Лекция
Привет, Вы узнаете о том , что такое хаос, Разберем основные их виды и особенности использования. Еще будет много подробных примеров и описаний. Для того чтобы лучше понимать что такое хаос, теория хаоса, хаотическая система, проблема трех тел, цепь чуа , динамический хаос , настоятельно рекомендую прочитать все из категории Моделирование и Моделирование систем.
хаос (др.-греч. χάος от χαίνω — раскрываюсь, разверзаюсь) — категория космогонии и космологии, первичное состояние Вселенной, бесформенная совокупность материи и пространства (в противоположность порядку).
Представления об эпохе хаоса возникают в результате развития, конкретизации представлений о мифическом времени, особом начальном сакральном периоде, предшествующем эмпирическому (историческому) «профанному» времени.
Одним из воплощений хаоса или самим хаосом часто выступает мировой океан, первозданные воды. Во многих древнейших космогонических мифах океан и хаос равнозначны и неотделимы друг от друга.
Согласно Планоту «с, основной работой платоновской космологии, концепция хаоса находит ее эквивалент в греческой экспрессии Хоре , который интерпретируется, например, в качестве бесформенного пространства ( Хор ) , в котором материальные следы ( ichnê ) элементов являются в неупорядоченном движении (Timaeus 53a – b). Однако платоническая чора не является вариацией атомистической интерпретации происхождения мира, как ясно из утверждения Платона о том, что наиболее подходящим определением хоры является «вместилище всего становления - его кормилица, так сказать» (Тимей 49а), notabene вместилище творческого акта Демиурга, создателя мира.
Аристотель в контексте своего исследования концепции пространства в физике «проблематизирует интерпретацию хаоса Гесиода как« пустоту »или« место без чего-либо в нем »(Physics IV ). понимает хаос как что-то, что существует независимо от тел и без чего не могут существовать никакие воспринимаемые тела. Таким образом, «Хаос» попадает в рамки явно физического исследования. Теперь он в значительной степени перерос мифологическое понимание и, в работе Аристотеля, служит прежде всего для того, чтобы бросить вызов атомистам, которые утверждают, что существует пустое пространство »
Для Овидия (43 г. до н.э. - 17/18 г. н.э.) в его « Метаморфозах» Хаос был несформированной массой, где все элементы были собраны вместе в «бесформенную кучу»
Рамон Луллий (1232–1315) написал Liber Chaos , в которой он определяет Хаос как изначальную форму или материю, созданную Богом. Швейцарский алхимик Парацельс (1493–1541) использует хаос как синоним «классического элемента» (поскольку первобытный хаос представляется как бесформенное скопление всех элементов). Таким образом, Парацельс определяет Землю как «хаос гноми », то есть элемент гномов , через который эти духи беспрепятственно передвигаются, как рыбы в воде или птицы в воздухе. Алхимический трактат Генриха Хунрата , напечатанный во Франкфурте в 1708 году, был озаглавлен « Хаос» . [38]Во введении 1708 года говорится, что трактат был написан в 1597 году в Магдебурге, на 23-м году алхимической практики автора. [39] Трактат имеет целью процитировать Парацельса по поводу того, что «свет души по воле Триединого Бога сделал все земные вещи явью из изначального Хаоса». [40] Мартин Руланд Младший в своем « Лексиконе Алхимии» 1612 года утверждает: «Грубая смесь материи или другое название Материи Примы - Хаос , как это было в начале».
Термин « газ» в химии был введен голландским химиком Яном Баптистом ван Гельмонтом в 17 веке непосредственно на основе парацельсовского представления о хаосе. Г в газе из - за голландское произношение этого письма в качестве спиранта , также занятого произносятся греческими х .
динамический хаос (также детерминированный хаос) — явление в теории динамических систем, при котором поведение нелинейной системы выглядит случайным, несмотря на то, что оно определяется детерминистическими законами. В качестве синонима часто используют название детерминированный хаос; оба термина полностью равнозначны и используются для указания на существенное отличие хаоса как предмета научного изучения в синергетике от хаоса в обыденном смысле.
Причиной появления хаоса является неустойчивость (чувствительность) по отношению к начальным условиям и параметрам: малое изменение начального условия со временем приводит к сколь угодно большим изменениям динамики системы.
