Лекция
Привет, Вы узнаете о том , что такое проектирование плоских кривых , Разберем основные их виды и особенности использования. Еще будет много подробных примеров и описаний. Для того чтобы лучше понимать что такое проектирование плоских кривых , настоятельно рекомендую прочитать все из категории Теория особенностей и катастроф.
Возьмем гладкую регулярную кривую С в трехмерном пространстве и спроектируем ее на одну из координатных плоскостей вдоль перпендикулярной ей координатной оси. Другими словами, мы рассматриваем ограничение аффинного отображения т : ®З -+ В2, состоящего
в «забывании» одной координаты этого пространства, на кривую С.
Обозначим последнее отображение лс.
В каждой точке пространства-прообраза отображение л имеет одномерное ядро — направление оси, вдоль которой происходит проектирование'. Отображение ле : С - В? имеет критические точки там,
где кривая С’ касается ядра проектирования л, см. рис. 6.2 (в центре). Образ отображения лс кривая п(С) вида (6.1) может иметь
критические точки типа (6.5) с любыми п, т, но чаще всего это каспы.
Появление каспов можно наблюдать в повседневной жизни. Например, они могут появляться на тенях от предметов, имеющих гладкие
контуры. Каспы можно также наблюдать на так называемых каустикат - огибающих семейств лучей. Напомним, что огибающей (англ.:
етл@ор) произвольного семейства кривых на плоскости называется тал
кая кривая, которая в каждой своей точке касается одной кривой этого
семейства, но при этом не совпадает с ней тождественной ни в какой
окрестности.
Так, например, каустики с каспами можно наблюдать в виде ярких кривых, возникающих при отражении / преломлении световых лучей, например при прохождении через прозрачный стакан с водой, см.
рис. 6.2 (справа) и рис. 6.8.
1 Формально здесь более правильно говорить о ядре дифференциала отображения Л, а не его самого, но поскольку это отображение аффинное, мы допускаем
такую вольность речи.
Рис. 6.2 Полукубическая парабола и каспы. Кривая С’ в центре без
самопересечения, таковое имеет лишь ее проекция на сетчатку глаза
наблюдающего «сбоку»
Каспы могут возникать и при механическом движении тел. Например, на кривой, описываемой фиксированной точкой колеса окружности радиуса т, катящегося без скольжения по некоторой гладкой
поверхности 5. Для наглядности можно считать, что в этой точке на
колесе находится яркое пятно. Описываемая этим пятном кривая имеет особенности в тех точках, где пятно касается поверхности 5.
Причина появления особенностей здесь достаточно очевидна: при
отсутствии скольжения мгновенная скорость «пятна» в точке соприкосновения с поверхностью 5 равна нулю (в механике такая точка называется «мгновенным центром скоростей»), следовательно, в таких
точках выполнено условие (6.2), и описываемая пятном кривая вида,
(6.1) имеет особенность. Несложное рассуждение (которое мы оставляем читателю) показывает, что эта особенность касп.
Если колесо радиуса г катится по прямой линии на плоскости, пятно описывает периодическую (с периодом 2лт) кривую, которая называется циклоидой (читателю предлагается нарисовать циклоиду самостоятельно).
Если колесо радиуса г катится по внутренней стороне окружности радиуса В > т, соответствующая кривая называется гипоциклоидой. Конкретный вид гипоциклоиды зависит от отношения радиусов
к = В/г. Несколько примеров приведено на рис. 6.3. При К = 3 гипопиклоида называется дельтоцдой при Е = 4 - астроидой. Много
рисунков и даже анимаций на эту тему можно найти в Интернете.
ЗАДАЧА 6.8. Локажите, что гипоциклоида является незамкнутой,
если число К иррационально, тогда она содержит бесконечное число
каспов. Если число К рационально, гипоциклоида замкнута и число ее
каспов равно р, где & =р/4, р, 4 - целые взаимно простые.
