13. Неявные дифференциальные уравнения

Привет, Вы узнаете о том , что такое неявные дифференциальные уравнения , Разберем основные их виды и особенности использования. Еще будет много подробных примеров и описаний. Для того чтобы лучше понимать что такое неявные дифференциальные уравнения , настоятельно рекомендую прочитать все из категории Теория особенностей и катастроф.

Это раздел посвящен дифференциальным уравнениям, не разрешенным относительно производной, которые мы будем для кратности
называть неявными дифференциальными уравнениями по аналогии с
неявно заданными функциями:
Ее -о ше ра, (13.1) ах
Для простоты предположим, что функция Р : ВЗ -+ В гладкая и
регулярная во всех точках, где Ё = 0 (от последнего условия можно
отказаться, см. замечание 13.2). Тогда в пространстве Л! с координатами (т, у, р) уравнение Р(т,у,р) = 0 задает некоторую гладкую поверхность Я, в каждой точке которой определена касательная плоскость,
Основным шагом является процедура поднятия уравнения (13.1)
(точнее, задаваемого им многозначного поля направлений) с плоскости (5, у) на поверхность „Я, на которой поле направлений становится
однозначным. Эта конструкция очень похожа на использование римановой поверхности для многозначной функции комплексного переменного, на которой функция становится однозначной.
13.1. Поднятие уравнения на поверхность
Напомним некоторые понятия из раздела 6.2.6. Пусть С - произвольная кривая, заданная в параметрической форме
==х(Ю, у=У(, (13.2)
145
ее поднятием или 1-графиком называется кривая С"
2=Ф(Ю, у=у(Ю, р=3(0/(0, (13.3)
в пространстве ./'. Нетрудно видеть, что С является интегральной
кривой (далее мы для краткости будем говорить: решением) уравнения
(13.1), если и только если С целиком лежит на поверхности „Я этого
уравнения (см. рис. 13.1).
Следовательно, в каждой своей точке С касается касательной плоскости поверхности .®. Равенство р = 4у/4тх означает, что в каждой
своей точке С' касается контактной плоскости рах — 4у = 0. Контактные плоскости определены во всех точках пространства „/! и образуют
в нем поле плоскостей, называемое контактной стпруктурой .
(х,у) (ху)
Рис. 13.1 Поднятие решений уравнения (13.1) на поверхность
Почти во всех точках поверхности . касательная плоскость не совпадает с контактной, в таких точках их пересечение одномерно и, следовательно, определяет поле направлений на .Я. Это поле называется
поднятым, его интегральные кривые - 1-графики решений уравнения (13.1), а их проекции на плоскость (т, у) вдоль направления оси р —
решения этого уравнения; см. рис. 13.2. Обозначим поднятое поле направлений через А’, а отображение проектирования поверхности . на,
плоскость (1,у) вдоль направления оси р через л.
Множество 5 точек поверхности „Я, в которые отображение проектирования л не является локальным диффеоморфизмом (т.е. множество критических точек отображения л), называется криминантой
1В отличие от поля касательных плоскостей поле контактных плоскостей неинтегрируемо, т.е. не существует такой гладкой функции Ф, что все плоскости
рат — 4у = 0 касаются ее поверхностей уровня Ф(т, у, р) = сопз.
146
данного уравнения, а его проекция л(5) — дискриминантной кривой.
Криминанта 5 задается двумя уравнениями: Е = 0, Ё, = 0 (последнее
означает, что в точках криминанты касательная плоскость к поверхности „Я вертикальна”).
Кроме криминанты, на поверхности .® есть еше одна замечательная кривая 5*, которая называется кривой перегибов, она определяется
уравнениями Р = 0, С = 0, где
С =Е, + РЁ.,. (13.4)
Смысл данного названия и обозначения станет ясным из следующих
задач. На рис. 13.2 кримината (наверху) и дискриминантная кривая
(внизу) изображены длинными прерывистыми линиями, а кривая перегибов 5* пунктирной линией.
(х,у) (х,У)
Рис. 13.2 Поднятое поле направлений на поверхности уравнения (13.1)
ЗАМЕЧАНИЕ 13.1. В данных выше определениях слово «кривая»
не нужно понимать буквально. Вообще говоря, «кривая перегибов» и
«лискриминантная кривая» могут быть множествами, не являющимися кривыми (то же относится ик криминанте). Например, ниже
мы столкнемся с уравнением, кривая перегибов которого совпадает со
всей поверхностью уравнения.
Однако в случае общего положения эти множества —- кривые (или
пусты), поэтому такие названия закрепились, Приведем лостаточное
условие регулярности криминанты, далее оно почти всегда будет предполагаться выполненным.
