Привет, Вы узнаете о том , что такое критические точки функций, Разберем основные их виды и особенности использования. Еще будет много подробных примеров и описаний. Для того чтобы лучше понимать что такое
критические точки функций, коранг вырождения, коразмерность вырождения , настоятельно рекомендую прочитать все из категории Теория особенностей и катастроф.
Пусть Р(т1,..., ть): В" - В - гладкая функция, имеющая начало
координат 0 своей критической точкой. Обозначим через Н матрицугессиан функции РГ в точке 0 (см. замечание 1.4). Напомним, что
критическая точка 0 называется невыроэюденной, если ранг матрицы
Н равен п (т.е. максимально возможный). Ранее мы доказали лемму Морса: в подходящих локальных координатах росток функции в
невырожденной критической точке приводится к квадратичной форме (1.8). В этом разделе мы исследуем вырожденные критические точки. Нашей целью является приведение ростков функций в таких точках к наиболее простой нормальной форме.
4.1. Коранг и
коразмерность вырождения
«Степень вырожденности» критической точки естественно измерять тем, насколько ранг матицы Н в ней меньше числа п. Соответствующее число называется корангом. Именно, критическая точка, в
которой т Н = г, называется точкой коранга п — г. Также часто говорят, что ранг гессиана в точке 0 «падает на п — т».
Очевидно, что коранг можно определить и в более общей ситуации,
когда Н произвольная п х п матрица, не обязательно симметрическая. Более того, понятие коранга имеет смысл и для произвольной
т х п матрицы. В этом случае корангом матрицы А обычно называют
величину п!1{7, 7} — г, где г = тр А, показывающей, насколько ранг
данной матрицы А отличается от максимально возможного ранга для
матрицы данного размера. Кроме того, иногда бывает нужно исполь58
зовать обе величины п—ги т—г, их тоже называют корангами данной
матрицы (см., например, задачу 4.1).
В теории особенностей важную роль играет понятие «коразмерности вырождения». Это понятие применяется к объектам разных
классов (функциям, отображениям, векторным полям, дифференциальным уравнениям и др.) и позволяет определять, насколько вырожление данного типа является типичным Или, наоборот, экзотическим
в этом классе. Суть его состоит в следующем.
Каждый тип вырождения задается некоторым (конечным или бесконечным ) числом различных условий типа равенств и/ или неравенств. Коразмерность вырождения (обозначение: сода) это число
различных условий типа равенств, определяющих вырождение данного типа (неравенства при этом не учитываются). Чем больше коразмерность вырождения, тем реже вырождение этого типа встречается
у объектов общего положения (типичных объектов рассматриваемого
класса). Именно, если М с В" — подмножество, состоящее из вырожленных точек определенного типа, то имеет место равенство
Чиа М + соапа М = п. (4.1)
Проиллюстрируем сказанное на примере критических точек гладких функций п переменных. Невырожденная критическая точка функции Ё(7т1,..., 2.) определяется п равенствами
#:, =0, ..., ВР, =0 (4.2)
и неравенством 4ее НЫ = 0, следовательно, множество всех критических
точек имеет коразмерность п. Об этом говорит сайт https://intellect.icu . Вырожденная критическая точка задается п + 1 условиями типа равенств: к равенствам (4.2) добавляется
еще 4ее ЯН = 0.
Множество всех критических точек и множество невырожденных
критических точек имеют коразмерность п. и, согласно формуле (4.1),
размерность п — п, = 0. Это означает, что критические точки функции
общего положения невырождены и изолированы. Множество вырожденных критических точек имеет коразмерность ®-+1 и, следовательно,
размерность п — (п + 1) = —1. Отрицательная размерность означает,
что вырожденные критические точки неустойчивы относительно сколь
угодно малых возмущений функции и, следовательно, у функций о06-
щего положения они не встречаются.
Разумеется, нетрудно привести примеры функций с вырожденными критическим точками. Например, множество критических точек
39
функций Р(т1,12) = (т! + т2) задается одним равенством ]’ = 0.
Для каждого значения и, такого, что }"(и) = 0, на плоскости (51,12)
имеется прямая 21 +12 = и, целиком состоящая из критических точек.
Наконец, для постоянных функций вообще все точки плоскости являются критическими. Никакого противоречия здесь нет: в приведенных
примерах использовались функции, обладающие тем или иным специфическим свойством, которое нарушается при сколь угодно малом возмущении. Это и означает, что выбранные нами функции не относятся
к случаю общего положения.
ЗАДАЧА 4.1. Докажите, что в пространстве 7% Хх п матриц множество матриц ранга. г имеет коразмерность
со4иа = (т-—г)(п-т), О<г< шщ{п,т}. (4.3)
Эта формула называется «формулой произведения корангов», ее доказательство можно найти в книге в (раздел 2.2 «Стратификация
линейных операторов»). Но лучше доказать ее самостоятельно.
ПрРиИмМЕР 4.1. В шестимерном пространстве 2 х 3 матриц
А — (= @12 из)
021 022 923
рассмотрим множества №0 = {5 А = 0} и М, = {16 А = 1}. Формула произведения корангов (4.3) дает для них следующий результат:
соапиа Мо = (2 — 0)(3 — 0) = би сода М, = (2 -1)(3-1) =2. Первый
результат очевиден: условие ге А = 0 означает равенство нулю всех
элементов матрицы А, это дает шесть независимых уравнений.