Рис. 6.3 Гипоциклоиды (жирные линии) при разных значениях |
Рассмотрим вещественные кубические многочлены
Ре =В тать
с вещественными коэффициентами а,6. Каждый такой многочлен
можно отождествить с точкой плоскости с декартовыми координатами (а, 5). Как выглядит геометрическое место точек, которые отвечают
многочленам Р({), имеющим кратные вещественные корни?
Для ответа, на этот вопрос нужно выписать равенства, означающие
присутствие кратного корня: Р(Ё = и Р”(Ё) = 0. Рассматривая их
как уравнения относительно переменных а, Ь с параметром +, получаем
выражения
а=-3З#, БЕ-В-шШ= ОВ,
показывающие, что это — полукубическая парабола с каспом в точке
а = $ = 0, которой соответствует единственный многочлен с корнем
кратности 3.
ЗАДАЧА 6.9. Исследуйте аналогичный вопрос для многочленов
Р(Е =" + а + произвольной степени п > 3.
Пусть в какой-либо сплошной среде распространяется некоторое
возмущение - волна”. Допустим, что в начальный момент времени
возмущение имелось на некоторой кривой 5% (если среда - плоскость)
или поверхности (если среда — трехмерное пространство) и скорость
его распространения постоянна и равна 1. Чтобы узнать, где будет
возмущение через время т, нужно отложить по каждой нормали к
ры! Например, ударная волна, звук, свет или эпидемия. Простейший пример - круги на воде от брошенного камня или цунами.
70
кривой (соответственно, поверхности) 50 вектор длины т. При каждом фиксированном т получается некоторая кривая (соответственно,
поверхность) 5., состоящая из концов этих векторов.
Семейство 5; при всех т (заметим, что т может быть не только
положительным и отрицательным, так как нормальный вектор можно
откладывать в две стороны) называется волновым фронтом исходной
кривой (поверхности) 50, см. рис. 6.4 (слева). Кривые (поверхности)
одного семейства 5. называются параллельными 50 и друг другу. Это
естественное обобщение понятия параллельных прямых и плоскостей.
Рис. 6.4 Слева: образование волнового фронта. Справа: волновой фронт
параболы у = 2?. Жирная линия — начальная кривая 50
Оказывается, что даже если исходная кривая или поверхность 5;
гладкая, то через некоторое время т волновой фронт 5. может иметь
особенности. Рассмотрим, например, волновой фронт 5, порожденный параболой у = 1? на плоскости (т, у). Несложное вычисление показывает (проверьте!), что он задается формулой
ха ЭТ ут 2 т 6.13 УТ+аР` у ЧТ (6.13)
где # «внутренний» параметр на кривой. Очевидно, что если откладывать нормальные векторы в область у < 12 (что равносильно условию т < 0), то волновой фронт 5, никаких особенностей не имеет.
Если же откладывать нормальные векторы в область у > 12? (что
равносильно условию т > 0), то, как следует из формулы (6.13), при
О<т< 5 волновой фронт 5, не имеет особенностей и напоминает
исходную параболу 50. При достижении значения т = 4 на 5. появляется одна критическая точка: # = 0. Росток кривой 5 1 в точке Е =0
имеет вид (6.6) с показателем п = Зи ы еше выглядит достаточно
гладко. Далее, при каждом значении т > 1 5 кривая 5. имеет два каспа,
расположенные симметрично относительно оси / и удаляющиеся друг
от друга с ростом т; см. рис. 6.4 (справа).
71
ЗАДАЧА 6.10. Нарисуйте волновые фронты, порожденные кривыми 1 = 2? с целыми показателями р > 3 и эллипсом, и определите
типы их критических точек.
Пусть С - плоская кривая, заданная в параметрической форме
(6.1). Во всех регулярных точках этой кривой определена ее кривизна,
к > 0, а при дополнительном условии к = 0 определена и так называемая соприкасающаяся окружность — окружность, лучше всего
приближающая кривую в окрестности данной точки (подобно тому,
как касательная это прямая, лучше всего приближающая кривую).
