8. Лево-правая эквивалентность, Контактная эквивалентность

Привет, Вы узнаете о том , что такое лево-правая эквивалентность, Разберем основные их виды и особенности использования. Еще будет много подробных примеров и описаний. Для того чтобы лучше понимать что такое лево-правая эквивалентность, контактная эквивалентность , настоятельно рекомендую прочитать все из категории Теория особенностей и катастроф.

8.1. Наводящие соображения
Один из центральных результатов теории особенностей классификация ростков гладких отображений |: В" -+ Е" в критических
(особых) точках, т.е. приведение их к наиболее простому виду (называл
емому «нормальной формой») за счет выбора подходящих локальных
координат. Классификацией это называется потому, что каждая нормальная форма — представитель некоторого класса эквивалентности,
соответствующее отношение эквивалентности состоит в том, что два
ростка переводятся друг в друга заменой локальных координат.
Сказанное можно иллюстрировать частными случаями, с которыми мы уже сталкивались: в разделе 4 мы приводили к нормальной
форме ростки функций (отображений В" - В!), в разделе 6 ростки плоских кривых (отображений В! -» ®?). При классификации
ростков функций мы пользовались заменами переменных только в
пространстве-прообразе, а в случае кривых делали замены как в прообразе (замена параметра на кривой), так и в образе (замена координат
на плоскости).
В этом разделе мы дадим общее понятие эквивалентности, введя
так называемую «лево-правую» эквивалентность, а также кратко упомянем о некоторых других типах эквивалентности, используемых в
теории особенностей. В заключительной части мы немного скажем о
таком важном понятии, как общность положения, которое часто играет роль «компаса» при выборе направления исследований.
94
8.2. лево-правая эквивалентность
В общем случае при классификации ростков отображений
Е ь Е" _ Е"
используются одновременно две замены координат: в пространствепрообразе (такие замены называются правыми) и в пространствеобразе (они называются левыми). Правые и левые замены выбираются
независимо друг от друга. Ростки двух отображений называются левоправо эквивалентными (сокращенно С®-эквивалентными), если они
переводятся друг в друга подходящими правой и левой заменами.
Дадим более подробное определение С®-эквивалентности для отображений { : В" - ЕВ". При этом нам важно будет различать
пространство-прообраз и пространство-образ, даже в случае п = т,
поэтому обозначим их буквами М и ЛМ соответственно. Для читателя,
знакомого с понятием многообразия, можно дать следующее обобщение: Ми М многообразия размерностей ® и т соответственно!.
Рассмотрим росток отображения
Из): ММ, Л=(Л,..., 1"), (8.1)
и локальные координаты 5 = (т1,.... 2.) в Миз = (21,...,2т) в М.
Правые и левые замены переменных -— это (локальные) диффеоморфизмы ф : М -} Миф: М -+› М соответственно, которые имеют
вид
ф: (2) = (7), 9: (=) => (2), (8.2)
=— где т = (71,..., 2.) из= (21,...,2т); См. рис. 8.1. В новых координатах 7,2 отображение / превращается в отображение 9, связанное с }
соотношениями
доф=фор + |9=фоГоф "|. (8.3)
Замена ф : № -» М называется правой, а замена 2 : М -» М называется
левой в соответствии с порядком, в котором ф,? стоят в выведенном
рамкой равенстве из (8.3).
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 8.1. Ростки отображений
1: ММ, 9:МмМ>мМ (8.4)
1Несмотря на видимость обобщения формулировки, полученные в дальнейшем
результаты будут совершенно одинаковы для пространств и многообразий, так как
все доказываемые далее утверждения локальны.
95
называются С®-эквивалентными, если они связаны соотношением (8.3) с подходящими диффеоморфизмами ф : № -+ Миу: М + М.
Определенное выше на множестве А ростков отображений отношение СХ-эквивалентности обладает свойствами рефлексивности, симметричности и транзитивности. Таким образом, определено фактормножество А/^-, элементы которого (классы СЮ-эквивалентности) называются особенностями отображений данного типа, а простейшие
(в том или ином смысле) прелставители каждого класса называются
нормальными формами ростков отображений.
