12. Доказательство теоремы деления

Привет, Вы узнаете о том , что такое 12. Доказательство теоремы деления, Разберем основные их виды и особенности использования. Еще будет много подробных примеров и описаний. Для того чтобы лучше понимать что такое 12. Доказательство теоремы деления , настоятельно рекомендую прочитать все из категории Теория особенностей и катастроф.

Мы приведем доказательство теоремы 2.1 для аналитических
функций. При этом будем рассматривать аналитические функции
не вещественных, а комплексных переменных. Переход в комплексную область, как часто бывает, очень упрощает рассуждения, но
при этом не ограничивает полученные результаты: представления для
вещественно-аналитических функций получаются из соответствующих представлений комплексно-аналитических (мы будем далее называть их голоморфными) ограничением на вещественную ось.
Пусть Р(=, у) : Сх С” С голоморфная функция, имеющая в
начале координат кратность д < со поди С(2, у) : Сх С" + С
произвольная голоморфная функция. Определим также функции
&—1 Рио) == + У а;21, а= (00,...,@к-1) Е ©*. (12.1)
1=0
ЛЕММА 12.1. Для любых функций С (2, у) и Р‚(2, а} существует
окрестность нуля в пространстве С х С” х СА, в которой выполнено
представление
С(2, у) — 9(=, у, а) Рь(2, а) нЕ г(2, У, а), (12.2)
1
а Ут; (у, а) 27, (12.3)
7=0
где (2, у, а) : Сх СТ х СЕ - С иг, (у, а) : СТх С* - С - некоторые
голоморфные функции.
140
Доказа„тельСствою. Очевидно, что
Рь(С, о) — Риз, а) = (6-2 )Усбад*,
где 3;((С, &) : Сх С* + С голоморфные функции. Отсюда
РЕ; а) _ Рь(2, а)
се Я рые
и, следовательно,
(Су) _ С(С,у) РС а) _
2 а -- Рь(б, а)
_ @(ФСу) (РЕ, а) вн |
Вы С +=) (12.4)
На комплексной плоскости переменной С выберем замкнутый контур Г, обходящий вокруг фиксированной точки 5. Для определенности
можно считать, что Г это окружность радиуса р с центром &, те.
состоит из точек © = #+ рей, где{ мнимая единица, # вещественный параметр. Воспользуемся известной из комплексного анализа интегральной формулой Коши! и с учетом (12.4) получаем
С(2, у) = = / т У 45 = Ра. = Р, а 2) и Г
ЕЕ (Са) 85 суда = Рь(2, а)а(2, у, а) + т(2, у, а),
где г(2, у, @®) имеет вид, указанный в (12.3), и функции
_ (Су) пота ое“ (С) и пра [ БИ (6,0) 46. тт) Ру,а)
1Незнакомый с этой теоремой читатель может найти ее в любом приличном
учебнике по теории функций комплексного переменного.
141
Для завершения доказательства остается показать, что все функции в (12.5) являются голоморфными в некоторой окрестности начала,
координат пространства С х С” х СХ. Об этом говорит сайт https://intellect.icu . Очевидно, что это условие будет
выполнено, если все интегралы в (12.5) берутся по контуру Г, который
не содержит нулей функции Рь(С, <).
Заметим, что при а = 0 многочлен Р,(С, а) равен С® и, следовательно, имеет единственный корень С = 0 кратности К. Поскольку
корни многочлена, Р;. (С, @) непрерывно зависят от ©, для любого = > 0
найдется такое д > 0, что все корни Р,(С, @) при |а| < д содержатся
в =-окрестности точки С = 0. Выберем = таким образом, чтобы было
выполнено неравенствор > 2=, и соответствующее значение д. Тогда.
для всех (2,а), для которых выполнено |2| <= и |а| < 9, для точек
С = =+ ре" выполнено неравенство |(| > р-= > Е, показывающее, что
все корни многочлена Р». (С, @®) находятся строго внутри окружности Г.
Таким образом, мы доказали представление (12.3) для всех (2, @),
для которых |2| < Еи |а| <9. |
По определению кратности, для Р(2,у) выполнено (2.2) и, следовательно, для функции Р(2,0) выполнено (2.1). Отсюда следует представление
Е(2,0) = 2" (2), (0) #0, (12.6)
с некоторой голоморфной функцией Ро (см. также задалу 1.2).
ТЕОРЕМА 12.1. Для любых функций Е(2, у) и С(2, у), обладаюшит указанными выше свойствами, существует окрестность нуля
в пространстве С х С", в которой выполнено представление
