4.2. Критические точки коранга 1 и 2

Привет, Вы узнаете о том , что такое 4.2. Критические точки коранга 1 и 2, Разберем основные их виды и особенности использования. Еще будет много подробных примеров и описаний. Для того чтобы лучше понимать что такое 4.2. Критические точки коранга 1 и 2 , настоятельно рекомендую прочитать все из категории Теория особенностей и катастроф.

4.2. Критические точки коранга 1
Начнем с самых «наименее вырожденных» критических точек —
точек коранга 1. В этом случае 2-плоская функция } в представлении (4.6) зависит лишь от одной переменной з/, которую будем далее
обозначать просто у, и формула (4.6) с учетом представления (1.5) из
задачи 1.2 сразу же дает следующий результат.
Если кратность функции /(у) в точке 0 конечна (обозначим ее ри),
то существуют гладкие координаты, в которых росток Е имеет вид
ЕР(т1,... Хи} = 17 +... + @и—122 | 1 а =-. (4.7)
Критическая точка коранга. 1 с нормальной формой (4.7) называется
особенностью типа А». Заметим, что если число р + 1 нечетное, то
знак = в формуле (4.7) можно заменить на плюс. Но если р + 1 четно,
то этот знак — инвариант.
42
4.3. Критические точки коранга. 2
В случае коранга 2 представление (4.6) содержит функцию {от
двух переменных. Следовательно, наша задача сводится к тому, чтобы привести к нормальной форме росток 2-плоской функции от двух
переменных, которые далее для простоты мы будем обозначать т, у.
Итак, пусть /(т,у): Е? + В 2-плоская в точке 0 функция:
(2, у) = аох* + алх?у + азту? + азу” + 9(т, у), (4.8)
где р(т,у) функция, 3-плоская в 0.
Начнем со случая ф(т, у) = 0, т.е. когда }(х,у) однородный многочлен третьей степени:
Р(т, у) = ао2* + аля? у + азту? + азуз. (4.9)
Эта задача решается средствами линейной алгебры. Предположим,
что /(т,у) = 0. Тогда без ограничения общности далее будем считать,
что @0 = 0 (см. следующую задачу).
ЗАДАЧА 4.3. Докажите, что с помощью подходящей линейной
замены у =} Ах + у многочлен }{(т, у) = а1т?у + а2ту? = 0 приводится
к виду (4.9) с коэффициентом ао = 0.
Однородный многочлен однозначно, с точностью до умножения на,
ненулевой постоянный сомножитель, задается своим множеством нулевого уровня: /(т,у) = 0, состоящим из конечного числа прямых,
проходящих через начало координат. В частности, множество нулевого уровня многочлена (4.9) может состоять из одной, двух или трех
прямых, проходящих через 0. Эти прямые могут быть найдены следующим образом. В силу условия а0 5% 0 прямая у = 0 не может
содержаться во множестве {(т, у) = 0. Поэтому, разделив }(т, у) на 3
и обозначив # = т/у, мы получим многочлен
Р(® — ао -+ а? + а + аз, =. (4.10)
у
ЗАМЕЧАНИЕ 4.1. Для читателя, знакомого с азами проективной
геометрии, заметим, что переход от пары переменных т, к переменной # это проективизация плоскости. Именно, т: у это однородные координаты, а # - неоднородная координата на проективной прямой, полученной проективизацией плоскости переменных (ту). Все
возможные прямые на плоскости, проходящие через 0, получаются,
43
когда. # пробегает все вещественные значения и со. При этом значение
+ = со соответствует прямой у = 0. В случае 040 5 0 прямая у =0
заведомо не содержится во множестве нулевого уровня, и достаточно
рассматривать лишь конечные значения $.
Таким образом, прямые, составляющие множество нулевого уровня однородного многочлена (4.9), соответствуют вещественным корням кубического многочлена (4.10). Нужно выделить четыре случая,
приведенные в таблице. Здесь корни &; и +; при { > 7 считаются различными, повторение корня соответствует его кратности.
случай | корни многочлена Р(Ё | пример многочлена {(т, у)

ЗАДАЧА 4.4. Докажите, что любые два многочлена вида (4.9),
относящиеся к одной строке таблицы, переводятся друг в друга подходящим невырожденным линейным преобразованием плоскости (т,у).