ы М
Рис. 8.1 Диаграмма, поясняющая определение лево-правой
эквивалентности: замены координат в образе М и прообразе ЛГ
ЗАМЕЧАНИЕ 8.1. Во многих источниках для обозначения левоправой эквивалентности используется термин А-эквивалентиность.
Но мы предпочитаем использовать обозначение СХ, как более выразительное и допускающее естественные вариации. Об этом говорит сайт https://intellect.icu . Если использовать только правую замену ф (т.е. положить 12 = {4 — тождественное),
получается ®-эквивалентность, а если только левую замену 4 (т.е.
положить ф = 14), получается С-эквивалентность.
ПРИМЕР 8.1. Лемма Морса утверждает, что росток гладкой
функции в невырожденной критической точке Ю-эквивалентен своей
квадратичной части. Теорема Тужрона утверждает, что росток гладкой функции в критической точке произвольной конечной кратности д
-эквивалентен своему многочлену Тейлора степени д - 1.
Нормальные формы А„, В) ростков функций также были получены с помощью только правых замен переменных.
96
ПРИМЕР 8.2. Нормальные формы ростков плоских кривых (6.6) с
показателями п = 2, 3 также относятся к СЮ-эквивалентности, так как
были получены с использованием и правых, и левых замен. Очевидно, что одних только правых замен для получения таких нормальных
форм недостаточно.
ЗАДАЧА 8.1. Докажите, что если росток гладкого отображения
(8.1) имеет ранг г, то он ®-эквивалентен ростку отображения, г компонент которого имеют вид проекций:
(т...) = Жь 1Е{И,....ы}.
Напомним, что рангом ростка отображения называется ранг его матрицы Якоби в рассматриваемой точке, при этом в сколь угодно близких к ней точках ранг может быть равен или больше г.
ЗАДАЧА 8.2. Докажите, что росток любого гладкого отображения (8.1) постоянного ранга г (здесь мы предполагаем, что в некоторой окрестности рассматриваемой точки ранг матрицы Якоби равен
одному и тому же числу г) С®-эквивалентен ростку отображения с
компонентами
т ЕТ... Г,
0, 1 1=и+1,..., 0. (аа. щь) =
В частном случае г = п = т это означает, что росток диффеоморфизма СЮ-эквивалентен ростку тождественного отображения #4.
Докажите более сильное утверждение: росток любого диффеоморфизма Ю-эквивалентен 14, а также С-эквивалентен #4.
Подчеркнем, что в определении С -эквивалентности важно то, что
правые и левые замены выбираются независимо друг от друга. Если
бы мы использовали одинаковые замены в образе и прообразе (т.е.
положили бы ф = 4), получилась бы намного более сложная классификация. Для иллюстрации рассмотрим простейший случай — росток
функции от одной переменной {(т) в некритической точке, который,
как мы знаем, СЮ®-эквивалентен (и даже Ю-эквивалентен) ростку простейшей функции }(т) = т.
ЗАДАЧА 8.3. Покажите, что при помощи замены (8.3) сф=ф
росток функции
Г(2) = ах + 62? + о(27), аб 0,
в нуле невозможно привести к линейной форме. Для доказательства,
достаточно убедиться в невозможности привести к линейной форме
2-струю этой функции в нуле с помощью такой замены.
97
8.3. Действие группы
Понятие эквивалентности объектов геометрической природы часто бывает основано на выборе некоторой группы преобразований пространства, из точек которого состоят эти объекты. Например, в курсе
аналитической геометрии изучаются различные классификации кривых и поверхностей второго порядка: аффинная, ортогональная, проективная. Они основаны на различных понятиях эквивалентности: с
помощью аффинных, ортогональных или проективных преобразований (плоскости или пространства) соответственно.