Будем говорить, что для уравнения (13.1) в некоторой точке криминанты выполнено условие регулярности криминанты, если в этой
р: ?Вертикальным направлением в пространстве Л! называется направление оси р.
147
точке ранг отображения (т, у,р) => (Е, ЕЁ») равен 2, т.е.
Е, Е Е, =2. (13.5)
Е хр Рур Рурр
ГЕ
ЗАДАЧА 13.1. Докажите, что если в точке Те 5 выполнено
условие (13.5), то в окрестности Т' поверхность .Я регулярна и криминанта 5 регулярная кривая на 5. В случае же, когда это условие не
выполнено, И поверхность, и криминанта могут иметь особенности.
ЗАДАЧА 13.2. Локажите следующие утверждения:
1. Если функция ЁР(х,у,р) является многочленом по р (с коэффициентами, ЗААВИИСЯИПИМИИ СУГ т, у), та дискриминантная кривая задается
уравнением О(х,у) = 0, где Р дискриминант многочлена Р.
2. Касательная плоскость к поверхности . совпадает с контактной
плоскостью в тех и только тех точках, где криминанта пересекается
с кривой перегибов. Следовательно, поднятое поле А определено во
всех точек поверхности .®, кроме множества 5 ПП 5*.
3. Точки кривой 5*, в которых Ё,, = 0 (т.е. точки множества 5” \.5)
соответствуют точкам плоскости (т, у), в которых решение уравнения
имеет вид у = {(т), |” = 0, а при выполнении дополнительного условия Рур 7 0 - вид у = ХД(т), |" = 0, [" 2 0, те. точкам простого
(кубического) перегиба решения. Это и объясняет название,
УклазАНИЕ ДЛЯ П. 3. По теореме о неявной функции, в окрестности любой точки из множества 5* \ 5 уравнение (13.1) разрешимо
относительно р, откуда следует, что его решение имеет вид у = {(т).
Затем нужно продифференцировать уравнение (13.1) дважды.
Напомним, что в разделе 6.2.7 мы применяли преобразование Лежандра к уравнению (13.1), получив в результате двойственное уравнение Ё*(Х,У,Р) = 0, Р = аУ/АХ, причем решения этих уравнений
также переходят друг в друга.
ЗАДАЧА 13.3. Локажите, что при преобразовании Лежандра криминанта исходного уравнения соответствует кривой перегибов двойственного уравнения, а кривая перегибов исходного уравнения криминанте двойственного уравнения. Отсюда следует, что точки решений исходного уравнения, лежащие на дискриминантной кривой, соответствуют точкам нулевой кривизны решений двойственного уравнения и, в частности, каспы решений исходного уравнения — точкам
простого (кубического) перегиба решений двойственного уравнения.
148
Запишем явную формулу для поднятого поля направлений А. Для
этого удобно задать его с помощью векторного поля: в каждой точке,
где поле А определено, должен быть определен вектор, порождающий
данное направление (т.е. представляющий базис на данной прямой), а
в тех точках, где направление не определено, вектор равен нулю.
С алгебраической точки зрения, пересечению касательной и контактной плоскостей отвечает система уравнений
Е. ах + Е, ау + Е, ар = 0, 13.6 рат — ау =0,
которые следует рассматривать как линейные уравнения относительно ‹длифференциалов» ат, ау, ар - компонент вектора из трехмерного
касательного пространства к „71 в точке (т, у,р).
Будем в дальнейшем всегда обозначать производные по $ точкой
сверху: г = ах/ 4, 7 = ау/4Е и т.д. Тогда компоненты вектора скорости кривой (13.3), являющейся 1-графиком решения уравнения (13.1),
должны удовлетворять системе уравнений, полученных из (13.6) заменой дифференциалов соответствующими производными:
Е. +Е9+Е,р=0, - (13.7) ру =0.
Из последней системы получается поднятое векторное поле
х = Е», И — РЁь. р — —С, (13.8)
где функция С’ определена формулой (13.4).
Поднятое поле определено однозначно с точностью по пропорциональности, т.е. правые части уравнений (13.8) можно умножить на,
любую скалярную функцию, не обрашающуюся в нуль. Интегральные
кривые таких векторных полей совпадают геометрически (как множества фазового пространства), различается ить скорость движения
по ним. Таким образом, чтобы получить решения уравнения (13.1),
нужно спроектировать интегральные кривые векторного поля (13.7),
лежащие на поверхности „Я, на плоскость (1, у).