(=, у) = 9(2,у)Е(2,у) +т(2,у), т(2,у) = У ту), = (Л) 7—0
где 4(2, у): Сх С" + Сиа,; (у): С" >С голоморфные функции.
ДОоклдзлательство. Применим к функциям Р(2, у) и С(2,у) представление (12.3) с одинаковым Ру (2, а), = и + 1. Получаем
Е(2, у) — ЧЕ(2, у, а) Рича (2, ©) + Г(>, у, @),
(г.у, а) = У (у, а),
1=0
(12.8)
С (2, у) = 96(2, у, а)Ри+и(2, а) + 9(2, у, а),
Гб 9(2, у, а) = У `` 9; (и, а),
1=0
(12.9)
142
где аг, ас : СхС" хСР+1 Сир, 9; : СПхСи+1 -, С - голоморфные
функции. Из (12.1) и (12.6) следует, что все };(0) = О и 920) # 0.
В окрестности начала, координат пространства С” х СИ+1 рассмотрим систему уравнений
(у, а) =0,..., (у, а) =0 (12.10)
относительно неизвестных © = (@0,...,@и). По теореме о неявной
функции для (однозначной) разрешимости системы (12.10) относительно © достаточно показать, что матрица Якоби
9} Е НИ | (м) а
невырождена в начале координат. Для этого подставим у = Ов (12.8),
в результате чего с учетом (12.6) получим тождество
ЧЕ(>, 0, о) Рича (х, а) т Г(2, 0, <) т 2 Ро (2).
Дифференцируя последнее тождество по 01, [=0,..., д, и затем подставляя а = 0, получаем тождество по 2:
ОЧЕ Ра.
‚0,0 и» 0,0 | —^ 0,0 1 =. 12.12 Зы: (20,0) 2“ + 4Е(2,0,0)2 + >. дог )= ( )
Зафиксируем индекс [ Е {0,...,#} и рассмотрим коэффициенты
при мономах 57 для всех 71 < [. Очевидно, что для любого 7 < { моном
27 встречается только в последней сумме в (12.12), а для 1 = [к моному
из последней суммы прибавляется еще моном др (0). Таким образом,
из (12.12) находим:
ЕЙ олевк Эт ыы
Это означает, что матрица (12.11) является треугольной и все элементы на ее главной диагонали равны —4р(0) = 0. Следовательно, матрица (12.11) невырождена, и по теореме о неявной функции в окрестности начала координат существуют такое голоморфное отображение
ф: С” + СЁ, что (0) =0и {; (у, 4(у)) = 0 для всех 71 Е {0,..., п}.
Тождества (12.8), (12.9) справедливы для всех (2,у@), поэтому
можно подставить в них а = (у). Тогда из (12.8) с учетом 4=(0} 70
получаем:
Е(2, у)
9е(2,у,%(у))` Рут, а) = (12.13)
143
Используя (12.13), из (12.9) получаем
С (=, у) = ас(2, у, 4(у)) Ри (=, 4(у)) + 9(2,у,4(у)) =
а а(>, У, 4(у)) Е
9е(2,у,4(у)) (2, у) + 9(2, у, 4(и)) = а(, у), у) + (2,5),
где
_ 4а(2, у, 4(у)) Абеля ИА Щ о. (2,9) = ру, мы) = и гу(у) = 95 (и,4()).
Теорема доказана. |
ЗАДАЧА 12.1. Докажите, что функции 9(2, у} иг(2, 9) в представлении (12.7) единственны, то есть для каждой пары Р, С' они определяются однозначно.
Доклдзат„теЛЬСТВО ТЕОРЕМЫ 2.1. Теорема деления 2.1 получается
как простое следствие теоремы 12.1. Действительно, запишем представление (12.7) для функции С(2,у) = 2%;
и
А 9(2, у)Е (=, у) + г(2, у), (=, у) — У т;(у)7. (12.14) 1=0
Приравнивая коэффициенты при мономах 2"+1 в левой и правой частях равенства (12.14), с учетом (12.6) получаем, что 4(0) = 0. Перенесем слагаемое г(2,/) из правой в левую часть равенства (12.14),
сделаем замену коэффициентов г';(у} = —а„_;(у) и наконец умножим
обе части получившегося равенства на (2, у) = 1/9(2, у). В результате
получаем требуемое представление (2.3). |.
ЗАМЕЧАНИЕ 12.1. Лемма 12.1 и теорема 12.1 могут быть перенесены на класс гладких вещественных функций. Для этого требуются
дополнительные усилия и специальная техника, подобная изложенной
нами в разделе 5.3. Читатель может найти подробности в [9, 15].

Исследование, описанное в статье про 12. Доказательство теоремы деления, подчеркивает ее значимость в современном мире. Надеюсь, что теперь ты понял что такое 12. Доказательство теоремы деления и для чего все это нужно, а если не понял, или есть замечания, то не стесняйся, пиши или спрашивай в комментариях, с удовольствием отвечу. Для того чтобы глубже понять настоятельно рекомендую изучить всю информацию из категории Теория особенностей и катастроф