Динамику, которая чувствительна к малейшим изменениям начальных условий системы, из которых начинается ее развитие, изменение, и в которой эти малейшие отклонения со временем многократно приумножаются, затрудняя предсказание будущих состояний системы, часто и называют хаотичной.
К примеру, мы знаем траекторию движения механической системы, если даны начальные условия. Если бы система была устойчива, не хаотична, то при небольших изменениях начальных условий, новая траектория не сильно отличалась бы от прежней, возможно даже, что новая траектория движения со временем совпала бы с прежней. Но если система была бы хаотичной, неустойчивой, то поначалу старая и новая траектории могли бы и быть близки, однако со временем траектории стали бы совершенно различны, то есть система проявила бы высокую чувствительность к начальным данным задачи о движении.
Так как начальное состояние физической системы не может быть задано абсолютно точно (например, из-за ограничений измерительных инструментов), то всегда необходимо рассматривать некоторую (пусть и очень маленькую) область начальных условий. При движении в ограниченной области пространства экспоненциальная расходимость близких орбит с течением времени приводит к перемешиванию начальных точек по всей области. После такого перемешивания уже практически не имеет смысла говорить о координате конкретной частицы, более целесообразным является переход к статистическому описанию процесса, то есть к определению вероятности нахождения частицы в некоторой точке.
Примерами хаотических динамических систем могут являться подкова Смейла и преобразование пекаря.
Обратным, в некотором смысле, к динамическому хаосу является динамическое равновесие и явления гомеостаза.
В обыденном смысле хаос понимают как беспорядок, неразбериху, смешение. Понятие возникло от названия в древнегреческой мифологии изначального состояния мира, некой «разверзшейся бездны» (а не беспорядочного состояния), из которой возникли первые божества. Лишь в раннехристианские времена этому слову стали приписывать значение беспорядка.
В математике хаосом называется апериодическое детерминированное поведение динамической системы, крайне чувствительное к начальным условиям. Бесконечно малое возмущение граничных условий для хаотической динамической системы приводит к конечному изменению траектории в фазовом пространстве. Об этом говорит сайт https://intellect.icu . Изучается математическими средствами теории хаоса.
Для количественного измерения хаотичности (неупорядоченности) некоторой системы в физике и математике (теории информации, математической статистике) часто используется понятие энтропии, которая одновременно характеризует информационную емкость системы.
Термин хаос был принят в современной сравнительной мифологии и религиоведении как относящийся к изначальному состоянию до сотворения мира, строго сочетая два отдельных понятия первозданных вод или изначальной тьмы, из которой возникает новый порядок, и изначальное состояние как слияние противоположностей. такие как небо и земля, которые должны быть разделены божеством-творцом в акте космогонии . В обоих случаях хаос, относящийся к понятию изначального состояния, потенциально содержит космос, но должен быть сформирован Демиургом, прежде чем мир сможет начать свое существование.
Использование хаоса в производном смысле «полный беспорядок или беспорядок» впервые появляется в елизаветинском раннем современном английском языке , первоначально подразумевая сатирическое преувеличение. « Хаос » в четко определенном смысле хаотической сложной системы , в свою очередь, происходит от этого использования.
« Магия хаоса » как ветвь современного оккультизма - продукт 1970-х годов.
Говоря "хаос", мы обычно имеем в виду полное отсутствие порядка, абсолютное расстройство и случайность. С математической точки зрения хаос и порядок не являются взаимоисключающими понятиями. Теория Хаоса (есть что-то увлекательное в названиях математических теорий) представляет собой довольно молодое математическое поле, создание которого приравнивается значением открытий ХХ века к созданию квантовой механики.
Теория хаоса — это наука о сложных нелинейных динамических системах.
Хаос происходит в нелинейных динамических системах. Другими словами, любой процесс, который происходит с течением времени может быть хаотичным (например, высота дерева, температура тела, или популяции мадагаскарских тараканов).
Еще один пример хаотической системы - миксер с молоком. Он моделируется механическими законами: смеситель вращается с заданной скоростью, и взаимодействие жидкости с лопастью внутри миксера можно смоелировать простыми детерминистическими уравнениями.
Но само движение жидкости довольно сложно. В разных проекциях это молоко рассекаются лопастями и разделяются, а дальние области могут сближаться. В итоге молоко перемешивается в хаотическом порядке.
