1.2. Критические точки функций, лемма Морса, Классификация особых точек гладких функций и отображений. кратко

В математике критическая точка — это аргумент функции , при котором производная функции равна нулю (или не определена, как указано ниже). Значение функции в критической точке — этокритическое значение .

Более конкретно, при работе с функциями действительной переменной критическая точка — это точка в области определения функции, где производная функции равна нулю (также известная как стационарная точка ) или где функция не дифференцируема . ^[ Аналогично, при работе с комплексными переменными критическая точка — это точка в области определения функции, где ее производная равна нулю (или функция не является голоморфной ). Аналогично, для функции нескольких действительных переменных критическая точка — это значение в ее области определения, где норма градиента равна нулю (или не определена).

Координаты x красных кругов — это стационарные точки ; синие квадраты — точки перегиба .

В математическом анализе , стационарная точка это такой аргумент функции, при котором ее производная (градиент для функции многих аргументов) равна нулю.

В дифференциальном исчислении и дифференциальной геометрии точка перегиба , (перегиб ) — это точка на гладкой плоской кривой, в которой кривизна меняет знак. В частности, в случае графика функции это точка, в которой функция меняет форму с вогнутой (вниз) на выпуклую (вверх) и наоборот.

три примера на одном рисунке:

• Слева: f(x)=x^2 — стационарная и критическая точка (минимум, но не перегиб).

• В центре: f(x)=∣x∣ — критическая точка (нет производной), но не стационарная и не перегиб.

• Справа: f(x)=x^3 — стационарная и критическая точка, которая одновременно является точкой перегиба.

Пусть гладкая функция. Точка х_о пространства-прообраза называется критической точкой функции F, если в ней градиент Р обращается в нуль, т.е. все частные производные .

критические точки функций и отображений играют важную роль в таких областях математики, как дифференциальные уравнения, вариационное исчисление, теория устойчивости, а также в механике и физике. Исследование критических точек гладких отображений составляет один из главных вопросов теории катастроф. Понятие критической точки обобщается также на случай функционалов, определенных на бесконечномерных функциональных пространствах. Поиск критических точек таких функционалов является важной частью вариационного исчисления. Критические точки функционалов (которые, в свою очередь, являются функциями) называются экстремалями.

Чем интересны критические точки?

Как известно из курса анализа, в окрестности любой некритической точки функции F существуют гладкие координаты , в которых F становится линейной, и даже принимает вид

здесь i любой индекс от 1 до n.

Читателю, не знакомому с этим утверждением, предлагается доказать его самостоятельно, выбрав в качестве новых координат ; ,
если . Из этого следует, что в окрестности некритической точки любой гладкой функции семейство множеств уровня

устроено совершенно одинаково: это семейство гиперповерхностей в п-мерном пространстве, которое с помощью подходящего локального диффеоморфизма превращается в семейство параллельных гиперплоскостей, например, (см. рис. 1.1 для случая функции двух переменных).

Из этого же рассуждения видно, что в некритической точке функция не может достигать экстремума. Тем самым мы попутно доказали необходимое условие экстремума гладкой функции -—
лемму Ферма.

Рис. 1.1 Семейство линий уровня функции двух переменных в окрестности некритической точки: слева в исходных координатах, справа в специальных, где это семейство параллельных прямых

Складка и сборка реализуются как особенности проецирования гладкой поверхности на плоскость.

Вблизи критических точек семейство множества уровня гладкой функции может быть устроено уже совершенно по-другому. Для того чтобы убедиться в этом, достаточно решить следующую задачу.

ЗАДАЧА 1.5. Нарисуйте семейства линий уровня следующих функций двух переменных и убедитесь в том, что ни одно из них не переводится в семейство параллельных прямых с помощью локального диффеоморфизма и ни одно из них не переводится в другое:

Более того, эти семейства не эквивалентны даже топологически, т.е. не могут быть переведены друг в друга с помошью локального гомеоморфизма".
Таким образом, задача о приведении гладкой функции к «нормальной» (т.е. наиболее простой) форме в окрестности критической точки не столь тривиальна, как в случае точки некритической.

