14. Огибающие семейств решений неявных дифференциальных уравнений. . Парадокс Каталана

Привет, Вы узнаете о том , что такое огибающие семейств решений неявных дифференциальных уравнений, Разберем основные их виды и особенности использования. Еще будет много подробных примеров и описаний. Для того чтобы лучше понимать что такое огибающие семейств решений неявных дифференциальных уравнений, парадокс каталана , настоятельно рекомендую прочитать все из категории Теория особенностей и катастроф.

В заключение обсудим один любопытный вопрос, связанный с существованием огибающих семейств решений неявных дифференциальных уравнений. В свое время он послужил причиной спора между известными французскими математиками Дарбу и Каталаном".
Рассмотрим произвольное семейство кривых на (т, у)-плоскости,
заданное формулой
Ф(т, у, с) = 0, (14.1)
с гладкой функцией Ф, где с- параметр, играющий роль «номера» кривой в семействе. Априори не предполагается, что это — интегральные
кривые какого-либо дифференциального уравнения. Выясним, при каких условиях это семейство имеет огибающую
т=Ф(К, у=\(, ТЕГ. (14.2)
Очевидно, что необтодимым условием для этого является следующее: существует функция &(#), не постоянная ни на каком интервале,
для которой выполнены равенства,
(9,40, 0) =0, $.(2(, 4,8) =0. = (143)
Доклзательетвохо. Действительно, предположим, что кривая
(14.2) является огибающей, но данное условие не выполнено. Из первого следует, что для каждого { Е Г найдется такой вещественный
«номер» с, для которого Ф(х,у,с) = 0. Вообще говоря, этот «номер»
1]еап Сазюоп ОагЬоих (1842-1917). Епяепе-Сваез Сабайап (1814 - 1894).
169
с может быть не единственным (кривые (14.1) могут иметь пересечения), обозначим с» все такие «номера».
Из второго предположения следует, что для некоторого +, Е Ги
для всех соответствующих ему со выполнено Ф.(т., у», Со) 2 0, где
т. = Ф(ЁЬ,) иц, = (Ё,), иначе мы могли бы положить &(1,) = съ с тем
са, пля которого выполнено равенство. По теореме о неявной функции
условие Ф.(т„, у», Со) = 0 означает, что в окрестности точки (1„, У», Сао)
уравнение (14.1) разрешимо относительно с, и семейство кривых имеет
вид линий уровня /(7, у) = с некоторой гладкой функции /. Следовательно, с помощью подходящего локального диффеоморфизма это семейство превращается в семейство параллельных прямых, см. рис. 1.1.
Так как свойство быть огибающей сохраняется при диффеоморфизме,
то семейство параллельных прямых также должно иметь огибающую,
что очевидно не верно. |
В случае конкретного семейства это необхолимое условие обычно
позволяет найти огибающие или доказать из отсутствие. Рассмотрим
систему уравнений с тремя переменными
Ф( т, у, с) — 0, Ф.(х, у, С) — 0, (14.4)
и исключим из нее с. Это дает уравнение О(т,у) = 0, которое определяет на плоскости (т, у) дискриминантиое множество (дискриминантиую кривую) семейства (14.1). В случае общего положения оно
состоит из одной или нескольких кривых, и для каждой из них можно
легко проверить, является ли она огибающей семейства (14.1) или нет.
Ниже мы приведем примеры, показывающие, что выведенное необходимое условие не является достаточным.
ПРИМЕР 14.1. Рассмотрим семейство кривых
Ф=у+ 17 + 21с — ас? = 0, (14.5)
гдес параметр семейства, «о некоторое фиксированное число. Равенство Ф, = 0 равносильно х — ас = 0. Предполагая, что а = 0,
получаем с = х/а. Подставляя последнее выражение в (14.5), находим
дискриминантное множество это кривая
у (1+а` 7)? = 0. (14.6)
Теперь найдем точки пересечения кривых (14.5) и (14.6). Это дает
уравнение 12 +2тс— ос? = (1+ а 122, из которого находим: х = —2ас.