Это окружность радиуса 1/к, имеющая общую касательную с кривой
С в рассматриваемой точке и ту же выпуклость, что и С. Центр и
радиус соприкасающейся окружности называются центром кривизны
и радиусом кривизны кривой С в данной точке.
Вершиной кривой С вида (6.1) называется точка, в которой обращается в нуль производная функции к(!). Вершина называется простой
(или невыроэжденной), если в ней отлична, от нуля вторая производная
функции к(#). Таким образом, простые вершины суть точки максимума или минимума кривизны. Контрольный вопрос: каковы вершины
эллипса, гиперболы, параболы?
Эволютой кривой С называется геометрическое место ее центров
кривизны, будем обозначать ее ©(С). Это означает, что в каждой точке, где кривая С имеет нормаль, на нормали откладывается точка на,
расстоянии 1 / к от С, в направлении центростремительного ускорения,
возникающего при движении по кривой С. Эволюта &(С') также является огибающей семейства нормалей кривой С’ (проверьте!).
На рис. 6.5 изображены эволюты параболы (слева) и эллипса,
(в центре). Из этих примеров видно, что эволюта даже гладкой регулярной кривой, кривизна которой нигде не обращается в нуль, может иметь критические точки. Об этом говорит сайт https://intellect.icu . В обоих примерах (парабола и эллипс)
критические точки эволюты каспы, причем они соответствуют вершинам исходной кривой С”.
ЗАДАЧА 6.11. Пусть С кривая вида (6.1), кривизна которой
нигде не обращается в нуль. Покажите, что критические точки @(С)
соответствуют вершинам С, причем каспы ©(С) соответствуют простым вершинам С. Покажите, что если к(Ё) имеет критическую точку
конечной кратности д, то в соответствующей ей точке росток кривой
@(С) имеет вид (6.6) с показателем п = и + 1. Исследуйте эволюту к
графику у = 17 — \/1 — 12 с целым р > 2 в окрестности точки х = 0.
Рис. 6.5 Слева: эволюта параболы (полукубическая парабола). В центре:
эволюта эллипса (астроида, четыре каспа). Справа: эвольвента.
окружности, указанная в задаче 6.13.
Эвольвентой кривой С' называется кривая © "(С), эволюта которой есть С. Эволюта и эвольвента соотносятся между собой как производная и первообразная функции. Одной кривой С’ отвечает целое
семейство эвольвент &’ КС ), являющихся параллельными друг другу,
т.е. представляющими собой волновой фронт одной (любой) из них.
Таким образом, некоторые эБольвБенты из этого семейства неизбежно
должны иметь критические точки.
ЗАДАЧА 6.12. Докажите, что если ©(50) = С, то @(5.) =С при
любом т.
Например, эволюта параболы у = 1? есть полукубическая парабола
=48, у= т +38, (6.14)
касп которой расположен в фокусе исходной параболы (рис. 6.5, слева). Решим теперь обратную задачу: найдем эвольвенты полукубической параболы (6.14). Одну ее эвольвенту мы знаем: это парабола,
1) = 12. С учетом сказанного выше, задача сводится к тому, чтобы найти волновой фронт параболы у = т? это и есть семейство эвольвент.
Ответ нам известен, он дается формулой (6.13) и рис. 6.4 (справа).
Читателю предлагается самостоятельно проверить, что эволюта любой кривой из семейства (6.13) есть кривая (6.14).
ЗАДАЧА 6.13. Покажите, что одной из эвольвент окружности
т = с03, у = эт является спираль т = со е + т, у = зщ — #6081
(рис. 6.5, справа). Используя это, найдите и нарисуйте все эвольвенты.
ЗАДАЧА 6.14 (*). Исследуйте эвольвенты кубической параболы
у = 13 их критические точки. Покажите, что все эвольвенты кроме
одной имеют ровно две критические точки: одна из них — касп, лежащий на графике у = 13, а вторая лежит на прямой у = 0 и имеет вид
(6.5) с показателями п = 2, т = 5.