ЗАМЕЧАНИЕ 13.2. Описанная конструкция без существенных изменений переносится на случай, когда поверхность „Я не регулярна в
некоторых точках, образующих нигде не плотное множество © (заметим, что оно содержится в криминанте). Хотя в точках множества ©
касательная плоскость к . не определена, поднятое поле (13.8) продолжается в них нулем по непрерывности.
149
ЗАМЕЧАНИЕ 13.3. При практическом использовании этого метода можно поступить двояко. Во-первых, можно выбрать на поверхности . две координаты (из числа т,у,р) и записать поле (13.8) в
этих координатах, отбросив «избыточную» третью переменную. Полученное однопараметрическое семейство интегральных кривых будет в
точности множеством 1-графиков решений уравнения.
Например, если уравнение (13.1) равносильно у = {(5,р), то переменные (5,р) координаты на поверхности „Я. Поднятое поле (13.8)
для уравнения {(х,р) — у = 0 на поверхности . имеет вид
ф = (т, р), Б = [#(т,р). (13.9)
Интегрируя соответствующее поле направлений 4х : ар, найдем семейство его интегральных кривых: 5 = (р, с). Отсюда получаем решения
исходного уравнения (13.1) в параметрическом виде:
х = Ф(р,с), у= 1(Ф(р,с),р).
Если же на поверхности „Я выбрать координаты затруднительно?,
можно рассматривать поле (13.8) во всем пространстве „Л! и найти
семейство всех его интегральных кривых. Это семейство зависит от
двух параметров и содержит 1-графики не только решений уравнения
(13.1), но и всех уравнений Р(х,у,р) = соп8$. Чтобы выделить решения
искомого уравнения, нужно подставить полученное двухпараметрическое семейство в (13.1), что позволит отбросить лишние решения.
ПРИМЕР 13.1. Для уравнения Ё'` = р?—1 = 0 поверхность „Я представляет собой пару параллельных плоскостей р = +1 в пространстве
„Л. Поднятое векторное поле (13.8) принимает вид
#=2р, у=2р’, р=0,
оно определяет поля направлений 4у : 4х = -Е1 на плоскостях р = 1,
соответствующие семейства интегральных кривых имеют вид прямых
у = т+с1 иу = —т + 2. Проектируя эти семейства на плоскость
(т,/), мы получаем на ней ортогональную сеть, состоящую из прямых у = Ех + с (рис. 13.3). В этом примере криминанта уравнения
отсутствует и, решения не имеют особенностей, а кривая перегибов содержит все точки поверхности „Я (пары плоскостей), поэтому во всех
точках решения имеют нулевую кривизну. Очевидно, что последним
свойством обладают только прямые линии.
ЗСюда относится и тот случай, когда нарушено условие регулярности поверхности „У и она не является графиком гладкой функции.
150
р=-1
Рис. 13.3 Иллюстрация к примеру 13.1: интегральные кривые поднятого
поля проектируются с верхней и нижней плоскостей р = 1 на
координатную плоскость (т, у), расположенную между ними
13.2. Особенности проектирования
В точках криминанты 5 проектирование л имеет особенность, поэтому они называются особыми точками уравнения (13.1). Особые точки делятся на два типа: правильные и неправильные.
Правильные особые точки определяются условием С = 0, т.е. это
точки множества 5 \ 5*. В них поднятое поле направлений определено
и вертикально, как видно, например, из формулы (13.8). Следовательно, через каждую правильную особую точку проходит одна интегральная кривая полнятого поля интегральная кривая векторного поля
(13.8), и ее проектирование особо.
Неправильные особые точки определяются условием (у = 0, т.е. это
точки множества 5 П 5”. В них касательная и контактная плоскости
совпадают, и поднятое поле направлений не определено, а векторное
поле (13.8) обращается в нуль. В случае общего положения неправильные особые точки встречаются довольно редко: это изолированные
точки криминанты, в которых ее пересекает кривая перегибов. Мы
не будем рассматривать неправильные особые точки, за исключением одного специального случая, когда они заполняют всю криминанту
целиком это приводит к появлению особого решения (раздел 13.3).
ПРИМЕР 13.2. Для уравнения Г = р* — т = 0 поверхность
представляет собой параболический цилиндр в пространстве „7! с координатами (у,р) на нем. Р, = 2р, поэтому криминанта является пересечением цилиндра р? — х = 0 плоскостью р = 0 (осьув .7'), а
151
дискриминантная кривая - ось у на плоскости (1,9). С = —1, поэтому кривая перегибов отсутствует, и все особые точки — правильные.
Поднятое векторное поле (13.8) имеет вид
#=2р, 9=20, р=1.
