11 Особенности отображений R2 -> R3

Привет, Вы узнаете о том , что такое особенности отображений r2 -> r3, Разберем основные их виды и особенности использования. Еще будет много подробных примеров и описаний. Для того чтобы лучше понимать что такое особенности отображений r2 -> r3 , настоятельно рекомендую прочитать все из категории Теория особенностей и катастроф.

В этом разделе мы будем исследовать критические (особые) точки
гладких отображений плоскости в трехмерное пространство:
{: (1) „> ы (11.1)
Согласно данному ранее общему определению, критические точки
это такие точки плоскости (5, у), в которых ранг матрицы Якоби
меньше своего максимального значения, т.е. меньше 2.
Коразмерность множества {г8./; = 0} равна 6, так как требуется
обращение в нуль всех элементов матрицы „/; размера 2х 3. На первый
взгляд может показаться, что множество {т8 /; = 1} имеет коразмерность 3, так как здесь требуется равенство нулю всех миноров второго
порядка матрицы „у: А1, Д2, Аз. Однако формула произведения корангов (4.3) показывает, что коразмерность этого вырождения равна 2.
Причина в том, что эти миноры являются функционально зависимыми. Именно, все три ростка А; содержатся в идеале (в кольце ростков
гладких функций), порожденном двумя их них (см. пример 4.1). Это
можно формально записать в виде
311,12 . (А:, Д>, Аз) = (А: А. ). (11.3)
125
Тогда множество критических точек отображения (11.1) задается двумя уравнениями:
АД; (1,9) =0, Дь,(т,у) =0. (11.4)
Далее мы всегда будем рассматривать ростки отображений (11.1)
в начале координат 0, считая, что }(0) = 0 и предполагая условие
тв /;(0) = 1 выполненным.
11.1. Отображения общего типа
Рассмотрим три отображения:
(т,у) => (2,ш), (ту) = (2,5), (ву) = (6, %), (11.5)
полученные проектированием (11.1) на координатные плоскости пространства-образа. Из условия ге .]+(0) = 1 следует, что при подходящем выборе локальных координат на плоскости (т, у) одна из них будет тождественно совпадать с одной из координат (2,,%} пространства-образа (см. задачу 8.1). Для определенности, пусть и; = у.
Далее, нетрудно заметить, что наличие среди отображений (11.5)
хотя бы двух, не являющихся складками, влечет вырождение коразмерности > 4. Таким образом, в подходящих локальных координатах
(в образе и прообразе) росток отображения (11.1) в критической точке
коразмерности < 3 имеет вид
ГМ 2, ш=у, = Р(т, 9) (11.6)
с некоторой гладкой функцией Р(т,у), такой, что 2`\(0) = Е, (0) = 0.
Матрица Якоби отображения (11.6) равна
2% 0
=10 1, Е, Е,
и ее миноры второго порядка суть 252, —Р,, 2хЁ,. Следовательно,
множество критических точек отображения (11.6) определяется двумя
уравнениями
х=0, Е, (ту) =0,
из которых равенство нулю третьего минора вытекает автоматически.
Устойчивость имеет место в тех точках, где кривая Ё, (т, у) = 0 трансверсально пересекает линию х = 0, что выражается неравенством
Еьу 3 0. Это критические точки коразмерности 2, наименьшей из всех
возможных для критических точек отображений данного типа. Такие
(и только такие) критические точки являются устойчивыми.
