5.3. Три леммы о гладких функциях для исследовании особенностей «непрерывных» объектов

Привет, Вы узнаете о том , что такое леммы о гладких функциях , Разберем основные их виды и особенности использования. Еще будет много подробных примеров и описаний. Для того чтобы лучше понимать что такое леммы о гладких функциях , настоятельно рекомендую прочитать все из категории Теория особенностей и катастроф.

В этом разделе доказаны три технические леммы, используемые
при исследовании особенностей различных «непрерывных» объектов.
ЛЕММА 5.1 (Бореля Уитни). Для любого формального ряда (5.1)
существует такая гладкая функция Е(т1,..., тр): ВР > Е, ряд Тейлора которой в точке 0 совпадает с (5.1). Для любого формального
ряда (5.2) и любой открытой ограниченной области @ С В" существует, гладкая функция Е(т,у1,..., ут) : Ех О - В, ряд Тейлора
которой по переменной х в точке х = 0 совпадает с (5.2).
Доклзлательство. Чтобы не затемнять основную идею техническими деталями, рассмотрим сначала, простейший случай: покажем,
что для любого формального ряда
со
ат", тЕВ, (5.5)
=0
существует гладкая функция ЁР(5) : В - В, ряд Тейлора которой в
точке () совпадает с (5.5). Функцию РЁ будем искать в виде ряда
Е(х) = У` авт" (=) р (5.6)
и=0
в котором коэффициенты а„ совпадают с коэффициентами заданного
формального ряда (5.5), а функция 4 построена в задаче 5.2. Числа,
т’ > 0 мы постараемся подобрать таким образом, чтобы ряд в правой
части (5.6) сходился абсолютно и равномерно, а также абсолютно и
равномерно сходились и все ряды, полученные его А-кратным дифференцированием. Для БЫПОЛНЕНИЯ ЭТОГО УСЛОБИЯ ПОЛОЖИМ
1
Ги тает: (5.7)
Нетрудно проверить, что имеет место следующая оценка:
р р +)
т. п Ее 1" [ат | 1 — [ат ф(т/т»)| < [апт [п — (=) (1+ а» |)" ы > п < ©.
= = п=1 м=1
Здесь мы сначала использовали то, что |5" (т/т.)| < |5" при |1| < тп
и |110 (т/т»)| = 0 при || > т» (оба утверждения вытекают из
56
определения функции 4). Затем мы воспользовались неравенством
(1+ а, |)" > |ап|, которое справедливо для всех п > 1 (вот почему
мы начали суммирование с единицы, а не с нуля, но отбрасывание
конечного числа членов ряда на его сходимость не влияет).
Аналогично, для ряда, полученного однократным дифференцированием (5.6), получаем следующую оценку:
оо оо
[авт (т / тп) )' | —
=: 2
= 1 и хЩ |+ М)) 2 (п + М!) кои + М = = 2 нае" | < 2 т 9%
[аи (пар (т ть) + 2” /тыч' (х/ть,))| <
=. 2
=
где число М: = ах |1)" (т)|.
Используя аналогичные рассуждения, нетрудно получить подобНУЮ оценку (означающего абсолютную и равномерную сходимость)
для ряда, полученного А-кратным дифференцированием данного ряда,
при любом К. Следовательно, ряд, стоящий в правой части формулы (5.6), сходится к функции ЁР(5т), определенной и гладкой на всем
пространстве В. Для завершения доказательства остается лишь проверить, что ряд Тейлора полученной функции Ё(т) в точке 0 совпадает
с (5.5), т.е. Е (0) = па». Проверка этого утверждения тривиальна и
оставляется читателю.
Также читателю предоставляется самостоятельно провести доказательство первого утверждения леммы в случае р > 1. Оно совершенно
аналогично частному случаю р = 1, разобранному выше.
Приведем доказательство второго утверждения леммы, для простоты ограничившись случаем т = 1 (в общем случае доказательство
такое же, но более громоздкие формулы). Об этом говорит сайт https://intellect.icu . Покажем, что для любого
формального ряда
=.
>. ав (у) т", туЕВ, (5.8)
п=0
с гладкими коэффициентами а„(у) и для любой открытой ограниченной области ® С Е существует гладкая функция Р(т, у): Ех 0 >В,
ряд Тейлора которой по переменной в т = 0 совпадает с (5.8).
