9.2. Особенности коразмерности 3

Привет, Вы узнаете о том , что такое особенности коразмерности3, Разберем основные их виды и особенности использования. Еще будет много подробных примеров и описаний. Для того чтобы лучше понимать что такое особенности коразмерности3 , настоятельно рекомендую прочитать все из категории Теория особенностей и катастроф.

Рассмотрим росток отображения (9.3) в точке 0, предполагая, что
го .7;(0) = 1 и нарушено одно из условий ЁЕ,у(0) # 0, Р,х»(0) = 0.
При этом на все остальные производные в точке 0 можно накладывать
любые ограничения типа неравенств. Имеют место два случая:
Е,(0) =0, Е„„(0) =0, Е (0) =0,
Ета (0) та 0, НЕ, (0) га 0;
Е, (0) =0, Е,.(0) =0, Е, „„(0) =0,
Ру(0) Е 0, Рот (0) 7 0,
где Н[ | обозначает гессиан функции {.
В случае (9.19) точка. 0 — невырожденная критическая точка функции А, (т, у), и по лемме Морса, росток этой функции СЮ®-эквивалентен
квадратичной форме 12 + у”. При разных знаках ростки соответствующих отображений неэквивалентны даже топологически: если
НЕ, (0) > 0, то множество критических точек 5 состоит из одной
изолированной точки 0, а при Н[Е,|(0) < 0 оно представляет собой
пару кривых, трансверсально пересекающихся в 0.
В случае (9.20) множество 5 является гладкой кривой, имеющей в
точке 0 касание второго порядка с полем ядер дифференциала АХ”.
(9.19)
(9.20)
ЗАДАЧА 9-5. Покажите, что любой росток отображения (9.3),
удовлетворяющий условиям (9.19) или (9.20), С®-эквивалентен ростку
вида (9.3) с функцией
Е(т, у) = 13 Е ту? + ф(х,у), фе, (9.21)
Е(т,у) = ту+ =‘ + ф(т,у), фЕм, (9.22)
к соответственно. Напомним, что м” означает идеал (в алгебре ростков
функций), состоящий из ростков, &-плоских в точке 0.
РЕШЕНИЕ. Из представления Р(т,у) = В (у) + 19(т,у) следует,
что с помощью левой замены 2 +} 2— 20 (1) можно избавиться от всех
мономов вида у” в любой струе функции Р(т,у). Таким образом, в
случае (9.19) имеем
Р(х, у) = а? + 622 у + сту? + 9(2,у), а#0, рем.
Далее, с помощью подходящей правой замены т ++} ат + Ву можно
сделать а =1иф = 0. А с помощью пары замен у ++ \/|с]у, ш $ де]
мы приводим росток отображения к виду (9.3) с функцией (9.21).
114
В случае (9.20), после масштабирования координатных осей в образе и прообразе имеем
Е(т, у) = ту+ т(аху + 6/7) + х(23 + ал?у + соту? + сзу3) + о(т,у,
где р Е м“. С помощью правой замены 17 ++ 1 + ах? + фту мы убиваем
кубические члены (а = В = 0), не изменяя при этом коэффициенты
при мономах ту и т“. Затем с помощью замены х +} ф- Ву МОЖНО
сделать с1 = 0. Правда, при этом появится новый моном -— 82, но он
убивается с помошью левой замены 5+} 2-+ Вш?. В итоге получаем
Е(т, у) тут“ + сот? у? + злу? + ф(т,у), фм.
Для приведения ростка отображения к виду (9.3) с функцией (9.22)
остается лишь добиться равенств с5 = сз = 0, сохранив при этом коэффициенты мономов ту и 2“. Это, очевидно, осуществляется с помощью
левой замены 2 +} 2 -— 6227 — 63210. [|
Задача 9.5 является заготовкой для получения более сильного результата:
ЗАДАЧА 9.6. Покажите, что утверждение задачи 9.5 останется
справедливым, если в формулах (9.21), (9.22) положить ф = 0.
УкаАЗАНИЕ. Доказательство с незначительными изменениями повторяет доказательство теоремы 9.1 для сборки. Вывод этих нормальных форм, а также С®-нормальные формы для особенностей отображений плоскости на плоскость коранга 1 коразмерности больше 3
можно также найти в статьях [36, 37|.
