Вам бонус- начислено 1 монета за дневную активность. Сейчас у вас 1 монета

Поток случайных событий

Лекция



Привет, сегодня поговорим про поток случайных событий, обещаю рассказать все что знаю. Для того чтобы лучше понимать что такое поток случайных событий , настоятельно рекомендую прочитать все из категории Моделирование и Моделирование систем.

В предыдущих cтатьях мы научились имитировать наступление случайных событий.

То есть мы можем разыграть — какое из возможных событий наступит и в каком количестве. Чтобы это определить, надо знать статистические характеристики появления событий, например, такой величиной может быть вероятность появления события, или распределение вероятностей разных событий, если типов этих событий бесконечно много.

Но часто еще нужно знать, когда конкретно наступит то или иное событие во времени.

Когда событий много и они следуют друг за другом, то они образуют поток. Заметим, что события при этом должны быть однородными, то есть похожими чем-то друг на друга. Например, появление водителей на АЗС, желающих заправить свой автомобиль. То есть, однородные события образуют некий ряд. При этом считается, что статистическая характеристика этого явления (интенсивность потока событий) задана. Интенсивность потока событий указывает, сколько в среднемпроисходит таких событий за единицу времени. Но когда именно произойдет каждое конкретное событие надо определить методами моделирования. Важно, что, когда мы сгенерируем, например, за 200 часов 1000 событий, их количество будет равно примерно величине средней интенсивности появления событий 1000/200 = 5 событий в час, что является статистической величиной, характеризующей этот поток в целом.

Интенсивность потока в некотором смысле является математическим ожиданием количества событий в единицу времени. Но реально может так оказаться, что в один час появится 4 события, в другой — 6, хотя в среднем получается 5 событий в час, поэтому одной величины для характеристики потока недостаточно. Второй величиной, характеризующей насколько велик разброс событий относительно математического ожидания, является, как и ранее, дисперсия. Поэтому именно эта величина определяет случайность появления события, слабую предсказуемость момента его появления. Про эту величину мы расскажем в следующей лекции.

Таким образом.

Поток событий — это последовательность однородных событий, наступающих одно за другим в случайные промежутки времени. На оси времени эти события выглядят как показано на рис. 28.1.

Поток случайных событий

Рис. 28.1. поток случайных событий

τj — интервал между событиями (случайная величина);

tсi — момент совершения i-го события (отсчитывается от t = 0);

Tн — время наблюдения.

Свойства потока событий

  • Свойство стационарности: вероятность появления k событий на любом промежутке времени зависит только от числа k и от длительности t промежутка и не зависит от начала его отсчета.
  • Свойство ординарности: вероятностью наступления за элементарный промежуток времени более одного события можно пренебречь по сравнению с вероятностью наступления за этот промежуток не более одного события (то есть вероятность одновременного появления двух и более событий равна нулю)
  • Свойство отсутствия последействия: вероятность появления k событий на любом промежутке времени не зависит от того, появлялись или не появлялись события в моменты времени, предшествующие началу рассматриваемого промежутка.

Виды потока событий

Простейший (стационарный пуассоновский) поток — поток событий, обладающий свойствами стационарности, ординарности и отсутствия последействия.

Интенсивность потока ( Поток случайных событий) — среднее число событий, которые появляются в единицу времени.

Если постоянная интенсивность потока известна, то вероятность появления k событий простейшего потока за время длительностью t определяется формулой Пуассона:

Поток случайных событий

Случайные потоки бывают:

  • ординарные: вероятность одновременного появления двух и более событий равна нулю;
  • стационарные: частота появления событий λ(t) = const(t);
  • без последействия: вероятность появления случайного события не зависит от момента совершения предыдущих событий.

Примером потока событий могут служить последовательность моментов касания взлетной полосы самолетами, прилетающими в аэропорт.

