Лекция
Привет, Вы узнаете о том , что такое 7.3. Подготовительная теорема Мальгранжа, Разберем основные их виды и особенности использования. Еще будет много подробных примеров и описаний. Для того чтобы лучше понимать что такое 7.3. Подготовительная теорема Мальгранжа , настоятельно рекомендую прочитать все из категории Теория особенностей и катастроф.
В этом разделе мы познакомимся с одним из самых фундаментальных результатов теории особенностей подготовительной теоремой Мальгранжа? (далее ПТМ) и получим с ее помощью некоторые
следствия, которые будут использованы в дальнейшем.
Пусть } (т): В” > В" гладкое отображение, переводящее начало
координат 0 в себя, которое задается п гладкими функциями:
(в) = (11(2),....Г“2)), т=(а,..02), №0) =0. (1)
1 Теап-С1аш4де Тоцрегоп — французский математик.
?Вегпаг4 Машгапяе (род. в 1928) — французский математик.
90
Будем обозначать через А алгебру формальных степенных рядов или
алгебру ростков гладких отображений в точке 0. Соответственно, ниже мы дадим формулировку теоремы в двух категориях: формальных
рядов и гладких ростков.
ТЕОРЕМА 7.2 (ПТМ). Предположим, что отображение {(х):
В" — Е" имеет в 0 критическую точку кратности 1 < и < ©.
Пусть е\(х),...,е,(2} образующие его локальной алгебры ©;. Тогда
любой элемент | (т) Е А может быть представлен в виде
(2) = а1({(2))е1 (2) --- + аь(Д(т))е» (5) (7.8)
с некоторыми подходящими элементами а; (т) Е А.
Доказательство в категории формальных рядов несложно, см. .
В категории гладких ростков доказательство основано на глубоком алгебраическом результате о конечнопорожденных модулях (лемма Накаямы), но требует также некоторых специальных результатов о гладких функциях, см. Об этом говорит сайт https://intellect.icu . [9, 15, 30].
ПРИМЕР 7.1. В качестве простого упражнения посмотрим, что
дает ПТМ в случае, когда и = 1, те. росток отображения } является диффеоморфизмом. При и = 1 функции {1(т),... {"(т) имеют в
точке 0 линейно независимые градиенты. Используя обобщение леммы Адамара (задача 1.1), представим произвольный росток 9 Е Ав
виде
9= 9(0) + В1 (=) {1 (2) +... + 8, (т) 1" (2)
с подходящими 5;(т) Е А. Сравнивая это представление с (7.4), мы
видим, что функция е1(т) = 1 является образующей локальной алгебры О; (мы могли бы взять в качестве образующей е!(15) любую
постоянную функцию, кроме нуля). Следовательно, в нашем случае
представление (7.8) принимает вид
^(=) = а1(/(2))е1 (2) = а1(1(х))
и не несет в никакой информации: так как И является локальным диффеоморфизмом, для любой функции Й Е А равенство № (т) = а1(Л(х))
выполняется с функцией а1 (у) = (7 Т(у)).
Рассмотренный выше тривиальный пример не должен нас разочаровывать: ведь мы пока еще не применяли ПТМ к критическим точкам
отображений. К этому мы сейчас и переходим.
91
ЗАДАЧА 7.12. Докажите, что росток любой гладкой функции
й(т,у1,...,Уп_1): В" > В может быть представлен в виде
р(х, у) — @1 (2, у) + га2 (27,5), (7.9)
где у = (у1,...,Уп—1) и а1.2(-, -) - некоторые гладкие функции.
РЕШЕНИЕ. В задаче 7.4 мы рассматривали росток отображения (7.5). Было показано, что локальная алгебра (©); такого ростка,
двумерна и имеет образующие е1(х,у) = 1, е2(5, у) = х. Отсюда, согласно ПТМ, для любого гладкого ростка А(т,у) следует представление
№(х, у) = а1(1(т,у)) + хаз(Т(т,у))
с подходящими гладкими ростками а1 2(., .), т.е. формула (7.9). ||
ЗАДАЧА 7.13. Докажите следующее обобщение формулы (7.9):
для любого целого р > 2 росток любой гладкой функции
(т, у1,..- вт): В" ЕВ
может быть представлен в виде
(2, у) = а1 (27, у) + таз(2?, у) +... + 7 Пар(т?, у), (7.10)
где у = (91,...,Уп-1) и а;(., *) подходящие гладкие функции.
ЗАДАЧА 7.14. Примените ПТМ к ростку /(х,у) : Е? -+ 82, заданному формулой:
Л (х, у) = +(узу+ту Р(еу)=у, (7.11)
где 12(у) — произвольная гладкая функция.
РЕШЕНИЕ. Покажем, что кратность ›/ = 3 и локальная алгебра ();
ростка отображения (7.11) порождена образующими
е1(х,у) =1, е2(х,у) =, ез(т,у) = Са. (7.12)
Действительно, используя лемму Адамара и представление (1.5), можно представить любой росток 9(т, у) Е А в виде
9(х, у) =о@1 + а 2х - азт? Е УВ (т, у) =Е хз Во(т, у),
где 1 = 9(0), а2 = 9(0), аз = 1 та (0) и В1.2(х, у) Е А, т.е. в виде
9(т, у) —
= а + а2х + аз? + уВ (т, у) + (23 + %(у)т?у + ту) Во(т, у),
92
где В; = В: — (1 + 24(у))В2.
Это и есть представление (7.4) с числом и = 3 и образующими (7.12). Отсюда, согласно ПТМ, для любого ростка #(х,у) следует
представление
(т, у) т а1({', у) -о хаз(} } У) + 2?аз(}', 9), (7.13)
где функция {1 = 1 (т, у) взята из (7.11). [|
ЗАДАЧА 7.15. Используя аналогичные рассуждения, установите
представление (7.13) для ростка функции {(х, у): Е? -+ В2, определенной формулой
(т, у) = ф(т,у) (23 +ч(уту+ ту), Г(т,у)=у, (7.14)
где ф(т, у) - гладкая функция, $(0, 0) = 0.
Исследование, описанное в статье про 7.3. Подготовительная теорема Мальгранжа, подчеркивает ее значимость в современном мире. Надеюсь, что теперь ты понял что такое 7.3. Подготовительная теорема Мальгранжа и для чего все это нужно, а если не понял, или есть замечания, то не стесняйся, пиши или спрашивай в комментариях, с удовольствием отвечу. Для того чтобы глубже понять настоятельно рекомендую изучить всю информацию из категории Теория особенностей и катастроф
Комментарии