9. Особенности отображений R2 ->R2 Складка и сборка

Привет, Вы узнаете о том , что такое точка-складка, Разберем основные их виды и особенности использования. Еще будет много подробных примеров и описаний. Для того чтобы лучше понимать что такое точка-складка, точка-сборка , настоятельно рекомендую прочитать все из категории Теория особенностей и катастроф.

Рассмотрим росток гладкого отображения
(у): М+М
плоскости на плоскость или двумерной поверхности на другую двумерную поверхность, заданного функциями
2=/(т,у), ш=Л (ту), Р(0=Л=0, (9-1)
в критической точке — начале координат 0. По определению критической точки, матрица Якоби этого отображения
=” ^ (9.2) в п
вырождена в точке ().
Вообще, критические (особые) точки отображения (9.1) определяются условием 4ее Л; = 0, которое задает на плоскости-прообразе множество 5, состоящее из объединения двух подмножеств:
бо = {18 Л =0}, 51 = {гв Л; = 1}.
Коразмерность 60 равна 4 (в нуль обращаются все четыре элемента,
матрицы „+, это дает четыре независимых уравнения), а коразмерность 51 равна 1 (одно уравнение 4еф /; = 0). Это тривиальная иллюстрация формулы произведения корангов (4.3).
105
9.1. Складка и сборка
Начнем с исследования ростков отображений в устойчивых критических точках, т.е. имеющих коразмерность 1 или 2. Это исключает
из рассмотрения множество 50, и далее мы будем рассматривать росток отображения (9.1) в точке 0, принадлежащей множеству 51 С 5.
Очевидно, что тогда росток отображения (9.1) ®-эквивалентен
2 =Е(т,у), шШ=У, (9.3)
где Р(т,у) некоторая гладкая функция, ЁР\(0) = 0 (см. задаму 8.1).
Множество 5 критических точек ростка отображения (9.3) задается
уравнением
Е, (т, у) = 0. (9.4)
В устойчивых критических точках выполнено условие регулярности:
означающее, что точка 0 не является критической точкой функции
Е, (т, у) и в ее окрестности множество 5 представляет собой гладкую
кривую без особенностей. Условие (9.5) сохраняется при всех достаточно малых возмущениях функции РЁ, а нарушается в критических точках коразмерности 3, так как к уравнению критических точек РЁ, = 0
добавляются еще два равенства: Р,. = Ои Ёуу = 0.
ЗАМЕЧАНИЕ 9.1. Из сказанного видно, что есть два тина. устойчивых критических точек ростков отображений (9.3), которые имеют
коразмерность 1 и 2 соответственно и определяются условиями
® Ё.(0) =0, Ё,.(0) #0,
®е Р.(0) =0, Р,.(0) =0, Еъи(0) = 0, Ехк (0) = 0.
Эти типы критических точек называются соответственно складкой
(англ.: /014) и сборкой (англ.: сирз или реа. Мы покажем ниже, что
каждому из этих типов отвечает ровно одна СК-нормальная форма
ростка отображения и, таким образом, складки и сборки — единственные устойчивые особенности отображений плоскости на плоскость.
В случае отображения общего положения почти все критические
точки —- складки. Они заполняют кривую 5 почти полностью, исключение составляют изолированно расположенные на 5 точки сборки —
они возникают там, где 5 пересекается с кривой, заданной уравнением
106
Е,.(т, у) = 0. Если слегка «возмутить» наше отображение, то кривая
5 немного деформируется и точки сборки на ней также смещаются,
но не исчезают. Критические точки, не являющиеся складками или
сборками, неустойчивы и могут быть уничтожены сколь угодно малым возмущением отображения. Это легко объяснить геометрически.
Все такие точки являются пересечениями трех различных кривых на
плоскости: Ру = 0, Е; = Ои Ру = 0 или Вухх = 0, т.е. имеют коразмерность 3. С помощью сколь угодно малого возмущения функции Р
тройное пересечение кривых всегда можно разрушить, превратив его
в три попарных пересечения (см. рис. 9.1).
Рис. 9.1 Слева: трансверсальное пересечение двух кривых устойчиво
относительно малых возмущений. Справа: пересечение трех кривых
неустойчиво и распадается на три попарных пересечения
При определении складки и сборки мы использовали специальные
координаты в прообразе № именно, такие, в которых одна из функций, задающих отображение, совпадает с одной из координат. Часто
бывает удобнее определить складку и сборку инвариантно, т.е. чисто
геометрически, не используя никакие системы координат. Сделаем это
с помощью двух геометрических объектов.