Второй результат нуждается в комментарии. Условие те А = 1 означает равенство нулю всех трех миноров матрицы А, это дает не два, а
три уравнения. На самом деле, из этих трех уравнений независимыми
являются только два, а третье является следствием этих двух. Чтобы
убедиться в этом, обозначим через А; минор второго порядка, полученный вычеркиванием 1-го столбца матрицы А. Тогда имеют место
линейные соотношения
а11 А! — а12А2 + а1з3Аз =0, а21А, - а22А> + аз Аз = 0,
в справедливости которых нетрудно убедиться разными способами
(например, можно вспомнить формулу для векторного произведения).
Так как у матрицы А Е М1 хотя бы один элемент отличен от нуля, по
меньшей мере одно из этих равенств позволяет (локально) выразить
хотя бы один минор А; в виде линейной комбинации двух других.
40
ЗАДАЧА 4.2. Докажите, что в пространстве ростков гладких
функций от п переменных множество ростков, имеющих критическую
точку коранга А = п — г, имеет коразмерность
Е)
сост Чт = ть + р) ‚ Око м. (4.4)
Указание. Первое слагаемое п, очевидно, получается вследствие
условий (4.2). Остается показать, что в пространстве всех симметрических матриц порядка п х п множество матриц коранга К имеет коразмерность КиО. Доказательство этого утверждения проводится по
схеме, аналогичной доказательству формулы произведения корангов
(4.3). Разница между формулами (4.3) и (4.4) лишь в том, что в первом
случае берутся любые т х п матрицы, а во втором — симметрические
п, х п матрицы,
Несмотря на то, что
критические точки функций ЁР(т1,..., тп), коразмерности п + А неустойчивы и, следовательно, не встречаются у
функций общего положения, их исследование отнюдь не лишено смысла. Такие критические точки встречаются у семейств функций, зависящих от Ё параметров. В классе семейств функций, зависящих от А
(или более) параметров, они являются устойчивыми: если помощью
малого возмущения уничтожить такую точку у одной функции данного семейства, критическая точка рассматриваемого типа появится
у другой функции семейства. Например, из формулы (4.4) следует,
что критические точки коранга 1 (2) имеют коразмерность п +1 (соответственно, п + 3). Поэтому они устойчивы в семействах функций,
зависящих от не менее чем одного (соответственно, трех) вещественных параметров.
ПРИМЕР 4.2. Рассмотрим семейство функций
Е(т, В, Е) — т — тр”, (4.5)
зависящих от вещественного параметра р. При каждом фиксированном значении р функция РЁ имеет ровно одну критическую точку т = р,
которая невырождена, если и только если р = 0. Вырожденную критическую точку функции Р(т,0) можно превратить в невырожденную,
например, с помощью возмущения Ё(1, 0) + т со сколь угодно малым
|| 52 0. Если же применить это возмущение ко всему семейству, т.е.
рассмотреть семейство Р(т,р,=) = ны — жрз + =Ет, то вырожденная кри-
. 1
тическая точка т = 0 появится при значении р = Ез. Таким образом,
41
своим возмущением мы лишь переместили вырожденную критическую
точку от одного значения параметра к другому.
Нетрудно видеть, что так же обстоит дело и с любым другим малым
возмущением семейства (4.5). Уравнения ЁР,(х,р) =Ои Е... (т,р) =0
определяют на плоскости (т, р) прямые 1 =рих = 0, трансверсально
пересекающиеся в нуле. Следовательно, при малом возмущении семейства (4.5) уравнения ЁР,(1т,р) =Ои ЁР,.(т,р) = 0 определяют, вообще
говоря, некоторые кривые, трансверсально пересекающиеся в некоторой точке, близкой к нулю это и есть новая вырожденная критическая точка.
Представление (1.9) из задачи 1.3 показывает, что для того, чтобы
получить нормальные формы ростков функций п переменных в вырожденных критических точках коранга п — т, достаточно получить
нормальные формы ростков 2-плоских функций от п — г переменных:
Е(т1,. о Жьь: Уи) = отаа +. + а, т2 + Гал... ив), (4.6)
где а; = Ти / - 2-плоская в 0 функция п — г переменных.
В этом разделе мы исследуем вырождленные критические точки
функций коранга 1 и 2. При этом для удобства мы всегда будем считать, что рассматриваемая критическая точка начало координат 0
и значение функции в точке 0 равно нулю. Общий случай, очевидно,
получается из данного сдвигом в пространстве аргументов и прибавлением к правым частям (4.6), (4.7), (4.16) константы Ё(0).
Исследование, описанное в статье про критические точки функций, подчеркивает ее значимость в современном мире. Надеюсь, что теперь ты понял что такое критические точки функций, коранг вырождения, коразмерность вырождения
и для чего все это нужно, а если не понял, или есть замечания,
то не стесняйся, пиши или спрашивай в комментариях, с удовольствием отвечу. Для того чтобы глубже понять настоятельно рекомендую изучить всю информацию из категории
Теория особенностей и катастроф
Комментарии
Оставить комментарий
Теория особенностей и катастроф
Термины: Теория особенностей и катастроф