Интегрируя соотношение ду : 4р = 2р?, получаем у = р? + с, что дает
описание решений уравнения в параметрическом виде:
=р’, у= ар с, с= с0п56. (13.10)
Читателю предлагается нарисовать семейство кривых (13.10). Это полукубические параболы, полученные из одной из них (например, при
с = 0) сдвигами вдоль оси у, лежащие в полуплоскости 1 > 0. Дискриминантная кривая т = 0 является геометрическим местом их каспов.
Фазовый портрет, возникший в примере (13.2), является типичным
для уравнения (13.1) общего положения. Об этом говорит сайт https://intellect.icu . Почти все особые точки такого уравнения правильные и являются точками складки проектирования л, которая определяется условием РЁ, =Ои РЁ», 7 0. Такие особые
точки называют регулярными, см. рис. 13.4 (слева).
В случае общего положения отображения проектирования п может
иметь не только складки, но и сборки проектирования, причем точки сборки являются правильными особыми точками уравнения (13.1).
В таких точках криминанта 5 имеет вертикальное касательное направление, а дискриминантная кривая п(5) имеет касп в соответствующей
точке плоскости. Пример интегральных кривых поднятого поля и их
проекций показан на рис. 13.4 (справа).
ЗАМЕЧАНИЕ 13.4. Вообще говоря, сборки проектирования могут совпадать и с неправильными особыми точками уравнения, но это
вырождение имеет коразмерность 3 и, следовательно, неустойчиво.
Действительно, в таких точках происходит пересечение трех кривых на поверхности .#: криминанты Ё,, = 0, кривой перегибов С; = О и
кривой Р» = 0. С помощью сколь угодно малого возмущения функции
Е тройное пересечение кривых можно разрушить, превратив его в три
попарных пересечения (см. рис. 9.1 и обсуждение в разделе 9.1). При
этом возникает одна неправильная особая точка на складке проектирования и одна правильная особая точка в сборке проектирования, а
третья точка попарного пересечения не является особой.
Ниже мы исследуем правильные особые точки со складкой и со
сборкой (заметим, что в обоих случаях условие (13.5) выполнено). Перенесем рассматриваемую точку в начало координат 0 пространства.
152
Л, что делается с помощью подходящей аффинной замены координат
на плоскости (т, у). По определению правильной особой точки, выполнены условия: Е(0) = 2,(0} = 0, Е,(0) 2 0. По теореме о неявной
функции уравнение (13.1) локально равносильно
ау Кур) -2=0, р=-, (13.11)
с гладкой }, для которой {(0) = {,(0) = 0. Применяя лемму Адамара,
функцию {(у,р) можно записать в виде
(у, р) = (у) + (у,р) + р Ло(у,р), Л (0) = Л (0) =0.
Сделав замену переменной х +} г — (у) в дифференциальном уравнении (13.11), мы получим функцию {(у,р) вида
(у, р) = ар? + урд(у, р) + Ку, р), а=3Ер(0). (13.12)
Проектирование л имет вид (р, у) +} (51,9), где х = }(у,р). Сравнивая
это с отображением (9.3) из раздела 9.1, мы видим, что 0 точка
складки проектирования, если @ 52 0, и точка сборки проектирования,
если а =Ои 9(0) = 0, №(0) = 0.
13.2.1. Складка проектирования
Исследуем фазовый портрет уравнения в окрестности регулярной
особой точки. Без ограничения общности можно рассматривать уравнение (13.11), (13.12) в окрестности точки 0 при @ 0. Разрешая
(с помощью теоремы о неявной функции) уравнение },(у,р) = 0 относительно р, получаем криминанту в виде графика гладкой функции р = 9(у). Подставляя последнюю в уравнение (13.11), получаем уравнение дискриминантной кривой в виде графика функции
т = }(у,9(у)). Дискриминантная кривая гладкая, без особенностей.
Поднятое поле уравнения (13.11), (13.12) в координатах (р, у) имеет
вид Я = р/№»(у,р), р=1- РА, Р), (13.13)
В некоторой окрестности точки 0 вторая компонента поля (13.13) отлична от нуля и векторное поле (13.13) трансверсально криминанте
р = (9), поэтому каждая интегральная кривая этого поля пересекает
криминанту в единственной точке.
Рассмотрим интегральную кривую у = ф(р), проходящую через 0.
Эта кривая является решением уравнения
ау _ о РУ (у,Р)
— ` 1-РАу,р). - (13.14) 13.14
153
Следовательно, ‹2(0) = Ои '(0) = У(0) = 0. Далее, дифференцируя
(13.14) по р, получаем: ф"(0) = У,(0)ф'(0) + У»„(0) = 0. Дифферецируя
еще раз, получаем
р" (0) = (У(0)ф' (0) + У,р(0)) р" (0) +
+ У,(0)ф" (0) + У,р(0)ф' (0) + Урь(0) = 2а #0.
