10.3. Математическое и экономико-математическое моделирование

Привет, Вы узнаете о том , что такое математическое моделирование, Разберем основные их виды и особенности использования. Еще будет много подробных примеров и описаний. Для того чтобы лучше понимать что такое математическое моделирование, экономико-математическое моделирование , настоятельно рекомендую прочитать все из категории ОСНОВЫ НАУЧНЫХ ИССЛЕДОВАНИЙ и организация научно-исследовательской деятельности.

Математическая модель - это модель, отражающая существенные признаки объекта с помощью математических соотношений (систем уравнений, неравенств, логических отношений).
Выделяют 3 группы методов математического моделирования –
аналитические, численные и имитационные.
Аналитическое моделирование – это построение математических моделей, позволяющих получить явные формулы для определения интересующих исследователей величин при всех произвольных
значениях входных параметров (см. Пример 10.1). Аналитическое моделирование обеспечивает наиболее полное решение задачи (по сравнению с численными и имитационными методами). Платой за полноту решения является сложность получения результата и необходимость существенного упрощения модели (для того, чтобы она допускала аналитическое решение).
190
190
Численное моделирование – это процесс, включающий два этапа: 1) построение выражений, содержащих интересующие исследователей зависимости в неявном виде; 2) численное нахождение значений
интересующих исследователей величин для заданных значений входных параметров. Численное моделирование обеспечивает менее полное решение задачи, однако круг моделей, с которыми можно работать
численными методами, значительно шире (по сравнению с аналитическими методами).
Имитационное моделирование – это особый вид численного моделирования. Его специфика состоит в том, что в процессе имитации алгоритм расчетов воспроизводит логику функционирования объекта–
оригинала (тогда как в случае численного моделирования алгоритм расчетов и алгоритм функционирования реального объекта не имеют ничего общего). Важными этапами имитационного моделирования является
планирование экспериментов с моделью и обработка результатов экспериментирования. Методы имитационного моделирования применяются по отношению к тем объектам, которые характеризуются стохастичностью, нелинейностью связей, изменчивостью во времени, а также
наличием множества противоречивых критериев оценки результатов
деятельности.
 Математическая модель экономического объекта (иначе
говоря, экономико-математическая модель) – это описание экономического объекта на математическом языке, то есть знаковыми математическими средствами (см. Пример 10.1).
Экономико-математические модели классифицируются по нескольким основаниям. С точки зрения общего целевого назначения экономикоматематические модели подразделяются на теоретические и прикладные
[24].
 Теоретические модели позволяют изучать общие свойства
и закономерности экономических процессов.
 Прикладные модели применяются для решения конкретных
экономических задач и позволяют принимать практические решения.
191
191
По степени агрегирования моделируемых объектов модели подразделяются на макроэкономические и микроэкономические.
 Макроэкономические модели описывают функционирование
экономики как единого целого.
 Микроэкономические модели описывают поведение отдельных элементов экономической системы.
По типу используемого математического аппарата выделяют модели линейного и непинейного программирования, корреляционнорегрессионные модели, матричные модели, сетевые модели, модели
теории массового обслуживания, модели теории игр и т.п.
Экономические системы представляют собой специфический
объект моделирования, характеризующийся следующими особенностями:
- в экономических системах действуют субъективные факторы,
связанные с деятельностью человека;
- для экономических систем характерна большая размерность,
сложность структуры, целенаправленность деятельности и самоорганизация элементов;
- для экономических систем характерна принципиальная нелинейность связей между элементами (в том числе по причине научнотехнического прогресса);
- экономические процессы носят стохастический характер;
- экономические процессы носят динамический характер,
- экономическим процессам свойственна инерционность и «антиинтуитивность» (непредсказуемость последствий).
П
Пример 10.1
Моделирование товарно-денежного обмена между двумя экономическими системами
В некотором условном (выдуманном) мире существуют два государства, изолированные от внешнего окружения: речная страна А и
плоскогорная страна В. Так как природные условия в этих государствах
192
192
различны, им приходится вести активный торговый обмен между собой:
страна А закупает у страны В мясо и молоко, а страна В закупает у страны А рыбу. Об этом говорит сайт https://intellect.icu . На закупку этой продукции каждая из стран тратит фиксированную долю своих денежных ресурсов (страна А – 1%, страна В – 2%).
В связи с изолированностью стран общая сумма их денежных ресурсов есть величина постоянная. В связи с наличием товарноденежного обмена между странами сумма денежных ресурсов каждой из
стран есть величина переменная (рис. 10.11).
Правительства стран поставили перед собой стратегическую задачу: с течением времени довести распределение общей суммы денежных
ресурсов между двумя странами до следующего уровня: 40% у страны А
и 60% у страны В (тогда как в настоящий момент данное соотношение
не выполняется). С целью разработки мероприятий по достижению запланированного соотношения перед учеными двух стран были поставлены две задачи:
Задача №1: исследовать закономерности перераспределения денежных ресурсов между двумя странами.
Задача №2: определить, какие действия должна осуществить каждая из стран для достижения поставленной цели