126
11.1.1. Коразмерность 2. Зонтик Уитни
ТЕОРЕМА 11.1. Росток отображения (11.1) в устойчивой критической точке СК.-эквивалентен
р = 12, Ш =Уу, и = у. (11.7)
Доклзательство. Согласно сказанному выше, рассмотрим росток
отображения (11.6) с функцией Р(т, у), такой, что Ё(0) = Ё,(0) =Ои
Егу(0) 7 0. В силу леммы 5.3 представим функцию Р в виде
Е(х, у) = (27, у) + =4(а2?,у),
причем из условий РЕ, (0) = би ЕР, (0) 2 0 следует, что 42(0) = Оби
(0) 7 0. Сделав замену он? о — ф(2, и), мы приведем росток нашего
отображения к виду
&=12, ш=у = 24(22, у) (11.8)
с функцией , удовлетворяющей условиям (0) = 0, 4, (0) = 0. Нетрудно видеть, что пара замен в плоскости-прообразе и пространствеобразе
ук (12,9), шнЧ(а, )
приводят росток этого отображения к виду (11.7). ||
Образ плоскости (5, у) при отображении (11.7) представляет собой
поверхность с самопересечением, изображенную на рис. 11.1. Она называется зонтиком Уитни (англ.: И®Ипеу итфтеЙа) или иногда зонтиком Кэли (англ.: СаМеу итфтеНа); в англоязычной литературе также часто используется название сгозз сар. Эту же поверхность (с добавлением одной лишней полупрямой = < 0) ч=ш=0 «ручки зонтика») можно задать с помощью алгебраического уравнения 912 — 22.
11.1.2. Особенности коразмерности 3
Рассмотрим теперь росток отображения (11.8) с функцией р, удовлетворяющей УСЛОВИЯМ
4 (0) = 4, (0) =0, 4.(0) 20, ч,,(0) #0. (11.9)
ТЕОРЕМА 11.2. Росток отображения (11.8) с функцией ф, удовлетворяющей условиям (11.9), С®-эквивалентен одному из двут
ростков
2=12, шШ=у = т(т2 + у)). (11.10)
Рис. 11.1 Зонтик Уитни
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО.
можно представить С помошью теоремы деления (теоремы 2.1] росток Функции 17272, и) в виде
а”, у) = (22,9) (у? + аа (2?) + а2(2?)), $(0) #0, (11.11)
Функции,
причем из (11.9) следует, что а; (2) = 27он(2*), где обе с; гладкие
выражение
02(0) =2 0. Полагая (52,9) = |2 (2?)у + а2(22)|, получим
оао) + 052) = У 222 у),
мену
где знак
и ++
«-»
0/4
совпадает со знаком величины 02(0). Сделав левую за- (2, ш), где знак «+» совпадает с предыдущим, ведем росток мы при- нашего отображения к виду
2=4”, Ш=у вы 2276 (17, у) у?), Ь{0) > 0. (11.12)
Затем в прообразе и образе сделаем соответственно менных замены переТ +? т\/ 6 (12, у), ь, 2МЫ)2, №),
в результате чего приведем росток отображения (11.12) к виду
2 т=2, му и= В (12, у) (22 + у?) (11.13)
®
С некоторой
++
гладкой функцией В, такой, что 8(0} > 0. Левая замена, %/В (2,1) приводит росток отображения (11.13) к виду (11.10). |
«СВеп
Особенности (11.10) описаны в статье [38], где они называются
ющих
Манивою Мова + этеща ея» в честь авторов предшеству- работ в этом направлении.
128
ЗАДАЧА 11.1. Нарисуйте образы плоскости (т, у) в трехмерном
пространстве (2, и, 2) при обоих отображениях (11.10). Могут ли ростки отображений (11.24) с разными знаками быть СК-эквивалентными?
(Для ответа на этот вопрос полезно обратить внимание на геометрические характеристики соответствующих поверхностей).
Имеет место следующее обобщение теоремы 11.2. Рассмотрим росток отображения (11.8), где вместо (11.9) выполнено более общее
условие:
с некоторым целым и > 1 (это кратность функции 4 по у в точке 0).
ЗАДАЧА 11.2. Докажите, что такой росток С®-эквивалентен одному и ростков
2=1°, шШ=у, ш= (17 ут), (11.15)
где в случае четного и знак «+» можно заменить на плюс, а в случае
нечетного п - нет.