Отсюда с учетом (13.11), (13.12) получаем
д = /(ф(р),р) = ар’ +о(р”), у=ф(р) = зр' + о(р”). — (13.15)
Из (13.15) видно, что решение уравнения (13.11), (13.12), проходящее
через начало координат, имеет вид полукубической параболы с каспом в начале координат. Все остальные решения, проходящие через
близкие точки, имеют аналогичный вид (см. рис. 13.4, слева).
Г |
складка проектирования сборка проектирования
Рис. 13.4 Интегральные кривые поднятого поля и их л-проекции в
окрестности складки (слева) и сборки проектирования (справа)
ЗАМЕЧАНИЕ 13.5. Для регулярных особых точек имеет место
более сильное утверждение, называемое теоремой Чибрарио\, состоящее в том, что в окрестности регулярной особой точки все уравнения
эквивалентны друг другу, т.е. семейства их решений переводятся друг
в друга подходящим локальным диффеоморфизмом (1, у)-плоскости.
В частности, в окрестности регулярной особой точки любое уравнение
(13.1) эквивалентно уравнению р? = х, рассмотренному в примере 13.2.
Подробнее об этом будет сказано в разделе 13.4 (теорема 13.2).
4В честь итальянского математика Марии Чибрарио (Мала С1Ьгагто, 1905-1992).
154
13.2.2. Сборка проектирования
Теперь исследуем фазовый портрет уравнения в окрестности правильной особой точки, которая является сборкой проектирования.
Без ограничения общности можно рассматривать уравнение (13.11),
(13.12) в окрестности точки 0 при а = Ои 9(0) = 0, А(0) = 0. Применяя лемму Адамара, представим }(у,р) в виде
(и, р) = ару + 5р° + руда (у, р) + р Ва (у,р), 46 #0. (13.16)
Отсюда видно, что криминанта уравнения }(у,р) — т = 0 имеет вид
у = Кр? + о(р?), где Е = —З6/а, а дискриминантная кривая —
а = 1(Ёр? + о(р*), р) = —26р + о(р3), у= Ёр* + о(р°),
и имеет касп в начале координат (рис. 13.4, справа). Поднятое поле в
координатах (р, у) имеет вид (13.13) с функцией } из (13.16).
ЗАДАЧА 13.4. Покажите, что интегральные кривые поднятого
поля и их л-проекции имеют вид, изображенный на рис. 13.5: при К < 0
(слева) и при при Ё > 0 (справа). Эти типы особенности называются
соответственно эллиптической и гиперболической сборкой. Докажите,
что в точках пересечения с дискриминантной кривой (кроме начала,
координат) решения уравнения имеют касп -— особенность вида (6.6)
с показателем п = 2, а решение, проходящее через начало координат,
имеет особенность вида (6.6) с показателем п = 3.
ЗАМЕЧАНИЕ 13.6. Глядя на нижнюю часть рис. 13.5, внимательный читатель вспомнит похожую картинку сечения поверхноСТИ «ласточкин хвост», изображенные на рис. 11.4 в разделе 11.2.4.
На самом деле, это внешнее сходство указывает на более глубокую
связь. В статье [11] доказано, что семейство решений любого уравнения в окрестности правильной особой точки со сборкой проектирования можно получить из сечений ласточкиного хвоста семейством
параллельных плоскостей, представленных на рис. 11.4, с помошью
подходящего гладкого отображения В3 — В? ранга 2.
ЗАДАЧА 13.5. Решите дифференциальное уравнение 13 +ару = х,
где а произвольное вещественное число, и нарисуйте семейство его
решений в зависимости от значений а.
УкаАЗАНИЕ. Можно воспользоваться преобразованием Лежандра:
двойственное уравнение является линейным и легко интегрируется.
155
Рис. 13.5 Интегральные кривые поднятого поля и их л-проекции:
эллиптическая сборка (слева) и гиперболическая сборка (справа)
13.2.3. Особенности интегральных кривых
В этом разделе мы исследуем вопрос, какие особенности может
иметь решение (интегральная кривая) уравнения (13.1), 1-график которой проходит через правильную особую точку То, в которой функция Р имеет конечную кратность по переменной р (см. раздел 2.1).