Приведенный в задаче 9.6 список трех нормальных форм
=13-+ту, ш=у - губы (англ.: #р8)
= — ту”, ш=уУ - клюв (англ.: Феайз)
2=ху+1“, ш=у -— ласточкин твост (англ.: зшаЙоиай)
исчерпывает список особенностей отображений плоскости на плоскость коразмерности 3. Об этом говорит сайт https://intellect.icu . Подобно складке и сборке, эти отображения
могут быть реализованы как проекции поверхностей на плоскость.
В отличие от складки и сборки, эти три особенности устойчивым
образом встречаются (т.е. не устраняются малыми возмущениями) не
у индивидуальных отображений плоскости на плоскость, а у семейств
таких отображений, зависящих хотя бы от одного вещественного параметра. Пять упомянутых особенностей коразмерности < 3 (складка,
115
сборка, губы, клюв, ласточкин хвост) полностью исчерпывает список
устойчивых особенностей семейств отображений плоскости на плоскость, зависящих от одного параметра. Странные названия «губы»,
«клюв» и «ласточкин хвост» объясняются картинами, возникающими
в таких семействах (см. рис. 9.4, 9.5, 9.6 ниже).
ПРИМЕР 9.2. Рассмотрим семейство отображений
2=Р(т,у,=) = + ЕД? ху, Ш=у, (9.23)
где = — вещественный параметр, реализуемое как проектирование поверхности 2 = Р(т,у.=Е) на плоскость (т,у) вдоль оси 2. Критические точки заполняют кубическую параболу 5, заданную уравнением
Е, (т, у, Е) = 413 + 2=х + у = 0, во всех точках которой поле ядер дифференциала А’ параллельно оси 1. В тех точках, где поле А’ трансверсально 5, отображение проектирования имеет складку (см. задачу 9.2).
Существенно различаются следующие три случая.
Если = < 0, то поле ХА касается кубической параболы 5 в двух
различных точках, в обеих касание имеет первый порядок и, следовательно, в этих точках проектирование имеет особенность типа сборка;
см. рис. 9.4 (верхний ряд, слева). По мере приближения = к нулю слева точки сборки приближаются друг в другу, и при = = 0 сливаются
вместе в начале координат, где касание Аи 5 имеет уже не первый, а
второй порядок. При Е = 0 проектирование имеет в начале координат
особенность «ласточкин хвост»; см. рис. 9.4 (верхний ряд, в центре).
Наконец, при = > 0 поле А’ не касается 5 ни в одной точке, и все критические точки складки проектирования; см. рис. 9.4 (верхний ряд,
справа).
ЗАМЕЧАНИЕ 9.4. Возмутим семейство (9.23) таким образом, чтобы особенность «ласточкин хвост» при = = 0 исчезла. Для этого достаточно прибавить к функции Р слагаемое отЗ с любым @ > 0. Легко
видеть, что особенность «ласточкин хвост» возникнет при значении
параметра = = за?. Можно показать (читателю рекомендуется сделать это самостоятельно), что такая же ситуация имеет место при любом достаточно малом возмущении семейства (9.23). Это и означает
устойчивость данной особенности в семействе.
ЗАМЕЧАНИЕ 9.5. Изменение качественных характеристик объектов любой природы, зависящих от параметра, называется «перестройкой» или «бифуркацией». Термин «бифуркация» восходит к великому
французскому математику Пуанкаре, который использовал его при исследовании динамических систем (обыкновенных дифференциальных
116
уравнений), зависящих от параметра. В настоящее время его чаще всего используют применительно именно к динамическим системам. Вошедший в употребление в конце 1980-х годов термин «перестройка»
применяется к объектам любой природы”. Выше мы имели дело с перестройкой семейства отображений плоскости на плоскость. =]
Рис. 9.4 Перестройка семейства отображений (9.23). Слева направо: = < 0,
= = 0, = > 0. Верхний ряд -— плоскость-прообраз (т, у), жирная линия —
криминанта, прерывистые линии — поле А. Нижний ряд — плоскость-образ
(=, и), жирная линия дискриминантная кривая
ПРИМЕР 9.3. Рассмотрим два семейства отображений:
2 =Е(щ,у,=) = 13 + ту’+=т, ш=у, (9.24)
=Р(т,у,Е) = 13 -ту + Ех, ш=у. (9.25)
Криминанта 5 отображения (9.24), задаваемая уравнением
За? Ну’ +Е=О,
при = < 0 представляет собой эллипс с центром в начале координат
плоскости-прообраза. Во всех точках этого эллипса, кроме двух, поле
р. -В англоязычной математической литературе по теории особенностей часто используется транслитерация «регезгоа».