ЗАМЕЧАНИЕ 6.2. Эволюты и эвольвенты известны с древних
времен. Например, эволюты конических сечений обсуждаются в работах Аполлония Пергского?. На более современном уровне эволюты
и эвольвенты были исследованы нидерландским математиком Христианом Гюйгенсом в связи с его работами по механике, в частности, по
созданию точных механических часов, работающих при наличии возмущений например, морской качки (значения такого прибора для
мореплавания в то время трудно переоценить)“. Эволюты и эвольвенты и по сей день используются в зубчатых передачах различных механизмов, например в автомобилях.
Пусть С произвольная кривая, заданная в параметрической форме (6.1), ее поднятием или 1-графиком называется кривая
С: т=Ф(И, у=4(, р=ч'( О, (6.15)
в пространстве 1! с координатами (х, у, р). Напомним, что Л! называется пространством 1-струй функций у(т).
Заметим, что в последнем равенстве (6.15) знаменатель ф’(Ю может обращаться в нуль. Если ф'’(Ё) = 0, но %'(Р) = 0, то в данной точке
р = со и касательная к кривой С' параллельна оси у. Стоит лишь поменять оси ги и местами, и «деление на нуль» исчезнет. Ситуация сложнее, если на кривой С’ есть нерегулярная точка: в ней ф’(В = "(В = 0.
Однако в большинстве интересных случаев проблемы и здесь не возникает: функция (К /ф’(Р) имеет в нерегулярной точке устранимую
особенность, т.е. совпадающие друг с другом левый и правый односторонние пределы, и после надлежащего определения в самой точке
функция "(В /ф’(Р) становится непрерывной и даже гладкой. Например, так обстоит дело с кривыми вида (6.5) и (6.6), см. рис. 6.6.
ЗАДАЧА 6.15. Покажите, что результат поднятия, рассматриваемый как непараметризованная кривая С' в пространстве „71, не зависит
от выбора параметризации исходной кривой С. Нарисуйте 1-графики
прямой, параболы, окружности, полукубической параболы, лемнискаты Бернулли («восьмерки»).
3 Древнегреческий математик, один из великих геометров Античности, родившийся в Ш веке до Р.Х. в городе Перге. Ему принадлежит фундаментальный труд,
посвященный коническим сечениям, в котором он ввел термины «эллипс», «гипербола», «‹парабола» и многие другие, используемые во всем мире по сей день.
4См., например, популярную книгу |8]. Некоторые интересные свойства эволют
и эвольвент, включая решение задачи 6.14, можно найти в книгах [8, 35].
Рис. 6.6 Поднятие плоских кривых
ЗАМЕЧАНИЕ 6.3. Поднятие (англ.: Гедепатап ВЯ) является важной математической процедурой. Несложно видеть, что «поднимать»
можно не только отдельные кривые, но и семейства кривых, а также многие другие гладкие объекты. Поднятие встречается не только в
математике, но в технических приложениях и даже в живой природе.
Например, согласно современным представлениям биологии, участок первичной коры головного мозга, связанный со зрением, содержит нейроны, объединенные в группы, каждая из которых чувствительна к определенной точке сетчатки глаза и определенному касательному направлению в ней. Тем самым плоское изображение, воспринимаемое сетчаткой, поднимается в пространство 1-струй, и дальнейшая работа мозга происходит уже с «поднятым» изображением.
