Вам бонус- начислено 1 монета за дневную активность. Сейчас у вас 1 монета

Теории систем с запаздыванием

Лекция



Теории систем с запаздыванием изучают системы, где отклик на входной сигнал не происходит мгновенно, а с некоторой задержкой (запаздыванием). Запаздывание – это временной промежуток, который возникает между воздействием на систему и ее реакцией на это воздействие. Такие системы важны в прикладных науках и технике, так как запаздывание часто присутствует в реальных процессах — от передачи данных в сети до химических реакций, биологических процессов и экономических моделей.

Теория систем с запаздыванием изучает поведение и управление системами, в которых реакция на воздействие происходит с временной задержкой. В таких системах отклик на входной сигнал (например, изменение температуры, подача напряжения или введение экономической меры) наступает не мгновенно, а спустя определенный промежуток времени. Это свойство широко распространено в реальных процессах и характерно для различных областей, таких как инженерия, экономика, биология и химия.Запаздывание в системах может иметь серьезные последствия: оно усложняет поведение системы, влияет на устойчивость и может вызывать нежелательные колебания и затяжные переходные процессы. Основные задачи теории систем с запаздыванием включают анализ устойчивости, моделирование переходных процессов и разработку методов управления, которые учитывают влияние временной задержки. Для математического описания таких систем используются дифференциальные уравнения с запаздыванием, методы частотного анализа, а также специализированные алгоритмы управления, такие как предсказатель Смита. Теория систем с запаздыванием помогает создать модели, максимально приближенные к реальности, и разрабатывать алгоритмы, которые позволяют компенсировать задержки, делая управление более точным и эффективным.

Типы запаздываний:

  • Постоянное запаздывание (постоянный лаг): величина задержки фиксирована и не меняется со временем.
  • Переменное запаздывание: величина задержки меняется в зависимости от условий работы системы.
  • Дискретное запаздывание: задержка имеет фиксированное значение и проявляется в виде отдельного события.
  • Распределенное запаздывание: запаздывание распределено во времени, что делает его сложным для анализа.

Математические модели:

  • Дифференциальные уравнения с запаздыванием (Delay Differential Equations, DDE): используются для описания систем, где текущее состояние зависит не только от текущего времени, но и от состояния в прошлом.
  • Уравнения с распределенным запаздыванием: такие уравнения описывают ситуацию, когда задержка в реакции системы зависит от интегрального эффекта всех прошлых состояний.

Система линейная с запаздыванием

Линейной системой с запаздыванием называется такая, которая содержит в своей структуре хотябы одно звено, в котором есть неизменное запаздывание во времени τ изменения выходной координаты после начала изменения входной.

Теории систем с запаздыванием

Рассмотрим апериодическое звено первого порядка, которое описывается уравнением:

T·dy/dt+y=K·x(t).(1)

Уравнение соответствующего звена с запаздыванием τ будет иметь вид:

T·dy/dt+y=K·x(t−τ). (2)

Оно называется дифференциально-разностным.

Обозначим x*(t)=x(t−τ), тогда уравнение (2) запишется в обыкновенном виде:

T·dy/dt+y=K·x*(t). (3)

Следовательно его переходная характеристика соответствует апериодическому звену (рис. 1в), но задержана на τ с, что определено задержкой воздействия x*(t) (рис. 1б).

Резюме:

  • Временная характеристика любого звена с запаздыванием будет такая же, как у соответствующего обыкновенного звена, но только сдвинута по оси времени вправо на величину τ.
  • Величину запаздывания τ в звене можно определить экспериментально, путем снятия временной характеристики.

Пример системы с транспортным запаздыванием

Рабочие файлы: [e^(-st)_tc.vsm]

Теории систем с запаздыванием

ПФ звена чистого запаздывания

Теории систем с запаздыванием

Свойства звена таковы, что y(t)=x(t−τ), где τ – запаздывание, а x(t−τ)=0 при 0

Разложим правую часть уравнения (т.е. выходной сигнал) в ряд Тейлора:

Теории систем с запаздыванием,

или

Теории систем с запаздыванием,

т.е.:

Теории систем с запаздыванием.