Чтобы понять, что такое хаос, мы сначала обращаемся к системам, которые не наделены такой функцией. Детерминированные системы не допускают никаких случайносте: значение на выходе полностью определяется значениями на входе. Таким образом, изменение исходных условий приводит к пропорциональному изменению результата. Таким образом, ньютоновская механика подразумевает детерминизм, и, изменив, например, силу удара по мячу, можно ожидать соответствующего изменения в продолжительности полета этого мяча. Таким образом, по принципу детерминизма, положение мяча в данный момент полностью определяется положением мяча в предыдущий момент и будущая позиция зависит от текущей, и все это очень легко рассчитать. Так, астрономы прошлого времени полностью доверяли этому принципу и считали, что Вселенная является строго определенной системой и положение небесных тел в будущем (и в прошлом) можно вычислить, зная их текущее положение и скорость, т.е. зная первоначальные условия. Предполагалось, что чем точнее будут известны исходные условия, тем точнее будет прогнозный результат, однако, известный математик Анри Пуанкаре, который (в свободное время, вероятно) занимался описанием орбит небесных тел, установлено, что в системах 3 или более тел, с небольшими изменениями в начальных условиях (положение и скорость), траектории тела очень быстро удаляются друг от друга. Два близких набора исходных условий дали разные результаты. Так появиласль в астрономии Задача трех тел.
Задача трех тел — одна из проблем астрономии , суть которой смоделировать относительное движения заданных объектов, взаимодействующих по классическому закону тяготения (как прототип моделирования траекторий тел системы Юпитера и его спутников: Ио, Европы). В сравнении с системой двух тел, в общем случае проблема не имеет решения в виде конечных аналитических выражений. Предложены отдельные точные решения для некоторых начальных скоростей и координат объектов.
Метеоролог Эдвард Лоренц внес большой вклад в теорию хаоса. В шестидесятые годы прошлого века этот американец работал над компьютерной программой, имитирующей движение воздушных масс в атмосфере Земли. Известно, что программа (вопреки популярным слухам) является строго детерминированной системой, и это создает известный принцип «garbage in garbage out» "мусор в мусоре". Лоренц вел свою программу в хвост и гриву, получая всевозможные результаты. Некоторые из его коллег даже предположили, что эта модель является точным предсказателем погоды, спросили, стоит ли принимать зонтик завтра. Конечно, эти выводы были поспешными, одна особенность модели погоды вскоре стала ясна. Однажды, чтобы ускорить расчеты, Лоренц не начал программу первым, а ввел в нее данные из предыдущего «запуска», которые печатались на бумаге. Однако результаты такого запуска быстро начали отклоняться от уже полученных, образуя совершенно иную картину. Немного неожиданно, не так ли? Оказалось, что Лоренц не представил точных результатов прошлых расчетов, но округлил перед печатью, эту ошибку просто проигнорировали. Модель Лоренца оказалась гиперчувствительной к первоначальным условиям. Малейшее различие в входных данных привело к сильному расхождению между результатами с течением времени. Эта зависимость от первоначальных условий называлась хаосом. Лоренц озвучил знаменитую черту хаоса под названием «эффект бабочки», которая предполагает, что в зависимости от того, заслоняет ли бабочка крылья миносцы в лесах Бразилии, это зависит от того, происходит ли ураган в Техасе или нет. Тот же принцип был основой одноименного фильма с Эштоном Катчером (ненаучный фильм).
Отклонение перерасчета
Вся эта зависимость от первоначальных условий говорит о том, что мы не можем делать долгосрочные прогнозы в нестабильных динамических системах. Любая ошибка в исходных условиях не позволит нам предсказать результат в течение длительного периода времени. Если, например, мы возьмем модель Лоренца, нам нужно будет ввести температуру и давление в каждой точке на атмосфере Земли в качестве ввода для определения скорости ветра, только тогда мы можем ожидать надежного прогноза в течение длительного времени. Более того, входные данные должны быть абсолютно точными, то есть с бесконечным количеством десятичных мест. И, как известно, абсолютно все измерительные приборы на Земле имеют ненулевую ошибку. Независимо от того, насколько точно измеряется количество, всегда можно (теоретически) измерить более точно. Да и нет таких машин, которые позволили бы вам войти в бесконечное количество десятичных мест. Может быть, с появлением квантовых компьютеров, что-то изменится, я не знаю.
