Лекция
теория катастроф — раздел математики, включающий в себя теорию бифуркаций дифференциальных уравнений (динамических систем) и теорию особенностей гладких отображений. Теория катастроф — раздел современной математики, который является дальнейшим развитием теории устойчивости и бифуркаций.
Термины «катастрофа» и «теория катастроф» были введены Рене Томом и Кристофером Зиманом в конце 1960-х — начале 1970-х годов («катастрофа» в данном контексте означает резкое качественное изменение объекта при плавном количественном изменении параметров, от которых он зависит). Теория катастроф нашла многочисленные применения в различных областях прикладной математики, физики и других естественных наук.
Для того чтобы проникнуть в мир современной теории особенностей, быть может, лучше всего начать с конкретных элементарных примеров.
В.И. Арнольд
I seem to have been only like a boy playing on the sea-shore, and diverting myself in now and then nding a smoother pebble or a prettier shell than ordinary.
Isaac Newton
Первые фундаментальные результаты в области динамических систем, относящиеся к теории катастроф, принадлежат Анри Пуанкаре (метод нормальных форм в теории дифференциальных уравнений) и Александру Андронову-старшему (бифуркации динамических систем). Основы теории особенностей гладких отображений были заложены прежде всего в трудах американского тополога Хасслера Уитни в 1940-х — 1950-х годы, которым предшествовала лемма Морса о нормальной форме функции в окрестности невырожденной критической точки.
Данное пособие ставит целью познакомить читателя с теорией особенностей (также часто называемой «теорией катастроф») областью математики, включающей в себя исследование особенностей гладких
отображений и особенностей динамических систем. Первую тему можно рассматривать как некоторую часть области, называемой ‹анализом на многообразиях», а. вторую - как часть теории дифференциальных уравнений, которая называется «теорией бифуркаций».
Под словом «особенности» подразумеваются различного рода нетипичные, вырожденные случаи поведения изучаемых объектов: функций, отображений, кривых, волновых фронтов, дифференциальных
уравнений и других «непрерывных» объектов!. В каждом конкретном исследовании дается определение, чтб именно подразумевается под особенностью.
Нам удобно будет использовать термин «функция» для отображений Rn -> R и «отображение» для Rn -> Rm, если m > 1.
Например, в классе гладких функций особенностями являются их критические точки — точки, в которых обращаются в нуль все производные первого порядка. В классе кривых, заданных параметрически
с помощью набора гладких функций, особенностями являются точки, в которых одновременно обращаются в нуль все производные этих функций, т.е. вектор «скорости». Для произвольного гладкого отображения Rn -> Rm особенности это точки, в которых ранг матрицы Якоби меньше максимально возможного значения min(n,m).
Исторически раньше возникла теория бифуркаций, она восходит к Пуанкаре. Работы, относящиеся к исследованию особенностей гладких отображений, стали систематически появляться во второй половине ХХ века, хотя отдельные результаты в этом направлении были и раньше (кое-что можно найти даже у Ньютона и его современников).
Нельзя не упомянуть об американском математике Хасслере Уитни , внесшем огромный вклад в эту и смежные области.
В конце 1960-х годов развитием этого направления занялся Рене Том. Однако популярность идеи Уитни и Тома приобрели благодаря нескольким публикациям Зимана в 1970-х годов, который активно пропагандировал теорию катастроф, сравнивая ее значение с изобретением математического анализа и говоря о «революции в математике». Бурное развитие теории катастроф в 1970-е — 1990-е годы связано с деятельностью Майкла Бордмана, Эгберта Брискорна (нем. Egbert Brieskorn), Джеймса Брюса (англ. J. W. Bruce), Джона Мазера, Бернара Мальгранжа, Рене Тома, Терри Уолла, Кристофера Зимана и особенно Владимира Арнольда и его учеников (Ильи Богаевского, Александра Варченко, Виктора Васильева, Александра Гивенталя, Виктора Горюнова, Сабира Гусейн-Заде, Владимира Закалюкина, Максима Казаряна, Вячеслава Седых).
В конце 1960-х — 1970-е голдах исследования особенностей гладких отображений сформировались в отдельный раздел математики, со своей идеологией и аппаратом. Ведущую роль в этом играл французский
математик, филдсовский лауреат Рене Том (Вепб Твош), а также некоторые другие математики (в основном из Франции и Великобритании).
В Россию (тогда Советский Союз) это направление было импортировано В.И. Арнольдом, создавшим в 1980-е годы в Москве свою школу по теории особенностей, которая быстро получила признание во всем мире, от Америки до Японии.