В случае С®-эквивалентности ростков отображений (8.4) также
имеется группа преобразований. Для простоты изложения мы будем
рассматривать росток отображения в начале координат 0 и предполагать, что {(0) = 9(0) = 0. Обозначим символами ОЁх и ОЁм группы
ростков диффеоморфизмов ф : № -+ Миф: М - М в начале координат соответствующих пространств, таких, что $(0) = (0) = 0.
То да понятие Т-эквивалентности очевидным образом связано с группой ОШ», понятие С-эквивалентности с группой ОЁм, понятие 27®-
эквивалентности с их декартовым произведением ОШ» х Ом, которое также является группой.
Пусть И/ - произвольное множество, элементы которого будем обозначать греческими буквами, и С - абстрактная группа с нейтральным
элементом е.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 8.2. Будем говорить, что группа. С’ действует на
И’, если определено отображение
А: сх И-М),
удовлетворяющее двум следующим условиям:
1. А(е, <) = & для любого & Е ПИ’,
2. А(9. А(п,5)) = А(91,&) для любых 9. ВЕСиб ЕЙИ..
Тогда для каждой точки & Ее И’ можно рассмотреть множество
Се '— {А(9,&) : У9 = С},
которое называется орбитой точки & под действием группы С’. Очевидно, что любые две орбиты либо не пересекаются, либо полностью
совпадают. Объединение всех орбит покрывает все множество И” (в
силу тривиального включения & Е С).
Введем на множестве И” отношение эквивалентности: & ^> 7, если &, 77 принадлежат орбите какой-либо одной точки, что равносильно
98
условию 1 Е С: или, что то же самое, условию & Е С„. Тогда орбиты С: являются классами эквивалентности, т.е. элементами фактормножества И// -- (см. раздел 3).
Таким образом, мы получаем разбиение множества И’ на непересекающиеся подмножества — классы эквивалентности, т.е. классификацию элементов множества И’, порожденную действием данной группы А: СхИ’ + И’. Для каждого класса эквивалентности выбирается какой-либо его представитель, имеющий по возможности наиболее «простой» вид (выбор которого порой бывает субъективен). Такие
представители называются нормальными или каноническими формами объектов множества И’ относительно выбранного отношения эквивалентности. Это и есть общее понятие классификации.
Например, СК-эквивалентность и соответствующая классификация ростков отображений получаются, если определить действие группы С = ОШм х Ом на множество И’ формулой фо роф`! (выделена
рамкой в (8.3)). Выполнение свойств 1 и 2 в определении 8.2 в этом
случае совершенно очевидно.
8.4. контактная эквивалентность
Кроме СЮ-эквивалентности (и ее частных случаев С и ®), существуют и другие типы эквивалентности ростков отображений. В этом
вводном курсе мы лишь кратко упомянем об одной них, которая называется контактной (К-эквивалентность).
Пусть ® это группа ростков отображений
ф: М - ПИ м,
ставящих в соответствие точке 2 Е М диффеоморфизм Ф(т) е Ом.
Мы имеем в этом случае отображение
Ф (ту): Мх М+М, Ф(т,0) =0 (УЕ М),
последнее равенство следствие определения группы ОЁм. Групновая операция в ©’ определяется соотношением
Ф (т, у) у Ф(т, у) — Ф (5, Ф(т, у)),
нейтральный элемент росток отображения Ф(х,у) = у (УхЕе М).
К-эквивалентность получается, если взять группу С = ® х Ом и
определить ее действие на множество И’ формулой
А((Ф, 2), 1) = (=, (2) ор", ФЕ, рЕБИ, ГЕИ. (3.5)
99
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 8.3. Ростки отображений { и 9 вида (8.4) называются Х-эквивалентными, если
Ф(т, 1(2)) = 9($(т)) (8.6)
для некоторых фе Ом ифе Ом.