Получается, что от хаоса никуда не деться и что мы должны с мириться с ним. Но не все так плохо, на мой взгляд. Если бы все процессы во Вселенной были полностью определяющими, без единого намека на случайность, жизнь была бы гораздо скучнее. Некоторые ученые даже склоняются к мысли, что хаос дает Вселенной «стрелку времени», направленное и необратимое движение из прошлого в будущее.
Однако "хаос" и "случайность" не являются полностью эквивалентными понятиями. Определенная интерпретация процессов, которые кажутся случайными, приводит их в порядок. Например, время между сердцебиениями человека является переменным, даже если человек не подвержен физической активности. Если мы наблюдаем сердцебиение в течение некоторого времени и напишем интервалы между ударами в таблице, а также создадим вторую колонку, копируя значения из первой, но со сдвигом на одно значение (т.е. второе измерение будет соответствовать первому измерению (т) в первая колонка (т No 1) во второй, вторая - третья и т.д.;), можно будет построить карту, где вертикально у нас будут значения без смещения (т), а горизонтально - значения со сдвигом (т No 1). Очки на этой карте не будут разбросаны случайным образом, но будут привлечены к определенной области, образующей аттрактор.
Распространенным примером хаотичной системы является двойной маятник, т.е. маятник, к концу которого прикреплен второй маятник. Возможно, вы видели подобные маятники в сувенирных магазинах. Таким образом, если взять два одинаковых маятника, поместите их бок о бок и отклонить их примерно на равное количество, то после нескольких колебаний маятники полностью не синхронизированы. Чем точнее мы будем наблюдать начальные условия, тем дольше маятники будут качаться в такт, но от расхождения никуда не деться.
Такие узоры нарисованы лампочкой на двойном маятнике художником Джорджем Иоаннидисом
Точного решения заданной проблемы - несуществует Брунс и Пуанкаре доказали, что систему дифференциальных уравнений для движения трех тел невозможно свести к интегрируемой, разложив ее на независимые уравнения. Открытие показало, что динамические системы не изоморфны. Простые интегрируемые системы допускают разложение на невзаимодействующие подсистемы, но в общем случае исключить взаимодействия невозможно.
Теперь перейдем от хаоса к ясности! Долгое время теория хаоса считалась своего рода математической абстракцией, которая не имеет подтверждения в реальных условиях. Эта проблема обеспокоила одного японца по имени Леон Чуа, который стремился показать, что хаос может быть создан. Для этого он собрал электрическую цепь.
Схема Чуа была первой электрической цепью, способной генерировать хаотические сигналы. Его творение было блестящим в своей простоте, схема состояла из четырех линейных элементов: два емки, один индуктор и резистор, а также включал в себя один нелинейный локально активный элемент, на почастям линейного вольт-ампере, характерный для которых регион с негативным сопротивлением. Этот элемент теперь часто называют диодом Чуа. Схема является генератором, и диод Чуа является необходимой частью для достижения хаотических колебаний. Этот элемент не доступен в качестве отдельного компонента, но его легко собрать с помощью двух эксплуатационных усилителей. Другие способы реализации этой нелинейности включают контрпараллельную связанную пару инверторов или туннельный диод , на ВАХ , на котором, есть некая «долина».
Обобщенная схема Чуа генератора и уравнения, описывающие его
Математика моделирующая эти процессы сложная, но если упростить, то эта схема описывается тремя дифференциальными уравнениями, показывающими изменение времени напряжения через два конденсатора и тока через индукцию. Численное решение этих уравнений показывает, что для определенных отношений между компонентами цепи изменение значений переменных во времени становится хаотичным.
Эта цепь может продемонстрировать хаос таких явлений, как бифуркации и хаотический аттрактор. Однако, чтобы наблюдать это, осциллограф должен быть с двумя входами. В классическом варианте схема состоит из двух конденсаторов, одного индуктивности, семи резисторов, микросхемы с парой операционных усилителей и двух батарей 9V (можно использовать блок питания, но мощность должна быть биполярной). Для достижения хаотического поведения необходимо соблюдать определенные соотношения между значениями элементов. Таким образом, емкость конденсатора C2 должна быть около 10 емкость C1, соотношение C2 / C1 называется α. Коэффициент β показывает взаимосвязь между R, C2 и L, а именно: R - 2 C2 / L и должен быть примерно 14.
