3.2. Алгебраическое отступление (Алгебры, кольца, идеалы )

Привет, Вы узнаете о том , что такое алгебраическое отступление, Разберем основные их виды и особенности использования. Еще будет много подробных примеров и описаний. Для того чтобы лучше понимать что такое алгебраическое отступление, алгебры, кольца, идеалы , настоятельно рекомендую прочитать все из категории Теория особенностей и катастроф.

Предполагаем, что читатель знаком с такими понятиями, как группа, кольцо, идеал, поле, векторное пространство, изоморфизм. Читателю, не знакомому с этими понятиями, рекомендуется учебник [14].
3.2.1. алгебры , кольца , идеалы
Напомним, что идеалом в абстрактном коммутативном кольце В
называется подмножество Г С В, «замкнутое» относительно операции
сложения (т.е. а +В Е Г для любых а, 6 Е Г) и «выдерживающее»
умножение на элементы кольца А, т.е. аб © [ для любых а © Ги
ЬЕ В. Здесь используется свойство коммутативности'.
Идеал Г С В называется максимальным, если он не содержится
ни в каком другом идеале кольца В кроме него самого и всего В.
Простейший пример: множество четных чисел в кольце целых чисел
7. Этот идеал является максимальным.
Вообще, привести пример идеала в произвольном кольце В очень
просто: достаточно рассмотреть любой набор элементов е1,...,е, Е В
и положить множество Г состоящим из всех комбинаций вида,
але + :--+а,е,, а1....,@ Е В. (3-1)
Очевидно, что построенное множество / С В является идеалом. Такой
идеал называется конечнопороэюденным, а. элементы е1,....е, его образующими. Обозначение: 1 = (е1,...,е,). Идеал, порожденный одним
'Коммутативность кольца проявляется в том, что в условии аб Е Г порядок
умножения элементов а Е Ги фЕ Л не играет никакой роли. В некоммутативных
кольцах бывают левые, правые и двусторонние идвалы.
25
элементом, называется главным. Например, множество четных чисел
в кольце 2 образует главный идеал, который порожден одним образующим - числом 2. Разумеется, бывают и не конечнопорожденные
идеалы.
Очевидно, любой конечнопорожденный идеал Г можно задать с помощью различных систем образующих. Набор образующих е1,...,е,
будем называть минимальным, если из него нельзя выбросить ни одного элемента, т.е. при выбрасывании любого элемента оставшиеся уже
не будут порождать идеал Г. На первый взгляд, понятие минимального
набора образующих очень похоже на базис векторного пространства,
однако между ними имеется существенное отличие. Например, бывают идеалы, в которых есть минимальные наборы, содержащие разное
число образующих (см. следующий пример).
ПРИМЕР 3.2. Пусть В = Вт,у| кольцо многочленов от двух
переменных. Рассмотрим в нем идеал Г = (е1,е2,ез), порожденный
тремя образующими:
е =зу, е› = (тф+у- Пу, ез= (т-уу. (3.2)
Сначала покажем, что Г = (у), т.е. идеал Г можно задать с помощью
одного образующего у. Так как все е; делятся на у, любой элемент
а Е Г также делится на у, поэтому имеет место включение ГС (у).
Чтобы доказать обратное включение, достаточно показать, что у Е Г.
Это делается простой проверкой: у = 2е; — е› — ез. Таким образом, мы
доказали, что идеал [= (у).
При этом набор из трех образующих (3.2) нельзя сократить до одного. Действительно, ни при каком 1 идеал (е;) не содержит моном у,
и следовательно, Г = (е;). Более того, можно показать, что набор образующих (3.2) нельзя сократить даже до двух (проверка этого оставляется читателю в качестве упражнения).
Пусть А — коммутативная алгебра, т.е. одновременно и коммутативное кольцо, и векторное пространство (над некоторым полем К),
причем операции умножения на элементы поля К и кольца В = А
согласованы:
(Ка)ь = а(К5) = К(а5) УЕЕК, УМа,5Е В.
Размерностью алгебры А называется размерность А как векторного
пространства.