Интенсивность потока λ — это среднее число событий в единицу времени. Интенсивность потока можно рассчитать экспериментально по формуле: λ = N/Tн, где N — число событий, произошедших за время наблюдения Tн.

Если интервал между событиями τj равен константе или определен какой-либо формулой в виде:tj = f(tj – 1), то поток называется детерминированным. Об этом говорит сайт https://intellect.icu . Иначе поток называется случайным.

Пуассоновский поток

За эталон потока в моделировании принято брать пуассоновский поток.

Пуассоновский поток — это ординарный поток без последействия.

Как ранее было указано, вероятность того, что за интервал времени (t0, t0 + τ) произойдет mсобытий, определяется из закона Пуассона:

Поток случайных событий

где a — параметр Пуассона.

Если λ(t) = const(t), то это стационарный поток Пуассона (простейший). В этом случае a = λ · t. Если λ = var(t), то это нестационарный поток Пуассона.

Для простейшего потока вероятность появления m событий за время τ равна:

Поток случайных событий

Вероятность непоявления (то есть ни одного, m = 0) события за время τ равна:

Поток случайных событий

Рис. 28.2 иллюстрирует зависимость P0 от времени. Очевидно, что чем больше время наблюдения, тем вероятность непоявления ни одного события меньше. Кроме того, чем более значениеλ, тем круче идет график, то есть быстрее убывает вероятность. Это соответствует тому, что если интенсивность появления событий велика, то вероятность непоявления события быстро уменьшается со временем наблюдения.

Поток случайных событий

Рис. 28.2. График вероятности непоявления ни одного события во времени

Вероятность появления хотя бы одного события (PХБ1С) вычисляется так:

Поток случайных событий

так как PХБ1С + P0 = 1 (либо появится хотя бы одно событие, либо не появится ни одного, — другого не дано).

Из графика на рис. 28.3 видно, что вероятность появления хотя бы одного события стремится со временем к единице, то есть при соответствующем длительном наблюдении события таковое обязательно рано или поздно произойдет. Чем дольше мы наблюдаем за событием (чем более t), тем больше вероятность того, что событие произойдет — график функции монотонно возрастает.

Чем больше интенсивность появления события (чем больше λ), тем быстрее наступает это событие, и тем быстрее функция стремится к единице. На графике параметр λ представлен крутизной линии (наклон касательной).

Поток случайных событий

Рис. 28.3. График вероятности появления хотя бы одного события со временем

Если увеличивать λ, то при наблюдении за событием в течение одного и того же времени τ, вероятность наступления события возрастает (см. рис. 28.4). Очевидно, что график исходит из 0, так как если время наблюдения бесконечно мало, то вероятность того, что событие произойдет за это время, ничтожна. И наоборот, если время наблюдения бесконечно велико, то событие обязательно произойдет хотя бы один раз, значит, график стремится к значению вероятности равной 1.

Поток случайных событий

Рис. 28.4. Влияние величины интенсивности потока на вероятность появления события в течение заданного интервала времени τ

Изучая закон, можно определить, что: mx = 1/λ, σ = 1/λ, то есть для простейшего потока mx = σ. Равенство математического ожидания среднеквадратичному отклонению означает, что данный поток — поток без последействия. Дисперсия (точнее, среднеквадратичное отклонение) такого потока велика. Физически это означает, что время появления события (расстояние между событиями) плохо предсказуемо, случайно, находится в интервале mxσ < τj < mx + σ. Хотя ясно, что в среднем оно примерно равно: τj = mx = Tн/N. Событие может появиться в любой момент времени, но в пределах разброса этого момента τj относительно mx на [–σ; +σ] (величину последействия). На рис. 28.5 показаны возможные положения события 2 относительно оси времени при заданном σ. В данном случае говорят, что первое событие не влияет на второе, второе на третье и так далее, то есть последействие отсутствует.

