1.1. Лемма Адамара и ее следствия кратко

Начнем с некоторых элементарных фактов и понятий, используемых в теории особенностей. Первым будет так называемая « лемма адамара », которая наверняка известна многим читателям из стандартного курса математического анализа (см., например, прекрасный учебник [22]). Но все же мы докажем ее здесь, причем в наиболее удобной для дальнейшего использования форме.

Лемма Адамара — это важный результат в математическом анализе, описывающий структуру гладкой функции в окрестности точки. Она названа в честь французского математика Жака Адамара и широко применяется в теории особенностей, дифференциальной геометрии и анализе.

Рассмотрим произвольную гладкую функцию
числа п >= 1 и m >= 0.

Для сокращения записи введем также обозначения . Слово «гладкая» без указания
конкретной степени гладкости всюду означает .

ЛЕММА 1.1 (Адамара). Функция F представима в виде
где все гладкие функции.

Доказательство. Рассмотрим вспомогательную функцию

где t дополнительная вещественная переменная (параметр).

Пусть t пробегает значения из отрезка [0, 1], тогда функция F(tx, y) , рассмалриваемая как функция при каждом фиксированном значении параметра t, пробегает в пространстве гладких функций от n + m переменных некоторую кривую (путь) с концами F(0, y) и F(x, y) .
С другой стороны, можно рассматривать F(tx, y) как функцию переменной t, зависящую от параметров и .

Используя вторую точку зрения, мы можем записать равенство
(1.2)
где
(1.3)

ЗАМЕЧАНИЕ 1.1. Гладкость функций ϕ_i(x, y), определенных формулой (1.3), следует из известной теоремы о дифференцировании интеграла, зависящего от параметра, которая доказывается в курсе анализа.

Точнее, из условия F ∈ Ck , k ≥ 1, вытекаег ϕ_i ∈ C ^k−1. В рассматриваемом случае получается требуемое утверждение.

ЗАМЕЧАНИЕ 1.2. Из формулы (1.1), равно как и непосредственно из (1.3), следует

Лемма Адамара очень полезна для доказательства различных фактов, относящихся, в частности, к исследованию особенностей (критических точек) функций, отображений, и т.д.

ЗАДАЧА 1.1. Докажите следующее обобщение леммы Адамара.
Пусть χ1(x, y), . . . , χn(x, y) : ВТ" - В - гладкие функции, обращающиеся в нуль и имеющие линейно независимые градиенты по переменной 1 в начале координат 0. Тогда в окрестности 0 функция F
представима в виде
(1.4)

где все ф;(х, у) — гладкие функции.

ЗАМЕЧАНИЕ 1.3. Представление (1.1) имеет глобальный характер, т.е. верно для всех точек пространства.

Оно имеет место в случае F(x, y) : , где X ⊂ и - области, такие, что Х содержит 0 и является выпуклой. Напротив, представление (1.4) имеет локальный характер.
Рассмотрим отдельно случай п = 1, т.е. будем иметь дело с гладкой функцией F(x, y1, . . . , ym) : .

ЗАДАЧА 1.2. Докажите, что для любого p ∈ N гладкая функция F(x, y) : представима в виде

, — (1.5)
где f1(y), . . . , fp−1(y) и gp(x, y) — гладкие функции.

ЗАДАЧА 1.3. Пусть F(x, y1, . . . , ym) : - гладкая функция, которая в окрестности точки T₀ = (x₀, y₀) обращается в нуль на гладкой гиперповерхности x = γ(y)..

Тогда в некоторой окрестности T₀
То имеет место представление
(1.6)
с гладкой функцией g(x, y).

ЗАДАЧА 1.4. Пусть F(x, y1, . . . , ym) : гладкая функция, такая, что в окрестности точки T₀ = (x₀, y₀) производная Fx, обращается в нуль на гладкой гиперповерхности x = γ(y).

Тогда в некоторой окрестности точки То имеет место представление
1.7)
с гладкими функциями .

Следствия леммы Адамара

• Лемма Морса: Используется для анализа поведения функции в окрестности невырожденной критической точки.

• Теорема о выпрямлении интегральных кривых: Позволяет локально привести систему дифференциальных уравнений к простому виду.

• Представление нулей функции: Если гладкая функция обращается в ноль на гиперплоскости, то она представима как произведение координаты и другой гладкой функции.

• Разложение функций: Упрощает доказательства в теории особенностей и сингулярностей.

Что леммы Адамара она утверждает?

Если функция F(x,y) достаточно гладкая (обычно предполагается непрерывная дифференцируемость по xxx), то ее можно разложить так:

где каждая φi(x,y) — гладкая функция.

Смысл

• Это утверждение говорит: любое изменение функции F(x,y) по переменной xxx можно вынести как линейную комбинацию координат xi , где коэффициенты φi(x,y) сами зависят от (x,y) и при этом остаются гладкими.

• Иначе говоря, вся зависимость от xxx "разложена" по координатам.

• На интуитивном уровне:

  F(x,y) − F(0,y) всегда делится на каждую переменную xi​.

Пример

Возьмем простую функцию:

Тогда:

Можно переписать:

Здесь роль играет (x+y) .

Если бы было больше переменных, мы получили бы сумму по всем x .

Зачем это нужно

1. Это удобная техника доказательств: позволяет раскладывать функции так, чтобы работать с гладкими множителями.

2. Применяется в анализе регулярности решений уравнений, где важно показать, что функция "хорошо ведет себя" относительно малых приращений.

3. По сути, это форма разложения в окрестности x=0, которая показывает, что функция "линейна по x" на первом шаге, с гладкими коэффициентами.

Итого: Лемма Адамара говорит, что если зафиксировать y, то при изменении x функция F ведет себя как линейная комбинация координат xi с гладкими коэффициентами.

• Функция Bump – плавная и компактная функция поддержки
• Непрерывно дифференцируемая – математическая функция , производная которой существует.
• Гладкость – число производных функции ( математика )
• Теорема Тейлора – Приближение функции усеченным степенным рядом