5.2. Гладкие функции со специальными свойствами кратко

Привет, Вы узнаете о том , что такое гладкие функции, Разберем основные их виды и особенности использования. Еще будет много подробных примеров и описаний. Для того чтобы лучше понимать что такое гладкие функции , настоятельно рекомендую прочитать все из категории Теория особенностей и катастроф.

Для доказательства основных результатов этого раздела нам потребуются гладкие функции со специальными свойствами (см. следующие три задачи).
ЗАДАЧА 5.1. Постройте гладкую функцию ф : Е -} Е, удовлетворяющую условиям ф(т) = 0 при всех х < 0, (5) = 1 при всех х > 1
и строго монотонную на интервале 0 < тх<1 (график такой функции
изображен на рис. 5.1 в центре).
РешениЕ. Сначала определим вспомогательную функцию
Ла) 2) = ео (5.3) : аи. х>0,
ее график изображен на. рис. 5.1 (слева). Проверка того, что эта функция является гладкой, оставляется читателю. Несложно проверить,
что функция [(=) 2 (2) = +=)
удовлетворяет всем требуемым условиям. |
ЗАДАЧА 65.2. Для любого наперед заданного числа 0 < Е < 1
построить гладкую функцию 1) : В — Е, удовлетворяющую условиям
(т) = 1 при всех |2| < =, 1(т) = 0 при всех || > 1 и строго монотонную на интервалах —1 << -Е\ИеЕ<тТ<! (график такой функции
изображен на рис. 5.1 справа).
52
РешЕениЕ. Определим функцию 4 формулой
ме (а) Е (2) 1-Е
где ф - функция из предшествующей задачи 5.1. Ш ь * + =

Рис. 5.1 Гладкие функции со специальными свойствами
ЗАДАЧА 5.3. Для любого наперед заданного числа 0 <= < 1
построить гладкую неотрицательную функцию \ : ЕР -+ В, удовлетворяющую условиям Ф(т) = 1 при всех ||| < =, $(т) = 0 при всех
||| > Ти строго положительную при всех = < ||| < 1. Здесь
| = у Е
РЕШЕНИЕ. Функцию У с нужными свойствами можно получить
из построенной в задаче 5.2 функции + по формуле (1) = (|||).
'Тривиальную проверку всех свойств мы оставляем читателю. и
Используя построенные выше функции, можно доказать ряд неочевидных и полезных утверждений. Об этом говорит сайт https://intellect.icu . Например, построить так называемое разбиение единицы понятие, играющее важную роль в анализе,
топологии и геометрии многообразий (с его помощью, например, доказывается формула Стокса, а также теорема Уитни о гладком вложении
компактного многообразия в евклидово пространство). Эти вопросы
излагаются во многих учебниках, например [18, 32, 22]. Мы приведем
здесь один менее известный, но достаточно эффектный пример.
53
ТЕОРЕМА 5.1. Любое замкнутое? подмножество А С ЕР является множеством нулевого уровня некоторой гладкой функции.
Это утверждение (иногда также называемое теоремой Уитни) довольно удивительно: даже на прямой (р = 1) замкнутое множество
может быть устроено весьма нетривиально - например, канторово множество. Совершенно не очевидно, что такое «патологическое» множество можно задать как нулевой уровень гладкой функции.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Обозначим через Г (общую) границу множеств
Аи В = ЕВ? \ А. Так как множество В открыто, его можно покрыть
последовательностью открытых шаров Ви, каждый из которых содержится в В (а объединение всех шаров дает все множество В). Например, рассмотрим шары В», имеющие центры д„ © ВПОР, т. е. центры со
всевозможными рациональными координатами во множестве В. Для
каждого шара В„ определим величину
ри = 915$ (Чт, Г) — Ш |5 — Чт |
расстояние от точки 49» до Г. Заметим, что р» является либо положительным числом, либо бесконечностью. Определим радиус г, шара В»
равенством г» = р», если ри < с, и равенством ги = 1, если ри = ©
(вместо елиницы можно взять любое положительное число).
Построенное таким образом семейство шаров В„ С В счетно (поэтому его можно записать в виде последовательности, способ нумерации роли не играет) и покрывает все множество В. То, что любая
точка х Е В ПО? содержится хотя бы в одном из шаров, очевидно
(по построению 1 является центром некоторого шара В»). Для точек
ев \ ОР нужно провести очень простое рассуждение, использующее
открытость множества Ви то, что множество (ОР всюду плотно в ЕР.
Построим последовательность гладких функций \Ф; : ЕР — Е, строго положительных в открытом шаре В„ и равных нулю вне его. Очевидно, для этого достаточно положить
где функция Ф взята из задачи 5.3. Далее, определим число
(2)
Ы = шах зир , п #|5п тЕЕР пр
й: “Здесь замкнутость (и открытость) понимается в смысле стандартной евклидовой метрики в ЕР.
54
где

Так как функция Ф,„ и все ее частные производные гладкие и тождественно равны нулю при |< || > тр, то «внутренний» супремум для
каждого фиксированного мультииндекса # конечен. Число мультииндексов 1, удовлетворяющих условию | < п для любого п, тоже конечно. Следовательно, все определенные выше величины ди конечны. С
другой стороны, и» > зпр |Ф„(1)| > 1, так как множество 2/7 содержит
мультииндекс 1 = 0.
Рассмотрим функцию {, заданную в виде ряда
) 5.4
Неравенство показывает, что ряд (5.4) сходится абсолютно и равномерно на всем пространстве ВР. По известной из курса.
математического анализа теореме функция /(т) определена и непрерывна на всем ВР.
Таким образом, формула (5.4) задает непрерывную неотрицательную функцию {, строго положительную при всех д © В (для каждой
точки хе В найдется по крайней мере один шар Ви. содержащий эту
точку и, следовательно, по крайней мере одна функция Уи, для которой Ф„(т) > 0) и тождественно равную нулю на множестве А = ВР\ В.
Остается доказать, что функция { не только непрерывная. но
и гладкая. Для этого достаточно показать, что ряд, полученный
почленным дифференцированием ряда (5.4), тоже сходится равномерно. Нетрудно проверить, что для любого # = (й,...,»)} Е 2, имеет
место оценка

доказывающая равномерную сходимость нужного ряда. Для получения этой оценки мы отбросили первые |1| — 1 слагаемых рядов, чтобы
добиться выполнения условия п > ||, но отбрасывание конечного числа членов ряда на его сходимость не влияет. [|

Исследование, описанное в статье про гладкие функции, подчеркивает ее значимость в современном мире. Надеюсь, что теперь ты понял что такое гладкие функции и для чего все это нужно, а если не понял, или есть замечания, то не стесняйся, пиши или спрашивай в комментариях, с удовольствием отвечу. Для того чтобы глубже понять настоятельно рекомендую изучить всю информацию из категории Теория особенностей и катастроф

Ответы на вопросы для самопроверки пишите в комментариях, мы проверим, или же задавайте свой вопрос по данной теме.