Аппроксимация звена чистого запаздывания

1 Сравним переходные функции апериодического звена с запаздывающим аргументом и апериодического звена 2-ого порядка:

Теории систем с запаздыванием

Теории систем с запаздыванием

Поскольку они существенно похожи, в приближенных расчетах можно осуществлять подмены передаточных функций звеньев.

2 В некоторых случаях применяется прием учета большого числа N звеньев в системе с малыми постоянными времени ΔTi и единичным коэффициентом передачи, одним звеном с постоянным запаздыванием, равным сумме этих постоянных времени τ=∑ΔTi≈N·ΔT. Т.е.:

Теории систем с запаздыванием

Если N→∞, то в пределе получим W(s)≈e−τs. Уже при N=8÷10 степень приближения высока. Ряд будет более точно соответствовать разложению в ряд функции e−τs, если его представлять не апериодическими, а фазосдвигающими звеньями.

Размыкание систем с запаздыванием

Большинство методов исследования устойчивости или качества систем в качестве входной информации используют ПФ системы для разомкнутого состояния W(s). Звено чистого запаздывания является нелинейным элементом, и затрудняет как аналитический анализ систем, так и машинный (программы математического моделирования не могут выполнять функции анализа для систем с нелинейными элементами). Поэтому либо используют линеаризованные аппроксиматоры звена чистого запаздывания, либо размыкают систему в той ветви, которая содержит звено чистого запаздывания, дабы ПФ имела вид: W(s)=Wо(s)×e−τs, где Wо(s) – ПФ части системы без запаздывания.

Рассмотрим и разомкнем системы с основными вариантами включения звена чистого запаздывания – последовательным, параллельным и в цепи ОС:

Теории систем с запаздыванием

Теории систем с запаздыванием

Теории систем с запаздыванием

Если звенья чистого запаздывания имеются в разных ветвях структурной схемы, то для исследований используют их аппроксиматоры и машинные методы анализа.

Частотные свойства систем с запаздыванием. Понятие о критическом запаздывании

Рабочие файлы: [ЧХ звена запаздывания]

Перейдем в частотный домен:

W(jω)=Wо(jω)×e−jωτ=Aо(ω)·ejφо(ω)×1e−jωτ,

следовательно:

L(ω)=|W(jω)|=Aо(ω)×1=Aо(ω),
φ(ω)=φо(ω)−ωτ.

Теории систем с запаздыванием

Резюме:

  • Таким образом, наличие звена с запаздыванием не меняет модуля, а лишь вносит дополнительный фазовый сдвиг (−ωτ).
  • Из графика видно, что звено e−τs закручивает исходный годограф Wо(jω) по часовой стрелке, ухудшая условия устойчивости.
  • По имеющемуся годографу Wо(jω) можно определить критическое значение запаздывания τкр:
    φ1−ωсрτкр=−π => τкр=(π+φ1)/ωср
    В некоторых случаях τкр можно рассчитать аналитически.

Устойчивость систем с запаздыванием

Запаздывания могут существенно повлиять на устойчивость системы. Даже в простых системах с постоянным запаздыванием могут возникнуть колебательные или хаотические режимы, которые невозможно описать при отсутствии запаздывания. Методы устойчивости, такие как критерий устойчивости Ляпунова–Красовского, используются для оценки влияния запаздывания на поведение системы.

Рассмотрим замкнутую систему:

Теории систем с запаздыванием

По знаменателю ПФ Φ(jω) видно, что в общем случае характеристическое уравнение будет иметь множитель e−τs, который определяет возможность наличия бесконечного количества корней (см. петли годографа Михайлова D(jω)).

Как и прежде, для устойчивости все они должны иметь отрицательные вещественные части.