11.2. Фронтальные отображения
В этом разделе мы рассмотрим ростки отображений (11.1) специального типа, которые имеют бесконечную коразмерность вырождения в пространстве ростков гладких отображений Е? -+ ЕЗ. Они определяются следующим условием: все миноры второго порядка матрицы
Якоби „Л; содержатся в главном идеале, порожденном одним из них.
Этот минор мы также назовем главным и обозначим А. Тогда соотношение (11.3) превращается в
(А:,Д2,Дз) = (А), (11.16)
и множество критических точек 5 нашего отображения задается не
двумя, как обычно, а только одним уравнением А(т, у) = 0.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 11.1. Отображения, удовлетворяющие условию
(11.16), множества критических точек которых на плоскости-прообразе нигде не плотны!, называются фронтальными.
1Пусть А - некоторое множество с метрикой (метрическое пространство). Об этом говорит сайт https://intellect.icu . Множество б С А называется нигде не плотным в А, если для любого открытого
129
ЗАМЕЧАНИЕ 11.1. В данном определении главную роль играет
условие (11.16). Требование, чтобы множество 5 было нигде не плотным, весьма необременительно и выполнено почти всегда (в частности,
если 5 - кривая на плоскости). В литературе по особенностям обычно
используется другое определение фронтальных отображений, равносильное данному выше; см., например, статью [25] (лемма 2.3).
ЗАМЕЧАНИЕ 11.2. Интерес к фронтальным отображениям связан с различными приложениями, например с задачей о распространении возмущения (волнового фронта) в трехмерной среде. Мы уже
затрагивали аналогичный вопрос в двумерном случае (раздел 6.2.4),
но трехмерный случай оказывается гораздо более трудным; см. (6, 5, 7|,
а также статью [25| об особенностях фронтальных отображений, некоторые результаты которой мы использовали.
Далее мы ограничимся такими фронтальными отображениями, для
которых выполнено условие регулярности ДА +2 0, т.е.
[А | + [Ау 0, (11.17)
и, следовательно, множество критических точек 5 представляет собой
гладкую кривую без особенностей. Нашей ближайшей задачей является С®-классификация ростков фронтальных отображений в критических точках до коразмерности 3 включительно (здесь речь идет о
коразмерности в самом классе фронтальных отображений, а. не в классе всет гладких отображений Е? -+ В3).
11.2.1. Коразмерность 1. Ребро возврата
Прежде всего рассмотрим фронтальные отображения (11.1), для
которых по крайней мере один их ростков (11.5) имеет в начале координат складку. Тогда в подходящих локальных координатах мы
имеем отображение (11.6) с гладкой функцией Р(т,у). такой, что
Е(0) =Е, (0) = 0.
В качестве главного минора можно выбрать А = 2х, множество
критических точек совпадает с прямой т = 0. Так как Ё,(т.у) обращается в нуль на прямой х = 0, имеет место представление
Е(т,у) = Ю(у) +229(т,у)
множества И С А найдется открытое подмножество И'С И, которое не содержит
ни одной точки множества 5, т.е. 0'’П 5 = 0. (В этом определении часто заменяют открытые множества (Г и О’ шарами.) В нашем случае А - это плоскость
переменных (т,у) со стандартной евклидовой метрикой.
130
с некоторой гладкой функцией д (см. задачу 1.4). Отсюда с учетом
леммы 5.3 имеем
Е(т, у) = (у) +=79(т,у) =
= (у) +=° (ф(2°, у) + 24 (27°, у)) =
= (у) + =*5(2?, у) + =34(=°, у). (11.18)
Замена, © => и— ю(ш)—20(2, ш) в пространстве-образе приводит росток
нашего отображения к виду
2=1°, ш=у = 134(27,9). (11.19)
Критические точки коразмерности 1 получаются в предположении,
что выполнено условие 12(0) 2 0. В этом случае в пространстве-образе
можно сделать замену переменной в =} %/4(2, и), которая приводит
росток нашего отображения к виду
&=1, ШЕУ =. (11.20)
Соответствующая поверхность образ плоскости (1, у) в трехмерном пространстве (2, 1,0) называется полукубическим ребром возврата (англ.: сизр4 а еаде). При этом собственно ребром называется
линия (в наших координатах ось 11), состоящая из образов критических точек, см. рис. 11.2.
