1.3. Устойчивость невырожденных критических точек кратко

В заключение обсудим важное свойство невырожденных критических точек — их устойчивость по отношению к малым возмущениям функции.

Именно, при достаточно малом (вместе со всеми своими производными) возмущении функции невырожденная критическая точка, не исчезает, а лишь немного перемещается, и в ее окрестности новые критические точки не появляются. Вырожденные критические точки, напротив, могут исчезать или распадаться на несколько невырожденных в результате сколь угодно малого возмущения функции. Рассмотрим несколько примеров в простейшей ситуации функции одной переменной F(x), имеющей критическую точку x = 0. В качестве возмущающего слагаемого мы будем использовать моном εxⁿ той или иной степени функцию, неограниченную на всей вещественной прямой. Поэтому для того, чтобы возмущение было действительно малым, придется ограничиться конечным подмножеством прямой. Будем рассматривать возмущение на интервале I : |x| < 1.

ПРИМЕР 1.1. Функция F(x) = x³ имеет вырожденную критическую точку 0. Возмущенная функция x³ + εxна рассматриваемом интервале I либо вообще не имеет критических точек, либо имеет две невырожденные критические точки (при −3 < ε < 0). Если же рассмотреть возмущение x³ + εx² то при |ε| < 3/2 на интервале I будет две невырожденные критические точки возмущенной функции.

ПРИМЕР 1.2. Функция F(x) = x⁴ имеет вырожденную критическую точку 0 (минимум). Возмущенная функция x⁴ +εx² ? также имеет единственную критическую точку 0 (минимум), если ε > 0, но при ε < 0 она имеет три критические точки, причем 0 является точкой не минимума, а максимума (локального), см. рис. 1.2.

Рис. 1.2 Функция F(x) = x⁴ (в центре) и ее возмущения x⁴ + εx² при ε> 0 (слева) и при ε < 0 (справа)
мы

ПРИМЕР 1.3. Функция F(x) = x² имеет невырожденную критическую точку 0. Можно показать, что, если возмущающее слагаемое достаточно мало (вместе со всеми своими производными), возмущение приведет лишь к небольшому перемещению критической точки.
Например, если перейти к функции x² + εx , то критическая точка переместится из x = 0 в x = −ε/2. Если взять x² + εx² с малым ε (достаточно |ε| < 1), то критическая точка вообще останется на месте.

Наконец, если взять возмущение x² + εx с малым ε (достаточно |ε| < 2/3), то в ε-окрестности точки х = 0 она по-прежнему будет оставаться единственной критической точкой возмущенной функции.

ЗАДАЧА 1.6.
1. Исследуйте возмущение критических точек из примеров 1.1 и 1.3 с помощью слагаемого, сколь угодно малого на всей вещественной прямой. Например, возьмите слагаемое .
2. Придумайте функцию одной переменной, критическая точка которой при сколь угодно малом возмущении распадается на n с невырожденных критических точек.
3. Исследуйте критические точки функций
F(x, y) = ax² + 2bxy + cy²

с различными наборами коэффициентов a, b, c и возмущения этих критических точек.
Причина, по которой невырожденные критические точки устойчивы, достаточно очевидна. Для наглядности приведем соответствующее рассуждение для функции двух переменных F(x, y).

В этом простейшем случае критические точки определяются как пересечения двух кривых, заданных уравнениями Fx(x, y) = 0 è Fy(x, y) = 0.

Дополнительное условие H 0 означает, что эти кривые пересекаются под ненулевым углом (или, как часто говорят, трансверсально) .Вообще, понятие трансверсальности относится не только к пересечению кривых, оно гораздо шире и является одним из фундаментальных понятий теории особенностей. Но когда речь идет о пересечении двух кривых на плоскости или любой двумерной поверхности, его можно воспринимать как синоним выражения «пересечение под ненулевым углом».

При малом (вместе во всеми производными) возмущении функции F кривые Fx = 0 и Fy = 0 немного перемещаются и деформируются, и точка их пересечения тоже может немного сместиться от своего исходного положения (рис. 1.3, слева).

Но при этом она не исчезнет и новых точек пересечения не возникнет. Отметим, что, если кривые пересекаются нетрансверсально, это утверждение не верно (рис. 1.3, справа).

Рис. 1.3 Слева: трансверсальное пересечение кривых устойчиво. Справа: нетрансверсальное пересечение неустойчиво, при малом возмущении может распасться на два (слева) или вообще исчезнуть (справа)

ЗАДАЧА 1.7. Проведите аналогичное рассуждение об устойчивости невырожденных критических точек в случае функций произвольного числа переменных.