Для этого условие (13.5) уже не требуется. Пусть
ОЕ ое
дти (То) =0, дхе+1 92 (т, = ие (1%) = 0, (13.17) дх
и искомое решение уравнения (13.1) имеет вид (13.2), тогда его 1-
график (13.3) — интегральная кривая поля (13.8). Без ограничения
общности можно считать, что эта кривая проходит через То при # = 0,
тогда ф’(0) = Р(То) = Оби’ (0) = рЕ›(То) = 0, т.е. значение # = 0
является критическим для обеих функций Ф(®, Ф(®.
Рассмотрим производную Ли векторного поля (13.8) дифференциальный оператор
0 [в Г)
156
ЗАДАЧА 13.6. Докажите, что если ф(® (0} = 0 для: =1,...,К, то
ОБЕ 2+1 (0) = РАЕ)|= (-6)* дрЕ+т [ть (13.18)
Сравнивая (13.17) и (13.18), заключаем, что ф(®) имеет в нуле такую
же кратность д, что и Р пор в точке То:
$'(0) =0, ..., ф"-0 (0) =0, р" (0) #0, п=р-+1. (13.19)
Далее, как и прежде, будем для простоты считать точку То началом
координат пространства „71.
ЗАДАЧА 13.7. Докажите, что если То = 0, то кратность функции
(1) в нуле равна д + 1, т.е.
р" (0) =0, ..., 4 (0) =0, 4+1 (0) #2 0. (13.20)
Из формул (13.19) и (13.20) следует, что росток решения уравнения
(13.1), 1-график которого проходит через правильную особую точку 0
конечной кратности д (формула (13.17)), имеет вид
х=Е (В, уЕРТЬ, и (0) (0) #0, п= в+ 1. (13.21)
Ростки кривых такого вида мы подробно исследовали в разделе 6.
ЗАДАЧА 13.8. Верно ли, что любой росток кривой вида (13.21)
является решением некоторого дифференциального уравнения?
УкаАЗАНИЕ. Можно воспользоваться преобразованием Лежандра и
перейти к двойственному уравнению.
13.3. Феномен особого решения
Феномен существования «особых решений» был открыт еще в
ХУШ веке. Первое известное упоминание о них содержится в работе Тейлора 1715 года, затем изучением этого явления занялись Эйлер,
Даламбер, Клеро, Коши, Лаплас, Лагранж и многие другиез.
В то далекое время требовалось прежде всего «решить» дифференциальное уравнение, то есть описать все его решения некоторой
общей формулой, содержащей произвольную постоянную (так называемое «общее решение»). На этом пути Тейлор однажды столкнулся
ЗО ранней истории вопроса см. раздел 3.4 книги [28].
157
с ситуацией, когда кроме «общего решения» есть еще одно решение, не
получающееся из общей формулы ни при каком значении постоянной.
Для такого решения он ввел термин «зшрщаг зо оп», и это стало
первым определением особого решения. Пример Тейлора содержится
в книге [28], мы приведем более простой: уравнение р? = у имеет семейство решений, задаваемых общей формулой у = 1(2 + с)?, и еше
одно решение у = 0. не получающееся из нее ни при каком с.
Позже появилось другое определение особого решения, основанное
на геометрическом свойстве: особым решением стали называть такое
решение, которое является огибающей семейства других (неособых)
решений уравненияб. В приведенном выше уравнении р? = у решение
у = 0 является огибающей семейства остальных решений -— парабол.
Некоторое время считалось, что эти два определения эквивалентны
(так считал даже Лагранж), но позже появились примеры, показывающие, что ни одно из этих двух условий не следует из другого.
Можно заметить, что в каждой точке огибающей нарушается единственность решения задачи Коши, поэтому все точки 1-графика огибающей являются особыми точками уравнения (13.1). Более того, из
сказанного ранее следует, что все эти особые точки неправильные, т. е.
1-график огибающей содержится в 5 П5* пересечении криминанты
и кривой перегибов. Это мотивирует следующее определение:
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 13.1. Особым решением уравнения (13.1) называется такое решение, 1-график которого целиком состоит из неправильных особых точек. Решения, не удовлетворяющие этому условию,
называются неособыми.
Из сказанного вытекает, что особое решение целиком содержится
в дискриминантном множестве уравнения. Отметим также, что это
определение включает в себя Не только случай огибающей: например,
уравнение р? = у? имеет семейство решений у = с=”, которые при
с = 0 неособые, а при с = 0 дают решение у = 0, особое в смысле
данного определения, но не являющееся огибающей семейства.
ЗАМЕЧАНИЕ 13.7. Отметим, что в случае уравнения (13.1) общего положения множество 5П 5” дискретно, поэтому общего решения не
существует. Существование особого решения — явление весьма редкое,
которое бывает лишь в уравнениях специального типа.