Первый -— это множество критических точек отображения. В нашем
случае это гладкая кривая 5. Второй — это поле направлений (поле
ядер дифференциала) А = Кег 4, определенное в точках кривой 5.
Напомним, что в каждой точке р Е 5 отображение } : № -» М определяет линейное отображение (линейный оператор} соответствующих
касательных пространств
4, : ТЬМ > ТМ. (9.6)
Если в М и ЛМ заданы координаты, в касательных пространствах ТМ
и ТьМ определены естественные базисы, в которых матрица линейного отображения (9.6) есть матрица /+(р). Так как, согласно сделанным
предположениям, гв .Л;(р) = 1 в любой точке р Е 5 из окрестности
107
нуля, то линейное отображение (9.6) имеет ядро — одномерное подпространство в касательном пространстве 7,М№, обозначим его
А(р) = Кег 4».
Таким образом, в каждой точке р Е 5 определено направление Х(р),
причем в точках р 9 5 отображение 4}, никакого направления не определянет, так как в таких точках его ядро состоит из одного лишь нулевого вектора.
В описанной ситуации говорят, что на множестве 5 определено поле
направлений. Об этом говорит сайт https://intellect.icu . В случае общего положения направление А’(р) трансверсально кривой 5 (т.е. пересекается с ним под ненулевым углом), но в
отдельных точках Д’(р) может касаться 5. Теперь нам нужно ввести
понятие порядка касания кривой 5 и поля Х.
ЗАМЕЧАНИЕ 9.2. Если речь идет о двух гладких кривых
у ф(т), у 4 (т), (0) — 4(0),
то порядком их касания в точке 0 называется число р — кратность
функции (т) — 4(2) в точке 01. Если бы нам нужно было определить
порядок касания кривой 5 и поля направлений Х', заданного в целой
окрестности точки 0 на плоскости (т, у), его можно было определить
как порядок касания кривой 5 и интегральной кривой поля ДА, проходящей через рассматриваемую точку 0. Но сейчас мы имеем дело с
полем А’, которое определено лишь в точках самой кривой 5, поэтому никаких интегральных кривых не имеет, а идея продолжить его в
точки вне 5 приводит к неоднозначности.
В силу сказанного используем другое определение, возможно, новое
для читателя. Пусть Ё# параметр, задающий регулярную параметризацию р(Ё) кривой 5 (регулярность означает, что р’(#) = 0).
Рассмотрим @({) угол между касательной к 5 и направлением
Д(р) в точке р(®. Тогда касание кривой 5 и поля А в точке # = 0
равносильно условию ©(0) = 0, при этом порядком касания называется порядок нуля функции @(® в точке $ = 0, т.е. ее кратность д,
определенная формулой (2.1). Например, касание нулевого порядка.
(трансверсальное пересечение) задается условием @(0) 5 0, касание
первого порядка - условиями @(0) =0иа"(0) = бит.д.
1'Эквивалентное условие: функции фи ф имеют в точке 0 одинаковую р-струю,
но разные (р + 1)-струи.
108
ЗАДАЧА 9.1. Покажите, что порядок касания — геометрический
инворуцантт, т.е. вличина, которая не зависит ни от выбора параметра
$ на кривой 5, ни от выбора координат (5,у) на плоскости. При этом
сам угол а(К не инвариант, а лишь полуинвариант, т.е. величина а
изменяется при заменах координат, но если а(р) = О в некоторой точке
ре 5, то равенство нулю сохраняется при всех заменах параметра & и
любом выборе координат на плоскости.
ПрРимЕР 9.1. На рис. 9.2 изображены кривая критических точек
5 и поле ядер дифференциала Х для отображений (9.3) с функциями
Е = т? и Е = 23 + 19. В первом случае (изображенном слева) поле А’
трансверсально 5 = {х = 0} во всех точках. Во втором случае (справа)
в качестве параметра # на кривой 5 = {у = —3=22 } можно выбрать саму
координату т. Тогда угол а(х) между параболой 5 и горизонтальным
полем направлений А’ равен агсбап(—65). Поле А’ касается 5 в начале
координат, причем касание имеет первый порядок.
у У
_ х х
Рис. 9.2 Кривая 5 (жирная линия) и поле А” для отображений (9.3) для
функций Е = 1? (слева) и Р =? + ту (справа)
ЗАДАЧА 9.2. Покажите, что складка и сборка определяются следующими условиями, эквивалентными условиям из замечания 9.1:
® кривая © регулярна и трансверсальна, А”.
