7. Кратность ростков функций и отображений Кратность функций Rn ->Rn и Rn ->R

Привет, Вы узнаете о том , что такое кратность функций, Разберем основные их виды и особенности использования. Еще будет много подробных примеров и описаний. Для того чтобы лучше понимать что такое кратность функций , настоятельно рекомендую прочитать все из категории Теория особенностей и катастроф.

Пусть }(х): В" > Е" -— гладкое отображение, оно задается набором т гладких функций: }'(т): В" -» В. Напомним, что матрицей
Якоби отображения { называется матрица „+, составленная из част- РЕ ных производных функций }\,..., {" по переменным 21,..., 2”:
1 1. |
21 то и 2 2... 2
21 го С Л; = (7.1)
ить т... тт
21 шо РС
В случае отображения пространств одинаковой размерности малрица (7.1) квадратная, и ее определитель называется якобианом отображения {.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 7.1. Точка то пространства-прообраза называется критической (варианты: особой, сингулярной) точкой отображения
Г, если ранг матрицы „/+ в этой точке меныше максимально возможного значения пи {т, т}.
В случае п = т это равносильно обращению в нуль якобиана отображения в данной точке. Если т = 1, то мы получаем уже знакомое
нам понятие критической точки функции. Если же п = 1, то отображение | задает кривую в пространстве В”, и это определение
критической точки кривой, введенное нами в разделе 6.
Напомним также, что в разделе 2 мы ввели понятие кратности
функции от одной переменной. Теперь пришло время определить общее понятие кратности гладких функций ЕВ" -» Е и отображений
84
№" -› В". Все дальнейшие определения и результаты носят исключительно локальный характер, и мы будем говорить о ростках функций и отображений в выбранной фиксированной точке пространствапрообраза, которую для простоты будем считать началом координат 0.
7.1. Кратность отображений В" — В"
Пусть /(т): ЕВ" > В" гладкое отображение, переводящее начало
координат 0 в себя. Оно задается п гладкими функциями:
(г) = (1 (+),...,/(2)), «= (ат, ,), Р(0)=0. (7.2)
Пусть А алгебра формальных степенных рядов:
А=ЕВ[[1,...,5.]|.
Рассмотрим идеал [; С А, порожденный функциями /1(т),..., {" (т),
точнее, их рядами Тейлора в точке 0.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 7.2. Идеал [, называется локальным идеалом
ростка отображения /. Локальной алгеброй ростка отображения { называется фактор-алгебра
С; '— А/Т,,
а ее размерность х = Чпа @; называется кратностью ростка }.
ЗАМЕЧАНИЕ 7.1. Локальная алгебра и кратность аналогично
определяются и для ростков аналитических отображений } : С” + С”,
нужно лишь взять алгебру А = С]т1,...,2и|] и провести аналогичную конструкцию над полем комплексных чисел. В комплексноаналитической категории имеется много замечательньех свойств, аналогичных которым нет в вещественной, см. . Например, конечномерность локальной алгебры О; в комплексном случае равносильна
условию, что точка 0 во множестве }—1(0) изолирована.
Вернемся к рассматриваемому нами случаю ростков гладких отображений В" -› В". Содержательная теория имеется именно для конечнократных ростков. Далее всюду, где не оговорено противное, мы
будем предполагать, что и < со.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 7.3. Образующими локальной алгебры ©; называется набор элементов
е1(т), ..., е,(т) Е А, (7.3)
85
который при факторизации по идеалу [; переходит в базис векторного
пространства С).
Определение 7.3 означает, что для фиксированного набора элементов (7.3) алгебры А каждый элемент 9(х) Е А представим в форме
9(т) = але (2) + --- + аье, (т) + В1(х) Г (т) + --:+ В, (2) 1" (=) (74)
с подходящими числами ©; Е ® и элементами 0;(15) Е А.
Теперь в качестве А возьмем алгебру ростков гладких функций
от п переменных в точке 0. Об этом говорит сайт https://intellect.icu . Рассмотрим идеал /; С А, порожденный
функциями ]"(т),..., 1" (т) и повторим все предыдущие рассуждения,
использованные нами для построения локальной алгебры С);. В результате мы получим понятия локальной алгебры ©; = А/1; и кратности и = 41 О; в двух категориях: формальных рядов и гладких
функций. Имеет место замечательный факт о совпадении кратностей
в категории формальных рядов и категории гладких функций:
ЗАДАЧА 7.1 (*). Покажите, что если кратность и, вычисленная в
одной из двух категорий, конечна, то кратность, вычисленная в другой категории, с ней совпадает. При этом локальные алгебры в обеих
категориях изоморфны: образующие (С); в категории формальных рядов получаются из образующих ©; в категории гладких функций с
помощью сопоставления каждой функции }' ее ряда Тейлора.