В конечномерной алгебре размерности п имеется базис е1,..., ев
(базис соответствующего векторного пространства), и произведение
26
любых лвух элементов алгебры можно определить через произведения ее базисных элементов:
т
— [ ги ее; = > Ау е1, 1 =1,..., п.
[=1
Набор чисел А, „.Г=1,...,П, называется «таблицей умножения»
этой алгебры в данном базисе и однозначно определяет произведения
любых ее элементов:
ть т т
а = › Озе:, р = › В;е; —> аб = у. оз Вузе.
1=1 1=1 1,1.1=1
Алгебра А (конечной или бесконечной размерности) называется
градуированной, если задано разложение векторного пространства А
в прямую сумму его подпространств
А=АфФА: Ф...ФА,, АССА, (3-3)
причем выполнено условие: для любых элементов а Е А; и фЕ А; их
произведение аб Е А; ,;, если + 7 < К, и аб = 0, если + Е > К.
В случае бесконечномерной алгебры прямая сумма (3.3) может быть
тоже бесконечной: = со. Такое разложение называется градуировкой
алгебры А.
ПРИМЕР 3.3. Простейший пример градуированной алгебры алгебра В [т1,...,т»„| многочленов от п переменных над полем вещественных чисел, или, более общо, алгебра К] т1,...,т| многочленов от п переменных над произвольным полем К. Очевидно, для такой алгебры
имеет место градуировка (3.3) с Ё = со, где подпространство А; состоит из однородных многочленов степени 1, называемых также формами
степени 1 или, короче, 1-формами. С другим примером алгебры, допускающим конечную градуировку, мы столкнемся ниже.
Идеалом алгебры А называется такой идеал Г кольца А, который является одновременно и подпространством векторного пространства А.
ПРИМЕР 3.4. Пусть А алгебра ростков гладких функций от
переменных т1,..., 1, и идеал ГС А состоит из ростков функций,
которые обращаются в нуль в точке 0. Этот идеал, очевидно, является конечнопорожденным. В качестве его образующих можно выбрать
27
ростки функций е1 = 11,...,е, = т,. Об этом говорит сайт https://intellect.icu . Действительно, по лемме Адамара, каждый росток РЕ Г имеет вид (3.1) с некоторыми а1,..., а, из
кольца А. Это доказывает, что Г - идеал в кольце А, но нетрудно проверить, что Г является и подпространством в векторном пространстве
А. Таким образом, Г - идеал в алгебре А.
Отметим, что набор образующих е; = т; не является базисом в
Г как векторном подпространстве. Действительно, векторное подпространство У С А, порожденное линейными комбинациями векторов
е; = т; состоит лишь из ростков линейных функций, в то время как
Т, очевидно, содержит и нелинейные. Можно также сравнить размерности У и Г как векторных пространств: 4па У = г, но Ап Г = 55.
ЗАДАЧА 3.1. Придумайте другие системы образующих в идеале
ГС А из примера 3.4.
3.2.2. Факторизация (общая идея)
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 3.2. На множестве А задано отношение эквивалентности, если для каждой пары элементов т и у этого множества,
определено одно их двух: либо элементы хи / эквивалентны (это обозначается 1 ^> у), либо они не эквивалентны (1 7 у), при этом должны
быть выполнены следующие свойства: рефлексивность (5 -> <), симметричность (5 ^- у), транзитивность (если 5 м уиу-> 5, то д-р).
Если такое отношение задано, то множество А представимо в виде
объединения (конечного или бесконечного) подмножеств Ао, называемых классами эквивалентности и обладающих следующими свойствами:
1) каждый элемент 1 Е А содержится в некотором подмножестве
А. С А, причем только в одном. Другими словами, подмножества А»
не пересекаются, и их объединение (конечное или бесконечное) дает
все множество А;
2) элементы т и у эквивалентны (7 ^> у), если и только если они
принадлежат одному и тому же подмножеству Ао.
Очевидно, что и наоборот, если задано представление множества А
в виде объединения подмножеств Ао, удовлетворяющее первому свойству, то, положив т ^> у, если и только если эти элементы принадлежат одному и тому же подмножеству А, мы получим тем самым
некоторое отношение эквивалентности на А. Множества А’ называются классами эквивалентности, их тоже можно рассматривать как
элементы некоторого множества, которое обозначается А/ -> и назы28
вается фактор-мноэжеством множества А по заданному отношению
эквивалентности.