117
А’ трансверсально 5, и отображение имеет складку. В двух диаметрально противоположных точках эллипса А’ касается 5, и отображение имеет сборку. Дискриминантная кривая отображения (9.24) имеет
два каспа и напоминает приоткрытые губы; см. рис. 9.5 (слева. и в центре). При стремлении = к нулю слева эллипс (в прообразе) и «губы»
(в образе) стягиваются в одну точку начало координат плоскости;
см. рис. 9.5 (справа). Далее, при = > 0 отображение (9.24) вообще не
имеет критических точек. р)
ый
/-1—\- __
$
у
А
% =
Ай
р
ыы =
Рис. 9.5 Перестройка семейства отображений (9.24). Слева и в центре:
Е < 0, справа = = 0. Верхний ряд плоскость-прообраз (т,у), жирная
линия криминанта, прерывистые линии поле А. Нижний ряд
плоскость-образ (2,1), жирная линия дискриминантная кривая
Криминанта 5 отображения (9.25), задаваемая уравнением
312 -Р+ЕЗО,
при всех = = 0 представляет собой гиперболу с центром в начале координат плоскости-прообраза. Различие между = < ие >> 0 состоит в
том, что в первом случае поле Х трансверсально ветвям гиперболы во
всех точках, отображение имеет складку и дискриминантная кривая
состоит из двух гладких непересекающихся кривых; см. рис. 9.6 (слева). Во втором случае поле А’ трансверсально ветвям гиперболы во
всех точках, кроме двух, в которых отображение имеет сборку. Дискриминантная кривая состоит из двух непересекающихся кривых, похожих на полукубические параболы; см. рис. 9.6 (справа). При = = 0
криминанта представлет собой пару пересекающихся прямых -— асимп118
тотических линий гипербол 352 — у? + Е = 0, дискриминантная кривая — пара гладких кривых, соприкасающихся в начале координат; см.
рис. 9.6 (в центре). < Хх
в и ы г < + ><
Рис. 9.6 Перестройка семейства отображений (9.25). Слева направо: = < 0,
Е = 0, Е > 0. Верхний ряд -— плоскость-прообраз (т, у), жирная линия —
криминанта, прерывистые линии — поле Х. Нижний ряд — плоскость-образ
АХ | Ах
|
1
| |
(2, м), жирная линия — дискриминантная кривая
ЗАДАЧА 9.7. Покажите, что все три особенности «губы», «клюв»
и «‹ласточкин хвост» устойчивы в однопараметрических семействах
отображений, т.е. при малых возмущениях не исчезают, а липть только
«перемещаются» от одного значения параметра к другому.
ЗАДАЧА 9.8. Исследуйте перестройки семейств отображений
д = Р(т, у) +=ф(т,у,=), ш=у,
где Ё = 21 + ху (ласточкин хвост), Г = 23 + ту? (губы и клюв), ф -—
произвольная гладкая функция, Е — малый параметр. Покажите, что
при выполнении некоторого общего условия на ф такие перестройки
аналогичные описанным выше в примерах 9.2 и 9.3.

Исследование, описанное в статье про особенности коразмерности3, подчеркивает ее значимость в современном мире. Надеюсь, что теперь ты понял что такое особенности коразмерности3 и для чего все это нужно, а если не понял, или есть замечания, то не стесняйся, пиши или спрашивай в комментариях, с удовольствием отвечу. Для того чтобы глубже понять настоятельно рекомендую изучить всю информацию из категории Теория особенностей и катастроф