® кривая 5 регулярна и имеет с полем А’ касание первого порядка.
УКАЗАНИЕ. ‘Так как приведенные выше условия геометрически
инвариантны (не зависят от выбора системы координат), достаточно
установить эквивалентность первого и второго определений складки и
сборки для отображений вида (9.3), что проверяется тривиально.
Теперь мы можем сформулировать и доказать один из классических результатов теории особенностей:
109
ТЕОРЕМА 9.1 (Уитни). Росток любого гладкого отображения
(т, у): М > М в точке складки С®-эквивалентен ростку
2=42, Ш=у, (9.7)
а в точке сборки СК-эквивалентен ростку
д=13+1у, ш=у. (9.8)
Доказательство. Очевидно, что достаточно доказать теорему
для ростков отображений вида (9.3), что и будет сделано.
СклаАдкА. Согласно условию ЁР,.(0) 5 0, по теореме о неявной
функции кривая 5, заданная уравнением Ё,(х, у) = 0, является графиком некоторой гладкой функции 1 = (у). Сделав замену переменной
тнт — ф(у), мы (локально) превратим эту кривую в ось г = 0.
В новых координатах (их, так же, как и новую функцию А`, мы будем обозначать прежними буквами) производная Ё,(т, у) обращается
в нуль на линии 5 = 0. Используя представление (1.7), получаем
Е(т,у) = В (у) + =*ф(т,у), Ву) =Е(0,у),
где (т,у) гладкая функция. Из ЁЕ,.(0) # 0 следует, что ф(0) # 0.
Более того, с помощью замены 2 ++ —2 можно добиться ‹р(0) > 0.
После этого сделаем замену переменной
сн: ху (т, у),
которая дает Е(т,у) = Ю (у) + 12, т.е. приводит наше отображение к виду
#2 =В (у) +1, ш=у.
Сделав замену 2 +} 2 — Ро (и), получаем нормальную форму (9.7).
СБОРКА. ШАГ 1. Предположим, что функция Р(т, у) удовлетворяет условиям
Е, (0) =0, Е..(0) =0, Е.,(0) 20, Ешь (0) #0. (9.9)
Покажем, что тогда росток отображения (9.3) С®-эквивалентен ростку такого же вида с функцией
Е(х, у) = (ху) (+3 +ту, (9.10)
где (т, у) и (у) - гладкие функции, $ф(0) #2 0. Для этого представим
функцию Р`в виде
Е(т,у) = Ю (у) + т9(т,у), В (у) = Е(0, у).
110
Из условия (9.9) вытекает
Сделав замену 2 ++} #— Ро(1), получаем Ео(у) = 0, т.е. Ё = т9(х, у).
Применим теорему деления к ростку функции 9(т,5). Так как кратность 9(т,у) по переменной г в точке 0 равна 1, получаем
9(т, у) = ф(т, у) (5 + а(у)т + В(у)), (9.11)
где а(у), 8(у), Ф(т,у) — гладкие ростки, (0) = В(0) = Ои (0) = 0.
Из условия 9,(0) 52 0 следует, что 8'(0) 7 0. Поэтому можно сделать
«правую» замену переменных у +? В(у) и одновременно «левую» замену 10 +» В(ч), эта пара замен сохраняет соотношение чи = у. После
этого запишем (новый) коэффициент @(у,) в виде а«(у) = ф(уу с некоторой гладкой функцией 12. В результате наше отображение примет
вид (9.3) с функцией (9.10).
СБОРКА. ШАг2. Согласно доказанному выше (задачи 7.14 и 7.15),
росток любой гладкой функции #(т, у) можно представить в виде
в(х, у) = а1(Е,у) + таз(Е, у) + 1? аз(Е, у) (9.12)
с подходящими гладкими ростками а; (-, -}, где функция ЁР = Р(т,у)
взята из формулы (9.10).
Применим представление (9.12) к функции А(т,у) = 13, для удобства заменяя коэффициенты: а2 +} —а2 и аз +» Заз. В результате получаем
13 =а1 (Е, у) — таз(Ё, у) + Зт?аз(Е,у). (9.13)
Представление (9.13) можно переписать в виде
(2 —а(Е,у))3 +5 Еу)(е —а(Е,у)) = <(Е,у), (9.14)
где
а=аз, Б=а2 -— За”, е=а! -а5-а?. (9-15)
Из представления (9.14) видно, что следующая пара замен:
(т, у) => (5,9): Е=г-а(Е(т, у), у), У=ЫЬЕ(т, у), У), (9.16)
(2, ш) н+ (2,0): Е=с(2, 1), Ш=Ьа,щ) (9-17)
приводит росток отображения (9.3) с функцией (9.10) к нормальной
форме (9.8).
