6. Особенности плоских кривых кратко

Привет, Вы узнаете о том , что такое особенности плоских кривых , Разберем основные их виды и особенности использования. Еще будет много подробных примеров и описаний. Для того чтобы лучше понимать что такое особенности плоских кривых , настоятельно рекомендую прочитать все из категории Теория особенностей и катастроф.

В этом разделе мы рассмотрим критические точки гладких отображений ® -» 2, те. особенности плоских кривых , заданных параметрически:
г=$(®, у=у®, (6.1)
где ф, 4 -— гладкие функции. Точка кривой (6.1), отвечающая значению параметра 5, называется критической (другие варианты: особой,
нерегулярной), если
Ф(®) =У'(ю) =0. (6.2)
В окрестности любой некритической (регулярной) точки кривая
(6.1) является графиком некоторой гладкой функции у = /(5) или
т = 9(у) и в подходящих локальных координатах становится прямой
линией. В окрестности же критической точки кривая может выглядеть
совершенно иначе. Например, рассмотрим кривые
ш=Ё, у=ЁТ п>2, (6.3)
с критической точкой в нуле. При п = 2 это полукубическая парабола,
в нуле она имеет острие - полукубическую точку возврата, которую
также называют каспом (англ.: сизр); см. Об этом говорит сайт https://intellect.icu . рис. 6.1 (в центре, в рамке).
Каспы — самые простые и часто встречающиеся особенности плоских
кривых, заданных параметрически.
При п = 3 кривая (6.3) внешне похожа на обычную параболу и
может быть представлена в виде графика у = }(т), однако функция ]
не является С°-гладкой в нуле, а принадлежит лишь классу С". Мы
предлагаем читателю самостоятельно понять, как выглядят кривые
(6.3) при всех остальных п.
62
ЗАДАЧА 6.1. Воспользовавшись функциями, построенными в задаче 5.1, задайте график у = |1| в виде (6.1) с гладкими фи 4.
х х
о > > > Е
Рис. 6.1 Полукубическая парабола (в центре) и ее возмущения (6.4): при
Е > 0 (слева) и при = < 0 (справа)
Критические точки кривых (6.1) неустойчивы, т.е. могут быть уничтожены сколь угодно малыми возмущениями кривых, Это следует из
очевидного соображения: после возмущения критическое значение параметра ю, при котором выполнено (6.2), превратится в два значения
Н и 15, для которых ф'(Н) = 0, (В) # 0биф’ (5) #0, (45) = 0,
и критической точки не будет. Тем не менее их исследование имеет
смысл, потому что критические точки устойчивым образом встречаются в семействат кривых, зависящих от параметров, подобно тому,
как вырожленные критические точки встречаются у семейств функций (см. обсуждение в разделе 4.1), а также в некоторых специальных
случаях, рассмотренных в разделе 6.2.
ПРИМЕР 6.1. Полукубическая парабола 1 = Р, у = В является
элементом семейства кривых
т=В, у=В Ее, 0<=Е<1, (6.4)
Кривые, отвечающие любым = = 0, не имеют критических точек. Они
изображены на рис. 6.1. Таким образом, касп разрушается при сколь
угодно малом возмущении исходной кривой т = р, у = 13. Однако
в семействе (6.4) касп устойчив. Действительно, рассмотрим немного
возмущенное семейство
д=Ё№, у=В ЕЕ Е( =), 0<=<1,
где |№+(0,=)| < си |Ё++(0,=)| < 6 при всех 0 < = < 1. Равенство
Е+(0,=) += = 0 имеет место хотя бы при одном значении = из заданного интервала. Из второго условия следует, что соответствующая
критическая точка — касп.
6

Исследование, описанное в статье про особенности плоских кривых , подчеркивает ее значимость в современном мире. Надеюсь, что теперь ты понял что такое особенности плоских кривых и для чего все это нужно, а если не понял, или есть замечания, то не стесняйся, пиши или спрашивай в комментариях, с удовольствием отвечу. Для того чтобы глубже понять настоятельно рекомендую изучить всю информацию из категории Теория особенностей и катастроф