Далее мы будем иметь дело с ростками конечной кратности, поэтому нет необходимости уточнять, в какой из двух категорий определены
локальная алгебра. и кратность.
ЗАДАЧА 7.2. Сделаем гладкую замену координат (т1,....Ть),
оставляющую на месте точку 0. Как при этом изменятся локальная
алгебра, ©; и кратность и?
ЗАДАЧА Т.3. Проверьте, что если О регулярная точка отображения ](1), т.е. якобиан „/+(0) 52 0, то его кратность и = 1.
Решение. В силу сказанного выше, нам достаточно установить
представление (7.4) си = 1 либо в категории гладких ростков, либо
в категории формальных рядов. Установим его в категории гладких
ростков, так как для формальных рядов рассуждение еще проще. Из
условий „Л,(0) =^ 0 следует, что функции }1(т),..., " (2) имеют линейно независимые градиенты в 0. Используя обобщение леммы Адамара
(задача 1.1), представим произвольный росток 9 Е А в виде
9= 9(0) + В1(з)/* (=) + ---+ В» (=) (+)
86
с некоторыми гладкими функциями 2; (т). Следовательно, локальная
алгебра @; имеет одну образующую (например, в качестве таковой
можно взять е1 (2) = 1), поэтому ее размерность и = 1. [|
ЗАДАЧА Т.4. Вычислите кратность отображения
В Иен, ЕВ >В"
в точке 0, заданного формулой
(ту) и, ..., 1-Цх, у) — Уп-1, Е’ (т, у) = =”, (7.5)
где у = (91,..., м1), и найдите образующие его локальной алгебры.
РЕШЕНИЕ. Покажем, что любой элемент 9(5) Е А представим в
форме (7.4):
9(5,у) = 90 (у) + 29% (9) + 27 92($, у) =
п-1 в-—1
= 90(0) + У. доу): + т (© В ри ии + 2*92(2,у) =
1=1 1=1
в—1
= 90 (0) + 291 (0) + У Ви(х, ууу: + Вы (х, у)? =
1=1
=а1 + а25 + У `` ВЕ(х, у)1"(х, у),
+=1
где @1 = 90 (0) — 9(0, у), @2 — 91(0) = 9=(0) и
В: (т, у) = до (у) + т9ы(у), +=1,....в-1; Вит, у) = 92(%,у).
При выводе данного представления в категории гладких ростков
мы воспользовались леммой Адамара и вытекающим из нее представлением (1.5) ср = 2. В категории же формальных рядов это представление вообще очевидно, так как с формальными рядами можно
обращаться так же, как и с многочленами. В обеих категориях мы
получили представление (7.4) с кратностью и = 2 и образующими
е1(х, у) =Ь е2(х, у) — т.
Следовательно, локальная алгебра С); ростка отображения (7.5) в 0
изоморфна алгебре срезанных многочленов В |/(22). №
ЗАДАЧА 7.5. Вычислить кратность отображений ®? -+ В? в критической точке 0, заданных следующими функциями:
87
$ (ту Р (т, у) 11| а+у2 у
7. ту у
3 ту т + у
4 с г
5 1:3 у
[ Ш 1 созу — 1
7| зщ (25) 11 (соз (7)
8 | зш(т фу) | № (со (2 -у))
7.2. кратность функций К” —} К
Пусть }(х) : Е" + В гладкая функция от п переменных и 0
ее критическая точка, т.е. },, (0) = 0 для всех индексов 1 = 1,...,п.
Функпия { порождает градиентное отображение \/} : В" - В", определенное формулой
У/: т= (11,...,2в) = (Да. (т),..., (т). (7.6)
Как и для любого гладкого отображения В” -»› В”, для градиентного отображения \}{ определены понятия локальной алгебры
Оу; = А/Гу; и кратности и = а Фу:.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 7.4. Кратностью и функции } : ®" -} В в точке 0 называется кратность соответствующего градиентного отображения У} : В" — В", т.е. д = аа Оу.