В настоящее время
теория особенностей представляет собой огромный конгломерат идей и методов, включающих анализ и алгебру (также алгебраическую геометрию), дифференциальные уравнения и дифференциальную геометрию и топологию, и много другое. Для овладения этим материалом необходимо прочитать минимум несколько достаточно серьезных книг . Настоящее пособие ставит себе скромную цель лишь подвести читателя к возможности начать изучать серьезную литературу.
В основном здесь рассматриваются вопросы об особенностях гладких отображений, теория бифуркаций не представлена вовсе (хотя «тень» ее присутствует в некоторых местах книги). Большое внимание
уделяется конкретным и ловольно простым примерам, в полном соответствии с обеими цитатами из эпиграфа. Имеется довольно много задач, некоторые из них снабжены решениями, но некоторые оставлены
для самостоятельного обдумывания читателю (в том числе несколько довольно трудных, помеченных звездочкой). Авторы стремились доказывать все приводимые утверждения, но несколько центральных
теорем все же оставлены без доказательств. В таких случаях мы всегда, давали ссылки на источники, в которых содержатся нужные доказательства.
В разделе 13 рассмотрен вопрос о дифференциальных уравнениях, не разрешенных относительно производной. Эта тема традиционно входит в стандартный курс дифференциальных уравнений, читающийся студентам, но изложение материала, на нал взгляд, неудовлетворительно. Почти всегла за кадром остается геометрическая конструкция, приводящая к так называемому «методу параметра», изза чего непонятно, почему этот метод эффективен.
Вообще, изгнание геометрии из современного преподавания математики — одна из тех современных бед, о которых часто упоминал В.И. Арнольд.
Без геометрии непонятно, почему интегральные кривые таких уравнений обычно имеют особенности — точки возврата (каспы), почему дискриминантная кривая иногда бывает геометрическим местом
этих каспов. а иногда огибающей семейства решений, и какой из этих случаев типичен, а какой нет (в свое время этот вопрос стал предметом спора между Дарбу и Каталаном), да и много другое. Мы решили
хотя бы частично восполнить этот пробел, тем более, что эта тема представляет собой прекрасный пример приложения результатов теории особенностей гладких отображений к исследованию совершенно
других (на первый взгляд) объектов — дифференциальных уравнений.
Пособие написано достаточно просто (возможно, даже чрезмерно просто, с риском отпугнуть читателя, любящего абстрактные и максимально общие теории) — мы хотели, чтобы оно было доступно читателям, владеющим лишь основами математического анализа и алгебры. В некоторых местах требуется знать чуть больше элементы дифференциальной геометрии, теории дифференциальных уравнений, теории функций комплексного переменного. В библиографии приведены ссылки, с помощью которых можно восполнить пробелы.
Теория катастроф анализирует критические точки (репетиции) потенциальной функции, то есть точки, где не только первая производная функции равна нулю, но равны нулю и производные более высокого порядка. Динамика развития таких точек может быть изучена при помощи разложения потенциальной функции в рядах Тейлора посредством малых изменений входных параметров. Если точки роста складываются не просто в случайный узор, но формируют структурированную область стабильности, эти точки существуют как организующие центры для особых геометрических структур с низким уровнем катастрофичности, с высоким уровнем катастрофичности в окружающих их областях фазового пространства. Если потенциальная функция зависит от трех или меньшего числа активных переменных, и пяти или менее активных параметров, то в этом случае существует всего семь обобщенных структур описанных геометрий бифуркаций, которым можно приписать стандартные формы разложений в ряды Тейлора, в которые можно разложить репетиции при помощи диффеоморфизма (гладкой трансформации, обращение которой также гладко). Сегодня эти семь фундаментальных типов катастроф известны под именами, которые им дал Рене Том.
Стабильная и нестабильная части экстремума, исчезаемого при бифуркации типа «складка»:
.
При отрицательных значениях параметра a
потенциальная функция имеет два экстремума — один стабильный (устойчивое равновесие) и один нестабильный (неустойчивое равновесие). Если параметр a медленно изменяется, система может находиться в точке стабильного минимума. Но если a=0 , стабильные и нестабильный экстремумы встречаются и аннигилируют. Это — точка бифуркации. При 
не существует стабильного решения.
Если физическая система проходит через точку бифуркации типа «складка», и поэтому параметр a проходит через нулевое значение, стабильность решения при a<0
теряется, и система может осуществить внезапный переход в новое, весьма отличное от предыдущего состояние. Это бифуркационное значение параметра a иногда называется «точкой фиксации».