Данное выше определение совершенно абстрактно. Конкретное содержание у него появляется, когда мы указываем способ задания эквивалентности. С одним содержательным примером факторизации множества мы сталкивались выше, когда определяли ростки функций.
В теории особенностей гладких отображений предметом изучения являются специальные типы эквивалентности, они будут введены в разделе 8. Приведем еще один пример чисто геометрической природы.
ПРИМЕР $.5. Если в качестве А взять множество ненулевых векторов трехмерного пространства (все векторы считаются выходящими
из начала координат 0) и считать эквивалентными векторы, лежащие
на одном и том же луче, элементами фактор-множества А/ -> будут
всевозможные лучи, исходящие из точки 0. Для того чтобы лучше
представить себе это множество, рассмотрим сферу единичного радиуса с центром в 0. Каждый луч пересекает ее в одной единственно
точке, поэтому множество А/- можно отождествить с точками сферы. Такое отображение является не только взаимно однозначным, но
и непрерывным вместе со своим обратным, т.е, гомеоморфизмом. Значит, фактор-множество А/ -- гомеоморфно обычной двумерной сфере.
Если для того же множества А считать эквивалентными коллинеарные векторы, мы придем к новому и очень содержательному геометрическому объекту. Очевидно, что элементами фактор-множества
А/ -> будут всевозможные прямые, проходящие через точку 0. Такое
множество называется проективной плоскостью, а составляющие его
прямые точками проективной плоскости. Точки проективной плоскости уже нельзя отождествить с точками сферы, так как каждая
прямая пересекает сферу дважды. Можно сказать, что проективная
плоскость — это сфера со «склеенными» противоположными точками,
но это вряд ли поможет понять, как она выглядит.
ЗАМЕЧАНИЕ 3.1. Существует геометрическая конструкция, позволяющая представить проективную плоскость более наглядно, как
ленту Мебиуса с приклеенным к ней кругом по принципу «граница к
границе»?. Это показывает, что фактор-множества, А / --, построенные
с помощью двух перечисленных отношений эквивалентности, несмотря на их внешнее сходство, очень сильно отличаются. Например, сфера ориентируема, а проективная плоскость, как и лента Мебиуса, нет
(или, как часто говорят, «имеет только одну сторону»).
?См., например, учебник [44], гл. [Х, разд. 9.4.
29
3.2.3. Фактор-алгебры
Особый интерес представляет случай, когда А не просто множество, а какая-либо алгебраическая структура: группа, кольцо, алгебра,
еес. Тогда естественно попытаться определить отношение эквивалентности таким образом, чтобы фактор-множество А/-> было алгебраической структурой того же типа, что и А.
Пусть 4 = А коммутативное кольцо и ГС В идеал в нем.
Если рассматривать в В только операцию сложения (забыв про
умножение), то В является группой, а ГС В его аддитивной подгруппой. Смежным классом элемента а группы В по подгруппе /[ называется множество
а-+1= {а+6 | УБЬЕТ.
Очевидно, что для двух элементов а и а’ смежные классы аЁГиа’ +1
либо совпадают (если а—а' Е Г), либо не пересекаются (если а-а' @ Г).
Таким образом, мы получаем отношение эквивалентности: @ г а’, если
и только если а-а’ Е Г.
Фактор-группой В по Г (обозначается В/Г) называется фактормножество В/ -> по данному отношению эквивалентности, состоящее
из всех смежных классов группы В по подгруппе Г, в котором определена операция сложения по формуле (а + Г) + (а' + Г) = (а-+ а’) + Г.
Нетрудно проверить, что множество Д/Т с определенной таким образом операцией сложения является аддитивной группой (в частности,
нулевым элементом является Г).
Теперь вспомним, что в кольце В кроме сложения есть еще умножение, и эти операции связаны свойством дистрибутивности. Это позволяет определить умножение и в фактор-группе В/Т по формуле
(а-+ (а +1 =аа' + Г.
