Лекция
Это окончание невероятной информации про неявные дифференциальные уравнения .
...
данного нами определения.
уравнение полнятое поле до неособые
и после деления решения
|= 4х =: бур, д 2 у = се
тЕЪУ=рр=У
4 2 2 = 3 = р, п = 22. р = 342 = ^__ р У т р, У р ,рР УР у (вс)?
#=2, у= р, р = 32
3 2 3 = [2-3 9=З,р=Зур | у= (5+6)
$ = 36, = 327, р=2у
В случаях 1, 2 особое решение ту = 0 не является огибающей семейства неособых решений: они не касаются его, а лишь асимптотически
приближаются к нему с обеих сторон (в первом случае) или с одной
стороны (во втором). Причина этого очевидна: поле, полученное из
поднятого поля сокращением общего множителя, касается криминанты во всех ве точках и, следовательно, криминанта, является его интегральной кривой, поэтому она не может иметь общих точек с другими
интегральными кривыми этого поля, т.е. ни одно неособое решение не
может коснуться дискриминантной кривой.
В случае 3 особое решение у = 0 является огибающей семейства,
неособых решений, но во всех точках касание имеет не первый, а второй порядок. Это следствие того, что каждая интегральная кривая
поля, полученного из поднятого поля сокращением общего множителя, пересекает криминанту в единственной точке, но (в отличие от
теоремы 13.1) не трансверсально, а с касанием первого порядка. Соответствующие л-проекции имеют касание на 1 большего порядка.
В первом случае особое решение у = 0 получается из семейства
неособых при одном значении константы, а в случаях 2, 3 - нет.
168
В случае нарушения условия регулярности криминанты могут быть
более сложные и интересные фазовые портреты.
ЗАДАЧА 13.10. Рассмотрите два уравнения:
3 — 2 и „2 2 р’ +4тур =8у, (хр + Зур — 2у)` = 4у(ур -— 1).
Покажите, что первое уравнение имеет семейство неособых решений
у = с(х + с)?, которые касаются особого решения уу = 0 во всех точках,
кроме начала координат, причем особое решение получается из этого
семейства, при с = 0. Покажите, что второе уравнение имеет семейство
неособых решений 1 = ® + с + с, у= Е, касающихся особого решения
у = О во всех точках, кроме начала координат, а проходящее через
начало координат неособое решение имеет в нем касп с касательным
направлением, перпендикулярным у = 0 (см. пример 6.1 и рис. 6.1 из
раздела 6).
13.4. Нормальные формы
Введем понятие эквивалентности дифференциальных уравнений
вида (13.1), основанное на эквивалентности семейств решений (интегральных кривых) этих уравнений, именно:
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 13.2. Два уравнения вида (13.1) будем называть
эквивалентными, если существует гладкий диффеоморфизм плоскости (т, у). переводящий семейство интегральных кривых одного уравнения в семейство интегральных кривых другого уравнения. Диффеоморфизм, с помощью которого осуществляется эквивалентность, называется сопрягаюящцим.
ЗАМЕЧАНИЕ 13.8. Определенная таким образом эквивалентность не сводится к тому, что в результате некоторой замены переменных одно уравнений превращается в другое, как это имеет место
в классе уравнений вида у’ = }(т,у). Например, уравнения р? =1и
р‘ = 1 имеют одно и тоже семейство интегральных кривых, следовательно, они являются эквивалентными, причем сопрягающий диффеоморфизм — тождественное отображение. Но нетрудно убедиться, что
ни одно из этих уравнений невозможно превратить в другое посредством гладкой замены переменных т, у.
В этом разделе мы установим нормальные формы (в смысле введенной выше эквивалентности) ростков уравнений вида (13.1) в особых
164
точках простейших типов. Первый тип -— это регулярные особые точки,
т.е. такие, в которых РЁ, = 0, Ерр 2 0, а #0.
ТЕОРЕМА 13.2 (Чибрарио). В окрестности регулярной особой
точки уравнение (13.1) эквивалентно уравнению р? = т, т.е. с помощью подтодящего локального диффеоморфизма семейство решений
уравнения (13.1) приводится к виду (13.10).