ЗАМЕЧАНИЕ 7.2. В случае п = 1 мы имеем несколько определений кратности ростка {(т) : В! -+ В!. Во-первых, это кратность
и = 41 @; частный случай определения 7.2. Во-вторых, согласно
определению 7.4, это кратность д = апп @у;. В-третьих, для функций
одной переменной кратность + ранее была определена условием (2.1).
ЗАДАЧА 7.6. Проверьте, что при п = 1 кратность д в смысле
обоих определений совпадает и при этом и = и + 1.
Решение. Равенство и = д-+1 очевидно. Покажем, что если число
и определено формулой (2.1), то кратность функции в смысле определения 7.4 также равна д (обратное утверждение доказывается аналогично). Из (2.1) следует, что ряд Тейлора градиентного отображения
88
УГ: тн+ ] (1) начинается с монома т*. Следовательно, любой элемент
9 Е А представим в виде
9(=) = Р,-1(=) + В(т)7 (=),
где Р,_1 — многочлен степени д —1и ВЕЛ. (Для А =Е[ | это представление совершенно очевидно, а для алгебры гладких ростков нужно воспользоваться леммой Адамара.) Отсюда следует, что факторалгебра А/Гу; изоморфна алгебре срезанных многочленов В[х|/(5^),
и ее размерность равна д. |
В случае и = 1 критическая точка 0 называется невыроэжденой.
Логично также положить кратность д = 0 для некритической точки. Действительно, в этом случае идеал Гу; содержит все элементы
алгебры А и, следовательно, Чит Су; = 0.
ЗАДАЧА 7.7. Докажите, что определение невырожденной критической точки условием и = 1 совпадает с ранее данным определением: критическая точка называется невырожденной, если в ней гессиан
функции отличен от нуля.
ЗАДАЧА 7.8. Рассмотрим функцию {(х): Е" - Е кратности р в
точке 0. Докажите следующие утверждения.
1. Росток функции, полученной умножением {(т) на произвольную
гладкую функцию 9(т), 9(0) = 0, имеет кратность д.
2. Росток функции Е({(т)): В - В, где Р`- произвольная гладкая
функция, Е”(0} = 0, имеет кратность р.
ЗАДАЧА 7.9. Вычислите кратность критических точек функций
типа А„ и О‚, определенных в разделе 4.
ЗАДАЧА 7.10. Вычислите кратность следующих функций в начале координат: { = 12 +92, { = ехр (12 +92), } = х? + хуур, = 12, =? + 2у у, =, Е, Е, уу.
УказанИиЕ. Во многих случаях для вычисления кратности удобно
воспользоваться тем, что при замене координат она не изменяется.
Докажите это.
Для конечнократных критических точек (р < со) имеет место следующее утверждение — обобщение леммы Морса, которая описывает
случай кратности д = 1.
89
ГЕОРЕМА 7.1 (Тужрона!). Пусть }(х) : В" -+ ® - гладкая функция, имеющая в 0 критическую точку кратности и. Обозначим через Т,+1(%) многочлен Тейлора степени и + 1 функции }(т) в нуле.
Тогда существуют такие локальные координаты, в которых росток
функции ] совпадает с Т/41(т).
Теорема, Тужрона существенно облегчает приведение ростка функции к нормальной форме в конечнократной критической точке. Достаточно привести к нормальной форме лишь К-струю функции, где
К = и-+1 (это можно сделать с помощью полиномиальных замен переменных), не заботясь о том, как при этом преобразуются члены больших степеней. Ведь по теореме Тужрона, нормальная форма функции
будет совпадать с нормальной формой ее К-струи.
Доказательство теоремы Тужрона может быть найдено в
или [39].
ЗАДАЧА 7.11. Пусть а, ‚с такие гладкие функции, что
а(0) #0, 65(0) #0, с(0) 20, а(0)с(0) = 572 (0).
Вычислите кратность ростка функции
1(х, у) = а(т,у)=? + 2 т, у)ту? + с(т, уу",
в точке 0 и докажите, что он имеет особенность типа Ад, т.е. приводится к нормальной форме +12 + у подходящей заменой координат.

Исследование, описанное в статье про кратность функций, подчеркивает ее значимость в современном мире. Надеюсь, что теперь ты понял что такое кратность функций и для чего все это нужно, а если не понял, или есть замечания, то не стесняйся, пиши или спрашивай в комментариях, с удовольствием отвечу. Для того чтобы глубже понять настоятельно рекомендую изучить всю информацию из категории Теория особенностей и катастроф