Значит, при каждом значении параметра с кривая (14.6) пересекается
170
с соответствующей кривой семейства (14.5), причем в единственной
точке 1 = —2ас, которая, как легко видеть, является точкой касания.
Таким образом, кривая (14.6) является огибающей семейства (14.5)
при любом а = 0. Осталось рассмотреть случай а = 0. Тогда Ф. = 2х,
дискриминантное множество задается уравнениями 1 = Оиу = 0, т.е.
состоит из одной точки и не может быть огибающей.
ПримЕР 14.2. Рассмотрим семейство кривых
Ф =у+ 17 — 2аса + с? = 0, (14.7)
где с параметр семейства, @ фиксированное число. Равенство
Ф. = 0 дает с = ах, подставляя его в (14.7), находим дискриминантное
множество — это кривая
у = (а? - 117. (14.8)
Если а = 0, парабола (14.8) пересекает каждую кривую семейства,
(14.7) в единственной точке т = с / а, которая является точкой касания.
Следовательно, кривая (14.8) является огибающей. Об этом говорит сайт https://intellect.icu . Если а = 0, то
парабола (14.8) тождественно совпадает с одной из кривых семейства,
(14.7), поэтому не является огибающей.
Рассмотрим поверхность „Я, задаваемую уравнением (14.1) в трехмерном пространстве (5, у, с). Кривая семейства (14.1) с параметром
с. «поднимается» на поверхность . очевидным образом: результатом «поднятия» является кривая, полученная сечением поверхности
-# «горизонтальной» плоскостью с = с,. Все такие кривые суть интегральные кривые поля направлений, полученных пересечением поля касательных плоскостей к „Я и поля горизонтальных плоскостей
4с = 0. Очевидно, это поле направлений можно задать с помощью
векторного поля:
&=Ф, 9=-Ф, 6=0, (14.9)
интегральные кривые которого становятся кривыми семейства (14.1)
после проектирования л поверхности „Я на плоскость (т, у) вдоль направления оси с.
Обозначим через 5 криминанту (множество критических точек)
отображения проектирования л, Она задается системой уравнений
(14.4), а ее проекция л(5) является дискриминантным множеством.
Согласно доказанному выше, огибающая семейства (14.1) целиком содержится в его дискриминантном множестве.
171
ЗАДАЧА 14.1. Докажите следующее достаточное условие: если
во всех точках криминанты выполнены условия
9(Ф,Ф.) Эк.) я0, Фе 0, (14.10)
то дискриминантное множество является регулярной кривой без особенностей и огибающей семейства (14.1).
ЗАМЕЧАНИЕ 14.1, Доказательство приведенного выше достаточного условия можно найти в книге [20], в которой огибающие семейств
исследованы более подробно и с гораздо более общей точки зрения.
В ней содержится много тонких и нетривиальных наблюдений об огибающих, которые опускаются даже в очень хороших учебниках?.
ЗАМЕЧАНИЕ 14,2. Для семейств кривых, заданных в параметрическом виде
г=хХ(Ьс), у=У(Ьс) (14.11)
с гладкими Х и У, имеют место необходимое и достаточное условия,
аналогичные сформулированным выше. Например, равенство Ф. = 0
заменяется на О 0 (с)
Все эти утверждения также можно найти в книге [20].
Описанная выше конструкция напоминает поднятие неявного дифференциального уравнения (13.1) на поверхность „Я в пространстве „11,
включая и тот факт, что в обоих случаях огибающая (если она существует) содержится в дискриминантном множестве. Однако между
этими конструкциями имеется принципиальное различие, обусловлет гное различными процедурами полнятия кривых.
В случае дифференциального уравнения используется переход к
1-графику кривой по формуле (13.3), который мы будем называть
«лежандровым поднятием», а для семейств (14.1) используется «параллельное поднятие» (т,у) =? (т,у,с), где значение с одинаково для
всех точек (т, у), лежащих на одной кривой семейства. Эти процедуры порождают различные поля поля плоскостей в соответствующих
пространствах: «вертикальное» поле контактных плоскостей 4у = рат
в пространстве /! и «горизонтальное» поле плоскостей 4с = 0 в пространстве (1,1, с); см. рис. 14.1.