Будем искать функцию Р(т, у) в виде ряда
вый = УЗ ( =). (5.5)
в котором а„(у) совпадают с коэффициентами заданного формального
ряда (5.8). Числа г, > 0 определены формулой, аналогичной (5.7),
но с очевидным изменением, связанным с тем, что коэффициенты ап
являются не числами, а функциями:
1
та = ‚ где а» = шах шах |а(® (5). (5.10) п (1 ов) 0<1<п уЕб
Здесь @ означает замыкание области О.
Рассуждая так же, как и раньше, для любого целого 1 > 0 мы
получаем следующую оценку:
У` [а (у) ‘у(т/т»)| у быГи =
п=#+1 п=#+1
ыы 1" [6 < 1
. .) т — У. 1 ь ве" (1 +а») вал
которая показывает, что ряд, полученный 1-кратным дифференцированием по переменной у ряда, стоящего в правой части формулы (5.9), сходится абсолютно и равномерно в В х 9. Отсюда следует,
что ряд (5.9) определяет функцию Р(т,у), имеющую в Вх @ непрерывные частные производные 0'Е/ду' всех порядков # > 0.
Аналогично, для ряда, полученного из (5.9) однократным дифференцированием по переменной хи 1-кратным дифференцированием по
переменной уу, получаем следующую оценку:
р
У [а (у (аа, <
1-2
о
< У` ап|пх” (т ть) + 2” /тоф (с/т) | < у отт" (п + М,) =
и—4-2 п=4+2
> оп(п + М п+ М
>. ИИ а = у и т! у 5 < ИЕ и=е-2
Используя аналогичные рассуждения, нетрудно получить подобную
оценку (означающую абсолютную и равномерную сходимость) для ряда, полученного из (5.9) Е-кратным дифференцированием по переменной т и гкратным дифференцированием по переменной у.
Следовательно, ряд (5.9) сходится к некоторой функции Р(т,у),
определенной и гладкой в Ех 0. Проверку того, что ряд Тейлора этой
58
функции по переменной т в точке х = 0 совпадает с (5.8), мы снова,
оставляем читателю. Также читателю предоставляется самостоятельно провести доказательство в случае т > 1. Оно совершенно аналогично частному случаю т = 1, и все выкладки повторяются почти
дословно, если рассматривать 1 как мультииндекс. Ш
Из леммы 5.1 следует, что любая гладкая функция в окрестности
точки 0 задается своим формальным рядом Тейлора с точностью до
слагаемого, бесконечно плоского в точке 0. Этот факт часто используют для доказательства различных утверждений о локальных свойствах функций, отображений, дифференциальных уравнений и т.д.
Позже мы рассмотрим несколько примеров такого рода (самых простых).
Пусть В, = [0, +) и О С В" открытая ограниченная область.
Предположим, что задана функция
ЕГ(т,/,... т): В ХО >В,
гладкая во всей своей области определения?. Зададимся вопросом: а
можно ли гладко продолжить Р(т,у) на все множество Е х 9? Это
означает, что надо построить гладкую функцию
Е(т,у,.... ут): Ех О-В,
такую, что Р(т,у) = Е(т, у) для всех (1,9) Е В. х 9. Хотя положительный ответ интуитивно кажется очевидным, он нуждается в обосновании, которое можно получить, например, с помощью леммы 5.1.
ЛЕММА 5.2. Любая гладкая функция Е(т, у): В. хО > Е может
быть гладко продолжена на мноэсество В х 0.
Доклдзлательство. Запишем ряд Тейлора функции Р(т, у) по переменной х в точке т = 0. Это формальный степенной ряд
— 1 0”Е 1 0"Е
т т", т = т 0, = в ] >. (у) х а» (у) И Эт ( у) +0 п! дат (2.5). (51)
ЗСтрого говоря, последняя фраза нуждается в уточнении. Во всех внутренних
точках множества Е Хх О гладкость подразумевает существование непрерывных
частных производных всех порядков, понимаемых в обычном смысле. В граничных
точках множества В, х О, т.е. точках, лежащих на гиперплоскости т = 0, все производные (и пределы) понимаются как односторонние: «правые» по переменной т.
