3.3. Струи и плоские функции, Версальные деформации, устойчивые особенности и достаточные струи.Исчисление струй и теоремы трансверсальности ,Стратифицированные множества кратко

Привет, Вы узнаете о том , что такое струи, Разберем основные их виды и особенности использования. Еще будет много подробных примеров и описаний. Для того чтобы лучше понимать что такое струи, плоские функции , настоятельно рекомендую прочитать все из категории Теория особенностей и катастроф.

Важным понятием, использующимся в теории особенностей, является понятие струи (или джета транслитерация английского слова,
«]е(»). Струи бывают у гладких функций и отображений. Последнее
сводится к первому, так как отображение конечномерных пространств
представляет собой набор функций, и струя отображения это набор
струй соответствующих функций. Поэтому далее мы будем говорить
о струях функций, причем дадим их определение двумя способами:
бескоординатным (алгебра) и координатным (анализ). Эти способы
эквивалентны, и полезно знать оба.

3.3.1. Бескоординатное определение
Пусть А — алгебра ростков гладких функций
Итл,.... о): >В
в фиксированной точке хо. Для заданного целого А > 0 введем в А
следующее отношение эквивалентности } -- д:
|У(<) — 9(2)| = о(|1 — т0|^) при х — 20. (3.4)
Соответствующие классы эквивалентности называются А-струями.
Таким образом, К-струя это класс ростков функций, графики которых имеют в точке хо касание порядка К (рис. 3.1). 4 = \ - а е- 5 (= 2 вы вы аш вшши вишии Е ИО, Бе щ ы
"0 0 ‚0

Рис. 3.1 Касания порядков К = 0,1,2 (слева направо)
Рассматривается также случай К = со и соответствующее ему понятие со-струи. В этом случае } => д, если |{(х) — 9(1)| = о(] — хо||*)
для всех К > 0, т.е. имеет место касание бесконечного порядка.
ЗАМЕЧАНИЕ 3.4. В данном определении ||| можно понимать
как стандартную евклидову норму (длину) вектора из пространства,
34
В". Но ничего не изменится, если под ||т|| т понимать любую другую
норму в пространстве В". В конечномерном векторном пространстве
все нормы эквивалентны в том смысле, что сходимость в одной из них
влечет сходимость в любой другой норме. Это утверждение нетрудно
доказать самостоятельно или найти в соответствующий литературе,
Для выбранного Ё каждый росток } Е А относится ровно к одному из классов эквивалентности, который называется его А-струей
и обозначается 1*[/]. Об этом говорит сайт https://intellect.icu . Множество К-струй в данной точке фактормножество А/-> является алгеброй, представляющей собой конечномерную аппроксимацию бесконечномерной алгебры 2, если определить сумму и произведение К-струй, а также их умножение на числа
по естественным правилам, вытекающим из принятого нами определения эквивалентности. Именно, для любых ростков ]; -> 9; и числа @
имеем
яч = ЛИ+ЛЫ=ЛА+Ь,
ВР = ЛИЛ =РЛЬ, (3.5)
ар ад: = а“ =].
Нулевым элементом построенной фактор-алгебры А/ > является
класс 7^|0] — это А-струя тождественно нулевой функции. Функция
{ называется Ё-плоской в точке хо, если 7^[{] = 7* 0], т.е. росток } в
точке хо принадлежит классу 71° . Обозначим через т^ подмножество
алгебры А, состоящее из ростков функций, К-плоских в точке 10.
ЗАДАЧА 3.5. Покажите, что все т^ являются идеалами в алгебре
А и имеет место цепочка вложений
шо Эш? 5... > м,
Докажите, что илеал то является максимальным. Докажите, что идеал м^ при любом конечном К является конечнопорожденным, приведите пример набора его образующих и докажите, что любой набор
образующих идеала п, к < со, является минимальным.
ЗАДАЧА 3.6. Покажите, что идеал м не является конечнопорожденным.
ЗАДАЧА 3.7. Покажите, что для любого А построенная с помощью
соответствующего отношения эквивалентности фактор-алгебра А/ —>
совпадает с А/м^.
ЗНапример: Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функции и функционального анализа. Москва: Наука, 1989.
35

