Велтмана (позднее удостоенная Нобелевской премии по физике), который в 1963 создал программу для символьных вычислений (для нужд физики высоких энергий), которая была названа Schoonschip.
Используя LISP, Карл Энгельман в 1964 создал MATHLAB в рамках проекта MITRE (по исследованию искусственного интеллекта). Позже MATHLAB стал доступным в университетах для пользователей мейнфреймов PDP-6 и PDP-10 с такими ОС как TOPS-10 или TENEX. Сейчас он может быть все еще запущен на SIMH эмуляциях PDP-10. MATHLAB («mathematical laboratory») не стоит путать с MATLAB («matrix laboratory»), системой для численных расчетов, созданной 15 лет спустя в университете Нью-Мехико.
Начиная с конца 1960-х первое поколение СКА включало в себя системы :
Эти системы были способны выполнять символьные вычисления: интегрирование, дифференцирование, факторизация.
Ко второму поколению, в котором стал применяться более современный графический интерфейс пользователя, относятся Maple (Кейт Геддес и Гастон Гоннет, университет Уотерлу, 1985 год) и Mathematica (Стивен Вольфрам), которые широко используются математиками, учеными и инженерами . Бесплатные альтернативы — Sage, Maxima, Reduce.
В 1987 Hewlett-Packard представила первый карманный аналитический калькулятор (HP-28), и в нем впервые для калькуляторов были реализованы организация алгебраических выражений, дифференциирование, ограниченное аналитическое интегрирование, разложение в ряд Тейлора и поиск решений алгебраических уравнений.
Компания Texas Instruments в 1995 году выпустила калькулятор TI-92 с революционными на тот момент расширениями CAS на основе программного обеспечения Derive. Этот калькулятор и последовавшие за ним, в том числе TI-89 и серии TI-Nspire CAS, выпущенный в 2007 году, продемонстрировали возможность создания сравнительно компактных и недорогих систем компьютерной алгебры.
В третьем поколении стал применяться категориальный подход и операторные вычисления :
На 2012 год исследования в области систем компьютерной алгебры продолжаются в трех направлениях: возможности по решению все более широких задач, простота использования и скорость работы .
Выражения, которыми управляет CAS, обычно включают полиномы от нескольких переменных; стандартные функции выражений ( синус , экспонента и т.д.); различные специальные функции ( Г , ζ , erf , функции Бесселя и др.); произвольные функции выражений; оптимизация; производные, интегралы, упрощения, суммы и произведения выражений; усеченные ряды с выражениями в качестве коэффициентов, матрицы выражений и т.д. Поддерживаемые числовые домены обычно включают представление вещественных чисел с плавающей запятой , целых чисел (неограниченного размера),комплексное (представление с плавающей запятой), интервальное представление вещественных чисел , рациональное число (точное представление) и алгебраические числа .
В следующих таблицах представлено сравнение систем компьютерной алгебры (CAS). CAS — это пакет, содержащий набор алгоритмов для выполнения символьных манипуляций с алгебраическими объектами, язык для их реализации и среду, в которой этот язык используется. CAS может включать пользовательский интерфейс и графические возможности; и для эффективности может потребоваться большая библиотека алгоритмов, эффективные структуры данных и быстрое ядро.
Системы компьютерной алгебры широко используются в научных и инженерных исследованиях, математическом моделировании, образовании и других областях, где требуются символьные вычисления для решения сложных математических задач.
Было много сторонников расширения использования систем компьютерной алгебры в классах начальной и средней школы. Основная причина такой пропаганды заключается в том, что системы компьютерной алгебры представляют реальную математику в большей степени, чем математику, основанную на бумаге и карандаше или ручном калькуляторе. Этот толчок к увеличению использования компьютеров на уроках математики был поддержан некоторыми советами по образованию. Это даже было обязательно в учебных программах некоторых регионов.
Системы компьютерной алгебры широко используются в высшем образовании. Многие университеты предлагают либо специальные курсы по развитию их использования, либо они неявно ожидают, что студенты будут использовать их в своей курсовой работе. Компании, разрабатывающие системы компьютерной алгебры, стремились увеличить их распространенность среди программ университетов и колледжей.
Калькуляторы, оборудованные CAS, не разрешены на ACT(American College Testing) , PLAN и в некоторых классах , хотя они могут быть разрешены на всех тестах College Board , разрешенных калькулятором, включая SAT , некоторые предметные тесты SAT и исчисление AP . экзамены по химии , физике и статистике .
Исследование, описанное в статье про символьные вычисления, подчеркивает ее значимость в современном мире. Надеюсь, что теперь ты понял что такое символьные вычисления, компьютерная алгебра, система компьютерной алгебры, вычислительная математика и для чего все это нужно, а если не понял, или есть замечания, то не стесняйся, пиши или спрашивай в комментариях, с удовольствием отвечу. Для того чтобы глубже понять настоятельно рекомендую изучить всю информацию из категории Моделирование и Моделирование систем
Комментарии
Оставить комментарий
Моделирование и Моделирование систем
Термины: Моделирование и Моделирование систем