Схема генератора Чуа с отрицательным сопротивлением на операционных усилителях
После тщательной сборки этой простой схемы, вы можете попытаться увидеть, какие сигналы он генерирует. Сигналы будут приниматься из конденсаторов C1 и C2. На моей цепи, я сделал два разъемы BNC для удобства подключения цепи к осциллоскопу. Подключаем кабели к осциллоскопу и выбираем режим XY, когда на одной оси у нас будет напряжение на первом конденсаторе, а на другой - напряжение на второй. Что вывести на X и что на Y не имеет значения. Отвинтите ручку потенциометра до максимального значения и покормите цепь. Точка должна появиться на экране осциллоскопа. Медленно снижайте значение сопротивления (лучше использовать потентиометры с большим штрихом и с большой ручкой для того, чтобы обеспечить плавное изменение сопротивления), в какой-то момент точка должна превратиться в орбиту. Последующее снижение сопротивления приводит к бифуркации этой орбиты, мы начинаем наблюдать бифуркации. Удвоение периода орбиты будет продолжатьпроисходит с уменьшением сопротивления, расстояние между последующими бифуркициями будет постоянно и неуклонно уменьшаться. Эти. разница в сопротивлении между четырехкратной и восьмикратной орбитой будет меньше, чем между четырехкратной и двойной. Скорость, с которой интервал между бифуркионами уменьшается определяется константой Фейгенбаума. Период, перед которым вы сможете наблюдать бифуркации, зависит от ясности сигналов (т.е. качества соединений) и чувствительности потенциометра . В какой-то момент стабильная орбита уступает место двухпетящему аттрактору, который знаменует собой наступление хаоса. Этот аттрактор имеет три точки равновесия: один у истоков и два в «дырах» петель. Типичная траектория аттрактора начинает вращаться вокруг одной из «дыр», отходя от точки равновесия с каждым поворотом, затем траектория либо возвращается ближе к центру и снова удаляется, либо переходит в другую точку равновесия, где процесс проходит циклы. Количество вращений в каждом случае является случайным.
Хаос через бифуркацию
Этот аттрактор будет существовать в определенном интервале сопротивления, а затем уступок стабильной орбите, показывающей гармонические колебания. С достаточно небольшими значениями сопротивления, цепь превращается в простую колебательную схему, генерирующую синусоидальный сигнал с частотой, определяемой значениями конденсаторов и индуктора. Для большей "гибкости" цепи, потенциометрами можно заменить резисторы в отрицательной цепи сопротивления.
Если мы посмотрим на спектр сигналов, то увидим, что в хаотичном режиме полоса синтеза достаточно широка и не имеет выраженных пиков, а также начинается с постоянного компонента.
Хаотический спектр сигналов
Схема чрезвычайно проста, но ее поведение было изучено многими учеными, работающими с теорией хаоса.
С его помощью были изучены бифуркации и создана целая галерея различных аттракторов.
1) генератор, может быть использован для радиосвязи, и так как этот генератор является необычным, радиосвязь может быть безопасной
. Существует несколько типов модуляции хаотического сигнала, от простой маскировки информационного сигнала до цифровой модуляции высокого уровня.
2) Высокая чувствительность хаотического генератора позволяет использовать его в качестве детектора слабых сигналов.
3) генератор случайных чисел на основе этой схемы.
4) т.к спектр этого генератора находится в звуковом диапазоне, то некоторые музыканты использовали эту схему ля синтеза необычных мелодий.
а как бы применили эту теорию вы?
Анализ данных, представленных в статье про хаос, подтверждает эффективность применения современных технологий для обеспечения инновационного развития и улучшения качества жизни в различных сферах. Надеюсь, что теперь ты понял что такое хаос, теория хаоса, хаотическая система, проблема трех тел, цепь чуа , динамический хаос и для чего все это нужно, а если не понял, или есть замечания, то не стесняйся, пиши или спрашивай в комментариях, с удовольствием отвечу. Для того чтобы глубже понять настоятельно рекомендую изучить всю информацию из категории Моделирование и Моделирование систем
Комментарии
Оставить комментарий
Моделирование и Моделирование систем
Термины: Моделирование и Моделирование систем