В случае 1 (три различных вещественных корня) утверждение сразу следует из известного свойства проективных преобразований. А
именно, если Ат, В1, Сти 45, Вь, С> — две тройки точек проективного пространства, такие, что точки в каждой тройке попарно различны
и лежат на одной прямой, то существует проективное преобразование, переводящее первую тройку во вторую. Другими словами, если
Ат, Ву, Сти Ао, В2, Со -— две тройки прямых линейного пространства,
такие, что прямые в каждой тройке попарно различны и лежат в одной плоскости, то существует невырожденное линейное преобразование, переводящее первую тройку во вторую. (Это утверждение справедливо как для вещественных, так и для комплексных пространств.)
Применяя указанное свойство в случае Г где А, В:,С1 и
Ао, В›,С> тройки прямых, составляющих множества (ту) = Ои
Р(т, у) = 0, мы и получаем требуемое (читателю предлагается восстановить пропущенные подробности самостоятельно). Об этом говорит сайт https://intellect.icu . Заметим, что
и в случае П это рассуждение приводит к такому же самому выводу,
но искомое линейное преобразование теперь является, вообще говоря, комплексным (а нам требуется вещественное). Поэтому мы дадим
«вещественное» доказательство.
44
РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ 4.4. Сделаем сначала линейное преобразование, переводящее прямую т/у = НЫ, соответствующую вещественному
корню Н многочлена Р(Ё), в прямую 1 = 0. Тогда, очевидно, в обеих
формулах (4.9) и (4.10) будет аз = Оиа2 = 0, т.е.
Р(Н = ЦаоЁ + а1Ё + а2), (т, у) = т(аот? + алту + аэу°).
Далее используем линейное преобразование лу +} Ах + у с подходящим
коэффициентом А, приводящее квадратичную форму а01? +а1ту-+а22
к диагональному виду. После этого получаем
(а, у) = г (аа? + 6?) = аа? + Бгу?,
и с помощью выбора подходящего масштаба на осях т и у приводим
функцию {(т, у) к виду 13 + ху? или 13 — ту?, в зависимости от знака
числа аб. Это и есть случаи Ги П из таблицы.
В случае ПТ сделаем линейное преобразование, переводящее прямые 5 /у = Н их/у =Б вх =0иу = 0. Тогда, очевидно, будем иметь
ао = аз = 0, т.е.
Р(® = Най+ а2), Г(х,у) = ху(ат + а2у).
Так как прямая а1т + а2у = 0 совпадает либо с т = 0, либо су = 0,
то имеем либо а1 = 0, либо а2 = 0. После выбора масштаба на оси т
или у, получаем { = т?у или } = 147. Эти формы отличаются лишь
наименованием переменных.
Случай [У рассматривается аналогично. |
СЛЕДСТВИЕ 4.1. Любой многочлен вида (4.9) приводится к одной
из четырех нормальных форм
3 ху’, зу, 2 (4.11)
с помощью подходящего невырожденного линейного преобразования.
Чтобы определить, к какой именно нормальной форме приводится
данный многочлен /(т7,у), нужно определить, к какому из случаев
Т [У принадлежат корни соответствующего ему многочлена Р(®.
Теперь займемся функциями вида (4.8), считая, что кубическая
часть приведена к одной из трех нормальных форм: 4:3 +172, гу? (случай т3 мы рассматривать не будем). Чтобы привести росток функции
Г к нормальной форме, нужно использовать гладкие нелинейные замены переменных х, у. Но прежде чем перейти к этому, приведем одно
полезное вспомогательное рассуждение.
45
Пусть {(х, у) : В? -+ В - гладкая функция, имеющая 0 своей невырожденной критической точкой, }(0) = 0. По лемме Морса, росток }
в точке 0 приводится к виду а11? + @2?, где о; = 1. Приведем очень
простое доказательство этого утверждения, использующее тот факт,
что функция зависит только от двух переменных.
Доклдза„теЛЬСсТвО ЛЕММЫ МорРСА ДЛЯ ДВУХ ПЕРЕМЕННЫХ.
С помощью линейного преобразования приведем квадратичную
часть функции {(т,у) к каноническому виду @11? + @2у2, @; = +1.