Преобразованием Лежандра называется автоморфизм Л: 7-71,
заданный формулой (т, у, р) = (Х,У,Р), где
т=Р, р=Х, У+У=ар=хХР (6.16)
Преобразование Лежал 'лра можно применять к разным объектам:
дифференциальным уравнениям, функциям, кривым и др. Полученные таким образом объекты называются двойственными исходным и
часто обозначаются теми же символами со звездочкой. Двойственные
объекты отражают многие важные свойства своих прообразов. Применение преобразования Лежандра. к кривой С’ выражается диаграммой
(т.р) —^- (Х,У,Р) | |;
(т.у) —— (ХУ)
Т5
где вертикальная стрелка вверх означает поднятие кривой Св пространство „Л! с координатами (т, у,р), горизонтальная стрелка «.Л» —
автоморфизм Л: /! -+ ЛИ, заданный формулой (6.16), вертикальная
стрелка вниз —- проектирование л : (Х,У,Р) +» (Х,У). В результате
композиции этих трех отображений получается преобразование, отмеченное нижней горизонтальной стрелкой,
Очевидно, что кривая С”, двойственная гладкой регулярной кривой С’, может иметь критические точки: они появляются при проектировании л : (Х, У, Р) +} (Х,У), как мы видели в разделе 6.2.1.
ПРИМЕР 6.2. Вычислим двойственные кривые для прямой С1 :
у = ае + 6, параболы С5 : у = 12 и кубической параболы Сз : у = #3.
Прямую можно задать в виде т = В у = ай +6. Отсюда р = а. и
следовательно, Х =а, У = В, т.е. СТ одна точка.
Параболу представим в виде т =Ку= В. Отсюдар = и Х = и
У =. Значит, С* - парабола У = Х? /4. Кубическую параболу представим в виде 5 = К у= В. Отсюдар = 3ЗРи Х =3®, У = 28. Значит,
(5 — полукубическая парабола, касп которой соответствует точке перегиба кривой Сз. Последнее соответствие отнюдь не случайно.
ЗАДАЧА 6.16. Покажите, что кривая С*, двойственная кривой С’
вида (6.1), регулярна во всех точках, соответствующих точкам кривой
Сск(Ь = 0 и имеет касп в точках, где к(Ё) = 0, но к’(В = 0. Рассмотрите двойственные кривые к эллипсу и суперэллипсу четвертой
степени 2“ + 1% = 1.
ЗАДАЧА 6.17. Покажите, что кривая С”, двойственная графику С: у = /[(т), где { имеет в точке 0 конечную кратность п > 1,
имеет вид (6.6). Отсюда вытекает, что регулярные точки кривой С”
соответствуют тем точкам, где }”(т) # 0, а каспы точкам простого
(кубического) перегиба: {"(2) = 0, }"(х) = 0. Например, на рис. 6.7
представлена кривая, двойственная к синусоиде (для лучшей видимости масштаб по оси х увеличен примерно в 20 раз).
ЗАМЕЧАНИЕ 6.4. Двойственные кривые определяются и другими
способами. Так, в алгебраической геометрии для этого обычно используют преобразование (т, у. р) +} (Х,У,Р), где
Х =Х/У. У =1/У, Р =аУ/аХ, (6.17)
величины Х, У определены формулой (6.16).
Рис. 6.7 Двойственная кривая к у = зшх. Слева направо: х меняется от 0
до 2л, 4л, Тл. Каспы двойственной кривой соответствуют точкам 5 = лп
ПРИМЕР 6.3. Кривая, двойственная эллипсу (т/а)? + (у/6)? =1
в координатах (Х,У) - гипербола У? — (аХ)? = 62, а в координатах
(Х, т эллипс (аХ)? + (5У)? = 1. В превращении гиперболы в эллипс
нет ничего странного, так как координаты (Х,У) и (Х,У) связаны
между собой проективным преобразованием (6.17), а все конические
сечения (к которым относятся эллипс и гипербола) проективно эквивалентны-.
ЗАДАЧА 6.18. Докажите, что преобразование Лежандра Л обладает свойством инволютивности, т.е. Л? — тождественное отображение, что равносильно Л = Л ". Отсюда следует тождество (С*)* = С'
при любом определении двойственности.
Если кривая С’ имеет вид графика у = (1) и двойственная к ней
кривая С* имеет вид графика У = }{*(Х) с некоторой функцией }*
(как мы видели выше, так бывает далеко не всегда нужны дополнительные предположения), то функция {* называется преобразованием
Лежандра исходной функции {.