Рис. 11.2 Полукубическое ребро возврата
ЗАДАЧА 11.3. Рассмотрим многочлены третьей степени
Р(В = В а +ие
с вещественными коэффициентами а, 5, с. Каждый многочлен Р(Ё) взаимно однозначно соответствует точке в пространстве с декартовыми
131
координатами (а,5,с). Как выглядит множество точек, соответствующих многочленам, имеющим кратные корни? Как выглядит множество точек, соответствующих многочленам, имеющим один корень
кратности три?
ОтвЕТ. Первое множество — поверхность в пространстве (а.6, с),
диффеоморфная полукубическому ребру возврата. Второе множество само ребро. Здесь можно воспользоваться результатами раздела 6.2.3.
11.2.2. Коразмерность 2. Сложенный зонтик Уитни
Теперь рассмотрим росток фронтального отображения (11.19) в
случае, когда (0) = 0. Критические точки коразмерности 2 получаются в предположении, что выполнено условие
(0) =0, 4,(0) #0. (11.21)
В этом случае замена © ++ %/42(2, и) из предыдущего пункта уже не
голится (соответствующее отображение не является даже непрерывным). Но можно сделать замены Переменных В прообразе И образе
соответственно.
ун 4 (12, у), ша (2, щ).
После этого наше отображение примет вид
=4“, Ш=уУ 0=1му. (11.22)
Соответствующая поверхность - образ плоскости (1,1) в трехмерном пространстве (2, 1,%)- называется сложенным зонтиком Уитни
(англ.: ое И’ритеу итбтеПа, также используется другое название:
сизр4а[ сгозз сар), см. рис. 11.3.
ЗАМЕЧАНИЕ 11.3. Росток (11.22) нельзя привести к виду (11.20),
даже если использовать не диффеоморфизмы, а гомеоморфизмы (и в
образе, и прообразе). Это очевидно из сравнения свойств соответствующих поверхностей (рис. 11.2 и 11.3). Полукубическое ребро возврата,
не имеет самопересечений, а. сложенный зонтик Уитни имеет. Свойство
иметь самопересечения, очевидно, сохраняется при диффеоморфизмах
и даже при гомеоморфизмах, т.е. является топологическим.
132
\
Рис. 11.3 Сложенный зонтик Уитни
11.2.3. Особенности коразмерности 3
Рассмотрим росток фронтального отображения (11.19), для кото- рого
ческие
не выполняется ни условие (0) = 0, ни условие (11.21). Крити- точки коразмерноети 3 получаются в предположении, что
4(0) =0, 4,(0) =0, 1, (0) #0. 4. (0) # 0. (11.23)
виде
С
(11.11),
помощью
причем
теоремы деления представим росток функции 1 (22, у) в
где обе в;
из условий (11.23) следует, что а (12) = 120: (12),
суждений,
— гладкие функции, а2(0} = 0. Далее с помощью замен и расразделе 11.1.2,
полностью аналогичных тем, которые были использованы в приведем росток нашего отображения отличается к виду, который от (11.10) лишь показателем при 2 в третьем уравнении:
2=1, Ш=у, в= 23 (42 + 3/7). (11.24)
пространстве
ЗАДАЧА 11.4. Нарисуйте образы плоскости (т, у} в трехмерном (2, №, и) при обоих отображениях ки отображений ( 11.24). Могут ли рост- (11.24) сразными знаками быть С®-эквивалентными?
Локажите следующее обобщение полученного результата:
ЗАДАЧА 11.5. Росток фронтального для которого отображения вида (11.19),
лентен вместо (11.23) выполнено условие (11.14), С-эквива- одному из ростков
2=:°, ш=у у = 22° (12 + у"+1), (11.25)
гле в случае четного д знак «+» можно заменить на плюс.