Диаграмма катастрофы сборки, показывающая кривые (коричневые и красные) для x, удовлетворяющего уравнение dV⁄dx = 0 и параметров (a,b), где параметр b изменяется непрерывно, а для параметра a показаны только несколько разных значений. За пределами сборки (синяя линия) каждой точке (a,b) в пространстве параметров соответствует только одно решение x. Внутри же сборки существуют по два различных значения x, соответствующих локальным минимумам V(x) для каждой точки (a,b), разделенные значением x, соответствующим локальному максимуму. |
|
Форма сборки в пространстве параметров (a,b) вблизи точки катастрофы, показывающая бифуркацию, разделяющую области с одним и двумя устойчивыми решениями. |
Бифуркация типа вилы при a = 0 на поверхности b = 0 |
Диаграмма катастрофы «сборка» с точкой возврата, на которой показаны кривые (коричневые, красные) по переменной x, удовлетворяющие выражению для параметров (a,b), кривые показаны для непрерывно изменяющегося параметра b при различных значениях параметра a. Вне геометрического места точек возврата (синяя область) для каждой точки (a,b) в фазовом пространстве существует только одно экстремальное значение переменной x. Внутри точек возврата существует два различных значения x, которые дают локальные минимумы функции V(x) для каждой пары (a,b). При этом указанные значения разделены локальным максимумом.
Бифуркация типа «вилка» при a = 0 на пространстве b = 0. Форма точек возврата в фазовом пространстве (a,b) около точки катастрофы, показывающая геометрическое место бифуркаций типа «свертка», которое разделяет область с двумя стабильными решениями и область с одним решением. Геометрия точек возврата весьма обычна, когда производится изучение того, что происходит с бифуркациями типа «свертка» при добавлении в управляющее пространство нового параметра b. Изменяя параметры, можно найти, что имеется кривая (синяя) точек в пространстве (a,b), на которой теряется стабильность, то есть на этой кривой стабильное решение может внезапно «перепрыгнуть» на альтернативное значение (также стабильное).
Но в геометрии точек возврата кривая бифуркаций заворачивает назад, создавая вторую ветвь, на которой уже это второе решение теряет стабильность, а потому может совершить «прыжок» назад на исходное множество решений. При повторном увеличении значения параметра b и последующем уменьшении его, можно наблюдать гистерезис в поведении петель, поскольку система следует по одному решению, «перепрыгивает» на другое, следует по нему и «перепрыгивает» назад на исходное.
Однако это возможно только в области в параметрическом пространстве при a < 0. Если значение параметра a увеличивается, петли гистерезиса становятся меньше и меньше, пока значение a не достигнет 0. В этой точке петли исчезают (катастрофа с точкой возврата), и появляется только одно стабильное решение.
Также можно рассмотреть процесс изменения параметра a при неизменном значении b. В симметричном случае при b = 0 можно наблюдать бифуркацию типа «вилы» при уменьшающемся значении параметра a одно стабильное решение внезапно разделяется на два стабильных решения и одно нестабильное. В это время физическая система проходит в область a < 0 через точку возврата (a = 0, b = 0) (это пример спонтанного нарушения симметрии). Вдали от точки возврата не существует внезапных изменений в физической системе, поскольку при прохождении по кривой бифуркации свертки происходит только то, что становится доступным второе альтернативное решение.
Одно из наиболее интересных предложений по использованию катастрофы с точкой возврата заключается в том, что этот тип катастрофы можно использовать для моделирования поведения собаки, которая в ответ на внешнее воздействие может испугаться или обозлиться. Предложение заключается в том, что при умеренном воздействии (a > 0) собака будет проявлять плавное изменение отклика с испуга на злость в зависимости от того, как было проведено воздействие. Но более высокий уровень воздействия — это стресс, соответствующий переходу в область a < 0. В этом случае если собака изначально испугалась, она останется испуганной при увеличении уровня воздействия на нее, пока в конечном итоге она не достигнет точки возврата, где произойдет спонтанный переход в режим злобы. При переходе в этот режим собака будет оставаться озлобленной даже в случае постепенного снижения воздействия на нее.
Другой пример прикладного применения катастрофы с точкой возврата заключается в моделировании поведения электрона при перемещении с одного энергетического уровня на другой, что часто наблюдается в химических и биологических системах. Это указывает на то, что бифуркации рассмотренного типа и геометрия точек возврата является наиболее важной практической частью теории катастроф. Это шаблоны, которые проявляются вновь и вновь в физике, инженерии и математическом моделировании.
