10. Особенности отображений Rn -> Rn кратко

Привет, Вы узнаете о том , что такое особенности отображений rn -> rn, Разберем основные их виды и особенности использования. Еще будет много подробных примеров и описаний. Для того чтобы лучше понимать что такое особенности отображений rn -> rn , настоятельно рекомендую прочитать все из категории Теория особенностей и катастроф.

Рассмотрим естественное обобщение теоремы Уитни 0 складке и
сборке из предыдущего раздела. для отображений пространств произвольной (но одинаковой) размерности:
(ту): ВТ > В", у=(и,... №). (10.1)
Как и раньше, будем рассматривать росток отображения (10.1) в начале координат и считать, что }(0) = 0. Предположим, что начало
координат 0 является критической точкой коранга 1, т.е. гб ./+(0) = п.
Тогда (см. задачу 8.1) росток отображения (10.1) СК-эквивалентен
2=Р(т,у), =, ..., Ш = У, (10.2)
где Р(х, у) : В" > В некоторая гладкая функция, Р(0) = 0.
Рассмотрим последовательность особенностей (типов критических
точек), заданных следующими двумя условиями:
1. Функция Р имеет конечную кратность по переменной 5, т.е.
ЭР деЕ бек
2. Дифференциалы (или, что то же самое, градиенты)
[27 9#—1Е ава, „а 4
в точке 0 линейно независимы.
120
Критические точки отображения (10.2), удовлетворяющие двум 1 приведенным выше условиям, называются особенностями Морэна'.
ЗАМЕЧАНИЕ 10.1. В силу условия (10.3) в формуле (10.4) можно брать дифференциалы (градиенты) не по всем п + 1 переменным,
а только по набору 47...., У». С учетом этого нетрудно видеть, что
оба условия совместны лишь при и < п +1. Далее, разумеется, это
неравенство всегда будет предполагаться выполненным.
ЗАМЕЧАНИЕ 10.2. При выполнении двух перечисленных выше
условий множество 5 критических точек отображения / вида (10.2),
задающееся уравнением Р,(т,у) = 0, является гладкой гиперповерхностью в пространстве-прообразе. Однако множество критических
значений Г(5) является гладкой гиперповерхностью в пространствеобразе лишь при д = Т, а при д > 1 оно имеет нерегулярные точки
(см. задачу 11.7).
Подсчитаем коразмерности особенностей Морэна при разных и, а
также коразмерности вырождений, не попавших в эту последовательность. При и = 1 коразмерность Морэна равна 1 и набор (10.4) пуст,
поэтому при д = 1 других критических точек не существует.
При и = 2 коразмерность Морэна равна 2 и набор (10.4) состоит
из одного вектора, поэтому коразмерность множества, точек, не удовлетворяющих второму условию, равна 2 + п (должны обратиться в
нуль все производные Р,,.,...,Р»у,). Об этом говорит сайт https://intellect.icu . Аналогично, для произвольного
и коразмерность Морэна равна. 4, а с помощью формулы произведения
корангов (4.3), в которой нужно взять т = й- 1 г=р- 2, получаем, что коразмерность множества точек, не удовлетворяющих второму
условию, равна
и+(п-г)(т- г) = и+®-(и-2))(и-П-(и-2)) =2 +в.
Таким образом, особенности Морэна включают все типы критических
точек ростков отображений коранга 1 до коразмерности п 21 включительно и, следовательно, охватывают весь список устойчивых ростков
отображений В" — Е”.
Задача, этого раздела получить СК-нормальные формы ростков
отображений с особенностями Морэна. Нетрудно заметить, что при
п = 1 особенности Морзна — складка (и = 1) и сборка (и = 2), и
'Вегпаг4 Могш (1931-2018) — французский математик. Результаты, излагаемые
в этом разделе, опубликованы им в работе, русский перевод которой содержится в
сборнике; Особенности дифференцируемых отображений (Москва: Мир, 1968).
121
соответствующие нормальные формы даются в теореме 9.1 (Уитни).
Обобщение этой теоремы на случай произвольных я и д < п+1 состоит
в следующем.
ТЕОРЕМА 10.1 (Морэн). Росток гладкого отображения (10.1) в