153
ЗАМЕЧАНИЕ 11.4. Особенности (11.24), (11.25) и некоторые другие особенности фронтальных отображений коразмерности более 3 исследованы в работе [38].
11.2.4. Коразмерность 2. Ласточкин хвост
Наконец, рассмотрим росток фронтального отображения (11.1),
для которого ни один из ростков отображений (11.5) не является
складкой, но один из них является сборкой. Отметим, что, в отличие от
отображений (11.1) общего типа, в классе фронтальных отображений
этот тип вырождения имеет коразмерность 2, а не 4.
Без ограничения общности будем считать, что сборкой является
первый из ростков отображений (11.5), тогда в подходящих локальных
координатах мы имеем отображение
2 = 243 +жу, ш=у и=Е(т,ч) (11.26)
с гладкой функцией Р (1, у). Матрица Якоби отображения (11.26) имеет вид
бт? Ту т
У; = 0 1].
Е, Еу
и ее миноры А; = 65? + у, А;, = -Е,, а третий лежит в порожденном
ими идеале, в соответствии с общей формулой (11.3). Из условия, что
отображение фронтальное, следует, что из числа А; ,А;, можно выбрать главный минор А, такой, что будет выполнено (11.16). Нетрудно
видеть, что в качестве главного минора можно выбрать А = 62? + у.
Е, (т, у) обращается в нуль на множестве 5 критических точек отображения (11.26), задаваемым равенством 61? + у = 0. Это можно записать в виде тождества Р’, (т, —612) = 0, выполняющегося для всех т из
окрестности нуля, из которого вытекают равенства А, (0) = Ё,.(0) = 0.
Таким образом, условие, что для фронтального отображения (11.1) ни
один из ростков (11.5) не является складкой, автоматически вытекает
из предположения, что один из них является сборкой. Следовательно,
в классе фронтальных отображений данное вырождение имеет коразмерность 2.
ЗАМЕЧАНИЕ 11.5. Внимательный читатель отметит, что в отличие от нормальной формы (9.8) для сборки, в формуле (11.26) коэффициент перед мономом 13 удвоен. Разумеется, это не имеет принципиального значения и сделано лишь для того, чтобы приведенная
ниже нормальная форма (11.29) имела целые коэффициенты.
134
Из условия Е,(т, —6т2) = 0 следует, что для любого целого п > 1
функция Р' представима в виде
Е» (+, у) = $(т,)(62? + у) = (627 +у) У ак(у)а" + (62? + уг" 8, у),
1=0
где а;, 6, ф — гладкие функции своих аргументов. Интегрируя последнее
равенство по т, получаем
ыа
Е(х, у) — а_1(9) -- У а, (у) (565243 ыЁ ян" и)+
1=0
+ "+4 (т, у) + г"? (т, у) =
=а_1(у) + а0(9) (23 + гу) + 1а1(у)(3=* + =?у)+
+А(т, у) + В(х, у),
где
А(т, у) = У а:(у) (та + аа), ей >. мА вт У) (11.27)
В(т, у) =— т” 4, (т, у) Е 2”. (т, у).
Отсюда следует, что замена 1 + ® — а_1(и) — ао(%)2 приводит
росток налего отображения к виду (11.26) с функцией
Е(х, у) = За1(у)(3=* + =?у) + А(т, у) + В(х,у).
Критические точки коразмерности 2 соответствуют условию
а1(0) 5 0. Тогда можно использовать замену © ++ 20/а1(%), которая
приводит росток нашего отображения к виду
2 = 213 +1у, Ш=у, и=31 + 19+ А(х, у) + В(т,у), (11.28)
где функции А = 2А/а1(у), В = 2В/а1(у) имеют вид (11.27).
ЗАДАЧА 11.6 (*). Покажите, что росток фронтального отображения (11.28) С№-эквивалентен ростку такого же вида с функциями
А=В=0, т.е.