ЗАДАЧА 6.19. Покажите, что для существования преобразования
Лежандра гладкой функции | достаточно выполнения условия строгой выпуклости (]” > 0) или строгой вогнутости (}” < 0) на всей
области определения. При этом функция }* определена, вообще говоря, не на всей вещественной прямой, а только на множестве [м }".
Покажите, что при выполнении условия строгой выпуклости }* можно
определить формулой
{р} = зир(тр — 1(=)), реш, (6.18)
и напишите ее аналог для строго вогнутых функций.
Ут
ЗАМЕЧАНИЕ 6.5. Преобразование Лежандра распространяется
на функции любого числа переменных с помощью формулы (6.18), где
с и р- векторы пространства одной и той же размерности, гр следует
понимать как скалярное произведение. Оно является фундаментальным понятием математики и физики, включая квантовую механику и
термодинамику. Трудно даже перечислить все возможные применения
преобразования Лежандра.
Пожалуй, самое главное его приложение связано с переходом от
уравнений Эйлера-—Лагранжа к уравнениям Гамильтона, т.е., выражаясь языком физики, переходом от скоростей к импульсам. Мы не
будем рассматривать этот вопрос, так как он очень подробно освещен
во многих книгах (см., например, |3, 21]). Вместо этого рассмотрим
применение преобразования Лежандра, на примере уравнения Клеро.
Преобразование Лежандра можно применять не только к кривым,
но и к другим объектам различной природы. Например, рассмотрим
дифференциальное уравнение первого порядка
Е(т, у, р) =0, р = ау/ ах. (6.19)
Переходя к новым переменным Х, У, Р по формулам (6.16) и подставляя соответствующие выражения в левую часть (6.19), мы получаем
новое дифференциальное уравнение, называемое двойственным исходному уравнению (6.19):
Е*(Х,У.Р)=0, Р=ау/ах, (6.20)
где Е*(Х,У.Р) = Е(Р.ХР-У.Х).
Здесь в проверке нуждается лишь соотношение Р = АУ/АХ, которое
тривиально вытекает из р = ау/ат и (6.16). Геометрически это означает, что преобразование (6.16) переводит поле плоскостей ралх — 4у = 0
в поле плоскостей РАаХ — 4У = 0, или, как часто говорят, оно сохраняет контактную структуру пространства „Л (контактная структура
это и есть данное поле плоскостей). Из последнего свойства вытекает,
что интегральные кривые двойственного уравнения (6.20) являются
двойственными к интегральным кривым исходного уравнения (6.19),
и обратно. Этот факт можно использовать для решения уравнений в
явном виде, если двойственное уравнение проше исходного.
78
Ограничимся простейшим примером — уравнением Клеро:
тр - у= Ё(р), р= ау/ ат, (6.21)
где { - произвольная гладкая функция. Преобразование Лежандра
(6.16) превращает (6.21) в уравнение У = }(Х), не содержащее производную и, следовательно, интегральные кривые уравнения (6.21) двойственны точкам, лежащим на графике У = }(Х). Отсюда следует
(см. пример 6.2), что интегральные кривые уравнения (6.21) это всевозможные прямые, касательные к кривой, двойственной к графику
функции У = }(Х). Несложно видеть, что эта кривая имеет вид
= (р), у=рР() — Л) (6.22)
и является дискриминантной кривой уравнения (6.21) и его особым
решением (см. раздел. 13). Семейство касательных к кривой (6.22)
задается формулой у = сх — }(с) при всевозможных постоянных с,
которая получается из самого уравнения (6.21) заменой р на с.
На рис. 6.8 изображены интегральные кривые уравнения (6.21) с
функцией {(р) = р3. В этом случае кривая (6.22) полукубическая
парабола
= р’; у=2р’.
Видно, что семейство неособых решений - касательных прямых к этой
полукубической параболе - имеет «сгущение» возле самой этой линии
и особенно возле ее каспа. Это каустика — линия, вблизи которой резко
увеличивается интенсивность светового поля, если считать касательные прямые семейством лучей распространения света. Мы уже видели
каустики на рис. 6.2 (справа).