Поток случайных событий

Рис. 28.5. Иллюстрация влияния величины σ на положение события на временной шкале

По смыслу P равно r (см. лекцию 23. Моделирование случайного события. Моделирование полной группы несовместных событий), поэтому, выражая τ из формулы (*), окончательно для определения интервалов между двумя случайными событиями имеем:

τ = –1/λ · Ln(r),

где r — равномерно распределенное от 0 до 1 случайное число, которое берут из ГСЧ, τ — интервал между случайными событиями (случайная величина τj).

Пример 1. Рассмотрим поток изделий, приходящих на технологическую операцию. Изделия приходят случайным образом — в среднем восемь штук за сутки (интенсивность потока λ = 8/24 [ед/час]). Необходимо промоделировать этот процесс в течение Tн = 100 часов. m = 1/λ = 24/8 = 3, то есть в среднем одна деталь за три часа. Заметим, что σ = 3. На рис. 28.6 представлен алгоритм, генерирующий поток случайных событий.

Поток случайных событий

Рис. 28.6. Алгоритм, генерирующий поток случайных событий в заданным λ

На рис. 28.7 показан результат работы алгоритма — моменты времени, когда детали приходили на операцию. Как видно, всего за период Tн = 100 производственный узел обработал N = 33 изделия. Если запустить алгоритм снова, то N может оказаться равным, например, 34, 35 или 32. Но в среднем, за K прогонов алгоритма N будет равно 33.33… Если посчитать расстояния между событиями tсi и моментами времени, определяемыми как 3 · i, то в среднем величина будет равна σ = 3.

Поток случайных событий

Рис. 28.7. Иллюстрация работы алгоритма, генерирующего поток случайных событий

Моделирование неординарных потоков событий

Если известно, что поток не является ординарным, то необходимо моделировать кроме момента возникновения события еще и число событий, которое могло появиться в этот момент. Например, вагоны на железнодорожную станцию прибывают в составе поезда в случайные моменты времени (ординарный поток поездов). Но при этом в составе поезда может быть разное (случайное) количество вагонов. В этом случае о потоке вагонов говорят как о потоке неординарных событий.

Допустим, что Mk = 10, σ = 4 (то есть, в среднем в 68 случаях из 100 приходит от 6 до 14 вагонов в составе поезда) и их число распределено по нормальному закону. В место, отмеченное (*) в предыдущем алгоритме (см. рис. 28.6), нужно вставить фрагмент, показанный на рис. 28.8.

Поток случайных событий

Рис. 28.8. Фрагмент алгоритма, реализующий неординарный поток случайных событий

Пример 2. Очень полезным в производстве является решение следующей задачи. Каково среднее время суточного простоя оборудования технологического узла, если узел обрабатывает каждое изделие случайное время, заданное интенсивностью потока случайных событий λ2? При этом экспериментально установлено, что привозят изделия на обработку тоже в случайные моменты времени, заданные потоком λ1 партиями по 8 штук, причем размер партии колеблется случайно по нормальному закону сm = 8, σ = 2 (см. лекцию 25). До начала моделирования T = 0 на складе изделий не было. Необходимо промоделировать этот процесс в течение Tн = 100 часов.

На рис. 28.9 представлен алгоритм, генерирующий случайным образом поток прихода партий изделий на обработку и поток случайных событий — выхода партий изделий с обработки.

Поток случайных событий

Рис. 28.9. Алгоритм имитации обработки партий изделий с учетом случайности происходящих событий

На рис. 28.10 показан результат работы алгоритма — моменты времени, когда детали приходили на операцию, и моменты времени, когда детали покидали операцию. На третьей линии видно, сколько деталей стояло в очереди на обработку (лежало на складе узла) в разные моменты времени.