111
СБОРКА. ШАг 3. Для завершения доказательства теоремы остается убедиться, что обе замены (9.16) и (9.17) являются локальными
диффеоморфизмами, т.е. их матрицы Якоби в начале координат невырождены. Для этого покажем, что
дал
ОР
и == (0) = 20) ду (©) = (9.18)
Действительно, сравнивая коэффициенты при мономе 1” в левой и
правой частях тождества (9.13) с учетом (9.10), мы сразу же получаем
первое неравенство в (9.18). Теперь посмотрим на коэффициент при
мономе 2. В левой части тождества (9.13) он равен нулю, а в правой —
складывается из двух, соответствующих первому и второму слагаемым
в (9.13) (третье слагаемое не содержит монома 2). С учетом первого
неравенства (9.18), отсюда получаем второе условие.
Докажем, что замена (9.16) является локальным диффеоморфизмом. С учетом выражений (9.15), а также формул (9.10) и (9.18), в
начале координат имеем
3
р да ду От 0) =1-— орт — (0) 72.10) =1 — 900) = = ЕЕ) —(0)2,(0) =
09 ОЬ 96) _ 042 — (0) = —(0)2,(0) + —(0 0
Отсюда следует, что якобиан замены (9.16) в начале координат равен 1.
Аналогичная проверка для замены (9.17) оставляется читателю. ||
ЗАМЕЧАНИЕ 9.3. Теорема 9.1 была доказана в 1955 г. американским математиком Хасслером Уитни [42]. При доказательстве нормальной формы для сборки Уитни не использовал подготовительную
теорему Мальгранжа (она появилась позже), что сделало его доказательство существенно длиннее,
Представим себе, как геометрически выглядят отображения складки и сборки, воспользовавшись нормальными формами (9.7) и (9.8).
Так как в обоих случаях одна координата в образе (а именно ш) совпадает с координатой в прообразе (а именно у), оба отображения могут
быть реализованы как проектирования п гладкой поверхности = в
пространстве (1,у,2) на плоскость (у,2) вдоль оси г.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 9.1. Множество 5 критических (особых) точек
отображения проектирования т называется криминантой, а его проекция л(5) называется дискриминантным множеством или дискриминантной кривой этого отображения.
112
В случае складки (9.7) поверхность - представляет собой параболический цилиндр 5 = 12. Проектирование л является двулистным
накрытием полуплоскости (у,2 > 0} с ветелением вдоль оси 2 = 0.
Криминанта - ось у в пространстве (2, у, 2), дискриминантная кривая —
ось у на плоскости (у, 2); см. рис. 9.3 (слева).
В случае сбарки (9.8) поверхность .Я график функции 2 = 3 +жу.
Криминантой является парабола 322 + у = 0 на поверхности „Я, а
дискриминантной кривой полукубическая парабола
= 312, з= —2т3
на плоскости (у,2). Сборка возникает в той точке, где криминанта
касается поля ядер дифференциала А’ = Кег а, эта точка - начало
координат; см. рис. 9.3 (справа).
Рис. 9.3 Складка и сборка, реализующиеся при проектировании
поверхности на плоскость. Криминанта (сверху) и дискрминантная кривая
(снизу) изображены прерывистыми „еОЕАСЯОМОЫ
ЗАДАЧА 9.3. Проверьте, что критические точки следующих отображений (5,3/) ++ (2, 2) ив являются устойчивыми относительно малых
возмущений: 2 = 23, Ш=у; 2=ЕЗЖ, ШЕУ 2 = 22, ш=у?.
ЗАДАЧА 9.4. Исследуйте критические точки отображения 2 = ту,
и = уи его возмущений:
1 2 = ту + =х”, = У,
2) 2= ту+ ЕТ, ШУ.

Исследование, описанное в статье про точка-складка, подчеркивает ее значимость в современном мире. Надеюсь, что теперь ты понял что такое точка-складка, точка-сборка и для чего все это нужно, а если не понял, или есть замечания, то не стесняйся, пиши или спрашивай в комментариях, с удовольствием отвечу. Для того чтобы глубже понять настоятельно рекомендую изучить всю информацию из категории Теория особенностей и катастроф