Рис. 6.8 Интегральные кривые уравнения Клеро хр — у = р? - касательные
полукубической параболы. Рисунок взят из статьи [26]
Можно рассмотреть и уравнение более общего вида:
Е(р,гр-у)=0, р= ау/ Ах, (6.23)
где Р(и, о) — произвольная гладкая функция. Преобразование Лежандра превращает (6.23) в Е(Х,У) = 0 и, следовательно, интегральные
кривые уравнения (6.23) — всевозможные прямые, касательные к кривой, двойственной к Р(Х,У) =0. Это дискриминантная кривая уравнения (6.23) и его особое решение, семейство касательных к ней задается формулой у = ах + В, РЕ(а, -5) =0.
ПРИМЕР 6.4. Решим уравнение
р = (зр- у)", р= ау/ ах, (6.24)
которое имеет вид (6.23) с функцией Е(и,0) = и? — 57. Двойственная
кривая к и —1? =0 кубическая парабола у = 223, она представляет
собой особое решение. Семейство неособых решений уравнения (6.24)
состоит из касательных к особому решению, они задаются формулой
у = ах + Ь, где а3 = Б?. Последнюю можно переписать в виде
а? = (ах —у)?, а = соп8, (6.25)
или в виде у = с? + с3, если положить а = с”. Формула (6.25) получается из самого уравнения (6.24) заменой производной р на константу а.
Причина, такой симметрии обсуждается в разделе 14.
Преобразование Лежандра не является единственным преобразованием „]' —} Л", сохраняющим контактную структуру пространства „Л.
Сушествует достаточно большая группа преобразований (под преобразованиями мы будем понимать диффеоморфизмы /' + „Л, возможНО, локальные), которые обладают таким свойством. Они назывзамжогся
контактными или касательными преобразованиями. Эквивалентное
определение: контактные преобразования это преобразования кривых на плоскости, при которых касающиеся кривые преобразуются в
касающиеся кривые.
Контактные преобразования (т, у,р) — (Х,У,Р) можно построить
следующим образом:
Х =Е(т,у,р), У=сС(т,у.р), Р=Н(т,у,р),
где функции Р,С' должны удовлетворять некоторому соотношению
(которое мы сейчас выведем), а функция Н однозначно ими определена в силу соотношения Р = 4У/АХ. Таким образом, условие сохранения контактной структуры - это соотношение
4У _ С.ах + С,ау+ Сар _ @. +ь@, +ь’Ср = — ‚ (6.26 ах ЕР.ат+Еау+Еар Е, +рЕ, +РЕ, (вв Н(т,у,р) =
где р’ = ар/4т. Так как Р = Н(х, у, р) не зависит от р’, то и выражение,
стоящее в правой части равенства (6.26), не должно зависеть от р.
Последнее условие выражается тождеством
Рр(С+ +рбу) = Ср(Ё, + РЕ), (6.27)
это и есть соотношение, связывающее функции Ри С.
ЗАДАЧА 6.20. Проверьте, что преобразование Лежандра „ТГ удовлетворяет соотношению (6.27).
Преобразование Лежандра является «самым главным» для приложений контактным преобразованием, но исторически не самым первым из них. По-видимому, первым контактным преобразованием было
так называемое педальное преобразование, которое определяется следующим образом.
Пусть 7’ - кривая на плоскости и О -— некоторая фиксированная
точка, называемая полюсом преобразования. Педальной кривой или
подэрой? кривой ^/ относительно полюса О называется геометрическое
место оснований перпендикуляров, опущенных из О на всевозможные
касательные к кривой 5.
Например, подэра окружности улитка Паскаля, конкретный вид
которой определяется расстоянием полюса О от окружности (рис. 6.9).
Здесь мы сталкиваемся со знакомой нам ситуацией: в однопараметрическом семействе кривых особенность возникает при отдельных значениях параметра. Именно, когда полюс О лежит на самой окружности
(третий слева рисунок), на педальной кривой в точке О появляется
касп. Соответствующая педальная кривая называется кардиоидой (от
слова «сердце» на греческом).