Сравнивая (8.3) и (8.6), нетрудно заключить, что С®-эквивалентность более сильная, чем ^К-эквивалентность: первая получается из
второй, если в формуле (8.5) заменить группу ее подгруппой, состоящей из таких диффеоморфизмов Ф(х) е Ом, которые не зависят
от т. Поэтому если два ростка отображений СЛХ-эквивалентны, то они
К-эквивалентны, а обратное, вообще говоря, не верно (ниже будет приведен пример).
Имеет место следующий факт: определение К-эквивалентности не
изменится, если в формуле (8.5) заменить группу ®’ ее подгруппой,
состоящей из линейных диффеоморфизмов Ф(т) Е ОШм, т.е. ростков
отображений Ф(т,у) = Л(т)у, где А(х)(.) : В" + В" невырожденный линейный оператор, гладко зависящий от х. Доказательство
этого мы оставляем читателю (точная формулировка приведена в задаче 8.4).
ЗАДАЧА 8.4. Докажите, что если для ростков (8.4) выполнено
соотношение (8.6) с некоторыми ф Е ОШх и фе П\Ьу, то найдутся
невырожденная матрица А(т) порядка т, элементы которой гладко
зависят от 1 Е М, и росток ф Е ОШ, такие что
А(2) (2) = 9($(2)). (8.7)
Пусть /+ и [› локальные идеалы ростков [и д из (8.4). Правая
замена 2 => Ф(х) переводит идеал Г, в [5, где д = доф. Равенство (8.7)
означает, что [; = Г. Оказывается, имеет место следующий критерий:
ЗАДАЧА 8.5. Ростки отображений (8.4) К-эквивалентны, если и
только если существует локальный диффеоморфизм х +} $(х), который переводит локальный идеал 1 в Г, или обратно.
Проиллюстрируем различие между лево-правой и контактной эквивалентностями на примере ростков отображений В -+ В?. Именно,
росток кривой
х=Ри®, у=Е"о(, и(0)ь (0) = 0, (8.8)
далеко не всегда С®-эквивалентен простейшему:
ЕР, у=ЕИ. (8.9)
100
Так, например, в разделе 6 мы видели, что в частном случае, когда
т = п +1 СЮК-эквивалентность (8.8) и (8.9) имеет место лишь для
значений п = 2,3, а для п > 4 - нет.
ЗАДАЧА 8.6. Локажите, что при любых показателях п, пт росток
кривой (8.8) К-эквивалентен (8.9).
РЕШЕНИЕ. Это утверждение очевидно следует из задачи 8.5, так
как локальные идеалы отображений (8.8) и (8.9) совпадают и равны
главному идеалу, порожденному мономом 1, где р = шш{п, т}. Более того, отсюда следует, что правую замену Ён} 2(® в формуле (8.7)
можно выбрать тождественной. Впрочем, можно дать и другое доказательство, не использующее задачу 8.5. Мы предоставляем это сделать
читателю. и
ЗАДАЧА 8.7. Приведите пример двух гладких функций ®? - В,
ростки которых К-эквивалентны, но не С®-эквивалентны.
ЗАМЕЧАНИЕ 8.2. В книге (стр. 105, п. 6.5) К-эквивалентность
называется У-эквивалентностью, и ее определение (равносильное 8.3)
дается через соотношение (8.7). Кроме того, существуют различные
модификации К-эквивалентности и С®-эквивалентности. Заинтересованного в подробностях читателя мы отсылаем к статьям [17, 27, 31] и
книге [33]. Отметим также статью [13], в которой анализируются различные понятия эквивалентности и их приложения к исследованию
особенностей.

Исследование, описанное в статье про лево-правая эквивалентность, подчеркивает ее значимость в современном мире. Надеюсь, что теперь ты понял что такое лево-правая эквивалентность, контактная эквивалентность и для чего все это нужно, а если не понял, или есть замечания, то не стесняйся, пиши или спрашивай в комментариях, с удовольствием отвечу. Для того чтобы глубже понять настоятельно рекомендую изучить всю информацию из категории Теория особенностей и катастроф