Сы. также методическую заметку: Беляева Т.Б., Залгаллер В.А. Об изложении
теории огибающих /’ Успехи матем. наук. 1963. Т. 18, выш. 5. С. 147-149.
172
ПРИМЕР 14.3. Рассмотрим уравнение у = у’, решения которого
задаются формулой у = се", как уравнение общего вида (13.1). Соответствующая поверхность в пространстве „11 - это плоскость р-у = 0.
Поле контактных плоскостей 4у = рат в /\ порождает на ней векторное поле г = 1, у = р, р = р, интегральные кривые которого после
проекции дают семейство решений у = се”. С другой стороны, после
параллельного поднятия кривые семейства уу = се” образуют нелинейную поверхность с = уе ® в пространстве (т, у, с).
Рис. 14.1 Слева: лежандрово поднятие кривых в пространстве ./'. Справа:
параллельное поднятие кривых семейства Ф(т, у, с) =0
Это приводит к различию понятий «общего положения» в классе
семейств интегральных кривых неявных дифференциальных уравнений (13.1) и в классе произвольных семейств вида (14.1) или (14.11).
Возьмем гладкую функцию общего положения ЁР = Ф от трех переменных и рассмотрим поверхности, задаваемые одинаковыми уравнениями Р(т,у,р) = Ои Ф(т,у,с) = 0 в соответствующих пространствах, поля направлений на которых порождаются формами 4у = рат
и 4с = 0 соответственно. В точках криминанты касательные плоскости
к обеим поверхностям вертикальны, но в пересечении С контактными
плоскостями 4у = рф они дают вертикальные направления, а в пересечении Сс горизонтальными плоскостями с — 0 нет.
Криминанта уравнения Р(т, у, р) = 0 почти полностью состоит из
точек с вертикальным направлением поднятого поля (рис. 9.3), исключением являются лишь точки, в которых обращается в нуль функция
С — Е: + Е, (в типичном случае такие точки лежат на криминанте
изолированно). Дискриминантная кривая уравнения (13.1) представляет собой геометрические место каспов интегральных кривых этого
уравнения (рис. 13.6, слева). Случай, когда дискриминантная кривая
является огибающей (рис. 13.6, справа), требует выполнения равен173
ства. С’ = 0 во всех точках криминанты, поэтому не является общим и
разрушается при сколь угодно малых возмущениях функции Р.
Напротив, криминанта семейства Ф(т,у,с) = 0 состоит из точек с
невертикальным направлением поднятого поля, исключениями являются только точки, в которых поле вообще не определено -— это критические точки функции Ф (см. (14.9)). После проектирования т криминанта, превращается в огибающую семейства Ф(т, у, с) = 0.
ЗАМЕЧАНИЕ 14.3. Аналогичная ситуация имеем место для семейств, заданных формулами (14.11). Дискриминантная кривая семейства общего положения является огибающей, а каспы встречаются
редко, лишь при отдельных значениях параметра. Например, в семействе (6.4) (пример 6.1 из раздела 6) касп есть лишь у одной кривой,
а все остальные кривые регулярны во всех своих точках. Огибающей
этого семейства является ось у = 0 с одной выколотой точкой началом координат, где и находится тот самый единственный касп.
ПРИМЕР 14.4. В разделе 6.2.7 мы рассматривали неявные уравнения специального типа:
Е(р,гр-у) =0, р= ау/ ах, (14.12)
где Р(и,®) - произвольная гладкая функция. Неособые решения этого
уравнения образуют семейство касательных к дискриминантной кривой, а для любых прямых лежандрово и параллельное поднятия, очевидно, совпадают. Значит, 1-графики неособых решений получаются
сечениями поверхности в пространстве „/\ плоскостями р = с0п8.