5Название происходит от французского слова «родате», которое, в свою очередь, происходит от слова «нога» на греческом. Подэры впервые исследовал Маклорен в 1718 г., затем они привлекли внимание многих других математиков, среди
которых нужно особо отметить Артура Кэли и Софуса Ли. Последнему принадлежит и понятие педального преобразования.
Рис. 6.9 Подэры окружности (изображена пунктирной линий) — улитки
Паскаля, в зависимости от расположения полюса О
ЗАДАЧА 6.21. Докажите, что если на плоскости выбрать декартовы координаты (т,у) с центром в полюсе О, то соответствующее
пелальное преобразование есть отображение
Р: (т, у,р) =+ (Х,У,Р),
определенное формулами
Х =ХУ/(1+Х?), У=-УК1+хХ?), Р=аУ/аХ, (6.28)
где зависимость Х, У от х, у, р определена в (6.16).
Заметим, что в отличие от преобразования Лежандра, педальное
преобразование не является инволюцией, поэтому можно рассматривать его степени (в смысле композиции) с любыми целыми показателями. Например, зафиксируем полюс О так, как указано в задаче 6.21,
и рассмотрим циклическую группу, порожденную преобразованием Р
со всевозможными целыми показателями:
и Е В. р рр т р. 3 ых
На первый взгляд, не видно, является ли эта циклическая группа конечной или бесконечной.
Софус Либ предложил простой и красивый способ превратить эту
дискретную группу в непрерывную, а заодно и доказать, что она, бесконечная. Для этого на плоскости-прообразе с декартовыми координатами [о у) и на плоскости-образе с декартовыми координатами (Х | У)
нужно ввести полярные координаты (т, 4) И (В, Ф) соответственно, а
в качестве третьей координаты пространства „Л 1 взять разность угла наклона радиус-вектора к данной точке плоскости и угла наклона
бМагз борВиз ле (1842-1899) - норвежский математик.
82
касательной к кривой в этой точке, причем порядок вычитания в прообразе и образе должен быть противоположным:
=1с08ф, у=тгзшор = ар, 6 7 _ 6.29 Х =ИсозФ, У = НашФ, т =асеР - $, )
величины т, у,ри Х,У,Р связаны формулой (6.28).
ЗАДАЧА 6.22. Покажите, что в координатах (6.29) преобразование Р" с любым целым п задается соотношениями
В=т зщ", ФЕр-пф+т), Ф=ф, (6.30)
из которых, в частности, следует, что Р" 5 ?Р"* ни при каких целых
п, 52 т и, следовательно, циклическая группа {Р"} бесконечна.
Если в формуле (6.30) считать п не целым, а вещественным числом,
мы получим уже не дискретную, а непрерывную группу контактных
преобразований. Впервые эта группа была построена Софусом Ли.
Мы не будем далее углубляться в вопрос о контактных преобразованиях, отсылая заинтересованного читателя к специальной литературе, которая достаточно обширна^.
7Сы., например: Ее Т.М. А сопмоцоцв гтопр оЁ сощасе фтапьРЮгта опв
сошайнар {Ве репегаП2е4 реда| {гапзРоггайоп // Товоки Майв. .. 1940. У. 46. Р. 252—
260. Гле 5. Еоподао08 оРап шуаг ап {Веогу оЁ сошасе 1гапзоггпа отв // Маев. Апа.
1875. \. 8. Р. 215-303.
Исследование, описанное в статье про проектирование плоских кривых , подчеркивает ее значимость в современном мире. Надеюсь, что теперь ты понял что такое проектирование плоских кривых и для чего все это нужно, а если не понял, или есть замечания, то не стесняйся, пиши или спрашивай в комментариях, с удовольствием отвечу. Для того чтобы глубже понять настоятельно рекомендую изучить всю информацию из категории Теория особенностей и катастроф
Комментарии