59
Нам нужно доказать существование функции
Е(т, у), 0, уЕОЙ,
С(т,у), 1<0, уЕЯ, Рей = |
где С(т, у): Вх О -+ Е обладает лишь одним свойством: Ё(хт,у/) гладкая на всем множестве В х <). Очевидно, что если в качестве С’ взять
гладкую функцию, ряд Тейлора которой по переменной х в 1 = 0 совпадает с (5.11), это требование будет выполнено. Согласно лемме 5.1,
такая функция С’ существует. |)
ЗАМЕЧАНИЕ 5.1. Построенное в лемме 5.2 гладкое продолжение
функции Р(х, у) не единственно.
ЛЕММА 5.3. Пусть О С В" - произвольная открытая ограниченная область. Любая гладкая функция Е(т,у) : Ех О + Е может
быть представлена в виде
Е(т, у) = Е(12, у) +=Е5(12,у), у=(и,..- т), (5.12)
где ЕР\ 2(т,у): Ех Я > Е - некоторые гладкие функции.
Доклзлтельство. Заметим, что любая функция представима в
виде суммы функций, четной и нечетной по т. Действительно,
Е(х, у) = Ееу(х, у) т Вох, у),
где
Е(т,у) + Е(-т,у) Е(т,у) — Е(-т, у) 2 Саи: — Еса(т, у) — р.
Применяя представление (1.1) сл = 1, нетрудно видеть, что любая
гладкая нечетная по х функция Ра(т, у) представима в виде
Еа(т, у) ГЕ 1 (т, у),
где /(т, у) - гладкая четная по х функция. Таким образом, для завершения доказательства леммы достаточно показать, что для любой
четной функции Р(х, у): Ех В” > Е имеет место представление
Е(т,у) = Е(1°,у), у= (у... т). (5.13)
Так как Р(т, у) = Е(]т|, у), равенство (5.13) равносильно выполнению равенства Ё\ (&, у) = Р(\/&, у) для всех & > 0. Тем самым функция
60
Е, (&, у) однозначно определена для всех значений & > 0 и может принимать произвольные значения при & < 0:
Е(У$,у) прие>0, К 1 (5, у) — произвольно при & < 0.
Единственным условием на функцию Р1(6, у), которому она должна
удовлетворять. является гладкость на всем множестве В х ©.
Для внутренних точек множества В. х О (т.е. при & > 0) гладкость
Е; очевидно следует из гладкости Р. В точках гиперплоскости & = 0
функция ($, у) = Е(\/&,у) имеет непрерывные частные производные (односторонние по переменной &) всех порядков. Для доказательства этого утверждения можно использовать представление функции
Е(т,у) в виде (1.5). В случае четной по х функции мономы нечетных степеней по 1 в этом представлении отсутствуют, и мы получаем
выражение
Е(т,у) = Лу) +2 Л(у) ++ у) +2 (у,
где ]:(у) и 9р(т,у) гладкие функции, причем д»(т,у) четная по т.
Подставляя в полученное выражение 1 = \/&, мы получаем
ВЕ) = УЕ.) + 29, УВ у), &>0.
Отсюда, следует, что функция Ё!\(&, у) имеет непрерывные частные
производные всех порядков во всех точках множества В, х О. Таким
образом, мы имеем ситуацию леммы 5.2, и существование требуемого продолжения функции Ё1($5, у) в область & < 0 вытекает из этой
леммы. [|
ЗАМЕЧАНИЕ 5.2. Для многочленов. формальных рядов и аналитических функций представление (5.12) совершенно очевидно, и на,
первый взгляд кажется, что оно также просто и для гладких функций. Однако в гладком случае требуется дополнительное обоснование,
которое и дает лемма 5.3.

Исследование, описанное в статье про леммы о гладких функциях , подчеркивает ее значимость в современном мире. Надеюсь, что теперь ты понял что такое леммы о гладких функциях и для чего все это нужно, а если не понял, или есть замечания, то не стесняйся, пиши или спрашивай в комментариях, с удовольствием отвечу. Для того чтобы глубже понять настоятельно рекомендую изучить всю информацию из категории Теория особенностей и катастроф