Отсюда. следует, что семейство неособых решений уравнения (14.12)
задается формулой (14.1) с функцией
Ф(т, у, с) = Е(с, те- у).
Это свойство (семейство неособых решений получается из самого уравнения заменой р на с) иногда называют свойством Клеро.
ЗАМЕЧАНИЕ 14.4. Может показаться, что свойством Клеро обладают лишь уравнения вида (14.12), однако это не так. Свойством
Клеро обладает, например, уравнение р? — ур + е? = 0, рассмотренное
нами в примере 13.5. Мы выяснили, что это уравнение имеет два, особых решения огибающие семейства неособых решений у = сет + 1/с,
с = 0. Последние можно задать и другой формулой. Например, если
перейти к новой константе б = 1/с, то после умножения обеих частей
равенства у = &+ е* /е на & получаем формулу 62 — уб+е* = 0, которая
получается из самого уравнения заменой р на С.
174
ЗАДАЧА 14.2. Мы предоставляем читателю возможность самостоятельно разобраться в причине этого явления и описать весь класс
уравнений, обладающих свойством Клеро?.
В заключение упомянем об одном историческом курьезе, связанном
с неявными дифференциальными уравнениями, описанном в [28].
В 1870 г. Дарбу заметил, что в общем случае дискриминантная кривая уравнения (13.1) есть геометрическое место каспов его неособых
решений, а не огибающей. Карно возразил, что это утверждение противоречит известному факту: дискриминантная кривая типичного семейства кривых является его огибающей, а так как неособые решения
дифференциального уравнения представляют собой частный случай
общего семейства кривых, то, по его мнению, это должно быть типично и для дифференциальных уравнений. Полемика Дарбу и Каталана,
привлекла внимание многих известных математиков, в частности Альфреда Клебша, который рассматривал возникший «парадокс» с точки
зрения разработанной им теории коннексов*.
ЗАМЕЧАНИЕ 14.5. Теория коннексов Клебша фактически приводит к описанной выше конструкции поднятия уравнения на поверхность. В терминологии Клебша, у каждого дифференциального уравнения есть свой коннекс это поле плоскостей, касательных к поверхности данного уравнения, а также есть общий для всех уравнений
главный коннекс — это поле контактных плоскостей. Затем Клебщ рассматривал главную конциндениию уравнения - пересечение главного
коннекса с коннексом данного уравнения, что в современной терминологии соответствует поднятому полю направлений.
23 ноября 1872 г. Дарбу выступил на заседании парижского общества любителей знаний (5061646 рПошайчие) с докладом на эту тему,
в котором дал объяснение «парадоксу Каталана», фактически совпадающее с приведенными выше рассуждениями. Позже его доклад был
опубликован в виде статьи «Об особых решениях дифференциальных
уравнений первого порядка»”.
3 Минтота О.5., Кейв Т.О. Мала опв ап сепегаЙваопя о СЛайтащ '5 едпаНопя //
Роы. Неюктаен. РаК., Ош. Веорга@., 5ег. Маф. Р1х. 1981. 716 734. Р.11 21,
Водо! Еиедись АНгед СЛебзсь (1833 1872) немецкий математик. Многие его
работы были изданы посмертно. Изложение теории коннексов Клебша можно найти, например, в книге «Высшая геометрия» Ф. Клейна.
5 Рагвоих С’. Зиг 1ев зошоп8 мариЙгез Чез 6бацаНон8 Ч гепыеЦез ог4шашез Чи
ргепиег огаге /’ Ви. 8с1. пла. ее авйгоп. 1873. \. 4. Р. 158-176,

Исследование, описанное в статье про огибающие семейств решений неявных дифференциальных уравнений, подчеркивает ее значимость в современном мире. Надеюсь, что теперь ты понял что такое огибающие семейств решений неявных дифференциальных уравнений, парадокс каталана и для чего все это нужно, а если не понял, или есть замечания, то не стесняйся, пиши или спрашивай в комментариях, с удовольствием отвечу. Для того чтобы глубже понять настоятельно рекомендую изучить всю информацию из категории Теория особенностей и катастроф