Рассмотрим этот вопрос подробнее.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1.1. Критическая точка гладкой функции F(x1, . . . , xn) называется невыроэжденной, если в ней отличен от нуля гессиан функции F, т.е. определить матрицы , составленной из частных производных второго порядка функции F в x0.

ЗАМЕЧАНИЕ 1.4. Следует иметь в виду, что гессианом иногда, называют не только определитель указанной выше матрицы Н, но и саму эту матрицу. Обычно из контекста бывает ясно, о чем именно
идет речь.

Невырожденные критические точки — самый простой тип критических точек, поведение функции вблизи них полностью определяется ее квадратичной частью (напомним, что линейная часть в критической
точке нулевая).

А именно, имеет место следующий результат:

ЛЕММА 1.2 (Морса). Если функция имеет начало координат 0 своей невыроэжденной критической точкой, то в окрестности 0 существуют гладкие координаты, в которых функция Е имеет вид
. (1.8)

Очевидно, что аналогичное представление имеет место в окрестности любой невырожденной критической точки, не являющейся началом координат. Достаточно сделать сдвиг в пространстве переменных, переводящий рассматриваемую точку в 0, записать представление (1.8) и затем произвести обратный сдвиг.
Сейчас мы докажем не только лемму Морса, но и более общее утверждение (называемое иногда «леммой Морса с параметрами» или «леммой о расщеплении особенности»), из которого представление
(1.8) получается как частный случай.

Гомеоморфизм -— это взаимно однозначное и взаимно непрерывное отображение, не обязательно дифференцируемое. Подчеркнем, что условие «взаимно непрерывное» существенно: из взаимной однозначности и непрерывности f, вообще говоря, не следует, что обратная функция также непрерывна.

ЛЕММА 1.3 ( лемма морса с параметрами).

— гладкая функция, имеющая начало координат 0 своей критической точкой, невыроэюденной по переменным .

Тогда в окрестности точки 0 существуют гладкие координаты, в которыт F имеет вид
(1.9)
где f - некоторая гладкая функция.

Доказательство.

Используем индукцию по числу п. Для п =0 данное утверждение - тавтология, а при п = 1 оно легко доказывается с помощью задачи 1.4. Действительно, при п = 1 мы имеем функцию
Е(т,у), для которой производная Р, обращается в нуль в точке 0, а
вторая производная ЕР, = 0. Следовательно, функция РЁ’, имеет 0 своой некритической точкой и обращается в нуль на некоторой гладкой
гиперповерхности 1 = 7/(у), проходящей через 0. Используя представление (1.7) и делая замену переменной х +} х — 7(у), мы получаем
| гредставлетие

где гладкие функции.

Замена дает

в котором число , в зависимости от знака.

Шаг индукции (для п > 1) основан на той же самой идее.

Нужно только «отщепить» одну переменную из числа от всех остальных. Сделаем это.

Как известно из линейной алгебры, любую квадратичную форму можно привести к каноническому (диагональному) виду с помощью невырожденного линейного преобразования.

Согласно условию, квадратичная часть функции Е по переменным т1....,» в точке 0 невырождена, поэтому с помощью подходящего линейного преобразования она приводится к виду

В соответствии с этим переобозначим переменные и представим нашу функцию F в виде где
. Тогда частная производная Fx, обращается в нуль в точке 0, а вторая частная производная .

Следовательно, функция Р, имеет 0 своей некритической точкой и обращается в нуль на некоторой гладкой гиперповерхности , проходящей через 0.

Используя представление (1.7) и замену переменной , получаем представление

где гладкие функции, причем .

Сделав теперь замену , мы получаем равенство

в котором число , в зависимости от знака .
Функция зависит от на единицу меньшего числа переменных: .

Причем, как легко видеть, 0 является ее критической точкой, невырожденной по переменным .

Применяя индукцию по n, мы получаем искомое представление (1.9).
Классическая «лемма Морса» является частным случаем: m = 0.

• Лемма Ферма
• Индекс критической точки
• Кратность критической точки
• Формула произведения корангов
• Экологический порог
• Конфигурация Гессе , образованная девятью точками перегиба эллиптической кривой
• Ogee , архитектурная форма с точкой перегиба
• Вершина (кривая) , локальный минимум или максимум кривизны