Оставшиеся простые геометрии катастроф являются более специализированными по сравнению с только что рассмотренной, а потому проявляются только в некоторых отдельных случаях.
Поверхность катастрофы «Ласточкин хвост»
Управляющее пространство в данном типе катастроф является трехмерным. Каскад бифуркаций в фазовом пространстве состоит из трех поверхностей бифуркаций типа «складка», которые встречаются на двух кривых бифуркаций с точками возврата, которые в конечном итоге встречаются в одной точке, представляющей собой бифуркацию типа «ласточкин хвост».
По мере прохождения значений параметров по поверхностям областей бифуркаций типа «складка» пропадает один минимум и один максимум потенциальной функции. В области бифуркаций с точкой возврата два минимума и один максимум замещаются одним минимумом; за ними бифуркации типа «складка» исчезают. В точке ласточкиного хвоста два минимума и два максимума встречаются в одном значении переменной x. Для значений a > 0 за ласточкиным хвостом существует либо одна пара (минимум, максимум), либо не существует вообще никаких бифуркаций. Это зависит от значений параметров b и c. Две поверхности бифуркаций типа «складка» и две линии бифуркаций с точками возврата встречаются при a < 0, а потому исчезают в самой точке ласточкиного хвоста, заменяясь одной поверхностью бифуркаций типа «складка». Последняя картина Сальвадора Дали под названием «Ласточкин хвост» создана под влиянием этого типа катастроф.
В зависимости от значений параметров потенциальная функция может иметь три, два или один локальный минимум, причем все минимумы разделены областями с бифуркациями типа «складка». В точке с поэтичным наименованием «бабочка» встречаются три различные пространства (трехмерных плоскости) таких бифуркаций типа «складка», две поверхности бифуркаций с точками возврата и кривая бифуркаций типа «ласточкин хвост». Все эти бифуркации пропадают в одной точке и преобразуются в простую структуру с точкой возврата тогда, когда значение параметра a становится положительным.
Омбилические катастрофы являются примерами катастроф второго порядка. Они, к примеру, могут наблюдаться в оптике при отражении света от трехмерных поверхностей. Сами по себе такие катастрофы тесно связаны с геометрией почти сферических поверхностей. Рене Том предложил рассматривать гиперболическую омбилическую катастрофу как разрушение волны, а эллиптическую омбилическую катастрофу ― как процесс создания структур, похожих на волосяной покров.
В. И. Арнольд предложил классификацию катастроф «ADE-классификация», использующую глубокие связи с теорией групп Ли.
.
.
В теории сингулярности есть объекты, которые соответствуют большинству других простых групп Ли.
Создание и развитие этой части математического анализа было связано с широкими возможностями наглядного анализа некоторых сложных явлений, особенно тех, которые встречаются при описании самых разных естественных явлений, в которых также рассматриваются разрывные функции, для которых аппарат математического анализа не подходит (радуга, каустика, потеря устойчивости конструкций, колебания и разрушение в строительной механике, поведение в этологии, астрофизика, бифуркационная неустойчивость атомной решетки, спонтанный порядок в биохимических реакциях, динамика популяций, гидродинамическая неустойчивость и возникновение турбулентности, хаотическая динамика странного аттрактора).
Физика: моделирование фазовых переходов, например, перехода воды в лед или пар.
Механика конструкций: анализ устойчивости сооружений, предсказание точек разрушения балок, оболочек и мостов.
Гидродинамика: описание турбулентности и внезапных изменений потока жидкости.
Машиностроение: прогнозирование отказов в сложных механизмах, особенно при нагрузках близких к критическим.
Эмбриология: объяснение морфогенеза — как из однородной ткани формируются сложные органы.
Медицина: моделирование внезапных переходов в состоянии пациента, например, при эпилептическом припадке или сердечном приступе.
Экология: предсказание точек бифуркации в экосистемах, где небольшое изменение может привести к вымиранию видов.
Геология: моделирование землетрясений, извержений вулканов, оползней — как катастрофических переходов в земной коре.
Психология: описание резких изменений в поведении человека, например, перехода от спокойствия к панике.
Социальные кризисы: прогнозирование революций, экономических крахов, массовых протестов — как точек бифуркации в обществе.
Финансовые рынки: моделирование краха биржи, пузырей и резких скачков цен.
Управление рисками: выявление критических точек в бизнес-процессах, где небольшое изменение может привести к сбою всей системы.
Ответы на вопросы для самопроверки пишите в комментариях, мы проверим, или же задавайте свой вопрос по данной теме.
Комментарии
Оставить комментарий
Теория особенностей и катастроф
Термины: Теория особенностей и катастроф