Для решения задачи №1 была разработана модель, представленная на рис. 10.12. Исследование данной модели с помощью аналитических методов позволило сформулировать следующие выводы:
1) С течением времени рассматриваемая система из двух государств приходит в состояние устойчивого равновесия. Это означает, что
объем денежных ресурсов каждой страны стремится к некоторому фиксированному «равновесному» уровню (SaL и SbL, соответственно).

2) Равновесное соотношение денежных ресурсов двух стран, к которому рассматриваемая система стремится в перспективе, зависит
только от того, какие доли своих денежных ресурсов каждая из стран
тратит на закупку продукции за границей:

3) Исходя из равенства (10.1), развитие существующих тенденций
при отсутствии активных управляющих воздействий приведет к тому, что

соотношение денежных ресурсов двух стран в перспективе будет соответствовать следующей пропорции: SaL/SbL = b/a = 2/1 =2.
Для решения задачи №2 на основе соотношения (10.1) была
сформирована следующая модель:

Модель (10.2) показывает, что для достижения поставленной цели
страны А и В должны согласовать свои доли денежных ресурсов,
направляемых на закупку товаров за границей, и установить их в соответствии со следующим соотношением: a*/b* = SbL*/SaL* = 60/40=1,5.
Подведем итог рассмотренному примеру и классифицируем модели, использованные для решения поставленной задачи. Модель, представленная на рис.10.7, является дескриптивной образно-знаковой
(графической) моделью. Модель, представленная на рис.10.8, является
дескриптивной математической моделью, имеющей аналитическое решение. Модель, представленная формулой (10.2), является нормативной. Все три названные модели относятся к классу динамических и детерминированных.
 ПРАКТИЧЕСКАЯ КОМПОНЕНТА
ОБРАЗНО-ЗНАКОВЫЕ МОДЕЛИ В НАУЧНОМ ИССЛЕДОВАНИИ
Цель выполнения задания:
- приобрести навыки по созданию образно-знаковых моделей экономических процессов.
196
196
Вспомогательный материал
Рассмотрим процесс построения образно-знаковой модели для системы, описанной в Примере 10.1.
Как следует из условия задачи, страна А тратит на закупку продукции фиксированную долю а своих денежных ресурсов Sa. Естественно,
деньги, затраченные жителями страны А, превращаются в доход страны
В (Rb). Эту зависимость можно наглядно представить с помощью диаграммы причинно-следственных связей (ДПСС), элементами которой
выступают факторы (причины), отклики (последствия) и связи между ними, обозначенные стрелками (рис. 10.13). На ДПСС присутствуют также
символы «+», обозначающие положительные связи между элементами
(при которых увеличение значений фактора приводит к росту значений
отклика), и символы «-», обозначающие отрицательные связи (при которых увеличение значений фактора приводит к падению значений отклика).

Аналогично, страна В тратит на закупку продукции фиксированную долю b своих денежных ресурсов Sb. Деньги, затраченные жителями страны В, превращаются в доход Ra страны А (рис. 10.14).

Окончательный вид ДПСС, описывающей взаимодействие двух стран, представлен на рис. 10.15. Если заметить, что переменные Sa и Sb отображают уровни ресурсов, а Ra и Rb – изменение этих уровней, то далее можно построить еще одну образно-знаковую модель системы двух стран, которая носит название диаграммы потоков.

Диаграмма потоков (ДП) базируется на аналогии между процессами ресурсного обмена и процессами циркуляции потоков воды в сообщающихся резервуарах [55]. Если представить страны А и В в виде резервуаров с ресурсами, то соответствующая диаграмма потоков будет иметь вид, представленный на рис. 10.16.

