8. Философия общего положения кратко

Привет, Вы узнаете о том , что такое философия общего положения , Разберем основные их виды и особенности использования. Еще будет много подробных примеров и описаний. Для того чтобы лучше понимать что такое философия общего положения , настоятельно рекомендую прочитать все из категории Теория особенностей и катастроф.

Мы повсюду видим эволюционные процессы, от движений
атомов до динамики планет. Ньютон понял, что эти
процессы описываются дифференциальными уравнениями
и что эти уравнения полезно решать... Оказалось, что
даже качественное поведение решения моэюет быть очень
сложным. Ситуация резко упрощается, если рассматривать только уравнения общего положения. С точки зрения физики, лишь последние и представляют интерес.
В приведенной выше цитате из [23] речь идет о дифференциальных уравнениях, но описанная ситуация относится к объектам самого
разного рода, включая ростки функций, отображений, ес.
101
Построение обозримой классификации вообще всех ростков гладких функций или отображений столь же неосуществимо, как попытка,
решить все дифференциальные уравнения. Более того, чтобы классификация была содержательной и обозримой, нормальные формы
должны быть не слишком сложными, вследствие чего приходится
ограничиваться особенностями, удовлетворяющими некоторым дополнительным условиям (вспомним, например, особенности А„, О в разделе 4).
философия общего положения гласит, что (прежде всего) следует
изучать типичные особенности. Говоря неформально, это такие особенности, которые устойчивы относительно мальгх возмущений соответствующего объекта (функции, отображения, дифференциального
уравнения, еес.), т.е. они не исчезают и не превращаются в особенности других типов (см. примеры и обсуждение в разделе 1.3). Так,
когда речь идет о С®-классификации ростков отображений (обозначим их множество буквой Л), росток типичен, если любое его малое
возмущение С®-эквивалентно исходному ростку.
Под малым возмущением здесь подразумевается то, что росток
«возмущенного» отображения (и всех его производных) мало отличается от исходного (соответствующих производных). Этому понятию
можно придать строгий математический смысл, если превратить множество М в топологическое пространство (с подходящей топологией)
и тем самым определить в нем понятия открытого мнчолсестптва и
окрестности точки. Тогда росток } © М типичен, если существует
такая его окрестность О; С М, что } ^> 9 для любого 9 Е (;. Об этом говорит сайт https://intellect.icu . Отсюда.
легко вывести открытость множества типичных ростков: для 9 Е О;
возьмем окрестность И. С Ог, тогда для любого ВЕ Ц, из } ^ ди
[р -- В по транзитивности следует д ^> В.
Однако мы пока не сказали самого главного: как именно вводится «подходящая» топология на М. Очевидно, что любая топология
не годится: например, если ввести топологию, порожденную дискретной метрикой (в которой расстояние между любыми двумя несовпадающими точками полагается равным 1), то любой росток окажется
устойчивым, что, разумеется, совершенно бессодержалельно.
Подходящая для нашей цели топология называется тонкой топологией (также топологией Уитни). Она определяется с помощью
Е-струй отображений всех порядков, что отвечает условию малости
возмущения всех производных данного отображения. Степень близоСТИ отображений т и 9 определяется произвольно заданными положительными числами, оценивающими разность струй координатных
102
функций отображений [и 9. Мы не будем вводить топологию Уитни,
отсылая читателя к специальной литературе, например, [15, 43].
Мы говорим, что рассматриваем случай общего положения в классе М, если исследуем классификацию не для всех элементов этого
класса, а для некоторого открытого и всюду плотного (в топологии
Уитни) подмножества М’ С М. Смысл условия открытости мы уже
обсудили выше, а. требование всюду плотности означает, что хотя множество Л’ и не совпадает во всем М, но для каждого } Е М в любой его окрестности И’; найдется элемент 9 Е М’. Можно сказать,
что подмножество ЛМ’ хорошо приближает все элементы класса М.
Соответственно, выражение росток общего полоэкения означает, что
рассматриваемый росток ГЕ М принадлежит некоторому открытому
всюду плотному подмножеству М’ С М и более никаких условий на {
не накладывается.
При исследовании конкретных объектов обычно руководствуются
соображением коразмерности: оно удобно тем, что позволяет перейти от абстрактных топологических свойств к совершенно конкретным
условиям на струи отображений (чаще всего, дело ограничивается
струями конечных порядков, и условия на их коэффициенты имеют
вид равенств). Исследуя особенности в порядке возрастания их коразмерности (от 1 наименьшей до п размерности пространствапрообраза), мы тем самым упорядочиваем множество устойчивых 060-
бенностей и делим его на части так называемые страты. Чем больше
коразмерность особенности, тем реже встречаются представители соответствующего страта.
Критические точки, коразмерность которых превышает п, неустойчивы относительно сколь угодно малых возмущений ростков, поэтому
у отображений общего положения они не встречаются. Однако они
могут встречаться у семейств отображений, зависящих от параметров, и в классе семейств быть устойчивыми: при малых возмущениях
семейств критические точки данного типа не исчезают, а лишь переходит от одного представителя семейства к другому. Мы уже обсуждали
этот вопрос в разделе 1.3.
С понятием общности положения следует обращаться осторожно:
оно Существенно зависит от выбора класса исследуемых объектов.
Иногда могут представлять интерес вырождения очень большой (и
даже бесконечной) коразмерности, если они встречаются в приложениях. Так, например, в теории дифференциальных уравнений (да и,
вообще, в математике и физике) важнейшую роль играют так называемые гамильтоновы системы — системы автономных дифференциаль103
ных уравнений специального вида, с помощью которых описываются
многие задачи механики, вариационного исчисления, теории управления и др. В то же время в (бесконечномерном) пространстве всех автономных систем дифференциальных уравнений класс гамильтоновых
систем имеет бесконечную коразмерность.
В этом курсе мы встретимся с двумя примерами такого рода. Вопервых, в разделе 11 мы будем рассматривать ростки гладких отображений В? -> В? (это класс М) общего положения, но также и ростки так называемых «фронтальных отображений», класс которых МЕР
имеет в М бесконечную коразмерность. Понятие «общего положения»
в классе МЕ совершенно отличается от такового в Л, что естественно
приводит к совершенно иному списку нормальных форм.
Второй пример еше интереснее, он относится к дифференциальным
уравнениям первого порядка, не разрешенным относительно производной, и огибающим семейств их решений. Это так называемый «парадокс Каталана», который мы подробно анализируем в разделе 14.
Из сказанного следует сделать вывод, что и вопрос выбора объектов исследования, и вопрос определения «общего положения» являются весьма тонкими, и при поиске ответа на них следует учитывать не
только коразмерность, но и другие конкретные соображения.
Замечательная книга трех авторов начинается с цитаты из рассказа «На пути» А.П. Чехова. Завершить этот раздел нам хотелось
бы продолжением той же цитаты:
Штука в том, что у каждой науки есть начало, но вовсе
нет конца, все равно, как у периодической дроби. Зоология открыла 95 000 видов насекомых, тимия насчитывает
60 простыл тел. Если со временем к этим цифрам прибавится справа по десяти поле, зоология и тимия так же
будут далеки от своего конца, как и теперь. ..

Исследование, описанное в статье про философия общего положения , подчеркивает ее значимость в современном мире. Надеюсь, что теперь ты понял что такое философия общего положения и для чего все это нужно, а если не понял, или есть замечания, то не стесняйся, пиши или спрашивай в комментариях, с удовольствием отвечу. Для того чтобы глубже понять настоятельно рекомендую изучить всю информацию из категории Теория особенностей и катастроф