= 243 лу, ш=у и=3За“ ау. (11.29)
Поверхность, соответствующая отображению (11.29) — образ плоскости (т,у) в трехмерном пространстве (2,%,1), изображена на,
рис. 11.4. Она называется ласточкиным твостом (англ.: зшаНои дай).
135
Рис. 11.4 Ласточкин хвост. Слева: добавлены сечения плоскостями
11 = с0036. Справа: вид поверхности в другом ракурсе
ЗАДАЧА 11.7. Пусть { : №3 -+» ЕЗ — росток отображения (10.5) с
п =2. Докажите, что множество критических значений /(5) плоскость при /+ = 1, полукубическое ребро возврата при + = 2 и ласточкин
хвост при д = 3, причем в двух последних случаях приведение к нормальным формам (11.20) и (11.29) соответственно достигается за. счет
линейного изменения масштаба в пространстве-образе.
11.3. Примеры
11.3.1. Дискриминантные поверхности
многочленов
Рассмотрим многочлены третьей степени;
Р( = В та + ис, (11.30)
зависящие от вещественных коэффициентов а, 6, с. Каждый многочлен
Р(Р) соответствует точке в пространстве с декартовыми координатами
(а,6,с). Обозначим через 5 множество точек, соответствующее многочленам, имеющим кратные вещественные корни. Как выглядит это
множество? Для ответа на этот вопрос нужно выписать равенства
ПО В = 0
и рассмотреть их как уравнения относительно переменных 6, с и параметров а, . В результате мы получим, что поверхность 5 является
образом фронтального отображения (а, #) +? (а,5, с), где
= —(3Р +24}, се=28 +аР.
1536
Покажем, что это полукубическое ребро возврата. Для этого сделаем правую замену т = + за, у = за и левую замену и = за. После
этого наше отображение примет вид (5, у) ++ (1,6, с), где
ш=у, В = 3(у? — 12), с= 213 — Зау+ 3.
Сделаем последовательно две левых замены: 2 = и? — 36 и затем (обозначая новые переменные теми же буквами) замену о = 5 (с-З=ш—из).
Тем самым мы приведем полученное отображение к нормальной форме (11.20). Отметим, что все сделанные нами замены переменных глобальные, и мы привели к нормальной форме не только росток, но и
отображение в целом.
ЗАМЕЧАНИЕ 11.6. Полукубическое ребро возврата 5 разделяет
пространство (а,6,с) на две открытых связных области, в одной из
которых многочлен Р(Ё) имеет три вещественных корня, в другой —
один. В точках поверхности 5, не лежащих на самом ребре, многочлен
Р(® имеет один простой корень и один корень кратности 2. В точках
ребра поверхности 5 многочлен Р(Ё) имеет один корень кратности 3.
Рассмотрим теперь многочлены четвертой степени
Р( __ 44 2 = И -+а?+и+с
и обозначим через 5 множество точек в пространстве (а, 5, с), соответствующих многочленам Р(Ё, имеющим кратные корни.
ЗАДАЧА 11.8. Докажите, что 5 — это ласточкин хвост, разбивающий пространство (а,5,с) на три открытых связных области, в одной
из которых Р(Ё) имеет четыре вещественных корня, в другой два ив
третьей нуль. Каковы кратности корней Р(Ё) в точках ребер возврата,
поверхности 5” в точках линии ее самопересечения? в вершине?
ЗАДАЧА 11.9. Как выглядит аналогичное множество 5 для многочленов РИ =ЕИ-ЕВ ай +ы+с
в 4-мерном пространстве их коэффициентов?
11.3.2. Касательные поверхности к кривым
В пространстве с координатами (=, и, 0) рассмотрим кривую
т=5(, у=\ф(®, ==! (11.31)
137
с гладкими функциями р, ф, 17. Будем предполагать, что кривая (11.31)
имеет касательную во всех точках, включая критические. Касательной
к кривой в критической точке называется предел касательной в стремящихся к ней некритических точках, если такой предел существует.