  • Для устойчивости систем 1-ого и 2-ого порядка с запаздыванием не достаточно положительности коэффициентов.
  • Для систем 3-его и более порядков не применимы критерии Вышнеградского, Рауса, Гурвица.

Об исследовании точности систем с запаздыванием

Теории систем с запаздыванием Теории систем с запаздыванием

По ЧХ звена чистого запаздывания наглядно видно, что его коэффициент передачи во всем частотном диапазоне равен единице. Причем в области низких частот и задержка в звене пренебрежимо мала (т.е. сдвиг фазы стремится к нулю), поэтому при исследовании точности систем с запаздыванием допустимо просто исключить все звенья чистого запаздывания из структурной схемы. Эта операция допустима, поскольку точность любой системы определяет только НЧ часть ее ЧХ.

ИССЛЕДОВАНИЕ ЗАМКНУТЫХ СИСТЕМ АВТОМАТИЧЕСКОГО РЕГУЛИРОВАНИЯ С ЗАПАЗДЫВАНИЕМ

Типичным является, так называемое, транспортное запаздывание. Например, процесс обработки материала связан с транспортированием его от одного агрегата к другому, к примеру, от ванны окраски текстильной ткани к сушильным барабанам.

На транспортировку затрачивается время τ.

Теории систем с запаздыванием (1)

где: L - расстояние между агрегатами, V - скорость транспортировки.

При описании такого двухагрегатного объекта регулирования затрачиваемое на транспортировку время представляется в виде звена чистого запаздывания.

Теории систем с запаздыванием

Другим типичным примером является запаздывание в канале обратной связи, вызванное невозможностью установки датчика непосредственно в зоне обработки материала.

Звено запаздывания применяется также для упрощенного описания объектов управления с распределенными параметрами, для уменьшения порядка передаточной функции и т.д.

Звено чистого запаздывания описывается уравнением

Теории систем с запаздыванием (2)

При Теории систем с запаздыванием передаточная функция звена имеет вид:

Теории систем с запаздыванием (3)

Исследование устойчивости САУ с чистым запаздыванием

Теории систем с запаздыванием

Наиболее удобным для исследования рассматриваемых систем является критерий устойчивости Найквиста. Структурная схема САУ будет иметь вид, представленный на рис.1, где Wo(p) – передаточная функция, включающая в себя объект, силовой преобразователь, датчик и регулятор.

Частотная передаточная функция разомкнутой системы будет иметь вид:

Теории систем с запаздыванием (4)

где: Ао(ω) и φo(ω) - амплитудно-частотная и фазо-частотная характеристики объекта управления без запаздывания.

При прохождении АФЧХ через эту точку справедлива следующая система уравнений

Теории систем с запаздыванием

где:ωk- критическое значение частоты, τk- критическая величина запаздывания.

Или

Теории систем с запаздыванием

Величина τk определяется следующим образом. Из первого уравнения системы (5) определяется k, а из второго k.

Теории систем с запаздыванием (7)

Очевидно, что для нормальной работы замкнутой САУ необходимо, чтобы величина запаздывания была

Теории систем с запаздыванием(8).

Приближенное описание звена с чистым запаздыванием

При исследовании аналитическими методами САУ с запаздыванием применение описания передаточной функцией (3) приводит к трансцендентным уравнениям. Поэтому наряду с точным описанием звена чистого запаздывания применяются приближенные рациональные передаточные функции.

Одно из таких приближений базируется на использовании ряда Тейлора

Теории систем с запаздыванием

Следовательно, выражение (3) может быть приблизительно представлено звеном первого порядка

Теории систем с запаздыванием (9)

или звеном второго порядка

Теории систем с запаздыванием (10)

и т.д.