Поток случайных событий

Рис. 28.10. Диаграмма, иллюстрирующая движение изделий через узел обработки

Отмечая для обрабатывающего узла времена, когда он простаивал в ожидании очередной детали (см. на рис. 28.10 участки времени, выделенные красной штриховкой), мы можем посчитать суммарное время простоев узла за все время наблюдения, а затем рассчитать среднее время простоя в течение суток. Для данной реализации это время вычисляется так:

Tпр.ср. = 24 · (t1пр. + t2пр. + t3пр. + t4пр. + … + tNпр.)/Tн.

Задание 1. Меняя величину σ, установите зависимость Tпр.ср.(σ). Задавая стоимость за простой узла 100 евро/час, установите годовые потери предприятия от нерегулярности в работе поставщиков. Предложите формулировку пункта договора предприятия с поставщиками «Величина штрафа за задержку поставки изделий».

Задание 2. Меняя величину начального заполнения склада, установите, как изменятся годовые потери предприятия от нерегулярности в работе поставщиков в зависимости от принятой на предприятии величины запасов.

Моделирование нестационарных потоков событий

В ряде случаев интенсивность потока может меняться со временем λ(t). Такой поток называетсянестационарным. Например, среднее количество за час машин скорой помощи, покидающих станцию по вызовам населения большого города, в течение суток может быть различным. Известно, например, что наибольшее количество вызовов падает на интервалы с 23 до 01 часа ночи и с 05 до 07 утра, тогда как в остальные часы оно вдвое меньше (см. рис. 28.11).

Поток случайных событий

Рис. 28.11. Диаграмма изменения интенсивности потока случайных событий со временем

В этом случае распределение λ(t) может быть задано либо графиком, либо формулой, либо таблицей. А в алгоритме, показанном на рис. 28.6, в место, помеченное (**), нужно будет вставить фрагмент, показанный на рис. 28.12.

Поток случайных событий

Рис. 28.12. Фрагмент алгоритма, реализующий генерацию случайных событий в случае нестационарного потока

Надеюсь, эта статья об увлекательном мире поток случайных событий, была вам интересна и не так сложна для восприятия как могло показаться. Желаю вам бесконечной удачи в ваших начинаниях, будьте свободными от ограничений восприятия и позвольте себе делать больше активности в изученном направлени . Надеюсь, что теперь ты понял что такое поток случайных событий и для чего все это нужно, а если не понял, или есть замечания, то не стесняйся, пиши или спрашивай в комментариях, с удовольствием отвечу. Для того чтобы глубже понять настоятельно рекомендую изучить всю информацию из категории Моделирование и Моделирование систем

создано: 2015-12-19
обновлено: 2022-05-13
132812



Рейтиг 9 of 10. count vote: 2
Вы довольны ?:


Найди готовое или заработай

С нашими удобными сервисами без комиссии*

Как это работает? | Узнать цену?

Найти исполнителя
$0 / весь год.
  • У вас есть задание, но нет времени его делать
  • Вы хотите найти профессионала для выплнения задания
  • Возможно примерение функции гаранта на сделку
  • Приорететная поддержка
  • идеально подходит для студентов, у которых нет времени для решения заданий
Готовое решение
$0 / весь год.
  • Вы можите продать(исполнителем) или купить(заказчиком) готовое решение
  • Вам предоставят готовое решение
  • Будет предоставлено в минимальные сроки т.к. задание уже готовое
  • Вы получите базовую гарантию 8 дней
  • Вы можете заработать на материалах
  • подходит как для студентов так и для преподавателей
Я исполнитель
$0 / весь год.
  • Вы профессионал своего дела
  • У вас есть опыт и желание зарабатывать
  • Вы хотите помочь в решении задач или написании работ
  • Возможно примерение функции гаранта на сделку
  • подходит для опытных студентов так и для преподавателей



Комментарии


Оставить комментарий
Если у вас есть какое-либо предложение, идея, благодарность или комментарий, не стесняйтесь писать. Мы очень ценим отзывы и рады услышать ваше мнение.
To reply

Моделирование и Моделирование систем

Термины: Моделирование и Моделирование систем