2.3. Ряды Ньютона-Пюизе кратко

Предположим, что нам задано уравнение
F(x; t) = 0; (2.4)

где F - гладкая (или аналитическая) функция и F(0; 0) = 0..

Рассмотрим следующую задачу: разрешить уравнение (2.4) относительно переменной x, т.е. найти решение вида x = f(t), в окрестности начала, координат 0 плоскости переменных (t; x).

Если то по теореме о неявной функции в окрестности 0 решение задается в виде x = f(t) с гладкой (соответственно, аналитической) функцией f.

В аналитическом случае решение x = f(t) можно записать в виде сходящегося степенного ряда по переменнойt.

А как будет выглядеть решение x = f(t), если Fx(0) = 0 и, следовательно, теорема о неявной функции неприменима?

Мы ответим на этот вопрос в предположении, что и функция F(x; t) имеет в точке 0 конечную кратность по переменной х, т.е. выполнено соотношение (2.2).

Из условия следует, что в окрестности 0 уравнение (2.4) задает гладкую (аналитическую) кривую вида t = g(x).

Очевидно, имеют место два геометрически различных случая: если кратность μ нечетна, то функция g(x) при x = 0 имеет локальный максимум или минимум, если же кратность μ четна, то функция g(x) при x = 0 имеет
точку перегиба и монотонна по обе стороны от нее, см. рис. 2.1.

Сделав при необходимости замену переменной t -> -t, далее будем считать, что в случае нечетного φ и функция g(x) в точке х = 0 имеет локальный минимум, а в случае четного и является возрастающей.
Как видно из рисунка, в последнем случае существует единственное решение x = f(t). определенное как при положительных, так и при отрицательных значениях t, а в первом случае есть два решения вида
x = f(t), определенные только при t >= 0.

Эти два решения называются ветвями кривой, заданной уравнением (2.4), а точка x = 0, в которой они встречаются, называется точкой ветвления кривой.

Простейший пример - ветви параболы t = x².

Рис. 2.1 Точки ветвления кривой

Как будет выглядеть решение (или решения) x = f(t) при сделанных предположениях?

Впервые этот вопрос исследовал Ньютон в случае, когда, F — многочлен. Решения x = f(t) он выразил с помощью степенных рядов, но не с целыми, а дробными степенями.

Позже (1850) такие ряды были более детально и систематически исследованы французским математиком Виктором Пюизе (Victor Alexandre Puiseux, 1820-1883),в честь которого они называются «рядами Пюизе», а также «рядами Ньютона Пюизе».
Теорема деления позволяет получить результаты, аналогичные тем, которые получил Ньютон, для гладких или аналитических функций F.

При сделанном предположении из нее следует, что в окрестности 0 уравнение F(x; t) = 0 эквивалентно
(2.5)


где все - гладкие (соответственно, аналитические) функции, обращающиеся в нуль при t = 0.

Следовательно, аi представимы в виде с гладкими (аналитическими) функциями и уравнение (2.5) можно переписать в виде

(2.6)

Сделаем замену и извлечем корень степени из обеих частей уравнения (2.6).

Здесь проявляется различие между четным и нечетным μ: в первом случае корень извлекается однозначно, а во втором - нужно ставить знак (соответствующий разным ветвям кривой).

Итак, мы приведем уравнение (2.6) к форме

(2.7)
где , если μ четное, , если μ нечетное.

При любом фиксированном = правая часть (2.7) в окрестности 0 представляет собой гладкую (соответственно, аналитическую) функцию переменных .
Применяя теорему о неявной функции, это уравнение можно локально разрешить относительно х, получив решение с гладкой (аналитической) функцией

Возвращаясь к исходной переменной t, мы получаем решения , где /

При нечетном n такое решение единственно и определено как для положительных, так и для отрицательных t.

При четном n мы получаем два, решения, определенные при .

Эти решения соответствуют двум ветвям кривой, заданной уравнением (2.4).
В аналитическом случае функции представимы в виде сходящихся (по крайней мере, в некоторой окрестности точки 0) степенных рядов (степени — целые числа).

Следовательно, решения представимы в виде сходящихся рядов с показателями
Ряды Ньютона-Пюизе встречаются во многих задачах, связанных с особенностями.

Рассмотрим простейший пример такого рода - кривая , заданная в параметрическом виде:
(2.8)
где гладкие или аналитические функции.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 2.1. Точка кривой (2.8), соответствующая некоторому значению параметра t, называется регулярной, если в ней выполнено условие
, (2.9)

и нерегулярной или особой в противном случае.

Наглядный смысл условия регулярности (2.9) состоит в том, что кривую можно параметризовать таким образом (формула (2.8)), что вектор скорости движения по этой кривой в данной точке будет ненулевым.

Как следует из теоремы о неявной функции. в окрестности любой регулярной точки кривая представляет собой график гладкой (соответственно, аналитической) функции y = f(x) или x = g(y) .

Если же мы хотим ПОНЯТЬ, как выглядит кривая в окрестности особой точки, теоремы о неявной функции оказывается недостаточно.
Без ограничения общности будем считать, что рассматриваемая особая точка 0 есть начало координат 0 и .

Предположим, что хотя бы одна из функций (р, 4 имеет в нуле конечную кратность.

Пусть, для определенности, имеет в нуле кратность а кратность в нуле не меньше .

Тогда, как легко видеть (например, применяя лемму Адамара), с помощью замены параметра а с подходящим числом (и при необходимости тривиальной замены )
можно привести кривую к виду
(2.10)
с гладкой (соответственно, аналитической) функцией f.

Из формулы (2.10) видно, что кривая имеет вид при нечетном п, а при четном п она имеет две ветви , расположенные в области .

В аналитическом случае все эти формулы дают представления в виде рядов Ньютона-—Пюизе.

ЗАДАЧА 2.2. Напишите ряды Ньютона—Пюизе для ветвей алгебраической кривой x³ + ax = t где параметр, в окрестностях ее точек ветвления (т.е. точек, в которых проектирование кривой на
ось t не является локальным диффеоморфизмом).

ЗАДАЧА 2.3. Напишите ряды Ньютона Пюизе для ветвей функции arccos t в окрестности точки t= 1.

1 Weierstrass K. Einige auf die Theorie der analytischen Funktionen mehrerer Ver-anderlichen sich beziehende Satze Mathematische Werke. 1895. V. 2. P. 135-188.