Более точное приближение дает разложение в ряд Паде. При использовании звена первого порядка

Теории систем с запаздыванием (11)

При использовании звена второго порядка

Теории систем с запаздыванием (12)

Компенсация влияния чистого запаздывания в замкнутых САУ

Для нейтрализации вредного влияния запаздывания используются регуляторы, которые компенсируют звено чистого запаздывания. Одним из таких способов компенсации является регулятор Смита. Структурная схема САУ с регулятором Смита представлена на рис.2.

Теории систем с запаздыванием

Рис.2.

Wp(p) - передаточная функция регулятора

Wo(p) - передаточная функция объекта

Теории систем с запаздыванием - передаточная функция модели объекта

Теории систем с запаздыванием - передаточная функция модели запаздывания.

Применяя структурное преобразование схемы на рис.2, получим, что

передаточная функция замкнутой системы при

Теории систем с запаздыванием

определяется следующим выражением:

Теории систем с запаздыванием (13)

Из (13) видим, что, хотя запаздывание в системе сохраняется (физически это неизбежно), в характеристическом уравнении звено чистого запаздывания отсутствует. Следовательно, действие запаздывания на устойчивость и качество переходных процессов полностью скомпенсировано. Это является несомненным достоинством рассмотренного регулятора.

Недостатком регулятора является его чувствительность к изменениям параметров объекта, которое на практике всегда имеет место.

Примеры систем с запаздыванием:

  • Технические системы: системы управления, где управление объектом приводит к изменениям с задержкой. Примеры: тепловые системы (отопление), электронные сети и передача сигналов.
  • Биологические системы: физиологические процессы, такие как гормональные реакции, дыхание, движение крови.
  • Экономические системы: рыночные модели, где воздействие экономических факторов (например, изменение ставки процента) не приводит к немедленным результатам, а оказывает влияние через некоторое время.

Применение теории систем с запаздыванием в практике:

  • Телекоммуникации: при передаче данных по сетям задержки должны быть минимизированы, чтобы избежать потери качества связи.

  • Автоматизированные системы управления: системы с обратной связью, такие как промышленные контроллеры, должны учитывать задержки для стабильного управления.
  • Медицинские системы: мониторинг физиологических процессов с запаздыванием (например, контроль уровня сахара в крови).

Влияние переходных процессов на системы с запаздыванием

Системы с запаздыванием тесно связаны с переходными процессами, так как наличие запаздывания существенно влияет на характер и динамику переходных процессов. Переходные процессы — это временные отклонения параметров системы от устойчивого состояния при воздействии на нее внешних факторов, таких как изменения входных сигналов или начальных условий. В системах с запаздыванием переходные процессы становятся более сложными и продолжительными, поскольку запаздывание создает дополнительную инерционность.

Влияние запаздывания на переходные процессы

  1. Увеличение времени переходного процесса: Запаздывание приводит к задержке в реакции системы на изменения внешних условий или сигналов, увеличивая время переходного процесса. Это замедляет достижение нового устойчивого состояния и делает систему более «инертной».

  2. Колебательный характер переходного процесса: Запаздывания могут вызвать колебания в переходных процессах. Например, при больших задержках системы могут переходить в колебательный режим, даже если сами по себе они не являются осциллирующими. Это может привести к нестабильности, особенно если запаздывание переменное и случайное.

  3. Устойчивость переходных процессов: В системах с запаздыванием устойчивость переходных процессов может значительно ухудшаться. Запаздывания добавляют «старые» значения в текущие расчеты, что может привести к накоплению ошибок и даже к расходимости, особенно если запаздывание существенно. Классические критерии устойчивости, такие как критерий Раута–Гурвица и критерий Найквиста, требуют корректировки при анализе систем с запаздыванием.

  4. Эффект накопления ошибок: Из-за запаздывания отклонения от устойчивого состояния могут усиливаться по мере того, как система реагирует на «устаревшие» состояния. Этот эффект приводит к тому, что переходный процесс становится затяжным и сложным.