критической точке Морэна кратности и СК.-эквивалентен ростку
ы—1
= а + Уре М ЕЕ (10.5)
1=1
Доклдзлтевльство Теоремы 10.1 для и = 1 дословно повторяет доказательство теоремы Уитни для складки. Доказательство для и > 2
проводится по той же схеме, что и доказательство теоремы Уитни для
сборки. Наметим основные пункты соответствующего рассуждения.
ЗАДАЧА 10.1. Примените ПТМ к ростку отображения (10.1), заданному формулой
и-1
= (ту) = ++ ар ь —. (10.6)
1 = М, -.., Чт = Ут,
где 42(у) произвольная гладкая функция, (0) = 0.
Эта задача многомерное обобщение задачи 7.14 и ее решение аналогично. В результате мы установим, что кратность ростка отображения (10.6) равна и +1 и его локальная алгебра О; = В [| / (=)
алгебра срезанных многочленов ниже степени К - 1 с образующими
ел (2, у) = е2(а, у) =, ..., еими(,у) = 2.
Отсюда, согласно ПТМ, для любого ростка функции й#(5,у) следует
представление
№(х, у) т ао(}", у) В (Г, у) а жа), (10.7)
где функция ]1(х, у) взята из формулы (10.6).
ЗАДАЧА 10.2. Установите представление (10.7) для функции
2 Лау) = ое, (в + чу) + аи, 3), = (108)
$=1
где (т, у) и (у) - гладкие функции, (0) О и (0) = 0.
122
Это обобщение задачи 7.15, и ее решение совершенно аналогично.
Дальнейшие рассуждения полностью повторяют доказательство теоремы Уитни для сборки.
ШАГ 1. Прежде всего, приведем росток функции Е(т, у) к виду
н—1 Р(в,у) = ф(е,у) (2 + ау) + Ут а" "В, _Ку))
1=1
с некоторыми функциями ф, 4, В1,... Вип, где (0) = 0, 4(0) =Ои
все 0;(0) = 0. Это делается с помощью теоремы деления и точно тех
же приемов, которые были использованы на, первом шаге при лоаказательстве теоремы Уитни для сборки.
Из второго условия в определении особенностей Морэна следует,
что дифференциалы 481,...48„—1 в нуле линейно независимы. Следовательно, можно сделать «правую» замену переменных у; +? 0;(у)
и одновременно «левую» замену переменных и; => В; (и). В результате этой пары замен росток нашего отображения примет вид (10.2) с
функцией Р(т, у), имеющей вид (10.8).
ШАг 2. Запишем представление (10.7) для функции (т, у) = 21.
При этом для удобства заменим а; на —а;:
хи 1 + ав (Е, у) + та (Е, у) + --. + На,(Е, у) = 0. (10.9)
Положим а = а„/(р + 1). Нетрудно показать, что тогда найдутся функции 69,...,6‚_1, являющиеся многочленами от @0,...,ар, для
которых выполнено тождество
(та) 11 + (Е, 3) + (= + а) (ЕР, у) + ---
+ (са) (Ку) =0. (10.10)
Для доказаглельства эгого утверждения нужно последовательно сравнивать коэффициенты при всех мономах т жР,..., 29 в формулах
(10.9) и (10.10). Равенства коэффициентов при мономах 21, хе выполнены автоматически. Из равенства для монома ти-1 следует, что
Продолжая далее, получаем, что
В = Чи: — Р./(аи-еаь. .. ‚ аи), Я = 1. 3,
123
где Р; —- многочлены, конкретный вид которых нам не важен.
Из представления (10.10) следует, что следующая пара замен
$=х-+а(Е(т, у), у), (10.11)
Я — Ы(Р(х, у), у), у Яр-1 ИВ 6-1 (Р(х, у), у), |
= —бо (2, м), _ (10.12) ил = Ь. (=, 1), .:-з Ши 1 = В —1(2, 1)
приводит росток нашего отображения к нормальной форме (10.5).
ЗАДАЧА 10.3 (ШАг 3). Для завершения доказательства теоремы 10.1 остается убедиться, что обе замены (10.11) и (10.12) являются
локальными диффеоморфизмами. Выполните соответствующую проверку самостоятельно. [|

Исследование, описанное в статье про особенности отображений rn -> rn, подчеркивает ее значимость в современном мире. Надеюсь, что теперь ты понял что такое особенности отображений rn -> rn и для чего все это нужно, а если не понял, или есть замечания, то не стесняйся, пиши или спрашивай в комментариях, с удовольствием отвечу. Для того чтобы глубже понять настоятельно рекомендую изучить всю информацию из категории Теория особенностей и катастроф