3.3.2. Координатное определение
Если же в окрестности точки то пространства-прообраза выбрана
некоторая система координат, то для любого конечного № струю 7*[/]
можно отождествить с многочленом Тейлора степени А функции { в
рассматриваемой точке. При этом многочлены складываются и умножаются по правилам, заданным формулами (3.5).
Согласно этим формулам, сложение многочленов происходит обычным образом (складываются коэффициенты при одинаковых одночленах), а умножение двух элементов /, 9 Е А/-> происходит следующим
образом. Сначала } и 9 перемножаются как обычные многочлены, а
после этого в получившемся произведении отбрасываются все мономы,
степени которых превосходят К. Это обобщение алгебры срезанных
многочленов от одной переменной, с которой мы уже сталкивались
ранее (см. задачу 3.4), на случай многих переменных.
Из сказанного вытекает, что функция {} является А-плоской в точке 10, если все ее частные производные до порядка № включительно
(включая сюда и К = 0, т.е. саму функцию /) в точке ло равны нулю. Нетрудно убедиться, что это условие инвариантно, т.е. не зависит
от выбора системы координат: если оно выполнено для какой-нибудь
одной системы координат, то будет выполнено и для любой другой.
Отсюда следует, что определение К-струи через многочлен Тейлора
равносильно данному выше бескоординатному определению.
ЗАДАЧА 3.8. Из приведенных рассуждений легко видеть, что размерность алгебры А-струй функций одной переменной равна А +1. Чему равна размерность алгебры А-струй функций п переменных?
Случай К = со аналогичен предыдущему. Разница лишь в том, что
для определения со-струи вместо многочлена Тейлора конечной степени нужно браль весь ряд Тейлора. Для гладкой функции такой ряд,
вообще говоря, может быть расходящимся во всех точках, кроме то.
Степенные ряды, о сходимости которых ничего не известно, называются формальными. С ними можно обращаться (например, складывать
их, умножать, подставлять друг в друга, ес.) чисто формально, как
с многочленами от соответствующих переменных. Более подробно об
этом мы поговорим в разделе 5.1.
Выше мы говорили о струях функций в некоторой фиксированной
точке то пространства-прообраза. Однако часто приходится иметь дело с пространством, состоящим из струй функций в разных точках
пространства-прообраза. Это приводит к следующему определению.
36
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 3.3. Пространством К-струй называется множество .7* всевозможных пар (50, 1*[1\), где то Е ®иреЕ А(50), А(то} -
алгебра ростков гладких функций в точке то, которая в этом случае
называется устьем струм (англ.: базе-ротй.
Подчеркнем, что „/^ не является ни алгеброй, ни даже векторным
пространством, так как струи с разными устьями нет смысла ни складывать, ни умножать друг на друга- Однако его точки можно взаимно однозначно отождествлять с точками пространства ВМ подходящей
размерности М.
Например, рассмотрим функции одной переменной (т) : В + Ви
запишем многочлен Тейлора. степени А в произвольной точке 50:
*®) (то) т (%-— т0)*. Ть(х) = (то) + Г (то) (т — хо) +... +
Набор К - 2 чисел
10, Г(то), Г’ (то), ...: 1® (то),
однозначно определяющий многочлен 7)., является точкой вещественного пространства .^ размерности & +2, которое и является пространством А-струй функций одной переменной. Так, в частном случае К = 1
мы получаем трехмерное пространство 1-струй 1.

Исследование, описанное в статье про струи, подчеркивает ее значимость в современном мире. Надеюсь, что теперь ты понял что такое струи, плоские функции и для чего все это нужно, а если не понял, или есть замечания, то не стесняйся, пиши или спрашивай в комментариях, с удовольствием отвечу. Для того чтобы глубже понять настоятельно рекомендую изучить всю информацию из категории Теория особенностей и катастроф