Затем с помощью леммы Адамара представим «хвост» (члены порядка выше 2) в следующем виде:
(т, у) = (аа? + а2у?) +
+ =Зал (т, у) + г?уа2(т, у) + ху?аз(т, у) + уЗаа (т, у),
где все а;(т,у) гладкие функции. Заметим, что каждое из четырех
слагаемых «хвоста» содержит либо сомножитель 52, либо 2. Значит,
весь «хвост» принадлежит идеалу (в кольце гладких функций), порожденному мономами 12 И у. Это позволяет записать:
(с, у) = =2 (1 + гал (т, у) + уа2(2,у)) + у? (а + таз(т, у) + уаа(т,у)).
Отсюда легко видеть, какая замена приводит {(т, у) к виду о1х2 +922.
Например, в случае @1 = а2 = +1 эта замена
=> \/1 + та1 (т, у) + уа2(х, у),
ук и\/1 -- таз(х, у) =Е уал (т, 3).
Доказательство завершено. |
Аналогичные рассуждения будут использованы нами и для вырожденных критических точек коранга 2. «Главной частью» функции
Г(х, у) теперь будет 3-форма 53 -Е ту? или 52, а «хвост» имеет вид
ф(х, у) — ‘ал Г у) +23 уа2 (т, у) Е х?у?аз(т, у) ИЕ туаа (т, у) +‘ аз(х, 9),
где все а;(5,у) - гладкие функции. По сравнению с леммой Морса,
новая трудность состоит в том, что теперь не все слагаемые в «хвосте»
принадлежат идеалу, порожденному мономами из главной части. Эту
трудность нам и предстоит преодолеть.
ЗАДАЧА 4.5. Докажите, что если {(т,у) = 23 + ту? + ф(т, у) или
Г(т, у) = ту? + 9(т, у), то с помощью подходящей замены
тн: т + уи(у), (0) =0, (4.12)
46
можно привести росток ф к виду ф(т,у) = тф1(т, у) с гладкой функцией 1, не изменяя при этом кубическую часть {.
РЕШЕНИЕ. Рассмотрим функцию
Р(х, у) = 3 + =зу? + ф(х,у), ЕЕ 1. (4.13)
Случай /(т,у) = ту? + ф(т,у) исследуется совершенно аналогично.
Производя в (4.13) замену (4.12) и затем подставляя 1 = 0, получаем:
1(0, у) = 3 (м3 + ви + у(олий + арм? + ази? +
+ али + а5)) = У (и? + ви + уА(у,и)),
где функции а; = а(уи, у), обозначение А(у, и) очевидно. Требуемое
условие будет выполнено, если мы подберем функцию и = и(у) так,
что (0) = Оби и?" + 5и + уА(у, и) = 0. Тем самым мы получаем неявное уравнение относительно неизвестной и. Вычисляя производную от
выражения, стоящего в левой части тождества, по переменной и при
у = и = 0, получаем число = 5 0. По теореме о неявной функции, в
достаточно малой в окрестности точки 0 искомая функция и = и(у) существует. В силу условия (0) = 0 и леммы Адамара, имеем представление (у) = у%(у) с гладкой функцией %(у), следовательно, замена,
(4.12) не изменяет кубическую часть функции {. |
После замены (4.12) и преобразования «хвоста» имеем
Их, у) = 13 + ету? + ера (т,у) =
= 13 + =ту? + 2‘ал (т, у) + хЗуа(т, у) + х’у?аз(т, у) + хуЗал(т,у) =
= #3 (1 + гал (х, у) + уа2(т,у)) + ху? (Е + хаз(х, у) + уал(т,у)).
Читателю предлагается самостоятельно указать, какие замены нужно
использовать, чтобы привести росток {к виду 13 + ЕТУ”.
Нам осталось рассмотреть еще случай
т, у) = ту’ + три, у), (4.14)
где го1(х,у) 3З-плоская в точке 0 функция. В отличие от (4.13) кубическая часть ростка (4.14) содержит лишь один моном 21/2, и этого
явно не хватает для существования идеала, содержащего весь «хвост».
Значит, «главную часть» нужно дополнить еще хотя бы одним мономом выше третьей степени.
47
Предположим дополнительно, что функция (4.14) имеет в точке 0 конечную кратность по х. Обозначим эту кратность через р,
3 < и < <. Значит, ряд Тейлора функции 2$р1(т,у) по совокупности переменных содержит моном х"\", но не содержит мономов 2! с
1 < р. Главной частью функции (4.14) мы теперь будем считать двучлен ту? + 2" 11, Это уже лучше, чем раньше, но все равно идеал, порожденный мономами 2/? и "+1, не содержит мономы зу, 3 << и,
которые могут присутствовать в «хвосте». Покажем, что с помощью
подходящей замены переменных все такие мономы можно убить.
