6.1. Нормальные формы ростков кривых

Привет, Вы узнаете о том , что такое нормальные формы ростков кривых, Разберем основные их виды и особенности использования. Еще будет много подробных примеров и описаний. Для того чтобы лучше понимать что такое нормальные формы ростков кривых , настоятельно рекомендую прочитать все из категории Теория особенностей и катастроф.

Нашей ближайшей целью является приведение ростков кривых вида (6.1) в критических точках к наиболее простому виду так называемой «нормальной форме» за счет изменения параметра $ и выбора
подходящих локальных координат на плоскости (5, у). Без ограничения общности будем предполагать, что критическая точка соответствует значению # = и (0) = 9(0) = 0. Кроме того, предположим,
что обе функции фи 1 имеют конечные кратности в нуле. Тогда,
х=Ри(, у= (Е, и) (0) = 0, (6.5)
с некоторыми целыми 7,7 > 2 и гладкими функциями и (К) и %(®.
Далее мы ограничимся случаем т = п + 1, те. будем исследовать
ростки кривых
2=Ри(, у=НО, и (0) (0) 7 0, (6.6)
в нуле. Формула (6.6) допускает следующее полезное упрощение:
ЗАДАЧА 6.2. Покажите, что с помощью гладкой замены параметра # и линейной замены переменных т,у в формуле (6.6) можно
добиться того, что %(#) = Ти %(#) = 1+ 94(#) или ч(® = 1+9 и
2(+) = 1, где 4(#) - гладкая функция, 4(0) = 0.
Используя это упрощение, можно решить следующие более сложные задачи.
ЗАДАЧА 6.3. Докажите, что с помощью гладкой замены параметра ф и гладкой замены переменных (1,1) росток кривой (6.6) с показателем 7 = 2 приводится к нормальной форме (6.3) сп = 2.
Решение. Без ограничения общности будем считать, что и(0) > 0
(если это не так, то сделаем замену х +} —х). Тогда замена параметра
ф => Н/и(® приводит кривую (6.6) к виду
=, у=ВР(®, Р(0) #0.
Используя лемму 5.3, имеем Р(8) = Е (Р) + (2). Тогда росток кривой имеет вид
х=Ё, у=ЕВРЕА(Р)+ЁЕ(Р) =РЕ|(&) + 12Е.(т). (6.7)
Замена переменной
у 22Е> (т) '’’^ А)
64
приводит росток кривой (6.7) к виду (6.3) с показателем п = 2. Заметим, что 21 (0) = Е(0) = 0, поэтому все использованные нами замены
переменных — гладкие локальные диффеоморфизмы в соответствующих пространствах. |
ЗАДАЧА 6.4. Локажите, что с помошью гладкой замены параметра # и гладкой замены переменных (7х, у) росток кривой (6.6) с показателем п, = 3 приводится к нормальной форме (6.3) сп = 3.
Решение. Согласно задаче 6.2, рассмотрим росток кривой 1 = В,
у=#(1+9(1)), где 9(0) = 0. Согласно задаче 1.2, для любого целого
т > 1 росток этой кривой имеет вид
=Ё, УЕКПНаЕ+-- Нат" + О(Е"")) (6.8)
с некоторыми постоянными 41....,9т. Дальнейшее доказательство
разобьем на несколько шагов.
ШАГ 1: УБИВАЕМ МОНОМ ЁР. Без ограничения общности можно
считать 41 = 1, так как любой 41 5 0 может быть сведен к 1 посредством умножения параметра # и координат т, 1 на подходящие ненулевые числа. Об этом говорит сайт https://intellect.icu . Поэтому лостаточно доказать требуемое утверждение для
кривой 1 = 73, у = т + т5 + О(тб). Замена хн? х+ Зу превращает эту
кривую в
р = ф(т) = т +а(г + т?) +0(т°), у=у(т) = т +т?+О(т°).
Теперь сделаем замену параметра т ++ Ё по формуле # = ф(т), т.е.
Е=т(1+3З(т+ т?) +0(т3)) © т=Е- М +О(В).
После этого наша кривая приобретает вил
3 2 34 2 35 6 в=Ё, у= ЕР +О(Р)) +Е-ТР+О(Р)) +0) = #+О(Ю).
ШАГ 2: УБИВАЕМ ОСТАЛЬНЫЕ МОНОМЫ. Рассмотрим кривую
ЕВ, УЕРаОЧТФР +. + ат" + О(""), (6.9)
и покажем, что с помощью подходящей замены переменных (т, у), задаваемой формальным степенным рядом, можно убить все мономы #^
степеней К > 5. Достаточно заметить, что для любого & > 5 выполнено
равенство # = тЧ//+О(Е\\) с некоторыми целыми 1, 1 > 0. Например,
В =а?, И =зУу+О(Ё), В=У+ОВ),
В — 23, 19 2+ 0(#), ПЕРО),
.. Е 2 =“, РЗ = Зу+0(7“), 1 =у+0(°), ...
65
Следовательно, используя формальную замену
со
ини+ У ау (6.10) +7 >2
с подходящими коэффициентами Оу, мы можем убить в (6.9) все мономы Й, { > 6. Именно, моном ат 7 убивает моном #^, где 31441 = К,
и не меняет коэффициенты при мономах степеней меньше К.
Если степенной ряд, стоящий в правой части формулы (6.10), сходится в некоторой окрестности начала координат, он определяет в ней
аналитическую функцию {(т,1/), и замена у ++ у+{(т, у) завершает доказательство нашего утверждение. Однако, вообще говоря, ряд (6.10)
может иметь нулевой радиус сходимости, т.е. оказаться формальным.