Доклздатевльство этой Теоремы заимствовано (с небольшими изменениями) из книг [1, 2]. Основное изменение связано с тем, что используем теорему деления (теорема 2.1 из раздела 2.2), это немного
упрощает доказательство.
ШАГ 1. С помощью аффинного преобразования плоскости (т, 1)
перенесем рассматриваемую точку в начало координат пространства
Л. Тогда Е(0) = Е, (0) =0, Е,р(0) = 0, Е, (0) = 0. Отсюда следует, в
частности, что дискриминантная кривая является регулярной кривой,
и на плоскости (т, у) можно выбрать такие локальные координаты, в
которых дискриминантная кривая становится осью 5 = 0. Сделаем это
и будем обозначать новые координаты прежними буквами. Кратность
функции Р(т,у,р) в точке 0 по р равна 1, поэтому для ее ростка в
точке 0 имеет место представление (2.3) си =1:
Е(т,у,р) = ф(т,у,р) : (р° + 2а(т, ур + Их, у),
где а.6 гладкие функции, а(0) = 5(0) =Оиф(0) 2 0. Таким образом,
в окрестности точки 0 уравнение (13.1) эквивалентно уравнению
р? + 2а(=, ур + Ь(х. у) =0, р = ау/ах. (13.29)
ШАг 2. Средний член уравнения (13.29) можно убить подходящей
заменой у => 9, у = и(т, 9), где и(0) =Оицу (0) 7 0. При этом дискриминантная кривая не изменится. Действительно, замена у = и(т,9)
превращает (13.29) в уравнение
(Риз)? + 2риз (и. + а(т, и)) + (т, и) =0, р= ау/ат, (13.30)
и в качестве и(т, 7) можно взять решение начальной задачи
и, +а(т, и) = 0, и| = #9), (13.31)
где ©(=) - любая гладкая функция, такая, что %(0) =О0из'(0) # 0. Существование локального решения задачи (13.31) следует из известной
теоремы для уравнений с частными производными первого порядка.
165
Сделав такую замену и разделив обе части (13.30) на из, мы получим уравнение вида (13.29) са(т, у) = 0, дискриминантная кривая
которого по-прежнему совпадает с осью 1 = 0. Из последнего вытекает, что 6(0, у) = 0, откуда следует представление 6(т, у) = —ж6(т, у) с
некоторой гладкой 8(т,у) (см. задачу 1.3, формула (1.6)). Таким образом, за счет выбора подходящих локальных координат мы привели
исходное уравнение (13.1) к виду
р? ==В(т,у), 8(0) 20, (13.32)
криминанта которого ось ув пространстве 7, лискриминантная кривая ось у на плоскости (т, у).
ШАг 3. Без ограничения общности будем считать, что 6(0) > 0
(иначе нужно сделать замену 1 -» —2). Тогда поверхность уравнения
(13.32) представляет собой двулистное накрытие правой полуплоскости х > 0 с ветвлением вдоль дискриминантной кривой т = 0, при
этом «верхний» и «нижний» листы различаются знаком:
р = \/тВ(т,у), >20.
Сделаем в последнем уравнении замену 2: = &?. Можно избавиться
от знака -, полагая \/т = &, где & принмает как положительные, так
и отрицательные значения. В итоге получаем уравнение
НЕ = $98”, 9) (13.33)
с функцией 7(т, у) = 2\/В(т, у), интегральные кривые которого пересекают ось & = 0 с касательным направлением ау: @ = 0, причем в
точках пересечения имеют касание второго порядка с линиями у = с,
т.е. имеют вид у(&) = с+ & + 0(&3). Следовательно, первый интеграл
уравнения (13.33) можно представить в виде
ЦЕ у) =у- (6,9), (0) 20.