6 Это означает, что график особого решения в каждой точке касается какого-то
другого (неособого) решения, но ни в какой окрестности точки не совпадает с ним
тождественно.
158
Таким образом, что необходимым и достаточным условием существования особого решения является то, что множество 5 П 5” содержит непрерывную кривую, л-проекция которой является кривой на,
плоскости (т, у). Обозначим это условие ©.
Два. примера уравнений вида (13.1), удовлетворяющие условию ©,
уже встречались нам в разделе 6.2.7 это (6.22) и (6.23). Нетрудно
также видать, что таковыми являются уравнения вида р? = 1 (у). особыми решениями являются прямые у = у, где /(щ) = 0.
Пример уравнения р? = у? показывает, что особое решение (в смысле данного выше определения) не всегда. является огибающей. Таким
образом, условие © является необходимым, но не достаточным для существования огибающей семейства решений.
ТЕОРЕМА 13.1. Если в точке ТЕ 5 уравнение (13.1) удовлетьворяет, условию © и регулярности криминанты (13.5), то в окрестности этой точки оно имеет особое решение, являющееся огибающей
семейства неособыт решений, причем во всет точкат касание имеет
первый порядок. Если, кроме того, выполнено условие Е‚р(Т) 2 0, то
особое решение гладкое, в противном случае оно имеет особенность.
ДоклзлАтельство. С помощью подходящего аффинного преобразования перенесем рассматриваемую точку Тв начало координат
пространства „Л. Тогда ЁЕ,(0) = Ои С(0) = Е, (0) = 0 (неправильная
особая точка), и из условия (13.5) вытекает, что
Е, (0) 920, |.) + |Е»»(0) 5 0. (13.22)
По теореме о неявной функции поверхность -Я имеет вид у = }(т,р),
а криминанта задается на ней уравнением т = (р) или р = 7(т). Мы
находимся в ситуации, описанной в замечании 13.3, и поднятое поле
для уравнения }(т,р) — у = 0 на поверхности . имеет вид (13.9):
х = Ть(т,р), р=р- Ё№ь(х,р).
В силу условия © обе компоненты поля (13.9) обращаются в нуль
на криминанте 5, которая в силу условия (13.5) является кривой вида,
т = (р) или р = 7'(т). Следовательно (см. задачу 1.4), 1 имеем
(т, р) — А(т,р)й(хт,р), р 1: (т.р) — В(т,р)в(т,р),
где | = ж-—7(р) или В = р-7(т) соответственно, А и В - некоторые гладкие функции, 4(0) = 0. Поле с такими компонентами можно
разделить на функцию й(т, р), получив гладкое векторное поле
т = А(х,р), р= В(т,р), 4(0) 20, (13.23)
159
интегральные кривые которого совпадают с интегральными кривыми
поля (13.9) везде, за исключением самой криминанты. Таким образом,
все неособые решения уравнения являются л-проекциями интегральных кривых поля (13.23).
ЗАДАЧА 13.9. Докажите, что в нуле направление поля (13.23)
равно 42 _ А _ Л _ _Ль
ар В Тиз 1- Ттр
где все производные взяты в точке 0, и если оно совпадает с касательным направлением криминанты й(1,р) = 0, это приводит к системе
Те — ХТюр — Л
Тех 1 — ]ар Рр
несовместной при выполнении условий (13.22).
Таким образом, поле (13.23) трансверсально криминанте, и каждая
его интегральная кривая трансверсально пересекает 5 в единственной
точке поверхности -, а ее л-проекция - гладкая кривая, имеющая касание первого порядка с дискриминантной кривой в соответствующей
точке плоскости (т,у). Проекции интегральных кривых поля (13.23)
образуют семейство неособых решений уравнения, дискриминантная
кривая является особым решением и огибающей семейства, неособых
решений (рис. 13.6, справа).
Последнее утверждение о регулярности дискриминантной кривой
при выполнении условия Р»›(Т) 52 0 очевидно. №
ПРИМЕР 13.3. Поверхность „Я уравнения ЁР = р? -у=0 параболический цилиндр в пространстве „/! с координатами (1,р). Е, = 2р,
и криминанта пересечение цилиндра р? — у = 0 плоскостью р = 0
(ось тв), а дискриминантная кривая ось т на плоскости (7,9).
Так как С = —р, кривая перегибов совпадает с криминантой, и все
особые точки — неправильные. Поле (13.9) имеет вид
х=2р, р=р.