ЗАДАЧА 3.2. Докажите, что определенная таким образом операция умножения смежных классов дистрибутивна относительно сложения, если ГС В - идеал (одного лишь условия, что Г является
подкольцом, для этого недостаточно).
Таким образом, в случае, когда Г идеал (далее это всегда, будет
предполагаться), фактор-множество В/ [с определенными выше операциями сложения и умножения является кольцом. Оно называется
фактор-кольцом кольца В по идеалу Г.
ПРИМЕР 3.6. Рассмотрим фактор-множество &/Т, где ГС #, - идеал, состоящий из четных чисел. Нетрудно видеть, что 2/1 содержит
30
ровно два класса эквивалентности, состоящие из четных и нечетных
чисел, которые можно обозначить соответственно 0 и 1. Также просто
проверяется, что сложение и умножение этих элементов выполняется
по правилам, делающим набор {0,1} полем вычетов 2. Таким образом, 2/Т - это кольцо вычетов 2, а так как последнее является не
только кольцом, но и полем (каждый ненулевой элемент обратим), то
идеал ГС # максимальный.
Пусть теперь / С А идеал алгебры А, т.е. идеал кольца А и
одновременно подпространство в векторном пространстве А. В этом
случае можно превратить фактор-кольцо А/Г в фактор-алгебру. Для
этого нужно сделать кольцо А/7 векторным пространством (над полем К). Сложение векторов в А/7 уже определено (как сложение элементов кольца), и нам остается лишь определить операцию умножения
элементов А/Т на элементы поля К таким образом, чтобы были выполнены все аксиомы векторного пространства. Это делается по правилу
Кк(а+Г =кКа+Т, УаЕА, КЕК.
Отметим, что при этом мы используем то, что КБЕ Г для любых ВЕ Ги
КЕ К, так как ГС А является векторным подпространством. Нетрудно проверить (это предлагается сделать читателю самостоятельно),
что все аксиомы векторного пространства выполняются и, кроме того,
операции умножения на элементы поля | и кольца согласованы. Полученная таким образом алгебра и называется фактор-алгеброй А/Г.
ПРИМЕР 3.7. Пусть А - алгебра ростков гладких функций (или
многочленов) от п переменных и идеал Г С А состоит из ростков
функций (соответственно, многочленов), которые обращаются в нуль
в точке 0. Тогда фактор-множество А/7 состоит из смежных классов
+ Г ГЕА, каждый из которых однозначно характеризуется значением /(0), т.е. одним вещественным числом. Нетрудно видеть, что
сопоставление ({} + Г) =} (0) задает отображение 4/7 — В, являющееся изоморфизмом (колец, векторных пространств и, следовательно,
алгебр). Таким образом, А// является фактор-алгеброй, изоморфной
алгебре ЕВ.
ПРИМЕР 3.8. Пусть А алгебра ростков гладких функций (или
многочленов) от одной переменной и идеал ГС А состоит из ростков
функций (соответственно, многочленов) /(1), удовлетворяющих условию /(0) = /"(0) = 0. Из леммы Адамара следует, что любая такая
31
функция представима в виде /(т) = 229(х), 9 Е А и, следовательно,
идеал [ порожден одним элементом - мономом #2, т.е. А/Г = А/(2?).
Фактор-множество А/(=?) состоит из смежных классов {+ Г, Е А,
каждый из которых однозначно характеризуется значениями {(0} и
|’ (0), т.е. двумя вещественными числами. Сопоставление каждому
смежному классу / + Г пары чисел #(0), {'(0) задает отображение
А/(л?) + В?, которое, очевидно, является изоморфизмом А/(1?) и
Е? как векторных пространств, но не определяет изоморфизма А/(1?)
как алгебры. Для того чтобы превратить А/(5?) в фактор-алгебру,
нужно правильно определить в ней операцию умножения.