ЗАДАЧА 4.6. Покажите, что для любого п > 3 найдутся числа
А1...., Ап, такие, что полиномиальная замена,
уни + Лот +. Ах”, (4.15)
переводит росток (4.14) в росток такого же вида, не содержащий мономов 23,..., 271.
Решение. Обозначим через а коэффициент при мономе х3Зу исходной функции { вида (4.14). Сделав замену у ++ у + Лот?, мы получим
функцию {(т,у) = ту? + хфо(т, 9) с новым «хвостом», в котором коэффициент при мономе х3у равен 25 + а (коэффициенты при всех
остальных мономах в «хвосте» тоже как-то изменятся, но нам не нужно за ними следить). Полагая Л› = -а/2, мы убьем моном 23.
Обозначим через В коэффициент при мономе х“у полученной на
предыдущего шаге функции {(х, у) = гу? + тфэ(т, у). Сделав замену
ук уи+ Азт3, мы получим функцию (т, у) = ту? + тфз(т, у), имеющую новый «хвост», но такую же 4-струю, что и предыдущая. Значит,
моном 23 по-прежнему отсутствует, а коэффициент при мономе “у
имеет вид 2Аз + В. Полагая Аз = —В/2, мы убьем моном т“у.
Продолжая этот процесс, мы последовательно убиваем все мономы
23у,..., ту. Полученная в результате замена имеет вид (4.15). |
Применим к функции } вида (4.14) построенную выше замену (4.15) с числом п = р. В результате получим
и Г(з, у) =? +» `Р(т,у) + =Ф(т,у),
+=4
где Р;(т,у) формы степени #, не содержащие мономов 1", у", ху, а
тФ(т, у) - гладкая функция кратности // по 1 в 0, ряд Тейлора которой
не содержит монома х#у. Так как каждая форма Р; (т, у) делится на.
1/2, имеем Р;(т, у) = ху?Опх, у), где Ох, у) - формы степени # — 3,
48
1=4,..., и. Читателю предоставляется проверить (с помощью леммы
Адамара), что функция %Ф(т,у) представима в виде
тФ(т, у) = "Ка + а(т,у)) + ху?Цт, у),
где число а = Оиа(т, у), т, у) — гладкие функции, обращающиеся в
нуль в точке 0. В результате получаем представление
и
1(х,у) = ту? (: +» О, у) + Цт, у) +2" (а + а(т,у)).
1=4
Читателю предлагается самостоятельно понять, какие замены нужно
использовать, чтобы привести росток {(т, у) к виду ху? + ж" 1.
Таким образом, мы получили следующие результаты:
ТЕОРЕМА 4.1.
® Росток функции вида (4.8), кубическая часть которой имеет
три различных комплексных или вещественных корня, приводится к виду ту? - 13 (знак Е соответствует комплексным
или вещественным корням).
® Росток функции вида (4.8), кубическая часть которой имеет
два различных корня, удовлетворяющая некоторому дополиительному условию, приводится к виду ту? + же 1 с целым и > 3.
Упомянутое условие было сформулировано выше в явном виде, коразмерность множества точек, которые ему не удовлетворяют, равна
бесконечности. Обе нормальные формы из теоремы 4.1 можно объединить вместе, дав следующее определение. Критическая точка коранга 2 с нормальной формой
2 2 2 1 Е(11,..., Жи, т, у) = @11 +: + ап о + ту" + жит, (4.16)
где а; = +1, д > 2, называется особенностью тлта В „+2.
ЗАДАЧА 4.7. Вычислите коразмерности особенностей Аз и
Вр-+2.
ЗАДАЧА 4.8 (*). Исследуйте аналогичным образом пропущенный
случай [У - росток функции вида (4.8), кубическая часть которого
имеет один корень кратности 3.

Исследование, описанное в статье про 4.2. Критические точки коранга 1 и 2, подчеркивает ее значимость в современном мире. Надеюсь, что теперь ты понял что такое 4.2. Критические точки коранга 1 и 2 и для чего все это нужно, а если не понял, или есть замечания, то не стесняйся, пиши или спрашивай в комментариях, с удовольствием отвечу. Для того чтобы глубже понять настоятельно рекомендую изучить всю информацию из категории Теория особенностей и катастроф