Лекция
Привет, Вы узнаете о том , что такое кратность функции по одной переменной, Разберем основные их виды и особенности использования. Еще будет много подробных примеров и описаний. Для того чтобы лучше понимать что такое кратность функции по одной переменной , настоятельно рекомендую прочитать все из категории Теория особенностей и катастроф.
Одним из ключевых элементов теории особенностей является понятие кратности функции или отображения в точке.
Сейчас мы определим ее в простейшем случае для функций одной переменной. Общее понятие кратности будет введено в разделе 7.
кратность функции в корне и кратность критической точки — это разные понятия, хотя оба связаны с анализом поведения функции.
| Понятие | Что означает | Где применяется |
|---|---|---|
| Кратность корня | Сколько раз корень повторяется в выражении функции f(x)=(x−a)k⋅g(x) | При анализе нулей функции
|
| Кратность критической точки | Сколько производных подряд равны нулю в точке x=ax = a, прежде чем появляется ненулевая производная |
При анализе экстремумов и формы графика
|
Пусть 
гладкая функция и 0 ее критическая точка, т.е .f'(0) = 0 Кратностью функции f(x) в точке 0 называется порядок нуля функции f(x)−f(0), т.е. порядок касания графиков y = f(x) и y = f(0).
Это натуральное число µ, определенное условием
В случае µ = 1 критическая точка называется «невырожденной» (очевидно, что это согласуется с данным выше определением невырожденной точки).
Положим µ = 0 для некритических точек.
Если же натуральное число µ, удовлетворяющее условию (2.1), не существует (т.е. производные всех порядков в точке 0 обращаются в нуль), то полагают µ = ∞. В этом случае функция f(x) − f(0) назыввается «бесконечно плоской» в точке 0.
Критические точки бесконечной кратности могут быть не только у постоянных функций, читателю предлагается вспомнить курс математического анализа (например, учебник [22|) или привести такие примеры самостоятельно.
Далее мы будем иметь дело в основном с точками конечной кратности.
То, что в данных определениях в качестве рассматриваемой точки мы взяли начало координат, не играет никакой роли, и все определения без изменений переносятся на случай произвольной точки.
ЗАДАЧА 2.1. Вычислите кратность функции
в точке х = 0, при условии, что среди коэффициентов многочлена P(x) могут быть нулевые (включая an), но все они не равны нулю одновременно.
Пусть 
- гладкая функция от m + 1 переменных.
Будем считать, что 
играет роль «главной переменной» и 
— «параметры».
Фиксируя значение у = 0, мы получим функцию f(x) от одной переменной x для которой выше было определено понятие кратности.
Кратность µ функции f(x) в точке 0 называется кратностью функции F(x, y) по переменной x в 0, она определяется следующим условием:
Нетрудно видеть, что, записав представление (1.5) с числом p = µ + 1 , будем иметь fi(0) = 0 для всех iи b 
.
ЗАМЕЧАНИЕ 2.1. Некоторые авторы используют другую терминологию: если выполнено условие (2.2), то говорят, что функция Е(т, у) является (п + 1)-регулярной в точке 0 по переменной т.
Исследование, описанное в статье про кратность функции по одной переменной, подчеркивает ее значимость в современном мире. Надеюсь, что теперь ты понял что такое кратность функции по одной переменной и для чего все это нужно, а если не понял, или есть замечания, то не стесняйся, пиши или спрашивай в комментариях, с удовольствием отвечу. Для того чтобы глубже понять настоятельно рекомендую изучить всю информацию из категории Теория особенностей и катастроф
Из статьи мы узнали кратко, но содержательно про кратность функции по одной переменной
Комментарии
Оставить комментарий
Теория особенностей и катастроф
Термины: Теория особенностей и катастроф