Для определенности рассмотрим сначала случай многочленов. Превратим Е[2|/(22) в так называемую алгебру срезанныхт многочленов
ниже второй степени, которая, как видно из названия, состоит из
многочленов степеней 0 и 1. Сложение и умножение элементов на числа в этой алгебре определяются обычным способом, Произведение многочленов а1 + 1х и а2 + ох равно ала2 + (а165 + а261)т, иначе говоря,
оно получается из обычного произведения многочленов отбрасыванием всех мономов степени выше 1, т.е. представляет собой остаток обычного произведения многочленов от деления на 22. В алгебре Е[| / (22)
имеется естественная градуировка: В|1|/(22) = АоФ А|, где А; подпространство однородных многочленов степени #.
Пусть теперь А — алгебра ростков гладких функций от одной переменной. Легко проверяется, что отображение А/(2?) -+ В |/ (22),
ставящее в соответствие каждому смежному классу / + Г многочлен
1(0)- /'(0)х, не только является изоморфизмом А/(1?) и В[1|/ (22) как
векторных пространств, но и определяет в А/(12) умножение, преврашающее фактор-множество А/(1?) в алгебру и, таким образом, является изоморфизмом А/(2?) и В[1|/ (17) как алгебр.
ЗАДАЧА 3.3. Напишите таблицу умножения в алгебре срезанных
многочленов ниже второй степени, выбрав в качестве базиса мономы
е1 =Ти е2 =2.
Ответ. Если записывать в клетках не коэффициенты АН разложения произведения е;е; по базису е1,е2, а сами эти произведения,
получается следующая таблица:
1х
111 т
|0
32
ЗАМЕЧАНИЕ 3.2. Алгебра срезанных многочленов ниже второй
степени иногда называется также «алгеброй функций на слипшемся двоеточии». Это название объясняется следующим образом. Рассмотрим множество функций, определенных на «двоеточии» — множестве, содержащем только две точки, например, +=. Очевидно, это
множество является алгеброй (со стандартно определенными операциями сложения и умножения: складываются и перемножаются значения
функций в каждой из двух точек) размерности 2.
В качестве базиса этой алгебры можно выбрать, например, так называемые д-функции, равные 1 в одной точке и нулю в другой (читателю в качестве упражнения предлагается выписать таблицу умножения
в этом базисе). Но можно выбрать базис е1 = 1, е› = 5. Эти функции в
нашем случае представляют собой сужение соответствующих мономов
со всей вещественной прямой на двоеточие +. В качестве несложного
упражнения читателю предлагается выписать таблицу умножения в
этом базисе и убедиться, что в пределе = -+ 0 она. совпадает с приведенной выше таблицей умножения в алгебре В / (22).
Аналогичным образом для любого целого & > 2 определяется
Е[=]/(х^)) - алгебра срезанных многочленов ниже &-й степени.
ЗАДАЧА 3.4. Опишите алгебру В |/(х^), ее таблицу умножения
в некотором базисе и градуировку. Покажите, что В /(х^) изоморфна фактор-алгебре А/Т, где А - алгебра ростков гладких функций от
одной переменной, и идеал ГС А состоит из ростков {(5), удовлетворяющих условию (0) = {'(0) =... = #70 (0) = 0.
ЗАМЕЧАНИЕ 3.3. Описанная выше конструкция дает универсальный способ превратить в алгебру любое конечномерное векторное пространство над произвольным полем К.
Пусть У - векторное пространство размерности К, оно изоморфно
пространству А, состоящему из многочленов
Р(Е) = ао + аа +... ава", м ЕК.
Выбрав в \ и А базисы, можно построить изоморфизм ф: У — Авявном виде. Например, сопоставим вектору е; произвольного базиса в У
элемент #1" пространства А: ф(е;) =#`! для =1,...,К. С помощью
описанной выше процедуры А превращается в алгебру срезанных многочленов К] 2] /(х^). После этого остается определить умножение двух
элементов ‚© из У формулой (и) = ф(и)ф(о).

Исследование, описанное в статье про алгебраическое отступление, подчеркивает ее значимость в современном мире. Надеюсь, что теперь ты понял что такое алгебраическое отступление, алгебры, кольца, идеалы и для чего все это нужно, а если не понял, или есть замечания, то не стесняйся, пиши или спрашивай в комментариях, с удовольствием отвечу. Для того чтобы глубже понять настоятельно рекомендую изучить всю информацию из категории Теория особенностей и катастроф