Для преодоления этой проблемы сделаем следующий таг.
ПТАГ 3: УБИВАЕМ БЕСКОНЕЧНО ПЛОСКУЮ НЕВЯЗКУ. Согласно
лемме 5.1 из раздела 5.3, существует гладкая функция /(т,у), ряд
Тейлора которой в начале координат совпадает с формальным рядом
из формулы (6.10). Тогда, очевидно, замена у +? у + /(т,у) приводит
нашу кривую к виду
ЕВ, уЕЁ-ЫЬ, (6.11)
где функция & гладкая и бесконечно плоская в нуле. Нетрудно убедиться в том, что функция 9(2) = &(х3) также является гладкой
и бесконечно плоской в нуле. (Это можно сделать, например, с помощью представления (1.5) из раздела 1.1.) Тогда, очевидно, замена,
уни 0 (т) приводит росток кривой (6.11) к искомому виду. |
Ростки двух кривых будем называть эквивалентными, если один
из них переводится в другой с помощью гладкой замены параметра #
и гладкой замены переменных (т, у). Например, как мы видели выше,
росток любой кривой (6.6) с показателем п = 2 или 3 приводится к
нормальной форме (6.3). Это может навести на мысль, что росток
кривой (6.6) с любым п приводится к нормальной форме (6.3), однако
при п > 4 это уже не верно. Заметим, однако, что в разделе 8 будет
введено другое, более слабое отношение эквивалентности, при котором
росток кривой (6.6) с любым п эквивалентен (6.3).
ЗАДАЧА 6.5. Докажите, что с помощью гладкой замены параметра $ и гладкой замены переменных (т,у) росток кривой (6.6) с показателем п = 4 приводится к одной из трех не эквивалентных друг
другу нормальных форм:
х=Н, у=е; т=Н, уЕРЕН. (6.12)
До сих пор мы пользовались заменами (т.е. локальными диффеоморфизмами) класса С°. Естественно задаться вопросом: что будет,
если ослабить требование гладкости до конечной? Будем называть два,
ростка С*-эквивалентными, если их можно превратить друг в друга с помощью С*-гладкой замены параметра # и С№-гладкой замены переменных (5,9). Тогда некоторые ростки, не являющиеся С°°-
эквивалентными, могут оказаться С*”-эквивалентными с некоторым
целым К > 1. Простейший пример:
ЗАДАЧА 6.6. Докажите, что росток кривой (6.6) с любым п является СТ-эквивалентным ростку (6.3) с тем же самым показателем п.
РЕШЕНИЕ. В случае нечетного показателя п удобно воспользоваться формулой (6.6) с и(#) =Ти%(# =1+9(®, 4(0) =0 (см. задачу 6.2).
Тогда, используя представление 4(#) = 91+ --- + "1 + "90,
получаем
г=", у= (1+ 4(0) =" а+ 0) +++”).
Отсюда следует, что С1-гладкая замена переменных
у 2(а1т" + --- + 9.127)
= 1 ы 1+2 (22)
приводит нашу кривую к нормальной форме х = #*, у = 1.
В случае четного п для доказательства удобно воспользоваться
формулой (6.6) с функциями и(Ё = 1+ 9(Р) и °(® = 1. Все дальнейшие рассуждения аналогичны. Читателю также предлагается самостоятельно ответить на вопрос: могут ли ростки (6.3) с разными п
быть С1-эквивалентными? |
ЗАДАЧА 6.7. Докажите, что нормальные формы (6.12) не являются С?-эквивалентными.
ЗАМЕЧАНИЕ 6.1. Вопрос об эквивалентности ростков кривых
(6.6) и даже более общего вида (6.5) затрагивался во многих работах,
упомянем лишь статьи [4, 12, 10, 19] и книгу [41]. При этом больше всего изучалась аналитическая эквивалентность ростков, при которой и
задающие кривую функции и(#), ©(#®), и замена параметра, &, и замена,
переменных (т,у) предполагаются аналитическими (в вещественной
или комплексной области). Насколько нам известно, конечно-гладкая
эквивалентность практически не исследована.
67
Этот вопрос представляется любопытным, даже если ограничиться
кривыми вида (6.6). Как мы только что видели, все ростки (6.6) с данным показателем п С\-эквивалентны друг другу. С другой стороны,
из результатов работы [12] следует, что при любом показателе п > 5
существует бесконечное число ростков кривых вида (6.6), не эквивалентных аналитически. Неизвестно, как обстоит дело между этими
двумя «крайними случаями». Возможно, это интересная и нетривиальная задача, ждущая своего исследователя.

Исследование, описанное в статье про нормальные формы ростков кривых, подчеркивает ее значимость в современном мире. Надеюсь, что теперь ты понял что такое нормальные формы ростков кривых и для чего все это нужно, а если не понял, или есть замечания, то не стесняйся, пиши или спрашивай в комментариях, с удовольствием отвечу. Для того чтобы глубже понять настоятельно рекомендую изучить всю информацию из категории Теория особенностей и катастроф