Методы анализа переходных процессов в системах с запаздыванием

Для анализа переходных процессов в системах с запаздыванием используются специальные методы, учитывающие временные задержки:

  1. Методы частотного анализа: Анализ систем с запаздыванием на частотной плоскости позволяет оценить влияние задержек на частотные характеристики системы и понять, как они влияют на устойчивость и колебания.

  2. Численные методы: Для нелинейных систем или систем с переменным запаздыванием применяется численное моделирование, которое позволяет более точно описать переходный процесс с учетом всех параметров запаздывания.

  3. Методы предсказания: В системах управления с запаздыванием используются алгоритмы предсказания, такие как предсказатель Смита. Этот метод компенсирует влияние запаздывания, прогнозируя поведение системы и позволяя осуществлять корректирующие воздействия с учетом будущих изменений.

  4. Дифференциальные уравнения с запаздыванием (DDE): Уравнения с запаздыванием позволяют моделировать переходные процессы с учетом времени задержки. Эти уравнения учитывают зависимости текущего состояния от прошедших значений и более точно описывают переходный процесс.

Примеры переходных процессов в системах с запаздыванием

  1. Системы управления температурой: Переходный процесс нагрева объекта с запаздыванием отклика может длиться значительно дольше, чем без запаздывания. При этом запаздывание может вызвать перерегулирование температуры и нестабильные колебания.

  2. Экономические модели: В экономике изменения, например, ставки налога, могут не сразу повлиять на состояние рынка. В таких случаях переходный процесс, связанный с адаптацией к новым условиям, может занять длительное время, вызывая осцилляции в рынке, которые усложняются запаздыванием.

  3. Медицинские системы контроля: В системах мониторинга жизненных показателей организма запаздывание в реакции на корректирующие действия может привести к неустойчивым переходным процессам, если, например, система искусственной вентиляции легких реагирует на изменения дыхательных показателей с задержкой.

Заключение

Теория систем с запаздыванием позволяет моделировать и анализировать широкий спектр реальных процессов, в которых отклик системы происходит не мгновенно. Она дает возможность разработчикам систем управления и ученым понять и компенсировать эффект запаздывания, повышая точность и стабильность таких систем. Запаздывание существенно влияет на переходные процессы, делая их более длительными, сложными и потенциально неустойчивыми. Теория систем с запаздыванием помогает анализировать и управлять такими переходными процессами, позволяя учитывать задержки для поддержания устойчивости и уменьшения колебаний.

Вау!! 😲 Ты еще не читал? Это зря!

создано: 2015-03-10
обновлено: 2024-11-14
496



Рейтиг 9 of 10. count vote: 2
Вы довольны ?:


Поделиться:

Найди готовое или заработай

С нашими удобными сервисами без комиссии*

Как это работает? | Узнать цену?

Найти исполнителя
$0 / весь год.
  • У вас есть задание, но нет времени его делать
  • Вы хотите найти профессионала для выплнения задания
  • Возможно примерение функции гаранта на сделку
  • Приорететная поддержка
  • идеально подходит для студентов, у которых нет времени для решения заданий
Готовое решение
$0 / весь год.
  • Вы можите продать(исполнителем) или купить(заказчиком) готовое решение
  • Вам предоставят готовое решение
  • Будет предоставлено в минимальные сроки т.к. задание уже готовое
  • Вы получите базовую гарантию 8 дней
  • Вы можете заработать на материалах
  • подходит как для студентов так и для преподавателей
Я исполнитель
$0 / весь год.
  • Вы профессионал своего дела
  • У вас есть опыт и желание зарабатывать
  • Вы хотите помочь в решении задач или написании работ
  • Возможно примерение функции гаранта на сделку
  • подходит для опытных студентов так и для преподавателей

Комментарии


Оставить комментарий
Если у вас есть какое-либо предложение, идея, благодарность или комментарий, не стесняйтесь писать. Мы очень ценим отзывы и рады услышать ваше мнение.
To reply

Моделирование и Моделирование систем

Термины: Моделирование и Моделирование систем