Моделирование случайного события и полной группы несовместных событий . Пример решения задачи кратко

Одним из ключевых понятий теория вероятностей выступает случайное событие, которое отражает возможность наступления определенного исхода в эксперименте или наблюдении. Для корректного описания и моделирования таких явлений используется понятие полной группы несовместных событий — системы исходов, охватывающей все возможные варианты и исключающей их одновременное наступление.

моделирование случайного события

Начнем с простого: воспользуемся возможностью создавать случайные числа, чтобы воспроизвести процесс выпадения случайных событий.

Случайное событие подразумевает, что у некоторого события есть несколько исходов и то, который из исходов произойдет в очередной раз, определяется только его вероятностью. То есть исход выбирается случайно с учетом его вероятности.

Например, допустим, что нам известна вероятность выпуска бракованных изделий P_б = 0.1. Смоделировать выпадение этого события можно, разыграв равномерно распределенное случайное число из диапазона от 0 до 1 и установив, в какой из двух интервалов (от 0 до 0.1 или от 0.1 до 1) оно попало (см. рис. 23.1). Если число попадает в диапазон (0; 0.1), то выпущен брак, то есть событие произошло, иначе — событие не произошло (выпущено кондиционное изделие). При значительном числе экспериментов частота попадания чисел в интервал от 0 до 0.1 будет приближаться к вероятности P = 0.1, а частота попадания чисел в интервал от 0.1 до 1 будет приближаться к P_к = 0.9.

Рис. 23.1. Схема использования генератора случайных чисел для имитации случайного события

Фрагмент алгоритма представлен на рис. 23.2.

Рис. 23.2. Блок-схема алгоритма имитации случайного события

Заметим, что не важно, как вы расположите на отрезке [0; 1] интервал P_б — в начале или в конце, поскольку метод Монте-Карло учитывает только частоту попадания случайных точек в интервал, а она зависит только от величины интервала и не зависит от его месторасположения.

моделирование полной группы несовместных событий

События называются несовместными, если вероятность появления этих событий одновременно равна 0. Отсюда следует, что суммарная вероятность группы несовместных событий равна 1.

Обозначим через a₁, a₂, …, a_n события, а через P₁, P₂, …, P_n — вероятности появления отдельных событий.

Так как события несовместны, то сумма вероятностей их выпадения равна 1:P₁ + P₂ + … + P_n = 1.

Снова используем для имитации выпадения одного из событий генератор случайных чисел, значение которых также всегда находится в диапазоне от 0 до 1. Отложим на единичном интервале[0; 1] отрезки P₁, P₂, …, P_n. Понятно, что в сумме отрезки составят точно единичный интервал. Точка, соответствующая выпавшему числу из ГСЧ на этом интервале, укажет на один из отрезков. Соответственно в большие отрезки случайные числа будут попадать чаще (вероятность появления этих событий больше!), в меньшие отрезки — реже (см. рис. 23.3).

Рис. 23.3. Схема генерации несовместных случайных событий с помощью генератора случайных чисел

На рис. 23.4 показана блок-схема, которая реализует описанный алгоритм. Алгоритм определяет с помощью фильтра, построенного в виде последовательности условных операций (IF), в какой из интервалов — от 0 до P₁, от P₁ до (P₁ + P₂), от (P₁ + P₂) до (P₁ + P₂ + P₃) и так далее — попало число, сгенерированное генератором случайных чисел. Если число попало в какой-то из интервалов (что произойдет всегда и обязательно), то это соответствует выпадению связанного с ним события.

Рис. 23.4. Блок-схема алгоритма имитации случайных несовместных событий

Промоделируем выпадение последовательности событий — будем выбирать из колоды карт наугад карту (определять ее масть). Карты в колоду возвращать не будем.

В колоде 36 карт четырех мастей по 9 карт каждой масти. Интервал от 0 до 1 разделим на равные четыре части: [0.00—0.25], [0.25—0.50], [0.50—0.75], [0.75—1.00]. Первая часть будет соответствовать картам масти червей (Ч), вторая — картам масти пик (П), третья — картам масти виней (В), четвертая — бубей (Б).

Взять случайное равномерно распределенное число в интервале от 0 до 1 из таблицы случайных чисел или стандартного ГСЧ. Пусть, например, это будет число 0.597. Данное число попадает в третий интервал, соответствующий масти В. Произошло случайное событие: «Масть выпавшей карты — В».

Поскольку теперь в колоде 9 карт масти Ч, 9 карт масти П, 8 карт масти В, 9 карт масти Б, то интервал от 0 до 1 будет разбит на отрезки длиной: 9/35, 9/35, 8/35, 9/35, то есть [0.000—0.257], [0.257—0.514], [0.514—0.743], [0.743—1.000]. Разыграем случайное равномерно распределенное число в интервале от 0 до 1. Например, 0.321. Данное число попадает во второй интервал, соответствующий масти П.

Продолжая процесс, можно получить (в зависимости от конкретных случайных чисел), например, такую последовательность: В—П—В—Ч—Б—П—Ч—… (в качестве иллюстрации см.рис. 23.5).

Рис. 23.5. Иллюстрация работы генератора случайных чисел на примере выбора карт из колоды

Задача.События А, В, С образуют полную группу событий. Известна вероятность свершения двух событий. Найти вероятность свершения третьего события и определить, какое событие произошло, если при моделировании генератор случайных чисел выдал случайное число Х.

Таблица исходных данных

Решение

1. т.к. события образуют полную группу, то

P(C)=1-0.35-0.4=0.25

0.9>0.75 => событие P(C) наступило

Ответ: P(C) =0,25. при Х =0,9 событие P(C) наступило.

Заключение

Рассмотрение этих понятий позволяет не только формализовать случайные процессы, но и применять их в практических задачах: от прогнозирования в экономике и инженерии до анализа рисков и принятия решений в условиях неопределенности. Моделирование случайных событий и использование полной группы несовместных событий создают основу для строгого и системного подхода к изучению вероятностных процессов. Эти инструменты позволяют описывать неопределенность в терминах математической логики, обеспечивая возможность количественного анализа и прогнозирования. В практических приложениях они становятся незаменимыми при построении моделей, где необходимо учитывать все возможные исходы и их взаимное исключение. Таким образом, теория вероятностей через данные понятия формирует универсальный язык для описания случайности и служит связующим звеном между абстрактными математическими конструкциями и реальными задачами науки и техники.

Вау!! 😲 Ты еще не читал? Это зря!

• случайное событие
• моделирование случайной величины моделирование случайной величины с заданным законом распределения , моделирование случайной величины , метод ступенчатой аппроксимации , метод усечения ,