5.1. Формальные степенные ряды кратко

Привет, Вы узнаете о том , что такое формальные ряды , Разберем основные их виды и особенности использования. Еще будет много подробных примеров и описаний. Для того чтобы лучше понимать что такое формальные ряды , настоятельно рекомендую прочитать все из категории Теория особенностей и катастроф.

В УгОм разделе мы введем понятие формального степенного ряда
(слово «степенной» часто будет опускаться) удобного инструмента.
для исследования особенностей функций, отображений, дифференциальных уравнений и многих других «непрерывных» объектов.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 5.1. Формальным степенным рядом от переменных 11,...,Тр над алгебраическим полем К называется ряд, т.е. бесконечная сумма
Ск
„ТВТ Тр Е > бт ... пр 21 р (5.1)
м-р =0
где а...» элементы поля К. и п1,....,П»› целые неотрицательные
числа.
Заметим, что алгебраическое поле само по себе не содержит понятия сходимости его элементов, поэтому без дополнительных предположений вопрос о сходимости такого ряда просто не возникает, и
ряд (5.1) рассматривается как формальное алгебраическое выражение.
Для наших целей интерес представляет ситуация, когда К = В поле
вещественных чисел рассматривается со стандартной сходимостью,
определенной стандартной евклидовой структурой (скалярным произведением). В этом случае слово «формальный» означает, что ряд (5.1)
может быть расходящимся во всех точках (за исключением начала координат, в которой степенной ряд сходится всегда).
Можно определить сложение и умножение формальных рядов по
тому же правилу, что и для сходящихся рядов (и это даже проще,
50
так как не нужно заботиться о сходимости). Об этом говорит сайт https://intellect.icu . В результате мы получим
коммутативное кольцо и даже алгебру формальных степенных рядов
над полем В. Она обозначается символом
В[[11,...,2р||.
Двойные квадратные скобки служат для отличия от алгебры многочленов. Кроме того, еще можно подставлять формальные ряды друг в
друга и делить их друг на друга. Последняя операция определена не
всегда, точнее, ее результат не всегда является формальным степенным рядом (подобно тому, как отношение двух целых чисел не всегда,
является целым числом). Формальные ряды можно также формально
дифференцировать и интегрировать.
Наконец, на множестве В [|[т1,...,2р|] можно ввести топологаио, которая определяет в нем понятие сходимости. Мы не будем углубляться в этот вопрос, так как он не нужен для дальнейшего. Заинтересованного читателя отсылаем к книге [29], в которой формальные ряды
также называются производящими функциями (последовательностей
своих коэффициентов).
Формальные ряды связаны с гладкими функциями совершенно естественным образом. Если выбрать произвольную гладкую
Е(1т1,..., р) и взять ее ряд Тейлора в точке 0, то мы получим, вообще говоря, именно формальный ряд. Как известно, он может либо
расходится, либо сходиться к некоторой аналитической функции, вообще говоря, не совпадающей с исходной функцией Р (например, для
построенной ниже функции (5.3)).
Естественно задать и обратный вопрос. Пусть нам задан произвольный формальный ряд, существует ли такая гладкая функция, рядом
Тейлора которой он является? Ответ на этот вопрос дает лемма Бореля Уитни! (лемма 5.1), которую мы докажем.
Введем еще одну разновидность формальных рядов: формальные
степенные ряды по одной из переменных, в то время как остальные
переменные играют роль параметров, от которых зависят коэффициенты ряда это уже «настоящие» функции. Чтобы подчеркнуть это
обстоятельство, Такие ряды часто называют полуформальными, но мы
будем тоже называть их формальными, поскольку это не вызывает путанипцы.
'ЕтИе Воге! (1871-1956) - французский математик. Навег У/№Ипеу (1907-
1989) - американский математик, внесший большой вклад в дифференциальную
топологию и теорию особенностей.
51
Именно, пусть (т, у1,...,ут) - набор переменных с одной «выделенной» переменной х. Обозначим у = (у1,..., Уж). Рассмотрим формальный степенной ряд от переменной т:
У а»(у) =", (5.2)
в=0
в котором коэффициенты а„(у}) гладкие функции. Сложение и умножение формальных рядов (5.2), а также другие операции над ними
определяются аналогично предыдущему.
Для простоты формулировок приводимых ниже результатов мы будем считать функции а (9) : В" - Е гладкими на всем пространстве.

Исследование, описанное в статье про формальные ряды , подчеркивает ее значимость в современном мире. Надеюсь, что теперь ты понял что такое формальные ряды и для чего все это нужно, а если не понял, или есть замечания, то не стесняйся, пиши или спрашивай в комментариях, с удовольствием отвечу. Для того чтобы глубже понять настоятельно рекомендую изучить всю информацию из категории Теория особенностей и катастроф