Рассмотренные образно - знаковые модели ДПСС и ДП представляют собой прекрасные средства визуализации, облегчающие выявление и осмысление закономерностей протекания исследуемых процессов. Кроме того, построение ДПСС и ДП является первым этапом создания математических имитационных моделей.
Задание
1. Исследуйте деятельность частного предприятия «Элита», используя методы образно-знакового и математического моделирования:
а) постройте диаграмму причинно-следственных связей, описывающую основные закономерности деятельности предприятия;
б) на основе построенной диаграммы сформируйте математические соотношения имитационной модели;
в) проведите имитационный эксперимент.
Цель исследования – определить, какую долю средств (Ди) нужно
направлять на развитие предприятия «Элита», чтобы максимизировать
суммарные доходы владельца (Сум) за период 5 лет.
Описание деятельности ЧП «Элита»
Предприятие закупает сырье и материалы и производит товары
народного потребления. Стоимость выпуска (В) составляет 200% от
стоимости сырья и материалов (СМ). Произведенная продукция поступает в реализацию.
Выручка от реализации (Р) распределяется следующим образом:
20% выручки уходит на налоги (Н),
20% выручки - на зарплату персонала (З),
Из оставшихся в распоряжении предприятия денежных ресурсов
(ДРП) некоторая доля Ди вкладывается в развитие производства, 10% -
изымается из сферы производства и тратится владельцем предприятия
на личное потребление (Д). Остальные средства составляют объем денежных ресурсов, предназначенных для поддержания производственного цикла (Ц). То есть они вновь направляются на закупку сырья и материалов. Исходный уровень таких ресурсов в начальный момент времени
составляет 10 000 у.е.

Затраты на развитие предприятия (И) позволяют улучшить качество продукции и, следовательно, увеличить стоимость выпуска. Одна
гривня, вложенная в развитие предприятия, позволяет увеличить отношение стоимости выпуска к стоимости сырья (О) на 0,01%.
2. Постройте диаграмму причинно-следственных связей, описывающую процесс выполнения сотрудником сверхурочной работы. Учтите
влияние фактора усталости работника. Кроме этого учтите, что если
работа выполнена на недостаточном уровне качества, она считается
браком и ее приходится переделывать (то есть фактически, делать дважды).
В диаграмме причинно-следственных связей используйте следующие переменные:
Работа – объем работ, выполненный в текущем периоде времени.
Брак – объем брака в текущем периоде времени (то есть объем
работ, который нужно будет переделать).
Доля брака – доля брака в работе, выполненной в текущем периоде времени.
Усталость – усталость работника в текущем периоде времени.
Норма – норма производительности труда, то есть объем работ,
который сотрудник выполняет в единицу времени при отсутствии усталости.
Выполнено – вся проделанная работа (то есть объем работ, выполненный со времени начала деятельности).
Остаток – оставшийся объем работ.

 КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ
1. Дайте определение понятию «модель».
2. Что означает требование адекватности модели?
3. Перечислите изученные виды моделей.
4. Приведите пример нормативной и дескриптивной моделей.
5. Чем структурная схема отличается от модели структуры системы?
6. Что такое математическая модель?

7. Дайте сравнительный анализ аналитических, численных и имитационных методов моделирования.
8. Что такое экономико-математическая модель?
9. По каким признакам классифицируют экономикоматематические модели?
10. В чем состоят особенности экономики как объекта моделирования?

 ВЫВОДЫ
Изучив главу №10, вы узнали следующее:
 Причиной широкого использования метода моделирования в
научных исследованиях является тот факт, что модели содержат в себе
так называемое потенциальное знание, которое наделяет их объяснительной и предсказательной силой.
 Основным требованием к модели является требование ее адекватности объекту и цели исследования.
 Универсальным языком моделирования является искусственный
язык математики. Этот язык свободен от неоднозначности и приблизительности естественных языков. Описание исследуемого объекта средствами математического языка называется математической моделью
объекта. Если в качестве исследуемого объекта выступает экономическая система или процесс, то результатом моделирования является
экономико-математическая модель.
 Применение методов математического моделирования в экономике осложняется ввиду наличия в экономических системах субъективных факторов, нелинейности связей, динамичности, стохастичности и
антиинтуитивности экономических процессов

Исследование, описанное в статье про математическое моделирование, подчеркивает ее значимость в современном мире. Надеюсь, что теперь ты понял что такое математическое моделирование, экономико-математическое моделирование и для чего все это нужно, а если не понял, или есть замечания, то не стесняйся, пиши или спрашивай в комментариях, с удовольствием отвечу. Для того чтобы глубже понять настоятельно рекомендую изучить всю информацию из категории ОСНОВЫ НАУЧНЫХ ИССЛЕДОВАНИЙ и организация научно-исследовательской деятельности

Ответы на вопросы для самопроверки пишите в комментариях, мы проверим, или же задавайте свой вопрос по данной теме.