Воспользуемся леммой 5.3 из раздела 5.3 и представим функцию [
в виде / (5, у) = (22, у) + 24 (22, у) с гладкими ф, 4. Тогда,
Ку) =у- 8 (®, у) - 24, у), (0) 20. (13.34)
Слелующий шаг состоит в том, чтобы выбрать локальные координаты, в которых первый интеграл (13.34) принимает наиболее простой
вид. Перед этим предлагаем читателю следующую задачу.
166
ЗАДАЧА 13.11. Объясните, почему не верно следующее рассуждение.
Сделаем замену переменной у +} У по формуле У = Ц&, у} и превратим уравнение (13.33) в 4У/4& = 0. Интегральные кривые последнего имеют вид У(&) = сопз6, что в силу т = &? дает У(5) = со0$,
Таким образом, уравнение (13.32) эквивалентно ЧУ/ 4х = 0.
ШАГ 4. Замена координат (&, у) +} (п, У) по формуле
1 = 3 (2,9), У=у- 24 (2, у) (13.35)
является локальным диффеоморфизмом и превращает первый интеграл (13.34) в (1, У) =У- #7. В соответствии с заменой 4 = &2 введем
аналогичным образом новую переменную Х = я. Тогда замена (13.35)
соответствует замене координат (т, у} =} (Х, У) по формуле
Х = 10 (1,5), У=у- а? (т, у). (13.36)
Построенное отображение (т, у) +} (Х,У) является локальным диффеоморфизмом. В новых координатах (Х, У) интегральные кривые задаются формулой У + Х 3 = сопзе. С помощью изменения масштаба
координатных осей Х, У это семейство приводится к виду (13.10), что
и означает эквивалентность уравнений (13.32) и р? =а. |
Для уравнений (13.1), удовлетворяющих условию ©, имеет место
следующий аналог теоремы 13.2:
ТЕОРЕМА 13.3. Если в особой точке Т уравнение (13.1) удовлетворяет условию ©, регулярности криминанты и Ер(Т) = 0, то в
окрестности Т’уравнение эквивалентно р? = у, т.е. с помощью подтодялцего локального диффеоморфизма семейство решений уравнения
(13.1) приводится к виду (13.25).
ЗАДАЧА 13.12. Докажите теорему 13.3 по аналогии с теоремой 13.2.
ЗАДАЧА 13.13. Из теоремы 13.3 следует, что уравнение Клеро
р? — тр = у в окрестности любой особой точки эквивалентно уравнению р? = у. Докажите, что здесь имеет место не только локальная
эквивалентность, но и глобальная: найдите (в явном виде) глобальный
диффеоморфизм плоскости (т,у), превращающий семейство решений
первого уравнения в семейство решений второго.
167
ЗАМЕЧАНИЕ 13.9. В теоремах 13.2 и 13.3 важную роль играет то,
что отображение проектирования л имеет особенность типа «складка». В случае сборки аналогов этих теорем нет. Например, в статье
[16] показано, что нормальные формы ростков уравнений (13.1) в правильных особых точках, где проектирование имеет сборку, содержит
функциональные инварианты, что делает классификацию необозримой и тем самым бессодержательной (см. раздел 8.5).
Причина появления функциональных инвариантов в случае сборки
связана с тем, что на плоскости (1,у) имеется область, через каждую
точку которой проиходят три различные интегральные кривые (см.
рис. 6.8 и 13.5), т.е., как говорят, они образуют 3-сеть. В [16] показано, что классификация 3-сетей имеет функциональные инварианты
даже в топологической категории, т.е. если вместо диффеоморфизмов
использовать гомеоморфизмы плоскости.
Исследование, описанное в статье про неявные дифференциальные уравнения , подчеркивает ее значимость в современном мире. Надеюсь, что теперь ты понял что такое неявные дифференциальные уравнения и для чего все это нужно, а если не понял, или есть замечания, то не стесняйся, пиши или спрашивай в комментариях, с удовольствием отвечу. Для того чтобы глубже понять настоятельно рекомендую изучить всю информацию из категории Теория особенностей и катастроф
Часть 1 13. Неявные дифференциальные уравнения
Часть 2 - 13. Неявные дифференциальные уравнения
Комментарии