Касательной поверхностью кривой (11.31) называется линейчатая поверхность, составленная из всех прямых, касательных к ней.
Рассмотрим три кривые
Е 2 3 у=Ь, я Е
. Еее _ +2 — +4 Та: ЕЁ р Е",
Е — {2 Е: _ +4 Г2з4: =Ё, у=т, =,
первые две из которых вообще не имеют критических точек, а третья
имеет критическую точку в нуле и касательную в ней. Покажем, что
касательные поверхности к кривым Г\123, Г124. Г2за диффеоморфны
полукубическому ребру возврата, сложенному зонтику Уитни и ласточкиному хвосту соответственно.
КрРивАЯ Г12з. Касательная поверхность задается уравнениями
ТЕНИ УЕР +, = Зи, (11.32)
где параметр $ определяет точку на кривой, к которой берется касательная, и и параметр на самой касательной. Рассмотрим поверхность (11.32) как образ отображения
С
(:) ну [у (11.33)
и покажем, что это отображение С®-эквивалентно (11.20).
Действительно, замена (№, и) ++ (5, и) по формуле % = + и в прообразе приводит отображение к виду
2 Х=о, у=9 4, = — Зо +23,
После замены у => 1? — у в пространстве-образе получаем
2 =, у=ий, д= 9 — Зи 28.
Применяя к последнему отображению замену 2 ++ (2 — 23 + Зту)/2,
получаем нормальную форму (11.20). Ш
138
КрРивАЯ Г!24. Касательная поверхность задается уравнениями
фЕЁЕКи уУЕР+2щ ЕЁ + 4Ви.
Будем рассуждать так же, как и в предыдущем случае, и покажем,
что соответствующее отображение (11.33) С®-эквивалентно (11.22).
Последовательное применение замен (фи) +? (у, и), ® = ии
ун> 2? — у приводит наше отображение к виду
т=У, у=и, = - би? 0? + Виз — Зи.
Наконец, замена 2 ++ (2 -— 2“ + 32 + 622) /8 приводит последнее отображение к нормальной форме (11.22). ||
КРИВАЯ Г2з4. Касательная поверхность задается уравнениями
т=Ё+2и, у=В+3, 2=И-аРь,
здесь при вычислении касательного вектора мы сократили общий множитель $, обращающий в нуль в начале координат единственной критической точке этой кривой. Покажем, что соответствующее отображение (11.33) СХ-эквивалентно (11.29).
Последовательное применение замен (& и) =} (о), = Р+2щии
ун> —4у, ==> —32 приводит наше отображение к виду
И. 2 — б, & = ЗЕ — бо.
Наконец, сделав еще пару замен х +} —6т и и +} —6%, мы приведем
последнее отображение к нормальной форме (11.29). Ш
ЗАДАЧА 11.10. Пусть ©(#,+(®,17( гладкие функции, не обращающиеся в нуль при { = 0. Покажите, что ростки касательных
поверхностей к кривым
=#2(, у=Еу(, 2=Е",
т =12(1), у= Ру(о, я И (4),
=), у=Вф@, 2=#1()
в начале координат диффеоморфны тем же поверхностям, что и касательные поверхности к соответствующим кривым Г12з, Г124, Г2з4.
ЗАДАЧА 11.11. Для каких пространственных кривых касательными поверхностями являются образы отображений, заданных формулами (11.24) и (11.25)?

Исследование, описанное в статье про особенности отображений r2 -> r3, подчеркивает ее значимость в современном мире. Надеюсь, что теперь ты понял что такое особенности отображений r2 -> r3 и для чего все это нужно, а если не понял, или есть замечания, то не стесняйся, пиши или спрашивай в комментариях, с удовольствием отвечу. Для того чтобы глубже понять настоятельно рекомендую изучить всю информацию из категории Теория особенностей и катастроф