Разделив его на р, получаем поле 5 = 2, р = 1 с семейством интегральных кривых р = тт + с. После интегрирования получаем
у = 15° + сх + 1. (13.24)
Две свободные переменные получились потому, что при интегрировании мы не использовали условие р? и - 0 и нашли интегральные
160
типичная картина нетиничная картина
Рис. 13.6 Интегральные кривые поднятого поля и их л-проекции для
регулярной особой точки (слева) и уравнения с особым решением
огибающей (справа)
кривые во всем пространстве „7 1, в том числе и лежащие на цилиндрах р? — у = К при К 27 0. Подставляя выражение (13.24) в уравнение
р? —у = 0, находим связь между константами; с1 = с?. Подставляя это
в (13.24), получаем семейство неособых решений парабол
у= 112 + ср + с* = (51+ с)" (13.25)
с огибающей у = 0, дискриминантной кривой уравнения и его особым
решением. Фазовый портрет похож на рис. 13.6 (справа).
ПРИМЕР 13.4. В разделе 6.2.7 с помощью преобразования Лежандра мы решили уравнение Клеро:
. а Е = Кр) -тр+у=0, р= — (13.26)
Для него: № = }(р) -хибС = В + РЁ, = -Р+р= 0. Криминанта
задается равенством {’(р) = , а «кривая перегибов» сорладает со всей
поверхностью .#. Поднятое поле
в=}Ё (р) -т, р=0
можно разделить на функцию /"(р) — г, получив поле 2 = 1, р = 0.
Отсюда следует, что все неособые решения — прямые. Их можно найти,
подставляя общее уравнение прямой у = сх + в! в уравнение (13.26) и
тем самым находя связь между си с1.
161
Но можно поступить иначе. Как мы видели в 6.2.7, дискриминантная кривая этого уравнения двойственна (по Лежандру) к графику
функции У = {(Х) и имеет вид (6.22). По теореме 13.1 она является
особым решением и огибающей семейства неособых решений. Например, если /(р) = р? (условие Р,› 52 0 выполнено), то дискриминантная
кривая является параболой. Если {(р) = р? (условие Ё\„ = 0 нарушено
при р = 0), то дискриминантная кривая полукубическая парабола,
семейство ее касательных изображено на рис. 6.8.
ПримеЕР 13.5. Рассмотрим уравнение
ЕЕр” —ур+е*=0, р _ =. 4 (13.27)
для которого имеем: Р» = 2р-уиС=е" — р?. Подставляя у = р/2 в
равенство ГР = 0, получаем у? = 4е? и, следовательно, дискриминантное множество состоит из двух кривых - графиков функций у = +2е?,
Проще всего подставить эти функции в уравнение (13.27) и убедиться,
что они обе является его (особыми) решениями. Из этого вытекает, в
частности, что криминанта уравнения целиком состоит из неправильных особых точек, что подтверждается и непосредственной проверкой.
Поднятое поле уравнения (13.27) на поверхности . имеет вид
= р - у, 9=Ь(2р-— у), р=р" фе" =р” - (ур- р’) = (р - у).
Разделив его на 2р — у, получаем поле
&=1 У=р, РЕР. (13.28)
ны Интегрируя @р: 4х = р, получаем р = се” и у = се” + с1. Эта формула дает все интегральные кривые поля (13.28) в пространстве ТТ.
Для того чтобы исключить лишние, подставим полученные выражения в уравнение (13.27). Это лает нам соотношение между константами: с1 = 1/с. В итоге семейство неособых решений уравнения (13.27)
имеет вид у = се” + 1/с, с # 0. Особые решения у = +2е3 являются его огибающими: каждая кривая у = се” + 1/с касается одной из
у = +2е? в зависимости от знака с. Уравнение (13.27) обладает интересным свойством, которое обсуждается ниже (замечание 14.4).
В заключение рассмотрим несколько примеров того, к чему может
привести нарушение условия регулярности криминанты.
ПриИмМЕР 13.6. Ниже в таблице приведены три уравнения, удовлетворяющие условию ©, но не удовлетворяющие условию регулярности
162
криминанты (13.5). В третьем столбце таблицы представлено поднятое поле и (ниже) оно же после сокращения общего множителя, а в
четвертом столбце — семейство неособых решений.
Поверхность „Я имеет особенность: в случае 1 она представляет собой пару плоскостей р = у, а в случаях 2 и 3 — полукубическое ребро
возврата, по-разному расположенное в пространстве ./!. Криминанта —
ось т в пространстве 7". Дискриминантная кривая у = 0 является особым решением уравнения в смысле

продолжение следует...

Продолжение:

Часть 1 13. Неявные дифференциальные уравнения
Часть 2 - 13. Неявные дифференциальные уравнения